Tổng hợp Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Kiên Giang từ năm 2006 đến 2015(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS
TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2012-2013

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9

Câu Đá
p
án Điểm
Câu 1a
(1,25đ)
- Hàm số y = (m
2
– 2m)x + m
2
– 1 nghịch biến
⇔
m
2
– 2m < 0
⇔

m(m – 2) < 0
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
>
<
⎩
⎨
⎧
<
>
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧

>−
<
⎩
⎨
⎧
<−
>
)(
2
0
2
0
02
0
02
0
loai
m
m
m
m
m
m
m
m

⇔
0 < m < 2 (1)
- Cắt trục tung :
m

2
– 1 = 3
⇔
m =
2
±
(2)
Từ (1) và (2)
⇒ m
∈
∅


0,25


0,25

0,25

0,5
Câu 1b
(1,5đ)
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
M = 5x
2
+ y
2
+ z
2

- z – 4x – 2xy – 1
M = x
2
- 2xy + y
2
+ 4x
2
– 4x + 1 + z
2
- z +
4
9
4
1
−

= (x – y)
2
+ (2x – 1)
2
+
2
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

−z
–
4
9
≥ -
4
9

Giá trị nhỏ nhất của M =
4
9
−


⇔
2
1
0
2
1
012
0
===⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧

=−
=−
=−
zyx
z
x
yx







0,25

0,5

0,25


0,5
Câu 1c
(1,25đ)
Cho x + y = - 5 và x
2
+ y
2
= 11. Tính x
3

+ y
3

Ta có : x
3
+ y
3
= (x+y)(x
2
+ y
2
– xy) = -5(11 – xy) (1)
Mà x + y = -5
⇒
x
2
+ y
2
+2xy = 25

⇒
11 + 2xy = 25
⇒
xy = 7 (2)
Từ (1) và (2)
⇒
x
3
+ y
3

= -5(11- 7) = -20


0,25

0,5

0,5

Câu 2a
(2,0đ)
Rút gọn : A =
()
x
x
xxxx
xxxx
−
+
−++−
−+++
3
2
1.2:
923
965
22
22

ĐK : -3 < x < 3
A =
()()
()()
x
x
x
x
xxxxx
xxxxx
−
+
−
−
−+++−
−++++
3
2
3
3
2:
3.323
3.323

=
()
[
]
()
[]

x
x
xxxxx
xxxxx
−
+
+++−−
−++++
3
3
2:
.3233
3323

=
x
x
x
x
−
+
−
+
3
3
2:
3
3

=

2
1




0,25


0,5


0,5

0,5

0,25
Câu 2b
(2,0đ)
Cho a, b c thỏa mãn :
cbacba ++
=++
1111

Tính giá trị biểu thức Q = (a
27
+ b
27
)(b
41

+ c
41
)(c
2013
+
a
2013
)

Ta có :
cbacba
+
+
=++
1111

⇒
ccbaba
1111
−
+
+
=+
⇒
()
()
cbac
ba
ab
ba

++
+−
=
+

⇒
(a+b)c(a+b+c) = -ab(a+b)
⇒
(a+b)[c(a+b+c) +ab] = 0
⇒
(a+b)[c(a+c)+bc +ab] = 0
⇒
(a+b)[c(a+c) +b(a+c)] = 0
⇒
(a+b)(a+c)(b+c) = 0
⇒
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
−=
−=
⇒
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

=+
=+
=+
ac
cb
ba
ac
cb
ba
0
0
0

- Thế vào tính được Q = 0






0,25

0,25



0,5

0,25

0,75

Câu 3a
(2,0đ)

Giải phương trình :
31710
33
=−++ xx

()
3
3
33
31710 =−++ xx

x + 10 + 17 – x + 3.
3
)17)(10( xx −+
.3 = 27
(x+10)(17 – x) = 0
x = -10 , x = 17


0,5
0,5
0,5
0,5

Câu 3b

2,0đ



Giải hệ phương trình :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=
−
+
+
+
−
1923
2
32
5
5
32
yx
x
y
y
x

(với
5,
2
3
−>> yx )
Đặt
0
5
32
>=
+
−
m
y
x

⇒
m +
2
1
=
m
(
)
101012
2
2
=⇔=−⇔=+−⇔ mmmm
(nhận)


⇒
825321
5
32
=−⇔+=−⇔=
+
−
yxyx
y
x

Giải hệ
⎩
⎨
⎧

=
=
⇔
⎩
⎨
⎧
=+
=−
⇔
⎩
⎨
⎧
=+
=−
2
5
1923
1624
1923
82
y
x
yx
yx
yx
yx


0,5

0,5


0,5


0,5

Câu 4
(4,0đ)





Câu a
(1,0đ)



(1,25đ)

Câu b
(1,25đ)









a) Chứng minh : KD = CI và EF//AB.
– Cminh ABID, ABCK là hình bình hành
⇒
DI = CK (cùng bằng AB)
⇒
DI + IK = CK + IK
⇒
DK = CI

- C/m : ΔAEB đồng dạng Δ KED (g.g)
⇒
KD
AB
EK
AE
=

Δ AFB đồng dạng Δ CFI (g.g)
⇒

A
FAB
FC CI
=

Mà KD = CI (cmtrên)
⇒
AE AF
EF / /KC
EK FC
=⇒
(Đlí Talet đảo trong Δ AKC)

b) Chứng minh AB
2
= CD. EF.
Ta có : Δ KED đồng dạng ΔAEB (cmtrên)
⇒

EB
DE
AB
DK
=

⇒
EB
EBDE
A
B

ABDK
+
=
+


⇒
EB
DB
AB
KCDK
=
+


⇒
EB
DB
AB
DC
=
(1)
Do EF//DI (theo CMT: EF//KC, I
∈
KC)

Hình 0,5đ

0,5
0,25
0,25



0,5


0,25


0,5







0,5


0,25
⇒
DB DI DB AB
EB EF EB EF

=⇒ =
(2) (Vì DI = AB)
Từ (1) và (2)
⇒

EFDCAB
EF
AB
AB
DC
.
2
=⇒=




0,5



Câu 5
4,0đ

Câu a
(1,75đ)













Câu b
(075đ)






Câu c
(1,0đ)

a) Chứng minh MC + MB = MA ?
- Trên MA lấy D sao cho MD = MB
⇒
ΔMBD cân tại M
góc BMD = góc BCA = 60
0
(cùng chắn cung AB)
⇒
ΔMBD đều
- Xét ΔMBC và ΔDBA
Ta có :
MB = BD (vì ΔMBD đều)
BC = AB (vì ΔABC đều)
Góc MBC = góc DBA (cùng cộng góc DBC bằng 60
0)
⇒
ΔMBC = ΔDBA (c-g-c)

⇒ MC = DA
Mà MB = MD (gt)
⇒
MC + MB = MA

b) Xác định vị trí của điểm M để tổng MA + MB +
MC đạt giá trị lớn nhất.

Ta có : MA là dây cung của (O;R)
⇒
MA
≤
2R
⇒ MA + MB + MC
≤
4R (không đổi)
Dấu “ = “ xảy ra
⇔
MA là đường kính
⇔
M là điểm chính giữa của cung BC
c) CMR : MH + MK + MQ =
(
)
23 2'
3
SS
R
+

Ta có
MACMBCMAB
SSS
ACMQBCMKABMH
++=++
2
.
2

.
2
.

⇒
AB.(MH + MK + MQ ) = 2 (S + 2S’)
Tính hoặc nói AB là cạnh tam giác đều nội tiếp (O;R)

Hình 0,5đ









0,25


0,5





0,5

0,5




0,25

0,25
0,25



0,25

0,25
xO
A
D
C
B
M
H
Q
K
Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng cho trọn số điểm

⇒
AB = R
3

⇒
MH + MK + MQ =
(
)
R
SS
3
'232 +

0,25

0,25