Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 29

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN THI: TOÁN - Bảng: B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (6 điểm).
a) Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x.
b) Giải hệ phương trình:
( )
2 4 5
,
1
x y x y
x y
x y

+ + + =

∈

− =


¡
.
Câu 2 (5 điểm).
a) Một tổ học sinh gồm 5 bạn nam và 7 ban nữ. Chọn trong tổ đã cho 3 ban học
sinh. Tính xác suất để 3 bạn được chọ có cả nam và nữ.
b) Cho cấp số công (u

n
), n là số nguyên dương thoã mãn: u
2013
= 2013;
u
2014
= 2014.
Tính tổng:
1 2 2 3 2013 2014
1 1 1
S
u u u u u u
= + + +
.
Câu 3 (4 điểm). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.
Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của đoạn
AB, H là hình chiếu vuong góc của C lên SB.
a) Chứng minh đường thẳng SB vuông góc với mp(HCM).
b) Biết góc tạo bởi đường thẳng AB và mp(HMC) bằng 30
0
. Tính diện tích tam
giác HMC.
Câu 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1; 3).
Biết M(4; 6) thuộc cạnh BC và N
17 9
;
2 2
 
 ÷
 

thuộc đường thẳng DC. Tính diện tích hình
vuông ABCD.
Câu 5 (2 điểm). Cho x, y, z là các số thực không âm thoã mãn x
3
+ y
3
+ z
3
= 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3(xy + yz + zx) - xyz
HẾT
Họ và tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: ……………