TOÁN TỔNGN HỢP CHO HỌCC SINH CẤP 3

toán tổng hợp.
Phần I: hàm số và các vấn đề liên quan.
Cực đại, cực tiểu
Các dạng toán cơ bản:
dang1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = f(x) có cực đại cực tiểu .
a/ Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị:
Hàm số y = f(x) có cực trị khi phơng trình y = f (x) = 0 có nghiệm và y đổi dấu qua các
nghiệm đó.
b/ Tìm điều kiện của tham số để hàm số chỉ có1 cựcđại (cực tiểu) :
Hàm số chỉ có cực đại ( cực tiểu) khi:
TH1: y = 0 có 1 nghiệm duy nhất và đổi dấu từ (+) sang ( -),(hoặc từ (-) sang(+)) khi
qua nghiệm đó.
TH2: y =0 có 1 nghiệm đơn và nghiệm kép và y đổi dấu từ (+) sang (-) , (hoặc từ (-)
sang(+)) khi qua nghiệm đơn đó.
dạng 2: Viết phơng trình đờng qua đi qua cực đại, cực tiểu.
M
0
(x
0
; y
0
) là điểm cực trị của hàm số
( )
( )



=
=

00

0
0'
xfy
xf
a/ Hàm phân thức
b/ Hàm đa thức
dạng 3:Biện luận theo tham số , số nghiệm của phơng trình:
a/ Dựa vào đồ thị hàm số vừa vẽ, tìm điều kiện của tham số số nghiệm của phơng trình .
b/ Dựa vào bảng biến thiên ( dáng đồ thị) tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm
duy nhất, hai nghiệm, ba nghiệm,
1/ Cho hàm số
1
8
2

++
=
x
mmxx
y
.
Hãy xác định tất cả giá trị của tham số m để điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho
ở về hai phía của đờng thẳng 9x-7y-1=0
2/ Cho hàm số .
4)32(3
23
+++= xmmmxxy
Tìm tất cả các giấ trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về
hai phía trục tung.
3/ Cho hàm số

mx
mmxmx
y
+
++++
=
4)32(
22
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có hai cực trị trái dấu.
4/ Tìm m để hàm số
mx
mmxx
y
+
+
=
2
2
có cực trị.
5/ Cho hàm số
)21()1(
24
kxkkxy ++=
xác định giá trị của tham số k để đồ thị của hàm
số chỉ có một cực trị.
6/ Cho hàm số
1
24)1(
22

++
=
x
mmxmx
y
, xác định tất cả các giá trị của tham số m để
hàm số có cực trị. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
7/ Cho hàm số
1
2
+
++
=
x
mxx
y
, xác định tất cả giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số có các
điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung.
8/ Cho hàm số
)2(2)27(2)1(3
223
+++++= mmxmmxmxy
. Tìm m để hàm số có cực đại,
cực tiểu và viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu đó.
9/ Cho hàm số
373
23
+++= xmxxy
. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. Lập phơng trình đ-
ờng thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu đó.

1
toán tổng hợp.
10/ Cho hàm số
mx
mmxx
y

+
=
22
,
)(
m
C
.Tìm m để đờng cong
)(
m
C
có cực đại và cực tiểu. Viết
phơng trình đờng thẳng nối điểm cực đại và điểm cực tiểu của đờng cong
)(
m
C
.
11/ Cho hàm số
10)9(
224
++= xmmxy
(1) . Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị.
12/ Cho hàm số

23223
)1(33 mmxmmxxy +++=
. (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1.
b) Tìm k để phơng trình
033
2323
=++ kkxx
có 3 nghiệm phân biệt.
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
13/ Tìm m để hàm số
1)1(3
23
+= xmmxmxy
không có cực trị.
14/ Cho hàm số
mxmxxy += 34
23
.
a/ Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại cực tiểu, đồng thời chứng minh
rằng hoành độ của điểm cực đại và điểm cực tiểu luôn trái dấu.
b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=0.
c/ Phơng trình
23
134 xxx =
có bao nhiêu nghiệm
15/ Hãy xác định các khoảng tăng giảm, các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số
x
exy
3

.

=
.
16/ Cho hàm số
mx
mxmx
y

+++
=
1)1(
2
.
a/ Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại, cực
tiểu cùng dấu.
b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=2.
c/ Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm tuỳ ý trên đồ thi (C) tới hai đ ờng tiệm
cận là không đổi.
17/ Cho hàm số
2)1(3
23
++= xmmxxy
a/ Chứng minh rằng hàm số có cực trị với mọi giá trị của m.
b/ Xác định m để hàm số có cực tiểu tại x=2.
18/ Cho hàm số
1
2

+

=
x
mmxx
y
. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa
các điểm cực trị không đổi.
19/ Cho hàm số
53)2(
23
+++= mxxxmy
. Tìm giá trị m sao cho hàm số có cực đại và cực tiểu.
20/ Cho hàm số
424
22 mmmxxy ++=
. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu;
đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
21/ Với giá trị nào cua a thì đồ thị hàm số
13122
23
+= xaxxy
có điểm cực đại và cực tiểu và
các điểm này đều thuộc trục tung.
22/ Cho hàm số
mx
mxmmx
y

+
=
12)2(

22
. Tìm m để hàm số có cực trị.
23/ Cho hàm số
x
mmxmx
y
352
222
+++
=
. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực tiểu nằm
trong khoảng (0,2m).
24/ Cho hàm số
mx
mmxx
y

+
=
2

)0( m
a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b/ Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau.
25/ Cho hàm số
4)21(38
234
+++= xmmxxy
. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số chỉ có
cực tiểu và không có cực đại.

26/ Tìm m để hàm số
3
1
)2(3)1(
3
1
23
++= xmxmmxy
có cực đại và cực tiểu đồng thời
hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu
1
x
,
2
x
thoả mãn
1
21
=+ xx
.
2
toán tổng hợp.
27/ Tìm m để hàm số
1
3
1
23
++= mxmxxy
có khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu
là nhỏ nhất.

28/ Cho hàm số:
1
)1)(2(2
222
+
++
=
mx
mxmxm
y
.
a/ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=-2.
b/ Chứng minh rằng với mọi m0 hàm số đã cho luôn có cực đại cực tiểu.
c/ Chứng minh rằng với mọi m0, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn tiếp
xúc với một Parabol (P) cố định. Tìm (P).
29/
Hàm đa thức bậc 3 : các dạng toán thờng gặp:
dạng 1: Từ đồ thị của hàm đã cho suy ra đồ thị của hàm y = f(/x/); y=/f(x)/,
dạng 2: Biện luận theo tham số số nghiệm của phơng trình dựa vào đồ thi .
dạng 3: xác định giá trị của tham số để hàm có cực trị, không có cực trị,
dạng 4: Xác định giá trị của tham số để 2 tiếp tuyến tại một điểm vuông góc
với nhau.
dạng 5: Xác định giá trị tham số để hàm đồng biến , nghịch biến trên khoảng ,
đoạn nào đó.
1/ Cho hàm số
xxxy 96
23
+=
.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b/ Từ đồ thị của hàm số đã cho suy ra đồ thị
.96
23
xxxy +=
c/ Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
.0396
2
3
=++ mxxx
2/ Cho hàm số
.3
23
mmxxxy +++=
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=0.
b/ Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài
.1
12
= xx
3/ Cho hàm số
1)1(3
23
+= xmmxmxy
a/ Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị
b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1.
c/ Với giá trị nào của a thì bất phơng trình sau:
323
)1(13 + xxaxx
có nghiệm
4/ Cho hàm số
4

23
+= axxy
( a là tham số ).
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với a=3
b/ Tìm các giá trị của tham số a để phơng trình
04
23
=+ axx
có nghiệm duy nhất .
5/ Cho hàm số
mxmxy 311)3(32
23
++=

)(
m
C
.
a/ Cho m=2. Tìm phơng trình các đờng thẳng qua A(19/12;4) và tiếp xúc với đồ thị
)(
2
C
của
hàm số.
b/ Tìm m để hàm số có hai cực trị. Gọị M
1
và M
2
là các điểm cực trị, tìm m để các điểm M
1

,
M
2
và B(0;-1) thẳng hàng.
6/ Cho hàm số
xxy 3
3
=
(1)
a/ Chứng minh rằng khi m thay đổi , đờng thẳng cho bởi phơng trình
2)1( ++= xmy
luôn
cắt đồ thị (1) tại một điểm A cố định.
b/ Hãy xác định các giá trị của m để đờng thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C
khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau .
7/ 1/ Cho hàm số
1)2(3)1(3
23
++= xaaxaxy
, với a là tham số .
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a=0
b/ Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị x sao cho
21 x
3
toán tổng hợp.
2/ Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
33
2
++=
x

m
xxy
có 3 điểm cực trị.
Khi đó chứng minh cả 3 điểm này đều nằm trên đờng cong :
2
)1(3 = xy
8/ Cho hàm số
323
2
1
2
3
mmxxy +=
.
a/ Khảo sát hàm số khi m=1
b/ Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đờng
thẳng y=x.
c/ Xác định m để đờng thẳng y=x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB=AC
9/ Cho hàm số :
1
3
1
23
++= mxmxxy
.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=0.
b/ Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số
góc nhỏ nhất.
c/ Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu là nhỏ nhât.
10/ Cho hàm số

.23
23
+= xxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số.
b/ Viết phơng trình của tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(-1;-2).
c/ Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phơng trình
axx
23
3
có 3 nghiệm phân biệt,
trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.
11/ Cho hàm số
1)1(6)12(32
23
++++= xmmxmxy
,
)(
m
C
.
a/ Tìm điểm cố định mà mọi đơng cong
)(
m
C
đều đi qua với mọi m.
b/ Tìm các giá trị của m để hàm số trên có cực đại và cực tiểu.
c/ Tìm tập hợp các điểm cực đại của đồ thị hàm số khi m thay đổi.
d/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0.
12/ Cho hàm số :
2

3
++= axxy
, a là tham số.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a=-3
b/ Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm.
13/ Cho hàm số
3
2
3
1
23
++= mxmxxy
, (C)
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0.
b/ Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số (C).
c/ Với giá trị nào của m đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1
x
,
2
x
,
3
x
thoả mãn điều kiện
15
321
>++ xxx
.
14/ Cho hàm số

)2(2)27(2)1(3
223
+++++= mmxmmxmxy
.
a/ Tìm m để phơng trình y=0 có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
b/ Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực
đại, cực tiểu đó.
15/ 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
43
23
+= xxy
.
2/ Với mỗi giá trị của tham số a, tìm toạ độ của điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm
số
)(
a
C
của hàm số
4
23
+= axxy
.
3/ Xác định a để mọi đờng thẳng có phơng trình y=m với 4<m<0 cắt
)(
a
C
tại 3 điểm phân
biệt.
16/ Cho hàm số
13

23
+++= mxxxy
có đồ thị là
)(
m
C
.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=3.
b/ Chứng minh rằng với mọi m,
)(
m
C
luôn cắt đồ thị hàm số
72
23
++= xxy
tại hai điểm
A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi m thay đổi.
c/ Xác định m để
)(
m
C
cắt đờng thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các
tiếp tuyến của
)(
m
C
tại D và E vuông góc với nhau.
4
toán tổng hợp.

17/ Trong mặt phẳng Oxy cho đờng cong (C) có phơng trình : (C);
1232
24
++= xxxy
và đờng
thẳng

có phơng trình
12 = xy
a/ Chứng minh đờng

không cắt (C).
b/ Tìm trên đờng cong (C) điểm A có khoảng cách đên

là nhỏ nhất.
18/ Cho hàm số
1)1(6)12(32
23
++++= xmmxmxy
. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn
đạt cực trị tại
1
x
,
2
x
với
12
xx
không phụ thuộc m.

19/ 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
33
23
+= xxy
(C).
2/ Chứng minh rằng trên đồ thị (C) tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với
nhau.
3/ Viết phơng trình đờng thẳng mà các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C) đối xứng nhau
qua đờng thẳng đó.
Tìm tập hợp điểm-quỹ tích.
1/ Cho hàm số
2
)1)(14( = xy
(1)
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b/ Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) và trục Oy, d là đờng thẳng đi qua A có hệ số góc k.
Xác định k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C.
c/ Tìm tập hợp trung điểm I của BC khi k thay đổi.
2. 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
xxxy 96
23
+=
(1)
2) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để đờng thẳng có phơng trinh y=mx cắt đồ thị
hàm số tại ba điểm phân biệt O(0;0), Avà B. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi trung điểm I của
đoạn thẳng AB luôn nằm trên một đờng thẳng song song với trục Oy.
3. Cho hàm số
1
42
+

=
x
x
y
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b/ Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị trên và đờng thẳng 2x-y+m=0. Trong trờng
hợp có hai giao điểm M, N hãy tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN.
4.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
32
2
+
++
=
x
xx
y
(C).
b/ Tìm k để đờng thẳng y=kx+1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích
trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.
5. Cho hàm số
mmxmmxmxy 3)1(6)12(3
223
++++=
, m là tham số ,
)(
m
C

a/ Tìm điểm cố định mà mọi đờng cong
)(
m
C
đều đi qua với mọi m.
b/ Tìm các giá trị của m để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu.
c/ Tìm tập hợp các điểm cực đại của đồ thị khi m thay đổi
6. Cho hàm số
mmxmmxxy 3)1(33
3223
+++=
, m là tham số. Chứng minh rằng hàm số đã
cho luôn có cực đại, cực tiểu, đồng thời khi m thay đổi các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm
số luôn chạy trên hai đờng thẳng cố định.
7. Cho hàm số
2
42
2
+
+
=
x
mmxx
y
, với m là tham số.
a/ Tìm các điểm mà đồ thị hàm số đi qua với mọi giá trị của m.
b/ Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Tìm quỹ tích của điểm cực đại của đồ thị
khi m thay đổi.
8. Cho hàm số
1

1
2
+

=
x
xx
y
.
a/ Khảo sát hàm số đã cho.
b/ Một đờng thẳng thay đổi song song với đờng thẳng
xy
2
1
=
, cắt đồ thị hàm số đã cho tại
các điểm M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
c/ Biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình sau:
01)1(
2
=+ mxmx
.
5
toán tổng hợp.
9. Cho hàm số
2
2

+
=

x
xx
y
, (C).
a/ Khảo sát hàm số (C).
b/ Đờng thẳng
)(
đi qua điểm P(0;b) và song song với tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0;0).
Xác định b để đờng thẳng
)(
cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Chứng minh trung điểm
I của đoạn MN nằm trên một đờng thẳng cố định khi b thay đổi.
10. Cho hàm số
1
1
2
+
+
=
x
mmxx
y
,
)(
m
C
.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=-1.
b/ Tìm m để hàm số
)(

m
C
có cực trị. Xác định tập hợp các điểm cực trị.
11. Cho Parabol
2
xy =
và đờng thẳng y=mx+1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đờng thẳng luôn
luôn cắt Parabol tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
12. Tìm m để hàm số
2
6)32(
2

++
=
x
xmx
y
có cực đại cực tiểu. Tĩm quỹ tích cực đại, cực tiểu.
13. Cho hàm số
2
42
2
+
+
=
x
mmxx
y
,

)(
m
C
.
a/ Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu.
b/ Tìm quỹ tích điểm cực đại và quỹ tích điểm cực tiểu của
)(
m
C
.
c/ Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho điểm đó là điểm cực đại của đồ thị với một
giá trị m, đồng thời cũng là điểm cực tiểu với một giá trị khác của m.
14. Cho hàm số
x
xy
1
+=
. Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó ta kẻ đợc hai
tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị hàm số.
15. Cho hàm số
mmxmxxy 23
23
++=
,
)(
m
C
.
a/ Chứng minh đồ thị
)(

m
C
luôn đi qua hai điểm cố định A, B.
b/ Xác định m để hai tiếp tuyến của
)(
m
C
tại Avà B song song với nhau.
c/ Tìm quỹ tích giao điểm của hai tiếp tuyến của
)(
m
C
tại Avà B.
Điểm đối xứng và đ ờng thẳng đối xứng
1. Cho hàm số
mxxy +=
23
3
. Xác định m để trên đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng
nhau qua gốc toạ độ.
2. Cho hàm số
37
23
+++= xmxxy
. Với giá trị nào của m thì trên đồ thị hàm số có một cặp điểm
đối xứng nhau qua gốc toạ độ
3. Cho hàm số
2223
1)1(33 mxmmxxy ++=
, có đồ thị

)(
m
C
. Tìm điều kiện của m để đồ thị
)(
m
C
chứa hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm O(0;0).
4. Cho hàm số
1
2
2

++
=
x
xx
y
, có đồ thị (C). Tìm tất cả các cặp điểm thuộc đồ thị (C) nhận
I(0;5/2) làm trung điểm.
5. Cho hàm số
1
2

=
x
x
y
, có đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B nằm trên (C) và đối xứng nhau qua đ-
ờng thẳng y=x-1.

6. Cho hàm số
1
22
2

+
=
x
xx
y
. Tìm trên đồ thị hai điểm A, B đối xứng nhau qua đờng y=x+3.
6
toán tổng hợp.
7. Cho hàm số
1
2
2

++
=
x
xx
y
,
)(
m
C
. Chứng minh rằng hàm số
)(
m

C
luôn có cực trị với mọi giá
trị của tham số m. Tìm m để điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua đờng
thẳng x+2y+8=0
8. Cho hàm số
.3
223
mxmxxy ++=
Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực
tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đờng thẳng
2
5
2
1
= xy
.
9. Cho hàm số
2
54
2

+
=
x
mmxx
y
,
)(
m
C

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để trên đồ thị
)(
m
C
có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua điểm O(0;0).
10. Cho hàm số :
1)1(6)12(32
23
++++= xmmxmxy
.
a/ Với giá trị nào của m thì đồ thị
)(
m
C
của hàm số có hai điểm cực trị đối xứng với nhau
qua đờng thẳng
2+= xy
.
b/
)(
0
C
là đồ thị của hàm số ứng với m=0 . Tìm điều kiện của a và b để đờng thẳng
baxy +=
cắt
)(
0
C
tại ba điểm phân biệt A,B,D sao cho AB=BD. Khi đó chứng minh rằng
baxy +=

luôn đi qua một điểm cố định .
11. Cho hàm số
1
1)2(
2
+
+++
=
x
mxmx
y
. Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt A,B sao cho
:
035;035 =+=+
BBAA
yxyx
. Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt A,B đó đối xứng
nhau qua đờng thẳng (d) có phơng trình :
095 =++ yx
.
12. Cho hàm số
)2(
)1(
2


=
x
x
y

(C). Hãy xác định hàm số y=g(x) sao cho đồ thị (C) cảu nó đối xứng
với đồ thị (C) qua điểm M(1;1).
điểm cố định của họ đ ờng cong
1. Cho hàm số
1)1(6)12(32
23
++++= xmmxmxy
,
)(
m
C
. Tìm những điểm cố định mà đồ thị
)(
m
C
luôn đi qua với mọi m.
2. Cho hàm số
)1(4)14(2)1(3
223
+++++= mmxmmxmxy
.
a/ Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số.
b/ Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.
3. Cho hàm số
mx
mxx
y
+
+
=

2
2
, m là tham số. Chứng minh rằng loại trừ hai giá trị của m, còn
những giá trị khác của m đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định.
4. Cho hàm số
1)12()1(
3
+++= mxmxmy
có đồ thị
)(
m
C
.
a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị m đồ thị hàm số đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng.
b/ Vói giá trị nào của m thì đồ thị
)(
m
C
có tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng đi qua 3
điểm cố định đó.
5. Cho hàm số
2)1(23
23
++= xmmxmxy
, m là tham số.
a/ Tìm những điểm cố định mà mọi đờng cong của họ trên đều đi qua.
b/ Chứng tỏ rằng những điểm cố định đó thẳng hàng và từ đó suy ra họ đơng cong có chung
một tâm đối xứng.
6. Cho họ đờng cong
mx

mmxx
y

+
=
22
,
)(
m
C
. Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho có
đúng hai đờng của họ
)(
m
C
đi qua.
7
toán tổng hợp.
7. Cho hàm số
mx
mmxm
y
+
+
=
)()13(
2
,
0

m
.
a/ Chứng minh rằng đồ thị hàm số không có điểm cố định .
b/ Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà đồ thị của hàm số không thể đi qua khi m
thay đổi.
8. Cho hàm số
mx
mxmx
y
+
+++
=
1)1(2
2
. Chứng minh rằng với mọi m-1 đồ thị hàm số luôn tiếp
xúc với một đờng thẳng cố định tại một điểm cố định.
9. Cho hàm số
mx
mmmxxm
y

++
=
2
)2(4)1(4
232
,
)(
m
C

. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của
)(
m
C
luôn tiếp xúc với một Parabol cố định khi m thay đổi.
10. Cho hàm số
4
1
2
2
23
m
mxxxy

++=
, có đồ thị
)(
m
C
. Chứng minh rằng
)(
m
C
luôn tiếp
xúc với một đờng cong cố định.
Tính đơn điêu của hàm số:
1/ Cho hàm số :
)32)(1(2)772(
223
++= mmxmmmxxy

. Tìm m để hàm số đồng biến
trên
( )
+;2
.
2/ Cho hàm số :
( )
212
3
1
23
++= mxmmxxy
. Với giá trị nào của m hàm số nghịch biến
trên khoảng (-2 ; 0 ).
3/ Cho hàm số:
( )
mxmxxy 413
23
++++=
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1).
4/ Cho hàm số :
( ) ( )
431
3
2
3
++= xmxm
x
y
. Tìm m để hàm số đồng biến trên (0;3).

5/ Cho hàm số :
( )
( )
( )
1222321
223
+++= mmxmmxmxy
a/ Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên R.
b/ Tìm m để hàm số đồng biến khi x>=2.
6/ Cho hàm số
( ) ( )
3
1
231
3
1
23
++= xmxmmxy
. Tìm m để hàm số đồng biến khi
2x
.
7/ Cho hàm số
( )
mx
xx
y
+

=
8

8
2
. Tìm m để hàm số đồng biến khi x>=1.
8/ Cho hàm số
( ) ( )
12313
23
++= xaaxaxy
. Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biển trên
tập hợp các giá trị của x sao cho:
21 x
.
9/ Cho hàm số
( ) ( )
4512123
23
++++= xmxmxy
. Tìm các giá trị của m để hàm số :
a/ Đồng biến trên miền xác định.
b/ Đồng biến trên khoảng
( )
+;2
.
c/ Đồng biến trên khoảng
( ) ( )
+ ;21;
.
d/ Nghịch biến trên khoảng (0;2).
10/ Cho hàm số
1

32
2

+
=
x
mxx
y
. Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên
khoảng
( )
+;3
.
11/ Cho hàm số
mx
mmxx
y

++
=
22
2
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến với mọi x>1.
12/ Cho hàm số
mx
mmxx
y
2
32
22

+
=
.
a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
8
toán tổng hợp.
b/ Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x>1.
13/ Cho hàm số
( )
( )
mx
mmmxxm
y

++
=
221
232
. Xác định tất cả các giá trị của m sao cho
hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
14/ Cho hàm số
( )
2223
1133 mxmmxxy ++=
. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng
biến trong các khoảng
( ) ( )
+ ;42;
.

15/ Cho hàm số
( )
( )
1
2441
22

++
=
mx
mmxmx
y
. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số xác
định và đồng biến trên khoảng
( )
+;0
16/ Cho hàm số
12
32
2
+
+
=
x
mxx
y
. Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng

+ ;
2
1
.
17/ Cho hàm số
mx
mmxx
y

+
=
2
. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng
( )
+;1
.
18/ Xác định m để hàm số sau luôn nghịch biến:
( ) ( )
.cos123 xmxmy +=
19/ Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định
( ) ( )
211
23
++++= xmxmmxy
.
20/ Giải các hệ bất phơng trình:

>+
<+
013
0123
3
2
xx
xx
và





>+
<++
01093
045
23
2
xxx
xx
.
21/ Tìm
( )

;0, yx
thoả mãn hệ



=+
=

285
cotcot
yx
yxgygx
.
22/ a/ Giải phơng trình
( )
2
1
122
2
=

x
xxx
.
b/ Giải và biện luận phơng trình :
mmxx
mmxxmxx
++=
+++++
255

224222
22
.
23/ Giải phơng trình :
xx
xx
xxxx
cossin4
cossin3
ln1cossincossin
+
++
+=+
.
24/ Tìm tập giá trị của hàm số:
1
3
2
+
+
=
x
x
y
.
25/ Cho x>y>0. Chứng minh rằng :
yx
yxyx
lnln2

>
+
26/ Với mọi ABC chứng minh : sinA+sinB+sinC+tgA+tgB+tgC>2.
biện luận nghiệm của phơng trình, bất pt dựa vào đồ thị hàm số:
1/ a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
12
56
2

+
=
x
xx
y
b/Biện luận số nghiệm của phơng trình :
1256
2
=+ xkxx
theo tham số k.
2/ a/Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
4
4
+
=
x
x
y
b/ Tìm những giá trị của tham số m để bpt sau đúng với mọi giá trị x :
04

4
+ mxmx
3/ a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
12
24
= xxy
b/ Với giá trị nào của m thì phơng trình
mxx
4
24
log12 =
có 6 nghiệm phân biệt.
4/ Cho hàm số
45
24
+= xxy
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số .
b/ Tìm điều kiện của tham số m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số tại 4 điểm
phân biệt
9
toán tổng hợp.
c/Tìm điều kiện của m sao cho đồ thị hàm số chắn trên đờng thẳng y = m ba đoạn thẳng có
độ dài bằng nhau.
5/ 1/Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
( )
2
12
2
+
+

=
x
x
y
2/Tìm tất cả giá trị của tham số m để đờng thẳng mx y + 1 = 0 cắt đồ thị (C) hàm số tại
hai điểm phân biệt
6/ Cho hàm số
mxxy ++= 23
3
a/ khảo sát khi m = 0.
b/ Tìm m để phơng trình
023
3
=++ mxx
có 3 nghiệm phân biệt.
7/ Cho hàm số
3
43 xxy =
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
04343
33
=+ mmxx
c/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua M (1; 3).
8/ Cho hàm số
1
332
2

+

=
x
xx
y
a/ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
b/Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình :
( )
01loglog12
33
2
=++ mxmx
9/ Cho hàm số
( )
xxmxy 912
23
++=
a/ Khảo sát khi m= 1
b/ Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.
10/ Cho hàm số :
1
1
2

+
=
x
xx
y
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/Tìm trên (C) những điểm cách đều 2 trục toạ độ .

c/ Tìm k để đờng thẳng y = kx k + 2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
11/ Cho hàm số
( )
2
3 xxy =
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b/ Đờng thẳng d qua O có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
c/ Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn.
12/ Cho hàm số
cbxaxxy +++=
23
a/Xác định a, b, c để đồ thị hàm số có tâm đối xứng là I( 0; 1) và đạt cực trị tại x = 1.
b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a = 0, b = -3, c = 1.
c/ Biện luận theo k số nghiệm phơng trình
03
3
=+ kxx
13/ Cho hàm số
45
24
+= xxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Xác định m để
035
224
=+ mmxx
có 4 nghiệm phân biệt.
14/ Cho hàm số
mxxy +=
3

3
1
.
a/ Khảo sát khi
3
2
=m
b/Tìm các giá trị của m để sao cho đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
15/ Cho hàm số :
2
92
2

+
=
x
xx
y
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số.
b/ Tìm m để đờng thẳng y = m (x -5) +10 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt và nhân A( 5; 10) là
trung điểm
c/ Biện luận theo k số nghiệm âm của phơng trình
( )
22
2
92
2
+=

+

xk
x
xx
10
toán tổng hợp.
16/ Cho hàm số :
( )
910
224
++= xmxy
a/ Khảo sát khi m = 0
b/ Chứng minh rằng với mọi m 0, đồ thị hàm số giao với Ox tại 4 điểm phân biệt. Chứng
minh rằng trong số các điểm đó có 2 điểm nằm trong (-3; 3) và 2 điểm nằm ngoài (-3; 3).
17/ Cho hàm số
x
xx
y
1
2
++
=
.
a/ Khảo sát
b/ Xác định m để phơng trình
( ) ( )
01131
234
=++ tmttmt
có nghiệm.
18/ Cho hàm số

( )
1
1442
2

++
=
x
mxmmx
y
a/ Với giá trị nào của m thì hàm số có hai cực trị thuộc miền
( )
+;0
b/ Khảo sát khi m = 1.
c/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với y = -x.
d/ Biện luận theo a số nghiệm phơng trình
a
x
x =

+
1
2
12
19/ Cho hàm số :
1
1
2

+

=
x
mxx
y
a/Với giá trị nào của m y = m giao với đồ thị hàm số tại A, B sao cho OA OB
b/ Khảo sát khi m =1.
c/Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số khi x > 1 và y = 11/ 2.
20/ Cho hàm số
3
3 xxy =
a/ Khảo sát
b/ Biện luận theo m số nghiệm phơng trình
0sin2cos.sin
2
=+ mxxx
21/ Cho hàm số
( )
2
1
2
+

=
x
x
y
a/Khảo sát
b/ Biện luận theo m số nghiệm phơng trình :
( )
021

2
=+ xmx
22/ Cho hàm số
( ) ( )
21
2
+= xxy
a/ Khảo sát.
b/ Cho đờng thẳng d qua M(2; 0) có hệ số góc k. Xác định k để d cắt đồ thị hàm số
23
3
= xxy
tại 4 điểm phân biệt
23/ Cho hàm số
xxy 9
3
+=
a/ Khảo sát.
b/ Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm A(3; 0) và có hệ số góc k.
+/ với giá trị nào của k thì d là tiếp tuyến.
+/ Với giá trị nào của k thì d cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt.
24/ Cho hàm số
12
24
+= xxy
a/Giải phơng trình :
012
24
=+ xx
b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

c/ Biện luận theo m số nghiệm phơng trình
012
24
=+ mxx
25/ Cho hàm số
1
1
2
+
++
=
x
xx
y
a/ Khảo sát .
b/ Biện luận theo m số nghiệm phơng trình
m
x
xx
=
+
++
1
1
2
11
toán tổng hợp.
26/ Cho hàm số
1
2

=
x
x
y
.
a/ Khảo sát.
b/ Biện luận theo m giao điểm của đờng thẳng y = x + m và đồ thị hàm số.
27 Cho hàm số
1
52
2
+
++
=
x
xx
y
.
a/ Khảo sát.
b/ Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình :
m
x
xx
2
1
52
2
=

+
+
28/ Cho hàm số
13
23
+= mxxy
a/ Khảo sát khi m = 3.
b/ Biện luận theo k nghiệm của phơng trình :
03
23
=+ kxx
c/ Đờng thẳng d : y = k(x - 2) + m 5. Với giá trị nào của k thì d tiếp xúc với đồ thị hàm số.
29/ Cho hàm số:
1
4
2

+
=
x
xx
y
a/ Khảo sát.
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = a > 0. Oy, đồ thị hàm số, tiệm cận xiên. Với giá
trị nào của a thì diện tích này bằng 4.
c/ Biện luận theo m số nghiệm phơng trình
m
x
xx
=

+
1
4
2
30/ Cho hàm số:
1
1
2

+
=
x
xx
y
.
a/ Khảo sát .
b/Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số, tiệm cận xiên , x = 2, x = 3.
c/ Biện luận theo m nghiệm của phơng trình
( )

20;0cos1sin
2
<<=+ tmtmt
Tiếp tuyến
1/ Cho hàm số
1
1
1

++=
x
xy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Tìm trên đồ thị (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai
đờng tiệm cận 1 tam giác có chu vi nhỏ nhất.
2/ Cho hàm số
196
23
+= xxxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b/ Từ một điểm bất kì trên đờng thẳng x = 2 ta có thể kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị
hàm số.
3/ Cho hàm số
1
22
2
+
++
=
x
xx
y
.
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/Tìm trên đồ thị hàm số các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó của đồ thị vuông góc với tiệm
cận xiên.
4/ Cho hàm số
1
23

+= mmxxy
1/ Viết phơng trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến khi m thay đổi.
2/Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = -3.
3/ Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại, cực tiểu của (C) nằm về hai phía
khác nhau của đờng tròn
01542
222
=++ aayaxyx
5/ Cho hàm số
2
3
4
1
24
+= mxxy
.
1/ Cho m = 3.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
12
toán tổng hợp.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm






2
3

;0A
và tiếp xúc với (C).
2/ Xác định m để hàm số đã cho có cực tiểu mà không có cực đại.
6/ Cho hàm số
13
3
+= xxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Cho điểm A( x
0
; y
0
) thuộc (C), tiếp tuyến với (C) tại A cắt (C) tại B A. Tìm x
B
theo x
0
7/ Cho hàm số
1
1
2
+

=
x
xx
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và song song với y = -x.
8/ Cho hàm số
1

1
2
+
++
=
x
xx
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Tìm tất cả những điểm trên Oy mà từ đó có thể kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (C).
9/ Cho hàm số
23
23
+= xxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
3
x
y =
.
10/ Cho hàm số
1
2

+
=
x
mmxx
y
có đồ thị (C

m
).
a/Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
b/ Tìm tất cả các giá trị của m sao cho 2 tiếp tuyến với đồ thị (C
m
) kẻ từ O(0; 0) vuông góc
với nhau.
11/ Cho hàm số
mmxxy 23
3
+=
có đồ thị (C
m
).
a/ Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 2.
b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
c/ Viết phơng trình tiếp tuyến với (C
1
) tại các giao điểm của (C
1
) với trục hoành.
d/ Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (C
m
) luôn đi qua 1 điểm cố định.
12/ Cho hàm số
xxy 3
3
=
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Xác định tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số với Ox.

c/ Tìm trên x = 2 những điểm có thể kẻ đúng 3 tiếp tuyến tới đồ thị.
13/ Cho hàm số
1
43

+
=
x
x
y
có đồ thị (H).
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (H) hàm số .
b/ Với giá trị nào của a thì y = ax + 3 không cắt (H).
c/Viết phơng trình tiếp tuyến với (H) qua M( 2; 3).
14/ Cho hàm số
23
23
+= mxxy
a/ Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu.
b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c/ Viết phơng trình tiếp tuyến qua M( 1; 0).
15/ Cho hàm số
1232
23
++ mmxx
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
b/ Tìm trên (C) những điểm kẻ tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
c/ Với giá trị nào của m hàm số đã cho nghịch biến trên ( 1; 2).
16/ Cho hàm số
( )

mx
mxmx
y
+
+++
=
112
2
có đồ thị (C
m
).
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b/ Chứng minh rằng với mọi m -1, (C
m
) luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định. Xác định
phơng trình đờng thẳng đó.
13
toán tổng hợp.
17/ Cho hàm số
1
2

=
x
x
y
có đồ thị (C).
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/Tìm trên đờng thẳng y = 4 những điểm mà có thể kẻ tới đồ thị (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau
góc 45

0
.
18/ Cho hàm số
mxxy +=
3
3
1
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi
3
2
=m
.
b/ Tìm trên (C) những điểm tại đó tiếp tuyến với (C) vuông góc với
3
2
3
1
+= xy
19/ a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
12
2
+
+
=
x
xx
y
b/ Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
xxy ln=

đi qua M( 2; 1).
20/ Cho hàm số
1
63
2

+
=
x
xx
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ của
=y
1
63
2

+
=
x
xx
y
c/ Từ O(0; 0) kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến tới (C). Tìm toạ độ tiếp điểm nếu có.
21/ Cho hàm số
3
1

+
=

x
x
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Tìm giao điểm của tiếp tuyến của (C) với Ox biết tiếp tuyến vuông góc với y = x + 2001.
22/ Cho hàm số
11232
23
+= xxxy
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tìm điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M đi qua gốc toạ độ.
23/Cho hàm số
1
2
2

++
=
x
xx
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Tìm A trên (C) sao cho tiếp tuyến tại A vuông góc với đờng thẳng đi qua A và qua tâm đối
xứng
24/ Cho hàm số
23
3xxy =
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
xy

3
1
=
25/ Cho hàm số
( )
2
62
2
+
+
=
mx
xmx
y
a/ Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c/ Chứng minh rằng với mọi M trên (C) , tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tạo 1 tam giác có
diện tích không đổi.
26/ Cho hàm số
1
2

=
x
x
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Hai tiệm cận cắt nhau tại I, tìm I. Chứng minh I là tâm đối xứng.
c/ Tìm M thuộc nhánh phải của đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại M vuông góc với đờng thẳng qua
M và I.

27/ Cho hàm số
mxxxy ++=
23
3
có đồ thị (C
m
).
14
toán tổng hợp.
a/ Với giá trị nào của m thì (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm uốn. Chứng minh tiếp tuyến đó đi qua
( )
0;1M
m = 4.
c/ Tính diện tích giới hạn bởi (C
4
), Ox, tiếp tuyến của (C
4
) tại điểm uốn.
28/ Cho hàm số
1
2

+
=
x

x
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ A( 0; a), Xác định a sao cho từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (C) sao cho tiếp điểm tơng ứng
nằm về hai phía của trục Ox.
29/ Cho hàm số
( )
532
23
+++= mxxxmy
.
1/ Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.
2/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0.
3/ Chứng minh rằng từ A(-1; -4) kẻ đợc 3 tiếp tuyến tới (C).
30/ Cho hàm số
1
24
+= xxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Tìm những điểm trên Oy kẻ đợc đúng 1 tiếp tuyến tới (C).
31/ Cho hàm số
x
xx
y
23
2
+
=
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Tìm trên x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) và hai tiếp tuyến

này vuông góc với nhau.
32/ Cho hàm số
4333
23
+++= mmxxxy
Có đồ thị (C
m
).
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C
0
)

hàm số khi m = 0,
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C
0
) tại giao điểm của (C
0
) với trục hoành.
c/ Với giá trị nào của m thì (C
m
) nhận I(1; 2) là điểm uốn.
d/ Với giá trị nào của m thì (C
m
) tiếp xúc với trục hoành.
33/ Cho hàm số
2
32


=

x
x
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số .
b/ Tìm các điểm có toạ độ nguyên và viết phơng trình tiếp tuyến tại các điểm đó.
34/ Cho hàm số
24
2mxxy +=
có đồ thị (C
m
)
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
b/Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) qua
( )
0;2A
.
c/ Với giá trị nào của m thì (C
m
) có 3 cực trị.
35/ Cho hàm số
3
13

+
=
x
x
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số .
b/ Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua x + y 3 =0.

c/ M là điểm thuộc (C) bất kì. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại 2 điểm A, B. C là trung
điểm của AB. Chứng minh tam giác tạo bởi 2 tiếp tuyến và hai tiệm cận có diện tích không
đổi
36/ Cho hàm số
( )
2
13

+
=
x
x
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) qua gốc toạ độ.
c/ Tìm những điểm thuộc (C) có toạ độ nguyên.
37/ 1/ Khảo sát hàm số
45
24
+= xxy
.
2/ Tìm a để đồ thị
45
24
+= xxy
tiếp xúc với
axy +=
2
. Tìm toạ độ tiếp điểm.
38/ Cho hàm số

( )
xxy = 3
2
a/Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn, tìm toạ độ giao điểm của tiếp tuyến đó với tiếp
tuyến tại điểm cực đại, cực tiểu.
15
toán tổng hợp.
39/ Cho hàm số
23
23
+= xxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C).
c/CMR tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
d/ Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(0; 3).
40/ Cho hàm số
( )
( )
mmxxxy ++=
2
1
a/ Khảo sát khi m = -2.
b/Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox. Xác định toạ độ tiếp điểm.
41/ Cho hàm số
( ) ( )
1133
2223
+= mxmmxxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.

b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm






1;
3
2
M
c/ Với giá trị nào của m phơng trình y = f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
42/ Cho hàm số
1
4
1

++=
x
xy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/M thuộc (C) có hoành độ x = 2. Viết phơng trình tiếp tuyến tại M.
c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), x = 2, x = 3, y = 5.
43/ Cho hàm số
2
1
2
+
+
=

x
xx
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -1.
Phần II: Nguyên hàm-tích phân.
10 phép đổi biến quan trọng.
1/
( )( )

++
dxdcxbax
( )

+
+
dx
dcx
bax
n
Đặt
dcxt +=
( )
dxdcxbax
n
++


2/
( )

0
22
>
+

a
ax
dx
Đặt
tgtax .=
3/
(
)

dxxaxf
22
,
Đặt
tx sin=
nếu
dxxax
n


+ 2212
.
Đặt
22
xat =
4/

( )

+
dx
bax
xf
n
Đặt
n
baxt +=
5/
dxx
x
f







ln,
1
Đặt
xt ln=
6/

dx
x
x

dxxx
m
n
nm
cos
sin
;cos.sin
Đặt
xt cos=
với m lẻ

xt sin
=
với n lẻ
7/

x
dx
x
dx
nn
cos
;
sin
Với n lẻ ta nhân tử mẫu với sinx hoặc cosx
Với n chẵn ta tách dựa vào công thức :
16
toán tổng hợp.
( ) ( )
x

gxddx
x
tgxd
xtg
x
xg
x
22
2
2
2
2
sin
1
cot;
cos
1
1
cos
1
;cot1
sin
1
==
+=+=
8/

dxxgdxxtg
nn
.cot;.

Với n lẻ đặt
xtorxt sincos ==
Với n chẵn dùng các công thức trong mục 7/
9/

++ cxbxa
dx
cossin
Đặt
2
x
tgt =
đặc biệt nếu
222
cba =+
ta sử dụng phơng pháp nhóm , giống phơng trình lợng giác
cxbxa
++
cossin
10/ Phép đổi biến từng phần

= vduuvudv
a/ Đa thức kết hợp với lợng giác
( ) ( )

xdxtgxforxdxxf
2
sin
Đặt
( )

=
=
,sin
2
xdxtgxdxdv
xfu
b/
( )

dxexf
x
Đặt
( )



=
=
dxedv
xfu
x
Chú ý
( )

dxexf
x
, đổi biến

xt =
và đa về dạng tích phân từng phần.
c/
( )

xdxxf ln
Đặt
( )



=
=
dxxfdv
xu ln
Chú ý:
( )
( )
( )( )

+
+
dxxf
x
bax
dx
bax
x
ln;
ln

;
ln
22
đều đặt nh trên.
d/

+ dxax
2
Đặt





=
+=
dxdv
axu
2
Ta sử dụng
Caxx
ax
dx
+++=
+

2
2
ln
Tích phân đổi biến đặc biệt :

1/ Đổi biến qua hàm lợng giác
Tích phân các hàm hữu tỷ

+
++
+
+
dx
bxa
cbxax
dx
dcx
bax
''
;
2
;

++ cbxax
dx
2
có các dạng sau:
( )( )
( )

+
+
++
222
;;

ax
dx
ax
dx
bxax
dx
a. tính tích phân bằng ph ơng pháp đổi biến.
1.

2
ln
e
e
xx
dx
2.

2
0
sin
cos

xdxe
x
3.

+
1
0
3 3

2
62
3
x
dxx
4.

+
3
0
25
1 dxxx
5.


1
0
23
1 dxxx
6.

+
1
0
12x
xdx
7.

+
+

3
7
0
3
13
1
dx
x
x
8.


1
0
635
)1( dxxx
9.

+
1
0
1 x
dx
10.


1
0
1 dxxx
11.

+
7
0
3 2
3
1 x
dxx
12.

+
2
0
cos1
cos

dx
x
x
17
toán tổng hợp.
13.

++
7
2
12 x
dx
14.

+
2
0
sin23
cos2

dx
x
x
15.

++
1
0
1 xx
dx
16.

+++
1
0
13 xx
dx

17.

2
0
32
cossin

xdxx
18.

4
0
2
3
cos
sin

dx
x
x
19.


1
0
82
)1( dxxx
20.

+
2ln
0
5
x
e
dx

21.

+
2ln
0
1
x
e
dx
22.



1
1
45
dx
x
x
23.

+
e
dx
x
xx
1
2
ln2ln

24.
( )
[ ]

+
e
dx
xx
x
1
2
1ln
ln
25.

+
++
2
0
cossin
2cos2sin1

dx
xx
xx
26.
dxxx


0

sincos
27.

3
6
4
cossin


xx
dx
28.


2
3
3
3
sin
sinsin


dx
x
xx
29.

+

2ln

0
1
1
dx
e
e
x
x
30. Chứng minh:
1
)1(1
cot
1
2
1
2
=
+
+
+

ga
e
tga
e
xx
dx
x
xdx
(tga>0)

b. tìm nguyên hàm bằng ph ơng pháp đổi biến.
1.

dxx
4
2
2.








dx
x
x
2
21
3.

xx
dx3
4.

xx
xdx
22
cossin

2cos
5.

xdxg
2
cot
6.

dxx
2
)1(
7.

dx
xx
32
8.


dx
x
x 1
3
9.
dx
x
xx

++

3
44
2
10.

++
++
dx
xx
xx
1
1
2
24
11.

+
dx
e
e
x
x
1
12.

+12x
dx
13.

xx

dx
ln
14.

xdxx
5
sin.cos
15.

+
dx
x
x
2cos
sin
16.

tgxdx
17.

x
xdx
4
ln
18.

+12
4
3
x

dxx
19.

+ x
tgxdx
2003
cos1
20.

x
dxe
tgx
2
cos
21.


3
23
2
x
dx
22.

4
53
cos.sin xx
dx
23.

x
dx
4
cos
24.

+ 3cot2sin
2
gxx
dx
25.

+ x
dx
cos1
26.
( )

+ dxx
20
12
27.

x
e
dx
c. nguyên hàm, tích phân từng phần.
1.
( )

2
0
cos1

xdxx
2.

4
0
2
2cos.

xdxx
3.
( )


+
1
0
2
23 dxex
x
4.

e
dx
x
x

1
ln
5.

e
xdx
1
ln
6.

10
1
lg xdx
7.

4
0
2
cos

dx
x
x
8.

4
0
2

xdxxtg

9.

e
xdxx
1
2
ln
10.


5
2
2
)1ln( dxxx
11.

2
1
2
log xdxx
12.
( )

+
e
e
x
xdx
1
2

1
ln
18
to¸n tæng hîp.
13.
dxx
∫
2
0
sin
π
14.
dxx
∫
4
0
2
cos
π
15.
∫
2
0
cos
π
xdxe
x
16.
dxxe
x

∫
1
0
2
)(sin
π
17.
( )
∫
+
1
0
2
1ln dxxx
18.
∫
π
π
e
dxx
3
)cos(ln
19.
∫
2
0
3sin
cossin
2
π

xdxxe
x
20.
∫
+
1
0
2
1dxx
21.
∫
−
3
2
2
1dxx
22.
∫
+
4
0
)1ln(
π
dxtgx
23.
∫
3
6
2
cos

)ln(sin
π
π
dx
x
x
24.
dxxx
∫
10
1
2
lg
25.
dxe
x
x
x
∫
+
+
2
0
cos1
sin1
π
d. tÝch ph©n c¸c hµm h÷u tû.
1.
∫
+

1
0
1x
dx
2.
∫
+
−
1
0
43
12
dx
x
x
3.
dx
x
x
∫
−
+
2
1
25
73
4.
∫
++
7

2
12 x
dx
5.
dx
e
e
x
x
∫
+
−
1
0
1
1
6.
dx
e
e
x
x
∫
−
−
+
1
0
2
1

7.
dx
x
xx
∫
+
−+
1
0
2
52
123
8.
dx
x
xx
∫
+
++
1
0
2
3
23
9.
∫
4
6
3
cos.sin

π
π
xx
dx
10.
∫
+
2
0
1cos
3sin
π
x
xdx
11.
∫
+
2
0
3
1cos
cos
π
x
xdx
12.
∫
+
2
0

2
3
cos1
cossin
π
x
xdxx
13.
∫
+
3
1x
xdx
14.
dx
xx
xxx
∫
++
+++
1
0
2
23
92
1102
15.
dx
xx
xx

∫
++
++
1
0
2
2
92
103
16.
dx
xx
x
∫
++
2
0
2
3
12
3
17.
∫
4
0
2
3
cos
sin
π

x
xdx
18.
∫
−
−
1
1
45 x
xdx
19.
dx
x
x
∫
+
+
3
7
0
3
13
1
20.
∫
+
2
1
2
23 xx

dx
21.
∫
+
2ln
0
5
x
e
dx
22.
∫
+
1
0
2 xx
ee
dx
23.
∫
−
−
1
0
4
xx
ee
dx
24.
∫

++
−
2
1
24
2
1
1
dx
xx
x
25.
∫
+
−
2
1
4
2
1
1
x
x
26.
∫
−
+
+
2
2

2
2
1
1
dx
xx
x
27.
∫
+
4
7
2
9xx
dx
28.
∫
+
3ln
0
1
x
e
dx
29.
∫
+
2
1
3

1 xx
dx
30.
∫
3
6
4
cossin
π
π
xx
dx
31.
∫
+
32
5
2
4xx
dx
32.
∫
+−
4
3
2
252 xx
dx
33.
∫

−−
6
0
2
cossin57
cos
π
xx
xdx
34.
( )( )
∫
+−++
−
dx
xxxx
x
1315
1
22
2
35.
∫
++
2
1
2
144 xx
dx
36.

∫
+
2
0
2
3
cos1
sin
π
dx
x
x
37.
∫
+
3
0
2
3x
dx
38.
∫
+±
1
0
2
1xx
dx
39.
∫

++
1
0
24
34xx
dx
40.
∫
−
2
3
2
2
1xx
dx
41.
∫
+
+−
+
2
51
1
24
2
1
1
dx
xx
x

42.
∫
+
+
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
43.
∫
+
4
0
44
sincos
2sin
π
xx
xdx
44.
( )
∫
+
4
1

2
1xx
dx
45.
∫
++
1
0
24
1xx
xdx
19
to¸n tæng hîp.
46.
∫
+
1
0
3
1
3
x
dx
47.
∫
+
+
2
0
22

cos4sin3
cos4sin3
π
dx
xx
xx
48.
∫
−
2
8
2
3
2
2
1x
dxx
49.
( )
∫
+
2
1
5
1xx
dx
50.
∫
+
1

0
2
3
x
e
dx
51.
∫
+
dx
x
x
2cos1
sin
52.
( )
∫
++
4
0
3
2cossin
2cos
π
xx
xdx
53.
∫
++
4

0
2cossin
2cos
π
xx
xdx
54.
∫
+
2ln
0
2
1
x
x
e
dxe
55.
( )
∫
+
2
1
3
1xx
dx
56.
∫
+
4

0
1
π
tgx
dx
57.
( )
∫
+
2
1
4
1xx
dx
58.
∫
+
dx
x
gx
9
sin1
cot
59.
( )
∫
+
4
0
2

cos2sin
π
xx
dx
60.
∫
+−
2
1
2
2
127
dx
xx
x
61.
( )
∫
+
+
1
0
2
2
1
1
x
x
e
dxe

62.
∫
± xx
dx
3
63.
∫
−
−
dx
xx
x
3
4
2
64.
( )
∫
++
1
0
2
2
23xx
dx
65.
( )
∫
+
2

1 xx
dx
66.
( )
∫
−
+
1
1
2
2x
xdx
67.
( )( )
∫
−− 41
22
xx
dx
68.
( )( )
∫
−− 91
22
2
xx
dxx
69.
( )
∫

+
2
10
1xx
dx
70.
∫
+
3
1
2
1xx
dx
71.
∫
−
−−
1
1
24
12xx
dxx
72.
( )( )
∫
−
±+
1
1
2

11 xe
dx
x
73.
∫
−
3
3
2
cos
sin
π
π
dx
x
xx
74.
∫
−
−
+
2
2
2
sin4
cos
π
π
dx
x

xx
75.
( )
∫
+
2
0
3
cossin
sin4
π
xx
xdx
76.
( )
∫
+
−
2
0
3
sincos
sin4cos5
π
dx
xx
xx
77.
( )
∫

−
2
0
cossin
π
dxxx
78.
∫
+
π
0
2
sin1
sin
dx
x
xx
79.
∫
+
π
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
80.
∫

π
0
2
cossin xdxxx
81.
∫
π
0
43
cossin xdxxx

e, TÝch ph©n-Nguyªn hµm cña hµm sè l îng gi¸c.
d¹ng 1
xdxgxdxtgxdxxdx
nnnn
∫∫∫∫
cot;;sin;cos
d¹ng 2
∫ ∫ ∫∫
dxxxdx
x
x
x
dx
x
dx
mn
m
n
nn

cos.sin;
cos
sin
;
sin
;
cos
®¹ng 3
∫
++ cxbxa
dx
cossin
d¹ng 4
∫
+++ dxcxxbxa
dx
22
coscos.sinsin
, Chia c¶ tö vµ mÉu cho cos
2
x .
d¹ng 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫∫
++−++++
;
sinsin
;
coscos
;

sinsin bxtgaxtg
dx
ax
dx
bxax
dx
bxax
dx
20
to¸n tæng hîp.
1/
∫
+
2
0
2sin1
π
x
dx
2/
∫
− xx
dx
sin22sin
3/
∫
4
6
4
cos.sin

π
π
xx
dx
4/
∫
+ xx
xdx
cos3sin
cos
2
5/
∫
π
2
0
cos.cos qxdxpx
6/
∫
−− xxx
xdx
2sin36sin4sin3
sin
3
7/
∫
++
++
2
0

5cos3sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
8/
( )
∫
+
dx
x
xa
2
cos
sin
9/
∫
3
4
2
sin
π
π
x
dx
10/
∫
+
2

0
2cos7
cos
π
dx
x
x
11/
∫
+
dx
x
x
2sin1
sin
12/
∫






+
4
cos.cos
π
xx
dx
13/

∫
−+ xx
dx
cossin2
14/
( )
∫
−+
2
0
441010
sin.cossincos
π
dxxxxx
15/
∫
tgxdxx.5cos
16/
∫
tgxdxx.3cos
17/
∫
xdx2sin
4
18/
dxxgxtg
∫
−+
3
6

22
2cot
π
π
19/
∫
3
4
4
π
π
xdxtg
20/
∫
−
4
0
2
cos2
π
x
dx
21/
∫
+
4
0
66
cossin
4sin

π
xx
xdx
22/
( )
∫
+ dxxx
66
cossin
23/
∫
2
4
4
6
sin
cos
π
π
dx
x
x
24/
∫
+
8
0
2cos2sin
2cos
π

dx
xx
x
25/
∫






+






+ dxxgxtg
6
cot
3
ππ
26/
∫
+
4
0
2cos2sin
cossin

π
dx
xx
xx
27/ Chøng minh r»ng víi hai sè tù nhiªn m, n kh¸c nhau ta cã:
∫∫
−−
==
π
π
π
π
0sinsincoscos nxdxmxxndxmx
tÝch ph©n c¸c hµm cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi:
1/
∫
−
+
3
2
2
3 dxxx
2/
∫
+−
−
2
1
0
2

23
14
dx
xx
x
3/
∫
−
2
0
2sin1
π
dxx
4/
∫
−−
3
0
2
12 dxxx
5/
∫
−
3
0
42 dx
x
6/
∫
−

1
0
dxmxx
7/
∫
+−
1
0
2
2 dxmxx
8/
∫
π
0
sin.cos dxxx
9/
dxx
∫
+
π
0
2cos1
21
toán tổng hợp.
10/
dxx

+

2

0
sin1
11/
( )

=
1
0
dxtetI
x
với t R.
a/ Tính I(t).
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của I(t).
12/Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực R và với mọi x R đều có:
( ) ( )
xxfxf 2cos22 =+
. Tính tích phân :
( )


=
2
3
2
3


dxxfI
f, ứng dụng của tích phân
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

1/
1
2
= xy
và
5+= xy
.
2/
1;; ===

xeyey
xx
.
3/
0;02; ==+= yyxyx
.
4/

== xyxy ;sin
5/
2
;
12
1;
2
3
sin21
2

=+== x
x
y
x
y
6/
4;4;
22
=== yxyxy
7/
x
y
x
yxy
8
;
8
;
2
2
===
.
8/
x
y
x
yxy
27
;
27

;
2
2
===
.
9/
03;05
2
=+=+ yxxy
.
10/
( )
3
2
4 xy =
;
xy 4
2
=
11/
22
; yxxy ==
12/
2
2; xyxy ==
13/
xyxxxy 4;2
23
=+=
14/

x
y
x
yxy
27
;
8
;
2
2
===
15/
xyxyy
x
====

3;0;0;5
2
16/
.3;34
2
+=+= xyxxy
17/
.03;4
22
=+= yxxy
18/
4
1
;

2
1
;0;0
x
x
yxyx

====
19/
)0(;
1
;
1
32
4
2
4
22
>
+

=
+
++
= a
a
axa
y
a
aaxx

y
.Tìm a để diện tích này đạt giá trị lớn nhất.
20/
.2;1;0; ==== xxyxey
x
21/
2
4 xxy =
và các tiếp tuyến đi qua điểm A(5/2;6).
22
toán tổng hợp.
22/
16;6
222
=+= yxxy
24/
2
;0;0,cos.sin
32

==== xxyxxy
.
25/
;33
23
+= xxy
và tiếp tuyến tại (-1;1).
26/Parabol y
2
= 2x chia hình phẳng giới hạn bởi đờng tròn x

2
+ y
2
=8 thành hai phần. Tính
diện tích mỗi phần đó.
27/
[ ]

;0;cos1;sin2
2
+=+= xxyxy
2: Tính thể tích khối tròn xoay.
1/ tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới
2
3
;
3
xy
x
y ==
hạn bởi các đờng
khi hình phẳng đó quay xung quanh trục Ox.
2/ Cho D là một miền phẳng giới hạn bởi các đờng cong
2
;
1
1
2
2
x

y
x
y =
+
=
. Tính diện tích
miền D. Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành khi cho D quay xung quanh Ox.
3/ Cho hình D giới hạn bởi các đờng
0;0;
2
;cos
2
sin ==== yxxx
x
y

. Hãy tính thể tích
vật thể tròn xoay đợc tạo nên khi cho D quay quanh Ox.
4/ Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng hữu hạn bởi các Parabol quay
quanh trục Ox:
62;64
22
+=+= xxyxxy
.
5/Trong mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đờng
5;; === xxyxy
Tính thể tích khối tròn tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox.
6/Cho elíp (E):
1
2

2
2
2
=+
b
y
a
x
. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay elip:
a/ quanh trục Ox
b/ quanh trục Oy.
7/ a/ Cho hinh tròn tâm I( 0; 2) bán kính R = 1 quay quanh trục Ox. Tính thể tích khối
tròn xoay đợc tạo nên.
b/ Cho hình tròn tâm I( 2; 0) bán kính R = 1 quay quanh trục Oy. Tính thể tích khối
tròn xoay đợc tạo nên.
8/Tính thể tích khối tròn xoay đợc tạo nên do quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn
bởi đờng tròn: (x- a)
2
+ y
2
= b
2
với 0 < b < a.
9/ Gọi D là miền giới hạn bởi các đờng : y = 0; y = 2x x
2
. Tính thể tích vật thể tròn xoay
đợc tạo bởi khi quay D quanh:
a/ trục Ox.
b/ Trục Oy.
10/Gọi miền giới hạn bởi các đờng y = -3x+10 ; y = 1 và y = x

2
(x > 0).Tính thể tích vật thể
tròn xoay do ta quay D xung quanh trục Ox tạo nên ( miền D nằm ngoài Parabol y=x
2
).
11/ Trong mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng D giới hạn bởi trục Ox và đờng y = 4x- x
2
. Tính
thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo nên khi quay D xung quanh Oy.
12/ Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đờng : y = (x- 2)
2
và y = 4.Tính thể tích vật thể tròn
xoay do ta quay D :
a/ quanh trục Ox.
b/ quanh trục Oy.
13/Tính thể tích vật thể sinh ra khi ta quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi các đờng :
y= e
x
; y = e
-x+2
; x = 0 ; x = 2.
14/Cho miền D giới hạn bởi : x
2
+y-5= 0 và x+y 3 = 0. Tính thể tích vật thể tạo nên do
quay D xung quanh trục Ox.
Phần iii: đại số tổ hợp
B ài toán chọn:
1/ Kiến thức cơ bản:
+/
!n

P
n
=
là số cách xếp n vật khác nhau vào n vị trí cho trứơc.
23
toán tổng hợp.
+/
( )
!!
!
knk
n
C
k
n

=
là cách chọn ra k phần tử khác nhau của tập n phần tử.
+/
( )
!
!
kn
n
A
k
n

=
là cách chọn ra k phần tử khác nhau của tập n phần tử sau đó xếp vào k vị

trí cho trớc.
+/ Quy tắc cộng: Một bài toán chọn đợc chia nhỏ thành nhiều bài toán nhỏ hơn và không
giao nhau. Khi đó, số cách chọn của bài toán lớn bằng tổng số cách chọn của các bài toán
nhỏ, và mỗi bài toán nhỏ ta thờng kí hiệu là một trờng hợp.Sử dụng quy tắc cộng trong những
bài toán chọn thờng yêu cầu đếm tất cả các cách chọn thoả mãn yêu cầu. Mỗi trờng hợp phải
là một bài toán đã chọn xong nhng với một yêu cầu nào đó.
+/ Quy tắc nhân: Một bài toán chọn đợc thực hịên nếu ta phải làm nhiều bớc. Khi đó số cách
chọn của bài toán lớn bằng tích số cách chọn trong mỗi bớc.
2/Bài toán xếp
a/ Xếp đứng cạnh nhau:
Vd: có một nhóm học sinh gồm 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành hàng sao
cho 3 bạn nữ đứng cạnh nhau
Giải : +C
1
: chọn 3 vị trí liên tiếp cho 3 bạn nữ thì có tất cả 8 vị trí để 3 bạn nữ đứng cạnh
nhau. có 8. 3! cách xếp bạn nữ, 7! cách xếp bạn nam
+C
2
: coi 3 bạn nữ là 1 nhóm và xếp với 7 nam, có 8! cách xếp. 3 bạn nữ có 3! cách
xếp.
b/Xếp không đứng cạnh nhau:
Vd: 7 nam và 3 nữ, xếp thành hàng sao cho 2 bạn nữ bất kì không đứng cạnh nhau.
Giải : +C
1
: Có 7! cách xếp nam, để nữ không đứng cạnh nhau thì ta xếp mỗi bạn nữ vào vị trí
giữa hai bạn nam hoặc đầu hàng hay cuối hàng, có 8 vị trí nh vậy. cần chọn ra 3 vị trí trong
8 vị trí để xếp 3 bạn nữ vào
+C
2
: chia 7 nam +3 nữ thành hai nhóm: 5nam và 2 nam +3nữ. Sau đó đánh số một

nhóm mang số chẵn, một nhóm mang số lẻ. Tiếp theo xếp chẵn lẻ
c/Xếp trên bàn tròn:
Khi xếp n vật trên bàn tròn, do tính quay vòng của bàn tròn nên chỉ có (n-1)! cách xếp.
d/ Xếp chen:
Vd
1
: 7 nam & 3 nữ, xếp hàng sao cho 3 nữ đứng cạnh nhau.
Giải: Ta xếp 1 bạn nữ với 7 bạn nam sau đó chen 2 bạn nữ vào cạnh bạn nữ đã xếp.
Vd
2
: Bài toán lập số : nhất thiết hai số cho trớc đứng cạnh nhau.( Phơng pháp chen đợc thực
hiện khi bỏ đi số chen thì số vẫn có nghĩa)
3/ Bài toán lập số:
a/ Số đợc lập có các chữ số có thể giống nhau.
b/ Số đợc lập có các chữ số khác nhau: số chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6, 9, số chẵn , số lẻ, nhất
thiết có mặt chữ số nào đó, không có mặt chữ số nào đó,
c/Số đợc lập so sánh với một số cho trứơc:
Vd: abc < 456.
+/ a <=3 , b, c chọn tuỳ ý.
+/ a = 4, b <=4, c chọn tuỳ ý.
+/ a=4, b =5, c<=5.
d/ Số đợc lập chia hết cho 7, 11, 13,
Phơng pháp: Tìm số lớn nhất, nhỏ nhất chia hết cho 7, 11, 13,
Sử dụng tính chất của cấp số cộng :
d
UU
n
n 1
1

+=
e/ Tìm tất cả các ớc nguyên dơng của một số nguyên cho trứơc:
Phơng pháp: phân tích số đó thành tích các số nguyên tố: 2
p
.3
q
.5
m
sau đó lập các nhóm :
2, 2
2
, 2
3
, 2
p
mỗi số của một nhóm cũng là một ớc của số đã cho+các số kết hợp từ
mỗi số của nhóm này với hai, ba nhóm còn lại
4/ Bài toán chọn vật:
Phơng pháp chủ yếu : chia nhỏ bài toán thành các trờng hợp nhỏ không giao nhau. Nếu việc chia
nhỏ bài toán thành quá nhiều trờng hợp thì ta xét bài toán ngợc. Kết quả của bài toán bằng cách
chọn tổng quát - đi kết quả bài toán ngợc. Khi chia bài toán thành nhiều bớc thì bớc chọn này
không đợc giao nhau về tính chọn, nghĩa là bớc 1 đã chọn có bạn nữ thì bớc hai không đợc có mặt
bạn nữ ( bớc1 đã chọn hoa đỏ thì bớc hai không đợc chọn hoa đỏ ).
5/Bài toán phân phối vật:
a/ vật khác nhau
Vd: Trên sân ga có 4 khách chờ lên tàu vào 3 toa. Hỏi có bao nhiêu cách lên tàu nếu:
24
toán tổng hợp.
? khách lên tàu tuỳ ý
? có 1 toa có đúng 3 vị hành khách

Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ ngồi.
` b/ Vật giống nhau:
Vd: có 3 viên bi giống nhau cần phân phối vào 3 hộp. Hỏi có bao nhiêu cách phân phối bi
biết rằng mỗi hộp có thể chứa ít nhất 3 viên.
6/ Bài toán chia nhóm:
a/ không lặp:
Vd: có m ngời chia thành n nhóm, mỗi nhóm có số ngời khác nhau
b/ có lặp:
Vd: có m ngời chia thành n nhóm sao cho có k nhóm giống nhau. Số cách chia nhóm bằng số
cách chọn ngời cho n nhóm chia cho k( k nhóm có số ngời bằng nhau lặp lại)
1/ từ các số 1, 5, 6, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số.
2/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số.
3/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là chữ số chẵn.
4/ Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì
giống nhau.
5/ Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số và chia hết cho 2.
6/ Cho 7 chữ số 0,1, 6.
a/ Từ 7 chữ số trên có thể lập thành bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau.
b/ Trong các số nói ở trên có bao nhiêu số chẵn,
c/ Trong các số nói ở trên có bao nhiêu số chia hết cho 5.
7/ Với các số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập đợc bao nhiêu số chia hểt cho 3 gồm 5 chữ số khác
nhau.
8/ Cho đa giác lồi P có n cạnh (n>=6).
a/ có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của P.
b/ trong số tam giác đó, có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của P.
9/ Lớp học có 20 học sinh, với 10 nam, 10 nữ. Cần chọn một nhóm 7 ngời, trong đó phải có ít
nhất là 2 nam và 2 nữ.
10/ Cho E là tập hợp gồm n phần tử. Hỏi số tất cả các tập con của E là bao nhiêu.
11/ Từ các số 1, 2, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau.
12/ trong một bữa tiệc, có 7 nam và 5 nữ. Ngời ta muốn chọn ra 4 cặp (1 nam, 1 nữ) để khiêu vũ.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
13/ Có 7 quả cầu trắng và 6 quả cầu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quả cầu đó, từ trái
sang phải sao cho:
a/ Không có 2 quả cầu nào cùng màu đứng cạnh nhau.
b/Có và chỉ có 2 quả cầu nào cùng mầu nào đó đứng cạnh nhau.
14/ Với 6 chữ số 0,1, 5 có thể lập đợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số và chia hêt cho 5.
15/Từ các chữ số 0, 1, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số thoả mãn một trong
hai điều kiện sau:
a/ các chữ số là đôi một khác nhau
b/ Số đó chia hết cho 4.
16/ Một lớp gồm 40 học sinh, trong đó có 8 học sinh nữ.
a/ có bao nhiêu cách chia lớp đó thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 học sinh.
b/ Có bao nhiêu cách chia lớp đó thành 4 tổ sao cho mỗi tổ có đúng 2 nữ và 8 nam.
c/ Sau khi chia tổ, nếu mỗi tổ chọn một tổ trởng và một tổ phó thì lớp có bao nhiêu cách
chọn đội ngũ cán bộ tổ khác.
17/ Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số gồm: hai chữ số 1, ba chữ số 2 và một chữ sô3 và thoả
mãn một trong các điều kiện sau:
a/ Các chữ số giống nhau thì đứng cạnh nhau.
b/ Các chữ số giống nhau không nhât thiết đứng cạnh nhau.
18/ Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó có 3 chữ số 0, 3 chữ số còn lại khác nhau và
khác 0.
19/ Một quầy hoa có 20 bông, ta cần chọn ra 5 bông sau đó tặng An 3 bông, Bình 1 bông và cúc 1
bông. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa.
20/ Có 1 nhóm học sinh gồm 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng vào lớp nếu:
a/ 3 bạn nữ đứng cạnh nhau.
b/ 3 bạn nữ không đứng cạnh nhau.
21/ Cho tập A là tập có n phần tử với n > 4. Tìm n biết rằng trong số các tập con của tập hợp A có
đúng 16n tập con có số phần tử là số lẻ.
22/ Có 5 bạn namvà 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng sao cho các bạn nam nữ đứng xen
kẽ.

25