Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 16

Bài 1 (2 điểm).
1. Giải phương trình: a)
2 2
2 2sin 2
tan cot 2
x
x x
+
= +
+
.
2. Giải phương trình:
( ) ( )
2 2
25 9
2sin 2cos tan
4 2
0
2 cos 1 2 sin 1
x x x
x x
π π
   
− − + +
 ÷  ÷
   
=
+ +
Bài 2 (3 điểm).
1. Cho dãy số
( )

n
u
xác định bởi
( )
1
*
1
4
1
4 4 1 2
9
n n n
u
u u u n N
+
=



= + + + ∀ ∈


.
Tìm công thức số hạng tổng quát
n
u
của dãy số.
2. Cho n là số tự nhiên,
2.n ≥
Chứng minh đẳng thức sau:

( ) ( )
2 2
2 0 1 2 2 2 2 1 2
1 2 2 1 ( 1)2 .
n n n
n n n n n
n C n C n C C C n n
− − −
+ − + − + + + = +

3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và
hai chữ số lẻ.
Bài 3 (2 điểm).
1. Cho dãy số
k
{x }
xác định bởi:
k
1 2 k
x
2! 3! (k 1)!
= + + +
+
Tính :
1 2 3 2012
lim
n n n n
n
x x x x+ + + +

2. Cho hàm số :

2
3
1 sin 1
0
( )
0 0.
víi
víi
x x
x
f x
x
x

+ −

≠
=


=


Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Bài 4 (3 điểm).
Cho tam giác đều ABC
1. M là một điểm nằm trong tam giác sao cho

2 2 2
MA MB MC= +
. Hãy tính góc
·
BMC
2. Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh
AC và SB . Trên đường thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI
Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1.
Hết

Họ và tên : Số báo danh :
K× thi chän häc sinh giái tØnh líp 11
Môn thi: to¸N THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài Lời giải Điểm
Bài 1
1.(1 đ)
Điều kiện :
( )
cos 0
sin 2 0 1
tan cot 2 0
x
x
x x
≠


≠



+ >

Ta có :
2
2sin cos2 1
tan cot 2
sin 2 sin 2
x x
x x
x x
+
+ = =
Do đó phương trình đã cho tương đương với :

( )
2 2 sin 2 2 sin2x x+ = +

( ) ( )
sin 2 1 . 2 sin 2 2 0x x⇔ − − =

sin 2 1
2
sin 2
2
x
x

=


⇔

=



sin 2 1
1
sin 2
2
x
x
=


⇔

=

( Thỏa điều kiện (1) )
Giải các phương trình trên ta được :

( )
5
; ;
4 12 12
x k x k x k k Z
π π π
π π π
= + = + = + ∈

2. (1 đ)
ĐK:
( )
1 1 2 3
2 3
cos 0
2
2 3
cos 2 ; ; ;
2 4
5
2
2 ; 2
sin
4 4
2
x l
x
x x l l l l l Z
x l x l
x

π

≠ + π

≠




− π
 
≠ ⇔ ≠ ± + π ∈
 
 
π π
 
≠ − + π ≠ + π
≠ −
 


( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
2sin 6 2cos 4 tan 0
4 2
sin
1 cos 2 2sin tan 1 sin 2 2sin
2 cos
2sin cos sin
1 sin 2 tan sin 2 1 1 sin 2 1 tan 0
cos
pt x x x
x
x x x x x
x
x x x
x x x x x

x
π π
   
⇔ − π− − + π + + =
 ÷  ÷
   
π
 
⇔ − − = − ⇔ − = −
 ÷
 
−
⇔ − = = − ⇔ − + =
( )
sin 2 1
4
tan 1
4
x k
x
x
x k loai
π

= + π

=

⇔ ⇔



= − π


= − + π


So với điều kiện
( )
2
4
x m m Z
π
= + π ∈
là nghiệm phương trình đã cho.

0.25đ
0.25đ

0.25 đ

0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.