Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 9

Kè THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 11
Mụn thi: Toỏn
Thi gian: 180 phỳt (Khụng k thi gian giao )
( thi gm 01 trang v cú 5 cõu)
Cõu I. Gii h phng trỡnh, h phng trỡnh.
1)
( )
( ) ( )
3 1 4 2 1 1 3
2 4 6 3
x x y y
x y x y x y

+ + = +


+ + =


2)
sin3 cos3 2 2cos 1 0
4
x x x

+ + + =
ữ


Cõu II.
)
32

(lim
3
2
x
x
x
x
x
x
+

+

Cõu 3. Cho 10 thí sinh ngồi quanh một bàn tròn. Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau,
mỗi loại đề có nhiều đề khác nhau. Một cách phát đề gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh nhận đợc
một loại đề và hai thí sinh ngồi cạnh nhau không nhận đợc cùng một loại đề. Hỏi có bao nhiêu
cách phát đề hợp lệ ?
Cõu IV.
Cho hỡnh chúp S.ABC cú
4
1
)cos(;45
===
BSCASCASB

; SB=SC=
2
SA, SA=a.
K l trung im ca BC; M l im nm trờn on thng AK. t AM=x.
1. Chng minh: SA

(ABC)
2. Mt phng (a) qua M v vuụng gúc vi AK. Tỡm x thit din ca hỡnh chúp S.ABC ct
bi mp(a) cú din tớch ln nht .
Cõu V.
Cho
, , 0a b c >
. Chng minh:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ +
+ + + + + +
Ht:
HNG DN
Câu I. Giải hệ phương trình, hệ phương trình.
1)
( )
( ) ( )
3 1 4 2 1 1 3
2 4 6 3
x x y y
x y x y x y

− + + = − +



+ − + = − −


( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 1 4 2 1 1 3 1
2 4 6 3 2
x x y y
x y x y x y

− + + = − +


+ − + = − −


Điều kiện:
1
; 1
3
x y≥ ≥
( ) ( )
2
2 2
(2) 3 2 6 4 0; 3 5y x y x x x⇔ − + + + + + = ∆ = +
Vậy ta có:
1 0
2 4 0
y x
x y

+ + =


− + =

1 0y x+ + =
vô nghiệm vì
1
; 1
3
x y≥ ≥
2 4 0 2 4x y y x− + = ⇔ = +
, thay vào (1) ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 1 4 2 1 2 3 3 2 4
2 3 1 3 1 2 2 3 2 3 *
x x x x
x x x x
− + + = + + +
⇔ − + − = + + +
( )
* 3 1 2 3 4 12x x x y⇔ − = + ⇔ = ⇒ =
Kết luận:
( ) ( )
, 4;12x y =
2)
sin3 cos3 2 2cos 1 0
4
x x x

 
+ − + + =
 ÷
 
π
( )
sin3 cos3 2 2cos 1 0
4
sin3 cos3 2 cos sin 1 0
x x x
x x x x
 
+ − + + =
 ÷
 
⇔ + − − + =
π
( )
( )
( ) ( )
sin3 sin cos3 cos cos sin 1 0
2sin2 cos 2sin2 sin cos sin 1 0
2sin2 cos sin cos sin 1 0
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
⇔ + + − − − + =
⇔ − − − + =
⇔ − − − + =
Đặt:

cos -sin 2 cos ; 2; 2
4
t x x x t
 
 
= = + ∈ −
 ÷
 
 
π
Ta có:
2 3
2(1 ) 1 0 2 1 0 1t t t t t t− − + = ⇔ − + + = ⇔ =
Câu II.
)
32
(lim
3
2
x
x
x
x
x
x
+
−
+
∞→
t

y
x
1
=
khi
x
thỡ
0y








++

++
=
++
=

2
3
2
0
2
3
0

)1(31)1(21
lim
3121
lim
y
yy
y
yy
y
yy
I
yy
2
1
1
2
1
)31(31)1()1(
3
211
1
lim
))1(31)1()31((
)3(
)1(21
lim
3
2
3
2

0
2
3
3
22
2
2
2
0
=+=








++++++
+
+
+++
=

++++++
+
+
+++

=


yyyy
y
yy
yyyyy
yy
yyy
y
y
y
Vy
2
1
=I
Cõu 3. Cho 10 thí sinh ngồi quanh một bàn tròn. Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau,
mỗi loại đề có nhiều đề khác nhau. Một cách phát đề gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh nhận đợc
một loại đề và hai thí sinh ngồi cạnh nhau không nhận đợc cùng một loại đề. Hỏi có bao nhiêu
cách phát đề hợp lệ ?
Lời giải
Gọi
n
s

là số cách phát đề hợp lệ cho
n
thí sinh
n
a a a
1 2
, , ,
.
Ta viết
i j
a a i j( )=
nếu
i
a
và
j
a
cùng nhận đợc một loại đề và
i j
a a
trong trờng hợp ng-
ợc lại.
Xét một cách phát đề hợp lệ cho
n( 1)+
thí sinh
n n
a a a a
1 2 1
, , , ,
+

.
- Nếu
n
a a
1

thì bỏ đi thí sinh
n
a
1+
ta đợc một cách phát đề hợp lệ cho
n
thí sinh
n
a a a
1 2
, , ,
. Khi đó có 10-2=8 cách phát đề cho thí sinh
n
a
1+
(khác với 2 đề của
n
a a
1,
).
- Nếu
n
a a
1

=
thì bỏ đi hai thí sinh
n n
a a
1
,
+
ta đợc một cách phát đề hợp lệ cho
n( 1)
thí
sinh
n
a a a
1 2 1
, , ,

. Khi đó có 10-1=9 cách phát đề hợp lệ cho
n n
a a
1
,
+
(cụ thể
n
a a
1
=
, còn
n
a

1+
phát 1 trong 9 đề khác
a
1
).
Nh vậy ta có hệ thức sau
n n n
s s n
1 1
8 9 , 2
+
= +
.
Mặt khác, dễ tính đợc :
s s
2 3
10.9 90, 1 0.9.8 720= = = =
.
Do đó tính đợc
s
10
3486784410=
.
Cõu IV.
Cho hỡnh chúp S.ABC cú
4
1
)cos(;45
===
BSCASCASB

; SB=SC=
2
SA. SA=a.
K l trung im ca BC; M l im nm trờn on thng AK. t AM=x.
1. Chng minh: SA

(ABC)
2. Mt phng (a) qua M v vuụng gúc vi AK. Tỡm x thit din ca hỡnh chúp
S.ABC cắt bởi mp(a) có diện tích lớn nhất .
1. CM: AB=AC= a ( sử dụng định lí cosin trong tam giác);
∆
SAB =
∆
SAC(c-g-c) ; vuông cân
tại A:

)(ABCSA
ACSA
ABSA
⊥⇒



⊥
⊥
2.BC
⊥
AK; SA
⊥

AKTrong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đt song song BC cắt AB; AC tại P,
QTong mặt phẳng (SAK) qua M kẻ đt song song với SA cắt SK tại N . Từ N kẻ đt song song
với BC cắt SB; SC tại F; E thiết diện là hình chữ nhật PQEF :
PFPQS
td
.=
Ta có : BC=a
3
; AK= a/ 2
Tính được
)2(;32 xaPFxPQ −==
44
3
2
)22
(3)2(32
2
2
a
xMaxSa
xax
xaxS
tdtd
=⇔⇒=
−+
≤−=
M trung điểm AK
Câu V.
Cho
, , 0a b c >

. Chứng minh:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ + ≥
+ + + + + +
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3 4 4 4
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
a b c a b c

a ab b b bc c c ca a
a a ab b b b bc c c c ca a
a b c
a b c a b ab b c bc c a ca
a b c a b c a b c
a b c
a b c
a b c a b c
a b c
+ + = + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ +
≥
+ + + + + + + +
+ + + + + +
+ +
= = ≥
+ +
+ + + +
+ +
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
1 1 1
a b c a b c
a b c

a b c
+ + + +
+ +
≥ =
+ + + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c= =