Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 31




MÔN TON- KHI 11-VÒNG 2
Năm học 2013-2014
Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian giao đề)
 !"2,5 điểm). Giải hệ phương trình :
( )
( )
( )

= +


= + +


= + + +


2 2
3 4 2
4 6 4 2
2 1
3 1
4 1
x y x
y z y y
z x z z z
 #(2,0 điểm). Cho tam giác
ABC

vuông cân tại
B
, cạnh
2AB
=
. Trong mặt phẳng
chứa tam giác
ABC
lấy điểm
M
thỏa mãn
2 2 2
MA MB MC+ =
. Tìm quỹ tích của điểm M.
 $(2,5 điểm). Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
 %(3,0 điểm). Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi
1
1u =
và
2
1

3 2
n n
u u
+
= +
*
, n N∀ ∈
.
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số
( )
n
u
.
b) Tính tổng
2 2 2 2
1 2 3 2015
S u u u u= + + + +
.
HẾT
Họ và tên học sinh:………………………………… SBD:………………………
&'()*+!!,-#
 .
/012
3'456 012
Câu
1(2,5đ)
Nếu x=0 thì (1) => y=0, (2)=> z=0. Thay vào (3) thỏa mãn. 78
Nếu x≠0 thì (1)=> y>0, (2)=> z>0, (3)=> x>0.
7#8
Ta có 2x

2
= y(1 + x
2
) ≥ 2xy (BĐT cosi)⇔ x ≥ y
3y
3
= z(y
4
+ y
2
+1) ≥ z.3y
2
⇔ y ≥ z (vì y
4
+ y
2
+ 1 ≥ 3y
2
)
4z
4
= x(z
6

+ z
4
+ z
2
+1) ≥ x.4z
3

⇔ z ≥ x (vì z
6
+ z
4
+ z
2
+ 1 ≥ 4z
3
)
=> x ≥ y ≥ z ≥ x ⇔ x = y = z
!78
Khi đó thay vào hệ ta được: x = y = z = 1. Hệ có 2 nghiệm: (0;0;0), (1;1;1) 7#8
Câu
2(2đ)
Chọn hệ trục tọa độ
Bxy
sao cho
( )
0;0B
, tia
Bx
qua A và tia
By
qua C. Vì
2AB
=
,
ABC∆
vuông cân tại B, nên ta có:
( )

2;0A
,
( )
0;2C
. Giả sử
( )
;M x y
.
78
2 2 2
MA MB MC+ =
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2x y x y x y⇔ − + + + = + −
⇔
2 2
4 4 0x y x y+ − + =
. Đây là pt của đường tròn tâm
( )
2; 2I −
,
2 2R =
.
!7
Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm
( )
2; 2I −
, bán kính
2 2R =

.
78
Câu
3(2,5đ)
( )
( )
( )
2 2
3 3
3 3 3 3 3 3
a b a b a ab b ab a b+ = + − + ≥ +
78
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b 1 ab a b 1 ab a b abc ab a b c⇒ + + ≥ + + = + + = + +
78
( ) ( )
3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 abc c
a b 1
a b c
ab a b c ab a b c
⇒ ≤ = =
+ +
+ +
+ + + +
78
Tương tự:

( ) ( )
3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 abc a
b c 1
a b c
bc a b c bc a b c
≤ = =
+ +
+ +
+ + + +
( ) ( )
3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 abc b
c a 1
a b c
ca a b c ca a b c
≤ = =
+ +
+ +
+ + + +
78
Vậy:
3 3 3
3 3 3
1 1 1 a b c

1
a b 1 b c 1 c a 1
a b c
+ +
+ + ≤ =
+ + + + + +
+ +
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
78
Câu 4a
(1,75đ)
Dễ thấy
*
0,
n
u n N> ∀ ∈
. Có
2 2 2
1 1
3 2 3 2
n n n n
u u u u
+ +
= + ⇔ = +
.
7#8
Đặt
2
n n
v u=

thì có:
( )
1 1
3 2 1 3 1
n n n n
v v v v
+ +
= + ⇔ + = +
*
, n N∀ ∈
.
78
Đặt
1
n n
x v= +
, ta có:
1
3
n n
x x
+
=
*
, n N∀ ∈
. Suy ra
( )
n
x
là cấp số nhân với

1
2x =
,
ccông bội q= 3.
78
Suy ra
1 1 1
2.3 2.3 1 2.3 1
n n n
n n n
x v u
− − −
= ⇒ = − ⇒ = −
*
, n N∀ ∈
.
78
Câu 4b
(1,25đ)
9:;
0 1 2 2014
2.3 2.3 2.3 2.3 2015S = + + + + −
78

( )
0 1 2 2014
2 3 3 3 3 2015= + + + + −
7#8

( )

2015
2 3 1
2015
3 1
−
= −
−
7#8

2015
3 2016= −
7#8