Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 10

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11
Môn thi: Toán
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu I. Giải phương trình:
1xcos
12
xsin22 =






π
−
(1)
Câu II. Cho dãy {u
n
} xác định bởi:
1
*
2
1
2
2012
2013
n n
n
u
n N
u u

u
+
=


∈

+
=


Thành lập dãy: {S
n
} xác định bởi:
1
1
1
n
i
n
i
i
u
S
u
=
+
=
−
∑

. Tìm
lim
n
n
S
→∞
Câu III. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 1 1 1
a b c
P
b c c a b a
= + +
+ + + + + +
.
Câu IV.
1)Cho hình chop
.S ABCD
đáy là hình thang, đáy lớn AB. Trên SA, BD lấy hai điểm M, N
sao cho
2
3
SM SA=
,
2
3
DN DB=
. Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC lần

lượt tại H, K.
a) Chứng minh rằng:
( )
/ /MH SBD

b) Gọi O là giao điểm của SB với
( )
MNH
. Chứng minh:
/ /OK SC
2) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các
cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt
,AM x=
AN y=
. Tìm
,x y
để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
Câu V.
1)Nếu một số được chọn ngẫu nhiên từ một tập hợp gồm 5 chữ số trong đó tổng các chữ số
bằng 43. Tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 11.
2) Tìm tất cả các số nguyên dương
n
sao cho phần nguyên của
3 2
8 1
3
n n
n
+ +
là một số

nguyên tố.
HƯỚNG DẪN
Câu I. Giải phương trình:
1xcos
12
xsin22 =






π
−
(1)
(1)
1
12
sin
12
x2sin2 =






π
−







π
−⇔
1
sin 2x sin
12 12
2
π π
 
⇔ − − =
 ÷
 
12
cos
6
sin2
12
sin
4
sin
12
x2sin
ππ
=
π
+

π
=






π
−⇔
12
5
sin
12
cos
12
x2sin
π
=
π
=






π
−⇔
( )

5 7
2x k2 hay2x k2 k Z
12 12 12 12
π π π π
⇔ − = + π − = + π ∈

( )
x k hay x k k Z
4 3
π π
⇔ = + π = + π ∈
Câu II. Cho dãy {u
n
} xác định bởi:
1
*
2
1
2
2012
2013
n n
n
u
n N
u u
u
+
=



∈

+
=


Thành lập dãy: {S
n
} xác định bởi:
1
1
1
n
i
n
i
i
u
S
u
=
+
=
−
∑
. Tìm
lim
n
n

S
→∞
Giải:
Tacó:

( )
2 2
1
*
1 1 2 1
2012 2013
2013 2013
1
(*) ;
2013
2
n n n n n
n
n n
n
n n
u u u u u
u
u u
u n N
u u u u u
+
+
+ + −
= =

−
= + ∈
= ⇒ < < < < <
Suy ra u
n
là dãy tăng
Giả sử u
n
bị chặn trên lúc đó tồn tại số L sao cho
lim ( 2)
n
n
u L L
→∞
= >
. Từ (*) ta có :

1
( 1)
lim( ) lim lim
2013
n n
n n
n n n
u u
u u
+
→∞ →∞ →∞
−
= +

1
( 1)
0
2013
L
L L
L L
L
=

−
⇒ = + ⇒

=

(vô lý)
⇒ u
n
không bị chặn trên. Suy ra
1
lim lim 0
n
n n
n
u
u
→∞ →∞
= +∞ ⇒ =
Mặt khác :

( ) ( )
2
1
1 1
1
1 1
2012 ( 1)
2013 2013
( 1) 2013( ) 2013 1 1
1
1 1
2013 1 2013
1 1 1 1
n n n n
n n
n n n n n n
n n
n
n n n n
u u u u
u u
u u u u u u
u u
u
u u u u
+
+ +
+
+ +
+ −

= = +
 
⇒ − = − = − − −
 
   
−
⇒ = − ⇒ = −
 ÷  ÷
− − − −
   

1
2 1 2 2
1 1 1
1 2013 2013 1
1 1 1 1
u
Cho n
u u u u
   
= ⇒ = − = −
 ÷  ÷
− − − −
   
Tương tự
2
3 2 3
1 1
1 1
2013

1 1 1
1 1
2013
1 1 1
n
n n n
u
u u u
u
u u u
+ +
 
= −
 ÷
− − −
 
 
= −
 ÷
− − −
 
M
M
Cộng vế theo vế ta được :
1
1 1
1
2013 1
1 1
n

i
n
i
i n
u
S
u u
=
+ +
 
= = −
 ÷
− −
 
∑
⇒
1
1
lim lim 2013 1 2013
1
n
n n
n
S
u
→∞ →∞
+
 
= − =
 ÷

−
 
Câu III. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 1 1 1
a b c
P
b c c a b a
= + +
+ + + + + +
.
HD:
Áp dụng BĐT cauchy ta có:
( ) ( )
3
1 1 3
1 1 8 8 4
a b c a
b c
+ +
+ + ≥
+ +
Câu IV.
1)Cho hình chop
.S ABCD
đáy là hình thang, đáy lớn AB. Trên SA, BD lấy hai điểm M, N
sao cho
2

3
SM SA=
,
2
3
DN DB=
. Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC lần
lượt tại H, K.
a) Chứng minh rằng:
( )
/ /MH SBD

b) Gọi O là giao điểm của SB với
( )
MNH
. Chứng minh:
/ /OK SC
a) Chứng minh:
( )
/ /MH SBD
Chỉ ra được
2
3
DA SM
DA SA
= =
Suy ra
( )
/ / (SBD) MH//MH SD SBD⊂ ⇒
b) Chứng minh:

/ /OK SC
Chỉ ra được:
( )
/ /MO SB O SB∈
1 1
;
3 3
BO AM BK BN
SB SA BC BD
⇒ = = = =
/ / .
BO BK
OK SC
SB BC
⇒ = ⇒
2) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc
các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt
,AM x=
AN y=
. Tìm
,x y
để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
Kẻ DH
⊥
MN , do (DMN)
⊥
(ABC) suy ra DH
⊥
(ABC).
Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC.

Ta có: S
AMN
=
2
1
.AM.AN.sin60
0
=
xy
4
3
; S
AMN
= S
AMH
+ S
ANH

=
2
1
.AM.AH.sin30
0
+
2
1
.AN.AH.sin30
0
=
3

3
.
4
1
(x+y).
Suy ra
xy
4
3
=
3
3
.
4
1
(x+y)
⇒
x+y= 3xy (0
≤
x,y
≤
1 ).
Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN:
S = S
AMD
+ S
AND
+ S
DMN
+ S

AMN
=
2
1
AD.AM.sin60
0
+
2
1
AD.AN.sin60
0
+
2
1
DH.MN +
2
1
AM.AN.sin60
0.
=
3
xy +
)1xy3(xy3
6
6
−
.
Từ
2 4
3 2 .

3 9
xy x y xy xy xy= + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
Suy ra
3(4 2)
min ,
9
S
+
=
khi
2
.
3
x y= =
Câu V.
1)Nếu một số được chọn ngẫu nhiên từ một tập hợp gồm 5 chữ số trong đó tổng các chữ số
bằng 43. Tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 11.
Trong cơ số 10, chữ số lớn nhất là 9 nên tổng d
1
+ d
2
+ d
3
+ d
4
+ d
5
của 5 chữ số lớn nhất bằng
45. Nhưng theo giả thiết, tổng của các chữ số trong số được chọn là 43 = 45 – 2 nên có thể xảy
ra các trường hợp sau:

- Một chữ số là 7, tất cả các chữ số còn lại đều bằng 9 là 79999 ; 97999 ; 99799 ; 99997 :
có 5 số như vậy.
- - Hai chữ số đều là 8, ba chữ số còn lại đều là 9. có tất cả
5.4
10
2
=
số như vậy. Chẳng
hạn: 88999 ; 89899 ; . . . ; 99988
- Vậy tất cả có 15 số trong đó mỗi số có 5 chữ số có tổng bằng 43.
để số được chọn chia hết cho 11 thì cần và đủ là:
- d
1
- d
2
+ d
3
- d
4
+ d
5
chia hết cho 11
-
Chỉ có 3 số trong 15 số nói trên thoả mãn điều kiện đó:
97999 ; 99979 và 98989. Nên xác xuất cần tìm là
3 1
15 5
=
2) Tìm tất cả các số nguyên dương
n

sao cho phần nguyên của
3 2
8 1
3
n n
n
+ +
là một số
nguyên tố.
Gọi S là tập hợp các số nguyên tố
Trường hợp 1:
3n k=
[ ]
( )
2
2
2
8 1 1
3 8
3 3 3 9
3 8 3 8
n n
A k k
n k
A k k k k
= + + = + +
= + = +
[ ]
1 3A S k n∈ ⇔ = ⇔ =
Trường hợp 2:

3 1n k= +
[ ]
( ) ( )
[ ]
2
2 2
2
8 1 1 8 1 1
3 2 8 3 10 3
3 3 3 3 3 3 3
3 10 3 3 3 1
0 1
n n
A k k k k k
n n n
A k k k k
A S k n
= + + = + + + + + = + + +
= + + = + +
∈ ⇔ = ⇔ =
Trường hợp 3:
( )
3 2 1n k n= + >
[ ]
2 2
2 2
4 16 1 2 1
3 4 8 3 12 6
3 3 3 3 3
3 12 6 3 4 2

A k k k k k
n n
A k k k k S
= + + + + + = + + + +
 
= + + = + + ∉
 
Kết luận:
[ ]
{ }
1;3A S n∈ ⇔ ∈