Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 5

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: ( 2 ,5 điểm)
Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4
Câu 2: ( 2 ,5 điểm)
Tìm tất cả số nguyên x sao cho x +3 chia hết cho x
2
+1
Câu 3: ( 2 ,5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho MA +
MB + MC nhỏ nhất.
Câu 4: ( 2 ,5 điểm)
Cho a,b,c là ba số dương và a+b+c = 3.
Chứng minh rằng:
6535353
333
≤+++++ accbba
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu1:
x=kπ không phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin4x=sinx (1 điểm)
Suy ra x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5 (1 điểm)
vì x≠kπ nên pt có các nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π (1/2 điểm)
Câu2:
x+3 chia hết cho x
2
+1
suy ra ( x+3 )(x-3)chia hết cho x
2
+1 (1 điểm)
x

2
+1-10 chia hết cho x
2
+1
-10 chia hết cho x
2
+1 (1 điểm)
Từ đó tìm được x=0, x=-1, x=1, x=2 (1/2 điểm)
Câu3:
Dùng phép quay quanh A với góc quay 60
0
biến M thành M’; C thành C’ (1 điểm)
Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’
MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng. (1 điểm)
Khi đó góc BMA=120
0
, góc AMC=120
0
Ta được vị trí của M trong tam giác ABC (1/2 điểm)
Câu4:
3
8853
4
1
8.8)53(
4
1
53
3
3

+++
≤+≤+
ba
baba
(2 điểm)
Tương tự
Rồi cộng vế theo vế ta được điều cần chứng minh (1/2 điểm)