Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 8

Câu I: (2 điểm).
1.Giải phương trình:
3 3
(1 tanx)cos x (1 cotx)sin x 2sin2x.+ + + =
2. Tìm các nghiệm trong khoảng
( )
;−π π
của phương trình:

2
2sin 3x 1 8sin 2xcos 2x.
4
π
 
+ = +
 ÷
 
Câu II: (3 điểm).
1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn
và 3 số lẻ ?
2. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn
5 k 2011.≤ ≤
Chứng minh rằng:
0 k 1 k 1 5 k 5 k
5 2011 5 2011 5 2011 2016
C .C C .C C .C C
− −
+ + + =
.
3.Cho dãy số (u
n

) xác định bởi :
1
1
11
10 1 9
n n
u
u u n, n N.
+
=


= + − ∀ ∈

Tìm công thức tính u
n
theo n.
Câu III: (2 điểm).
1. Cho P
n
=





















++
−−−
2)1)(n(n
2
1
3.4
2
1
2.3
2
1
Gọi U
n
là số hạng tổng quát của P
n
. Tìm
Un
n
lim

+∞→
2. Tìm giới hạn:
2
3
x 0
(x 2012) 1 2x 2012 4x 1
lim
x
→
+ − − +
Câu IV: ( 3 điểm).
1. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là
điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và
BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q. Tìm vị trí của M và điều kiện của a,
b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường
hợp đó.
2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Xác định điểm M bên trong tam giác
sao cho
MA + MB + MC nhỏ nhất.


Hết
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu Nội dung Điểm
I 2.0
1. (1.0 ). K:
sin xcosx 0.>
Khi ú pt tr thnh:

sinx cosx 2 sin xcosx+ =
. (1)
0.25

K:
sinx cosx 0+ >
dn ti

sinx 0;cosx 0.> >

0.25
Khi ú:

(1) sin2x 1 x k .
4

= = +

0.25
KL nghim :

x 2m .
4

= +

0.25
2. (1.0 ).K:
sin 3x 0.

4


+
ữ

(1)
0,25
Khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi pt:

1
sin 2x
2
=


x k ;
12

= +

5
x k
12

= +

0.25
Trong khong
( )

;
ta nhn cỏc giỏ tr :

x
12

=
;
11
x ;
12

=

5
x
12

=
;
7
x .
12

=

0.25
Kt hp vi k (1) ta nhn c hai giỏ tr tha món l:

x
12

=
;
7
x .
12

=

0,25
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
Môn: toán 11 THPT

II 3.0
1. (1.0 đ).
TH1: Trong 3 số chẵn đó có mặt số 0.
Số các số tìm được là
2 3
4 5
5.C .C .5! 36000=
(số).

0.5
TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0.
Số các số tìm được là
3 3

4 5
C .C .6! 28800=
(số).
0.25
Đ/ số
36000 28800 64800+ =
số.
0.25
2. (1.0 đ) Dễ thấy
( ) ( ) ( )
5 2011 2016
1 x 1 x 1 x+ + = +
; và

( )
5
0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5
M 1 x C C x C x C x C x C x= + = + + + + +


( )
2011
0 1 1 k k 2011 2011
2011 2011 2011 2011
N 1 x C C x C x C x .= + = + + + + +


( )
2016

0 1 k k 2016 2016
2016 2016 2016 2016
P 1 x C C x C x C x .= + = + + + + +

0.25
0.25
Ta có hệ số của
k
x
trong P là
k
2016
C
.
Vì
P M.N=
, mà số hạng chứa
k
x
trong M.N là :
0 k k 1 k 1 k 1 2 2 k 2 k 2 3 3 k 3 k 3 4 4 k 4 k 4 5 5 k 5 k 5
5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011
C .C x C xC x C x C x C x C x C x C x C x C x
− − − − − − − − − −
+ + + + +

0.25
nên

0 k 1 k 1 5 k 5 k

5 2011 5 2011 5 2011 2016
C .C C .C C .C C
− −
+ + + =
0.25
3. (1 điểm)
Ta có:

1
2
3
11 10 1
10 11 1 9 102 100 2
10 102 1 9 2 1003 1000 3
u
u .
u . .
= = +
= + − = = +
= + − = = +
0.25
Dự đoán: u
n
= 10
n
+ n (1)
0.25
Chứng minh:
Ta có: u
1

= 11 = 10
1
+ 1 , công thức (1) đúng với n=1
Giả sử công thức (1) đúng với n=k ta có : u
k
= 10
k
+ k
0.25
Ta có: u
k + 1
= 10(10
k
+ k) + 1 - 9k = 10
k+1
+ (k + 1). Công thức(1)
đúng với n=k+1
Vậy u
n
= 10
n
+ n,
∀ ∈
n N.
0.25
III
2.0
1. (1 đ)
Ta có:
2)1)(k(k

3)k(k
2)1)(k(k
2
1
++
+
=
++
−

0.25
Cho k=1,2,3,…,n ta được

1.4.2.5.3.6 n(n 3)

2.3.3.4.4.5 (n+2)(n 1)
n
S
+
=
+
0.25
⇒ U
n
=
(n 3)
3(n 1)
+
+
0.25

⇒
Un
n
lim
+∞→
=
(n 3) 1
lim
n
3(n 1) 3
+
=
→+∞
+
0.25
2.(1 điểm)
Ta có
3
3
x 0
1 2x 1 4x 1 1
L Lim x 1 2x 2012 2012
x x
→
 
− − + −
= − + −
 ÷
 
.

0.25
3
x 0
Limx 1 2x 0
→
− =
.
3
2 2
3 3
x 0 x 0 x 0
3 3
1 2x 1 2x 2 2`
Lim Lim Lim
x 3
x( (1 2x) 1 2x 1) ( (1 2x) 1 2x 1)
→ → →
− − − −
= = = −
− + − + − + − +

x 0 x 0 x 0
4x 1 1 4x 4
Lim Lim Lim 2
x
x( 4x 1 1) 4x 1 1
→ → →
+ −
= = =
+ + + +

0.5
Vậy
2 16096
L 0 2012 2012.2
3 3
− −
= + − =
0.25
IV 3.0
1.(2 đ)
+) Chứng minh được MNPQ là hình bình hành.
0.5
+) MNPQ là hình vuông
=

⇔

=

MN NP
MP NQ

⇔
M là trung điểm của
AB và a = c.
1.0
+) Lúc đó S
MNPQ
=
2

1
4
b
.
0.5
2.(1 đ) Dùng phép quay quanh A với góc quay 60
0
biến M thành
M’; C thành C’
0.25
Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’
MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng.
0.5

Khi đó góc BMA=120
0
, góc AMC=120
0
Ta được vị trí của M trong tam giác ABC.

0.25
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa