Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 số 10

Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9
Thanh hoá môn thi : toán
Thời gian:(150 phút-không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : Tính giá trị biểu thức:
( )
2006
23
283 ++= xxA
với
( )
56145
38517
3
+

=x
( )
25 +

Bài 2 : Cho
ox >
,hãy tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức :

3
3
3
6
6
6
11
2

11
x
x
x
x
x
x
x
x
P
++






+







+

+
=
Bài 3 :Chứng minh rằng phơng trình :

02005.22
20062
=+ mxx
không có nghiệm nguyên với mọi
Zm
Bài 4: Tìm tất cả tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện
tích bằng số đo chu vi.
Bài 5: Giải phơng trình :
xxxx =+ 2.22
22

Bài 6 : Cho Parabol (P):
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (D) qua hai điểm A,B trên
(P) có hoành độ lần lợt là : -2 và 4.
Bài 7 : Trên một đờng tròn viết 2006 số tự nhiên,biết rằng mỗi số là trung
bình cộng của 2 số đứng liền trớc và sau nó. Chứnh minh rằng tất cả các số
đó bầng nhau .
Bài 8 : Các đờng cao của tam giác ABC cắt nhau tại H . Biết rằng HC=AB ,
tìm góc ở đỉnh C.
Bài 9 : Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O, bán kính R kẻ hai tiêp tuyến

PA và PB với A,B là các tiếp điểm .Gọi H là chân đờng vuông goc hạ từ
điểm A đến đờng kính BC .
a. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH .
b.Tính AH theo R và PO =d .
Bài 10 :Cho 10 điểm nằm ngoài mặt phẳng (P). Nối từng cặp 2 điểm với
nhau ta đợc các đoạn thẳng .Mặt phẳng (P) có thể có 30 giao điểm với các
đoạn thẳng nói trên không?
Hớng dẫn chấm môn toán : Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9
Bài 1: Rút gọn
3
17 5 38 5 2, 14 6 5 3 5 = =
(1đ)
Khi đó :
5 2 1
( 5 2)
3
5 3 5
x

= + =
+
(0,5đ)
Nên :
3 2
2006
1 1
3 8 2 3. 8. 2 3
27 9
3
x x

A
+ + = + + =
=
(0,5đ)
Bài 2:
2
6 3
3
3
3
3
3
3
3
1 1
( )
1 1
1 1
x x
x x
P x x
x x
x x
x x

+ +
ữ


= = + +

ữ ữ


+ + +
ữ ữ

(1đ)
= 3(x +
1
) 6
x

( x > 0 ) (1đ)
Bài3 :
Phơng trình :x
2
2mx +2.2005
2006
= 0 (1)
Có :
' 2 2006
2.2005m =
(0,5đ)
Phơng trình (1) có nghiệm nguyên khi
'

là số chính phơng
Nhng nếu :
' 2 2006
2.2005m =

= k
2
, (k là số nguyên)

(m-k )(m+k) = 2.2005
2006
là số chẵn (0,5đ)
nên (m-k) và (m +k) đều là số chẵn
Suy ra ( m k)( m + k) chia hết cho 4, mà 2.2005
2006
không chia hết cho 4 (0,5đ)
Mâu thuẫn này chứng tỏ (1) không có nghiệm nguyên. (0,5đ)
Bài 4: Gọi x,y,z là các cạnh của tam giác vuông
1 x y z <
, ta có :
2 2 2
(1)
2( )(2)
x y z
xy x y z

+ =

= + +

(0,5đ)
Từ (1) suy ra :

( )
( ) ( )

2
2 2
2
2
( ) 2 4( )
4 4 4 4
z x y xy x y x y z
x y x y z z
= + = + + +
+ + + = + +
(0,5đ)
( ) ( )
2 2
2 2 2 2,( , 2)x y z x y z do x y + = + + = + +
Thay z= x+y 4 vào (2) ta đợc : (x-4)(y-4)= 8 = 1.8=2.4 (0,5đ)
Suy ra :
4 1 4 2 5 6
; ;
4 8 4 4 12 8
x x x x
y y y y
= = = =



= = = =

(0,5đ)
Bài 5: Phơng trình :
2 2

2 2 . 2x x x x+ =
Điều kiện :x
2
, Đặt
2
2 ,( 0) 2y x y x y= =
(0,5đ)
Phơng trình
2 2
(1 )( 1)(2 4) 0y y y y y + =
(1đ)
Phơng trình có 3 nghiệm không âm :
1 2 3
5 1 33 1
1, ,
2 8
y y y
+
= = =
1 2 3
5 1 33 1
1, ,
2 8
x x x
+ +
= = =
(0,5đ)
Bài 6 :
Y
4 B

A
M
-2 O 1 4 X
(d)
-Phơng trình đờng thẳng AB:
1
2
2
y x= +
-M là tiếp điểm của tiếp tuyến (d) song song với AB;
2
( ; )
4
m
M m
( 0,5đ)
-(d) :
2 2
1 1
( ) ( )
4 2 2 4
m m
y x m y x m = = +
(0,5đ)
-Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) :
X
2
2x +2m m
2

= 0
Có
'
0 1m = =
, Nên toạ độ
1
1;
4
M

ữ

(0,5đ)
Chứng minh (P) ở phía trên (d) :
1 1
2 4
y x=
, giải thích đợc trực quan ở trên đúng :
( )
2
2
1 1 1
1 0
4 2 4
x x x
Dấu = xảy ra
0
1
M
x x= =

Vậy khoảng cách từ M
0
đến AB là lớn nhất nên :
MAB
S

lớn nhất. (0,5đ)
Bài 7:
Giả sử 2006 số đợc viết trên đờng tròn là : a
1
, a
2
, a
3
,, a
2006
thoã mãn :
1 1
2
i i
i
a a
a
+
+
=
, trong đó i= 2, 3,, 2006.
Khi đó ta có :
2006 2 2005 1
1 2006

,
2 2
a a a a
a a
+ +
= =
(0,5đ)
Giả sử tất cả các số không bằng nhau và không mất tính tổng quát giả sử :
a
1
> a
2
(*) vì
1 3
2 2 3
2
a a
a a a
+
= >
2 4
3 3 4
2
a a
a a a
+
= >
(0,5đ)
Tiếp tục quá trình lập luận đó ta nhận đợc kết quả : a
1

>a
2
>a
3
>a
2005
>a
1
, điều này mâu thuẫn
với (*) (0,5đ)
Vậy : a
1
= a
2
= a
3
=a
2005
(0,5đ)
Bài 8:
Trờng hợp góc C nhọn (hình1):
' ' ' ' '
AB B HB C BB B C BB C = = V
là vuông cân
Vậy góc ở đỉnh C là :
0
45ACB =
(1đ)
Trờng hợp góc C tù (hình2 ) :
' ' ' ' '

AA B A HC A H A B A HB= = V V V
là vuông cân
Ta có :
' 0 0
45 135BHA ACB = =
(1đ)
Bài 9 a/ Ta có :
(1), :
(2),
EH CH
Talet AH PB
PB CB
AH CH
ACH POB
PB OB

=




=


P
V : V
2AH EH
=
(1đ)
b/

2
2
2 2
2
. (2 ).
. . 2
2 . .
2 2
AH BH CH R CH CH
AH CB AH CB R
R AH d R
PB PB d
= = −
 
= − ⇒ = −
 ÷
 
(1®)
Bµi 10 : NÕu 2 ®iÓm n»m kh¸c phÝa ®èi víi (P) th× ®o¹n th¼ng nèi chng c¾t (P). Gi¶
sö cã x ®iÓm thuéc 1phÝa cña (P) vµ (10- x) ®iÓm thuéc phÝa cßn l¹i . Sè giao ®iÓm cña c¸c
®o¹n th¼ng víi (P) lµ :
T= x( 10 – x) = - x
2
+ 10x = -( x-5)
2
+ 25
25≤
VËy mp (P) kh«ng thÓ cã 30 giao ®iÓm víi c¸c ®o¹n th¼ng .

C H


'
A
C
'
B


'
B

'
A
H
A B A
'
C
B

'
C
H×nh 1 P A H×nh2
E
B O H C


H×nh 3