Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - số 13

Sở GD & ĐT Thanh hoá
*************
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
môn thi ; toán
Thời gian : 150 phút
Câu 1:
Thay dấu * bởi các chữ số sao cho

5
4*****
là một số nguyên
(Bài 76 trang 22 sách 255 bài toán đại số chọn lọc của Vũ Dơng Thuỵ)
Câu 2:
Cho a , b , c , x , y , z thoả mãn hệ phơng trình






=++
==
1
111
333
zyx
czbyax
Chứng minh rằng :
333
3
222

cbaczbyax ++=++
(Đề 33 Ôn thi vào 10 Vũ Đinh Hoàng )
Câu 3:
Chứng minh rằng :Điều kiện cần và đủ để phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có
hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là: (k+1)
2
ac = kb
2
(Đề 2 Giả toán đại số Nguyễn Cam )
Câu 4:
a) Cho hai dãy số cùng chiều : a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
Chứng minh rằng : (a
1
+ a
2
+a
3

)(b
1
+ b
2
+ b
3
) 3(a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
)
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 1998 )
b) Chứng minh rằng : với
cba

0

cba
cba
cba
++

++
++ 3
200620062006
200520052005
(sáng tác )
Câu 5:
ở miền trong hình vuông ABCD lấy điểm M sao cho
0
15== MABMBA
Chứng minh rằng : Tam gác MCD đều (sáng tác)
đáp án và thang điểm
Câu ý Nội dung điểm
I
đặt
x
=
5
4*****
thì x
5
= *****4

x tận cùng bởi 4
Lại có 10 < x < 20 vì 10
5
=100000<*****4 <32.100000=20
5
Do đó x=14 và x
5
= 14

5
=537824

3
0,5
1
1
0,5
II
đặt t=ax
3
=by
3
=cz
3
(*)

5
0,5
1

ax
2
=
x
t
; by
2
=
y

t
; cz
2
=
z
t
(Do x, y, z đều khác 0)

ax
2
+

by
2
+ cz
2
=
t
zyx
t
=








++

111

3
3
222
cz by ax t
=++
(1)
Từ (*) suy ra
x
t
aa
x
t
3
3
3
==

y
t
bb
y
t
3
3
3
==

z

t
cc
z
t
3
3
3
==

3
a
+
3
b
+
3
c
=
33
111
t
zyx
t
=

++
(2)
Từ (1) và (2)
3
222
cz by ax
++
=
3
a
+
3
b
+
3
c
0,75
1
0,75
0,75
1
0,25
III
Giả sử phơng trình ax
2
+bx +c = 0 có nghiệm này bằng klần
nghiệm kia thì;
(x

1
- kx
2
)(x
2
- kx
1
) = 0

(1+k
2
)x
1
x
2
- k(x
1
2
+ x
2
2
)=0

(1+k
2
)x
1
x
2
-k[(x

1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
] = 0

(1+k
2
)
a
c
- k
0
2
2
2
=

a
c
a
b
(vì x
1
+x
2
=
a
b

; x
1
x
2
=
a
c
)

(1+k
2
)ac - k(b
2
- 2ac)=0

(2k+1+k
2

)ac = kb
2

(k+1)
2
ac = kb
2
Ngợc lại ; Nếu có (k+1)
2
ac = kb
2
Khi đó (k+1)
2


= (b
2
- 4ac) (k+1)
2
= b
2
(k+1)
2
- 4ac(k+1)
2

= b
2
(k+1)
2

- 4kb
2
= b
2
[(k+1)
2
- 4k] = b
2
(k-1)
2

0



0
phơng trình có hai nghiệm
Vậy :Điều kiện cần và đủ để phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai
nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là:
(k+1)
2
ac = kb
2

4
0,5
0,5
0,5

0,5
1
0,5
0,5
IV
a Do a
1


a
2


a
3


a
1
- a
2


0
a
1
- a
3

0
a
2
- a
3


0
và b
1


b
2


b
3


b
1
- b
2


0
b
1
- b

3


0
b
2
- b
3


0

(a
1
- a
2
)(b
1
- b
2
) + (a
1
- a
3
)(b
1
- b
3
) + (a
2

- a
3
)(b
2
- b
3
)

0

2(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
)- a
1
b
2
- a
2
b
1

- a
1
b
3
- a
3
b
1
- a
2
b
3
- a
3
b
2


0

a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3

b
3
+a
1
b
2
+a
2
b
1
+a
1
b
3
+a
3
b
1
+ a
2
b
3
+a
3
b
2

3(a
1
b

1
+a
2
b
2
+ a
3
b
3
)

a
1
(b
1
+ b
2
+b
3
)+ a
2
(b
1
+ b
2
+b
3
)+ a
3
(b

1
+ b
2
+b
3
)

3(a
1
b
1
+a
2
b
2
+ a
3
b
3
)

( a
1
+ a
2
+ a
3
)( b
1
+ b

2
+b
3
)

3(a
1
b
1
+a
2
b
2
+ a
3
b
3
)

4
0,5
0,5
2
1
b §Æt a
1
= a
2005
; a
2

= b
2005
; a
3
= c
2005

b
1
=
cba
a
++
; b
2
=
cba
b
++
; b
3
=
cba
c
++
Do 0
≤
a
≤
b

≤
c Nªn ta cã ; a
1

≤
a
2

≤
a
3
vµ b
1
≤
b
2
≤
b
3

¸p dông c©u a ta cã;
(a
2005
+b
2005
+c
2005
)







++
+
++
+
++
cba
c
cba
b
cba
a
≤
3








++
++
cba
cba
200620062006

⇔

cba
cba
cba
++
≤
++
++
3
200620062006
200520052005
0,5
0,5
1
V A B
D C
X¸c ®Þnh ®iÓm I trong tam gi¸c MDA sao cho tam gi¸c MIA lµ tam
gi¸c ®Òu
Ta cã
∠
IAD=90
0
-15
0
-60
0
=15
0
=

∠
MAB
AB=AD
AM=AI
⇒

∆
AID=
∆
AMB
⇒

∠
AID =
∠
AMB=150
0
⇒

∠
MID=360
0
-150
0
-60
0
=150
0
XÐt
∆

IDM vµ
∆
IDA
cã ID chung
∠
MID=
∠
AID=150
0
IA=IM (do
∆
AIM lµ ®Òu)
⇒

∆
IDM=
∆
IDA

⇒
AD=DM =DC (1)
MÆt kh¸c
∆
DAM=
∆
CBM (v× BC=AD ;MB=MA;
∠
CBM=
∠
DAM)

⇒
MC=MD (2)
tõ (1) vµ (2) ta cã
∆
DMC ®Òu
∑
4
1
1
1
1
3
M
I