Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay năm học 2010 - 2011 môn Toán khối 10

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý,Hoá,Sinh trên MTCT
LONG AN Môn Toán Lớp 10 năm học 2010-2011
Ngày thi : 23.01.2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 90 phút ( không kể phát đề ) .
Chú ý:
- Các giá trị đều phải tính ra số thập phân, lấy chính xác 5 chữ số thập phân không làm tròn.
- Thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải hay công thức tính (có thể chỉ ghi bước tính cuối ra kết quả)
Bài 1: Tính gần đúng giá trị hai số thực a, b biết:
3
2 5
a b
ab

+ = −


= −



( )
a b〉
Bài 2: Tính gần đúng các nghiệm của phương trình:
3 3
3
1
2
x x+ − =
.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tính gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác
ABC có tọa độ các đỉnh A(1,3), B(4,-2), C(5,7)

Bài 4 : Tính giá trị gần đúng của a và b để phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x thực.

( )
3 5a b x a b+ − = − +
Bài 5 : Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, góc A bằng
0
103 31'28''
, góc C bằng
0
35 40'26''
.
Tính gần đúng giá trị diện tích tam giác ABC và đường cao AH.
Bài 6 : Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2
2
2 2014
2 3
x x
y
x x
+ +
=
+ +

Bài 7 : Tìm nghiệm dương gần đúng của phương trình:
20
10 0x x+ − =
Bài 8 : Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình:
1
7 3

7
7
2
7
x y
x y
x y
x y

+ + =

−


+

=

−

Bài 9 : Trên các cạnh AB, BC, CA của một tam giác ABC có diện tích
2013
người ta chọn
lần lượt các điểm M, N, P thoả mãn điều kiện:
AM BN CP 1
MB NC PA 7
= = =
.Tính gần đúng diện tích
của tam giác MNP
Bài 10 : Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình

2
3
3 8
3 8
y
x
x
y y x

= +



= +

………………………….HẾT…………………………
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải toán, lý, hoá, sinh trên MTCT
LONG AN Môn Toán Lớp 10 năm học 2010-2011
Ngày thi : 23.01.2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 90 phút ( không kể phát đề )
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Tóm tắt cách giải Kết quả Điểm
1 a, b là nghiệm của phương trình:
2
3 2 5 0X X+ − =
1,41917
3,15122
a
b
≈

≈ −
0,5
0,5
2
Đặt:
3
3
x u
1 x v

=


− =


. Vậy ta có hệ:
3 3
3
u v
2
u v 1

+ =



+ =

⇔

2
3
u v
2
(u v) (u v) 3uv 1

+ =



 
+ + − =
 

⇔
3
u+v =
2
19
u.v =
36







u, v là hai nghiệm của phương trình:
2

3 19
X - X + = 0
2 36
⇒
9+ 5
u =
12
9 - 5
u =
12






⇒
3
3
9 + 5
x =
12
9 - 5
x =
12

 

 ÷
 ÷


 


 

 ÷
 ÷

 

Vậy phương trình có hai nghiệm:
{x} =
3 3
9 5 9 5
;
12 12
 
   
+ −
 
 ÷  ÷
 
 ÷  ÷
 
   
 
.
0,82091
0,17908

0,5
0,5
3
(3, 5) 34
(4,4) 4 2
82, 16,
4
ABC
AB AB
AC AC
abc
BC S R
S
= − ⇒ =
= ⇒ =
= = =
uuur
uuur
2
.
cos
.
sin 1 cos
AB AC
A
AB AC
A A
=
= −
uuur uuur

68,42781≈
1
4
Yêu cầu bài toán
3 0
5 0
a b
a b

+ − =

⇔

− + =


0,25200
1,98405
a
b
≈ −
≈
0,5
0,5
5 Tính góc B
Định lý sin:

.sin
sin
1

. .sin
2
.sin
ABC
a
AB B
AC
C
S AB AC A
h AB B
=
=
=
19,60970
3,92065
a
S
h
≈
≈
0,5
0,5
6
2
2
2
min
2011
2 3 2 2011
2 3

2 2008 0 1 2009
y x x
x x
y x x x
= + + + ≥
+ +
⇔ ⇔ + − = ⇔ = − ±
43,82186
45,82186
≈
≈ −
0,5
0,5
7
20
1
( ) 10
2
f x x
x

= −


=


Phương pháp lặp
1,11540x ≈
1

8
7
, 7 0
1
7
2 1 2
3 2 1
u x y
x y
v
x y
uv u u
u v v v
= +


− ≠

=

−

= = =
  
⇔ ∨
  
+ = = =
  
Giải tìm x,y
0,75

0,03571
1,5
0,07142
x
y
x
y
=


≈

=


≈

1
9
Gọi S
1
, S
2
, S
3
lần lượt là diện tích các tam giác
BMN,CNP, AMP.
Ta có:
ABN
ABC

S BN
S BC
=
Mà:
BC BN NC 1 k 1
1
BN BN k k
+ +
= = + =
Vậy:
ABN
k
S S
k 1
=
+
 Ta có:
NBM
NBA
S MB
S AB
=

Mà:
AB AM MB
1 k
MB MB
+
= = +
Vậy:

NBM ABN
1
S S
k 1
=
+
30,14465
1
N
P
M
A
B
C
 Nên:
NBM
2
k
S S
(k 1)
=
+
hay
1
2
k
S S
(k 1)
=
+

 Vì S
1
, S
2
, S
3
có vai trò như nhau nên:
S
1
= S
2
= S
3
2
k
S
(k 1)
=
+
 Diện tích tam giác MNP bằng:
MNP
S S= −
2
3k
S
(k 1)+
=
2
3k
1 S

(k 1)
 
−
 ÷
+
 
10
Đ k:
0x ≠
2 2
(x - y)(x + xy + y + 5) = 0
Trường hợp 1: (I)
3
x = 3x + 8y
x = y

⇔


3
x = 0
x - 11x = 0
x = ± 11
x = y
x = y






⇔ ⇔
 




.
Trường hợp 2: (I)
( )
2 2
3 3
x +xy+y +5=0
x +y =11 x+y


⇔




(hệ này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:
{ }
{ }
(x, y) = ( 11, 11); (- 11,- 11)

3,31662
3,31662
3,31662
3,31662

x
y
x
y
=


=

= −


= −

0,5
0,5
Ghi chú:
- Sai chữ số thập phân cuối cùng trừ 0,2 điểm
- Sai chữ số thập phân thứ tư về trước cho 0,0 điểm kết quả.Chấm hướng giải đúng hoặc
hướng giải tương đương 0,2 điểm
- Không nêu sơ lượt hướng giải hoặc hướng giải sai trừ 0,2 điểm