Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh Thanh Hóa năm học 2010 - 2011 (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ

Đề chính thức

Số báo danh



KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011

Môn thi: Toán
Lớp: 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).

Câu I. (5,0 điểm).
1) Cho phương trình:
2
2210.xmxm−+−=
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm

12
,
x
x với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
12

22
12 12
23
2(1 )
xx
P
x
xxx
+
=
++ +
khi m thay đổi.
2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn
111
.
abc
+
=
Chứng minh rằng
222
A
abc=++
là số hữu tỉ.
(b). Cho ba số hữu tỉ
,,
x
yz
đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

222

111
()()()
B
x
yyzzx
=++
−−−
là số hữu tỉ.
Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình:
22
10
.
119
xx
xx
⎛⎞⎛⎞
+=
⎜⎟⎜⎟
−+
⎝⎠⎝⎠

2) Giải hệ phương trình:
2
2
3
23
11
14
1
4.

xx
yy
xx
x
yyy
⎧
⎛⎞
+
++=
⎪
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎨
⎪
+
++=
⎪
⎩

Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB,
sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.
Tính

.BPE

Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (OAB
∉
). P là điểm di động
trên đoạn thẳng AB (

,PAB≠ và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm
P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường
tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (
NP
≠
).
1) Chứng minh rằng


ANP BNP= và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.
Câu V. (4,0 điểm).
1)
Cho
12 45
, , ,aa a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn
12 45
130.aa a
<
<< ≤ Đặt
1
, ( 1,2, ,44).
jj j
da a j
+
=− = Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu
j
d xuất hiện ít
nhất 10 lần.
2)

Cho ba số dương ,,abcthoả mãn:
22 22 22
2011.ab bc ca++ ++ +=
Chứng minh rằng:
222
1 2011
.
22
abc
bc ca ab
++≥
++ +

HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
.



SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC


(Gồm có 3 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN
LỚP: 9 THCS

Ngày thi: 24 - 3 - 2011

Câu Ý
Hướng dẫn chấm
Điểm
Ta có
2
'( 1) 0,mmΔ= − ≥ ∀
nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.
0,5
Theo định lí viet, ta có
12 12
2, 2 1xx mxx m
+
==−
, suy ra
2
41
42
m
P
m
+
=
+

1,0
1)
2,5đ
2

2
(2 1)
11.1,
42
m
Max P
m
−
=− ≤ =
+
khi
1
.
2
m
=

1,0
Từ giả thiết suy ra 2220ab bc ca
−
−=
0,5
2a)
1,5đ

Suy ra
2
()Aabcabc=+−=+−
là số hữu tỉ
1,0

Đặt
111
,,abc
x
yyzxz
===
−−−
suy ra
111
.
abc
+
=
0,5
Câu I
6 đ
2b)
1,0đ
Áp dụng câu 2a) suy ra
222
111
()()()
B
x
yyzzx
=++
−−−
là số hữu tỉ.
0,5
Đk: 1.

x
≠± Phương trình tương đương với
2
2
222
222
10 2 2 10
20.
11 19 1 19
xx x x x
xx x x x
⎛⎞
⎛⎞
+− =⇔ −−=
⎜⎟
⎜⎟
+− − − −
⎝⎠
⎝⎠

1,0
Đặt
2
2
2
,
1
x
t
x

=
−
ta được phương trình
2
10 5
0
93
tt t
−
−=⇔= hoặc
2
3
t
−
=
0,5
Với
5
,
3
t = ta được
2
2
25
13
x
x
=
−
(vô nghiệm)

0,5
1)
2,5đ

Với
2
,
3
t =−
ta được
2
2
22
13
x
x
=
−
−
suy ra
1
.
2
x
=
±

0,5
Đk:
0.y ≠

Hệ tương đương với
2
2
3
3
11
4
11
4.
xx
yy
x
xx
yy y
⎧
+++=
⎪
⎪
⎨
⎛⎞
⎪
+
++=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩

0,5
Câu II

6 đ
2)
2,5đ


Đặt
1
,
ux
y
x
v
y
⎧
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
ta được hệ
22
32
24 440 2
1.
24 42
uuv u u u
v

uuv uu v
⎧⎧
+
−= −+= =
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨⎨
=
−= +−=
⎪⎪
⎩
⎩⎩


1,0


Với
2
1,
u
v
=
⎧
⎨
=
⎩
ta được
1

2
1
1.
1
x
x
y
xy
y
⎧
+=
⎪
=
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
=
⎩
⎪
=
⎪
⎩
(thoả mãn điều kiện)
1,0
Kẻ EF AC⊥ tại F,
D
GBC
⊥
tại G.

Theo giả thiết
()()
A
DPE BPC
SS
=


() ()
.
ACE BCD
SS⇒=

0,5
Mà
A
CBC EFDG=⇒=
và


AC
=

Suy ra
.
A
EF CDG AE CGΔ=Δ ⇒=

0,5
Do đó



()AEC CDB c g c DBC ECAΔ=Δ −−⇒ =

0,5
Câu
III
2đ






0
60BPE PBC PCB PCD PCB⇒=+=+=

0,5
1,0


Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến
chung của (O) với (C), (D) tại A, B
tương ứng.
Suy ra



.ANP QAP QBP BNP===
Ta có




ANB ANP BNP QAP QBP=+=+

0
180 AQB=− , suy ra NAQB nội tiếp (1).
Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B
cùng nằm trên một đường tròn.


0,5




0,5

Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên
một đường tròn.
0,5

1)
3,0đ

Ta có




22OCN OAN OBN ODN===
,
suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm
trên một đường tròn.











0,5
Câu
IV
4,0đ




2)
1,0đ
Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua
các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố
định.
1,0

1 2 44 2 1 3 2 45 44 45 1
( ) ( ) ( ) 130 1 129.dd d aa aa a a a a+++ = − + − ++ − = −≤ −= (1)
0,5
1)
2,0
đ
Nếu mỗi hiệu
( 1,2, ,44)
j
dj
=
xuất hiện không quá 10 lần thì
12 44
9(1 2 3 4) 8.5 130dd d+++ ≥ ++++ = mâu thuẫn với (1).
Vậy phải có ít nhất một hiêụ ( 1, ,44)
j
dj
=
xuất hiện không ít hơn 10 lần


1,5
Câu V
2đ
2)
2,0đ
Ta có
22 2
2( ) ( )ab ab+≥+.
0,5

A
O
N
C
D
B
P
Q
E
H




GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.










Suy ra
()()()
222 2 2 2
22 22 2 2
222

abc a b c
bc ca ab
bc ca ca
++≥ + +
++ +
+++

Đặt
22 2 2 22
,,,
x
bcy caz ab=+ =+ =+

suy ra
222 22 2 2 22
22 22 22
yzx zxy xyz
VT
x
yz
+− +− +−
≥++

22 2
1( ) () ( )
22 2
22
yz zx xy
x
yz

xyz
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++
≥−+−+−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦



1,0





22 2
1( ) () ( )
23 23 23
22 2
22
yz zx xy
x
xyyzz
xy z
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
++ +

≥+−++−++−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦

()()()
1
2( ) 3 2( ) 3 2( 3
22
yz x zx y xy z≥+−++−++−
⎡⎤
⎣⎦

Suy ra
1 1 2011
()
22
22
VT x y z≥++=


0,5