Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 số 12

đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : toán
Thời gian : 150 ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2đ): Giải các phơng trình sau
a. (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0
b.
++
12
2
xx
44
2
+
xx
=
2006
2005
2006
2005
20051
2
2
2
+++
Câu 2 (2đ):
Cho biểu thức: A=
22
1)(
2244
222
+++

++
yyxx
yxxyx
a. Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn dơng với mọi x, y.
b. Với giá trị nào của x, y biểu thức A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó
Câu 3 (1,5đ)
Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn
2006
=++
zyx
và
2006
1111
=++
zyx
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2006.
Câu 4 (2đ):
a. Cho ba số thực dơng x, y, z thỏa mãn
3
5
=++
zyx
Chứng minh rằng
yx
11
+
<
)
1
1(

1
xyz
+
b. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết
( )( )( )
abcaccbba 8
=+++
Chứng minh rằng tam giác đã cho là tam giác đều
Câu 5 (2,5):
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB. M là một điểm di động trên đờng tròn. Vẽ MH
vuông góc với AB (H thuộc AB).
a. Tìm vị trí của điểm M trên (O) sao cho diện tích tam giác OMH lớn nhất.
b. Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác OMH. Tìm quỹ tích của điểm I.
Đáp án
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
a) PT đa về
( )( )
01515878
22
=+++++ xxxx
Đặt
118
2
++=
xxX
PT đa về:
( )( )
01544
=++

XX

( )( )
011
=+
XX
Dẫn đến PT:
( )( )
0128108
22
=++++ xxxx





=++
=++

0128
0108
2
2
xx
xx

( )
( )
**
*

Giải PT
( )
*
và
( )
**
tìm nghiệm và trả lời
PT có 4 nghiệm
;6
1
=
x

;2
2
=
x

;64
3
=
x

;64
4
+=
x
b) Biến đổi vế phải
Ta có:
( )

12005.22005120052006
2
2
2
++=+=

2005.2200620051
22
=+

2006
2005
2006
2005
2005.22006
2006
2005
2006
2005
20051
2
2
2
2
2
2
++=+++
2006
2006
2005

2006
2005
2006
2006
2005
2006
2005
2006
2
=+=+






=
PT đa về:

200621
=+
xx

( )
*
Xét 3 trờng hợp
* Trờng hợp 1: Nếu x<1
PT
( )
2

2003
200623*
==
xx
(thỏa mãn)
* Trờng hợp 2: Nếu
x

0
<
2
PT
( )
200610*
=+
x
(PT vô nghiệm)
* Trờng hợp 3: Nếu
2

x
PT
( )
2
2009
200632*
==
xx
(thỏa mãn)
Kết luận: PT có 2 nghiệm

;
2
2003
1
=
x

2
2009
2
=
x
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
C©u 2
a) TÝnh ®îc
( )( )
2
1
21
1
224
4
+
=

++
+
=
yyx
x
A
Lý luËn
02
2
>+
y

yx,
∀

0
>⇒
A

yx,
∀
b) Ta cã:
22
2
≥+y

2
1
2
1

2
≤
+
⇒
y

2
1
=
MAX
A
khi
,0
=
y

x
bÊt kú
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
C©u 3
Tõ gi¶ thiÕt ta cã:

zyxzyx ++
=++
1111
0
1111

=
++
−++⇔
zyxzyx
( )
0=
++
−++
+
+
⇔
zyxz
zzyx
xy
yx
( )
( )
0
11
=








++
++⇔

zyxzxy
yx
( )( )( )
0
=+++⇔
zyzxyx

⇔






=+
=+
=+
0
0
0
zy
zx
yx

⇔







=
=
=
2006
2006
2006
x
y
z
KÕt luËn: VËy Ýt nhÊt mét trong ba sè x, y, z b»ng 2006
0,25®
0.25®
0,5®
0,25®
0,25®
C©u 4
a) Ta cã:
( ) ( )
yzxzxyzyxyxz
−−+++=−−
2
222
2
( )
02
222
≥−−+++⇒ yzxzxyzyx

zyx ,,

∀
( )








+<+⇒
<−+⇒
<−+⇒
<=++≤−+⇒
xyzyx
xyzzxy
xyyzxz
zyxxyyzxz
1
1
111
1111
1
1
6
5
2
1
222
b)

( )( )( )
abcaccbba 8
=+++
( ) ( ) ( )
0222
222222
=−++−++−+⇔ abccacbabcabacabcbcba
0,25®
0,25®
0.25®
0,25®
0,25®
( ) ( ) ( )
0
222
=++
abccbacab
Ta có:
( )
0
2

cab

cba ,,


( )
0
2

cba

cba ,,


( )
0
2

abc

cba ,,

mà
0,,

cba
( ) ( ) ( )
0
222
++
abccbacab

cba ,,

Dấu bằng xảy ra khi

=
=
=
0)(
0)(
0)(
2
2
2
cab
cba
bac

cba
==
Kết luận: Vậy tam giác có 3 cạnh bằng nhau nên là tam giác đều
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 5
a)
HMOHS
OMH
.
2
1
=
mà

2222
ROMHMOH
==+
Ta có:
( )
0
2

HMOH
HMOHHMOH 2
22
+
22
.
222
RHMOH
HMOH =
+

4
2
R
S
OMH

0,25đ
0,25đ
Dấu bằng xảy ra khi
HMOH
=

suy ra góc HOM = 45
0


Ta tìm đợc 4 vị trí của M là
4321
,,, MMMM
lần lợt là trung
điểm các cung phần t (I), (II), (III), (IV)
b) Phần thuận: Xét hai tam giác DIM và OIB
+ Nếu góc
0
90

MOB
Ta có:
,IOIO
=

ROBOM
==
Góc IOM = góc IOB (Vì OI là phân giác góc MOB)
0,25đ
0,25đ
A
B
D
C
OIBOIM
=

(c.g.c)


góc OIB = góc OIM = 180
0
45
0
=135
0

Điểm I di động trên hai cung chứa góc
0
135
dựng trên dây OB
+ Nếu góc
0
90

MOB

0
90

AOM


góc
0
135
=

AIO

Điểm I di động trên hai cung chứa góc
0
135
dựng trên dây OA
*Phần đảo
Lấy một điểm I bất kỳ trên cung tròn vừa tìm đợc. Học sinh
chứng minh I là tâm đờng tròn nội tiếp
OMH

0,5đ
0,25đ
0,25đ
0.5đ