thi thử môn toán thpt quốc gia đề 19

KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: Toán (đề 19)
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
2 ( 3) 4y x mx m x    
có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho (d ) có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m sao cho
(d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng
8 2
.
Câu II
(1 điểm)
Giải phương trình:
cos2 5 2(2 - cos )(sin - cos )x x x x 

Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I =
2
2
6
1
sin sin
2

x x dx


 

.
Câu IV
(1 điểm) Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) = 60
0
, ABC và SBC là các
tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Câu V (1 điểm) ) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:

2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
m m
   
    

Câu VI
(1 điểm) Cho điểm A(2;–3), B(3;–2),  ABC có diện tích bằng
3
2
; trọng tâm G của
 ABC thuộc đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp  ABC.
Câu VII
(1 điểm) Cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình
3

1
12
1 

 zyx
.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn
nhất.
Câu VIII (1 điểm) Giải bất phương trình :
 
2
1 2 1x x  

Câu IX
(1 điểm) Giải hệ phương trình:
2
2
1
3
1
3
a
x a y a z a
a
a
a x a y a z
a


     






     


(x, y R )

Hướng dẫn

CâuI.1.(Học sinh tự giải)
2)Phương trình hoành độ điểm chung của (C
m
) và d là:


           

    

3 2 2
2
0
2 ( 3) 4 4 (1) ( 2 2) 0
( ) 2 2 0 (2)
x
x mx m x x x x mx m
g x x mx m

(d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C

phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác
0.
   
     
 
 
 
  


/ 2
1 2
2 0
( )
2
(0) 2 0
m m
m m
a
m
g m
.
Mặt khác:
 
 

1 3 4
( , ) 2
2
d K d Do đó:

      
2
1
8 2 . ( , ) 8 2 16 256
2
KBC
S BC d K d BC BC
2 2
( ) ( ) 256
B C B C
x x y y     với
,
B C
x x
là hai nghiệm của phương trình (2).
             
2 2 2 2
( ) (( 4) ( 4)) 256 2( ) 256 ( ) 4 128
B C B C B C B C B C
x x x x x x x x x x
2 2
1 137
4 4( 2) 128 34 0
2
m m m m m


          (thỏa ĐK (a)). Vậy
1 137
2
m


CâuII:1. Phương trình  (cosx–sinx)
2
- 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos -sin -1
cos -sin 5( cos -sin 2)
x x
x x loai vi x x




 

2
2
2sin( ) 1 sin( ) sin ( )
4 4 4
2
x k
x x k Z
x k



  
 

 

       

 




Câu III:
CâuIII:1. Ta có: I =
2
2
6
1
sin sin
2


 

x x dx
=
2
2
6
3

sin cos
2
x x dx



 

. Đặt
3
cos cos
2
x t
 

Đổi cận: Khi
2
x cos
6 2 4
t t
 
    
; khi x cos 0
2 2
t t
 
    
.
Do vậy:
2

2
4
3
sin
2
I tdt


 

=
 
3
2
16


.

Câu IV
CâuIV:Gọi M là trung điểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM.
Suy ra: SM =AM =
3
2
a
;

0
60
AMS  và SO  mp(ABC)

 d(S; BAC) = SO =
3
4
a

Gọi V
SABC
- là thể tích của khối chóp S.ABC
 V
S.ABC
=
3
3
1
.
3 16
ABC
a
S SO


(đvtt)
Mặt khác, V
S.ABC
=
1
. ( ; )
3
SAC
S d B SAC



C
S
O
M
A
B

SAC cân tại C có CS =CA =a; SA =
3
2
a


2
13 3
16
SAC
a
S



Vậy: d(B; SAC) =
.
3
3
13
S ABC

SAC
V
a
S

 (đvđd).



Câu V

Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:

2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
m m
   
    
(1)
* Đk
[-1;1]
x

, đặt t =
2
1 1
3
x

 
;
[-1;1]
x
 
[3;9]
t


Ta có: (1) viết lại
2
2 2
2 1
( 2) 2 1 0 ( 2) 2 1
2
t t
t m t m t m t t m
t
 
           


Xét hàm số f(t) =
2
2 1
2
t t
t
 


, với
[3;9]
t

. Ta có:
2
/ /
1
4 3
( ) , ( ) 0
3
( 2)
t
t t
f t f t
t
t


 
  







Lập bảng biến thiên
t 3 9

f
/
(t)

+

f(t)


48
7

4


Căn cứ bảng biến thiêng, (1) có nghiệm
[-1;1]
x

 (2) có nghiệm
[3;9]
t


48
4
7
m 

Câu VI


Gọi C(a; b) , (AB): x –y –5 =0  d(C; AB) =
5 2
2
ABC
a b S
AB

 


8(1)
5 3
2(2)
a b
a b
a b
 

   

 

; Trọng tâm G



5 5
;
3 3
a b
 
 (d)  3a –b =4 (3)
Từ (1), (3)  C(–2; 10)  r =
3
2 65 89
S
p

 

Từ (2), (3)  C(1; –1) 
3
2 2 5
S
r
p
 

.
Câu VII

Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó
khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P).
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có
HI
AH


=> HI lớn nhất khi
I
A


Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận
AH
làm véctơ pháp tuyến.
Mặt khác, )31;;21( tttHdH




vì H là hình chiếu của A trên d nên
. 0 ( (2;1;3)
AH d AH u u   
  

là véc tơ chỉ phương của d) )5;1;7()4;1;3(  AHH
Vậy: (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0

7x + y – 5z –77 = 0
Câu VIII
. (1)


 
 
2

2
2
2 1 0
1 0
2 1 1
x
x
x x

 


  


  




2
1 1
1
2 3 0
x x
x
x x

   


  


  


1
1
1 3
x
x
x
  








  


1
1 3
x
x
 




 


Vậy nghiệm của bất phương trình :
1 1 3
x x
    
.

Câu IX

Xét các véc tơ :


 
; ; , 1 ; 1 ; 1
    
 
u x a y a z a v




 
   
2 2 2
2
. .

3 3 1
 
         
   
u v u v
x a y a z a a x y z

Tương tự


 
2
3 3
        
a x a y a z a x y z
(2)





2 2
18
x a y a z a a x a y a z a
            
Mà cộng hai phương trình của hệ ta có :






2 2
18
x a y a z a a x a y a z a
           
Tức là dấu đẳng thức phải xảy ra trong các bất đẳng thức (1) và (2) , hay :

2
2
1
1
1


     


   



     


a
x a y a z a
a
x y z
a
a

a x a y a z
a

Vậy hệ phương trình có nghiệm là :
1
  
x y z
a
.