Đề kiểm tra học kì 1 môn Toán lớp 11 số 6

KIỂM TRA HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN - Lớp 11
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
A. PHN CHUNG (7 điểm)
Câu 1: (2 điểm)
1) Giải phương trình sau: 2cosx -
3
= 0 (1)
2) Giải phương trình sau:
3cosx sin x 1 0− + =
(2)
Câu 2: (2 điểm)
1) Một bình đựng 15 viên bi gồm 6 xanh và 9 đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Tính xác suất
để được:
a) 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ
b) 3 viên bi không cùng một màu
2) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của
18
2
2






+
x
x
(*)
Câu 3: (2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
+ 4x - 6y - 12 = 0,
v
= (3; -2) và điểm A(1 ; 2).
1) Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo
v
.
2) Tìm ảnh của đường thẳng IA qua phép đối xứng tâm O, biết I là tâm của đường tròn
(C).
Câu 4: (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3sinx + 4 cosx + 5
B. PHN RIÊNG (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: (1,5 điểm)
Chứng minh rằng ∀n ∈ N
*
, ta có 1.2 + 2.3 + ………+ n (n + 1) =
n(n 1)(n 2)
3
+ +
(**)
Câu 6a: (1,5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD, I là điểm thuộc cạnh SC.
1) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD).
2) Gọi J là trọng tâm của tam giác SAD. Tìm giao điểm của đường thẳng SO và mặt
phẳng(BIJ).
2. Theo chương trình nâng cao

Câu 5b: (1,5 điểm)
1) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể viết được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác
nhau.
2) Giải phương trình sau:
xx
x
xx cos.sin
24
cos63cos3sin4
2233
+






−=++
π

Câu 6b: (1,5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD, I là điểm thuộc cạnh SC, J là
điểm thuộc cạnh SA.
1) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD); (BIJ) và(SBD).
2) Gọi M là trọng tâm của tam giác SAB và N là điểm thuộc BO sao cho BN = 2NO.
Hãy tìm giao điểm của SN và mặt phẳng (MIJ).
Hết
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Đ7p 7n Đi9m
Câu 1.1

(1điểm)
(1) <=> 2cosx =
3
<=> cosx =
2
3

<=> x =
6
π
+ k2
π
hoặc x = -
6
π
+ k2
π
, k
∈
Z
0,5
0,5
Câu 1.2
(1điểm)
(2) <=> sin
3
π
cosx - cos
3
π

sinx = -
2
1

<=> sin(
3
π
- x) = -
2
1
<=> x = -
6
5
π
+ k2
π
hoặc x =
2
π
+ k2
π
, k
∈
Z
0,5
0,5
Câu 2.1
(1,25
điểm)
a) 2 viên bi xanh và 1 đỏ

Không gian mẫu
Ω
: lấy 3 viên tùy ý nên n(Ω) =
3
15
C
= 455
0,25
Biến cố A: 2 viên bi xanh và 1 đỏ nên
1
9
2
6
.)( CCAn =
= 135 0,25
Vậy P(A) =
91
27
455
135
)(
)(
==
Ωn
An
0,25
b) 3 viên bi không cùng một màu
Biến cố B : 3 viên bi không cùng một màu
Biến cố
B

: 3 viên bi cùng một màu nên
( )
3 3
6 9
104n B C C= + =
0,25
Vậy P(
B
) =
455
104
)(
)(
=
Ωn
Bn
⇒ P(B) = 1 - P(
B
) = 1 -
35
27
455
104
=
0,25
Câu 2.2
(0,75
điểm)
Mọi số hạng của khai triển đều có dạng:
kkk

k
kk
xC
x
xC
318
18
2
18
18
2
2
−−
=






0.25
Số hạng không chứa x ứng với 18 - 3k = 0 hay k = 6 0.25
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là
6
18
6
2 C
0.25
Câu 3.1
(1điểm

)
Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo
v
r
Đường tròn (C) có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 5 0,25
( )
( )
( ) ( ) ( )
' '
v v
T C C T I I= ⇒ =
v v
là tâm của đường tròn (C’) và R’ = R = 5 0,25
Do đó: I’ (1; 1) 0,25
Vậy pt đường tròn (C’) là:
( ) ( )
2 2
1 1 25x y− + − =
0,25
Câu 3.2
(1điểm
)
Tìm ảnh của đường thẳng IA qua phép đối xứng tâm O, biết I là tâm của
đường tròn (C)
Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm A, I. Đ
O
(d) = d’ nên . Đ
O
(A) = A’∈ d’và
Đ

O
(I)= I’∈d’
0,25
Do đó: A’(-1; -2) và I(2; -3) 0,25
Đường thẳng d’ đi qua hai điểm A’ và I’ nên có phương trình là: x + 3y + 7 = 0 0, 5
Câu 4
(1điểm
)
y = 5(
5
3
sinx +
5
4
cosx) + 5 = 5sin(x + α) + 5 với sinα =
5
4
và cosα =
5
3

Suy ra 0
≤
y = sin(x + α) +5
≤
10
Vậy GTLN của y bằng 10, GTNN của y bằng 0.
0.5
0.5
Câu 5a

(1,5
điểm)
Ta thấy (**) đúng với n = 1
Giả sử (**) đúng với n = k , tức là: S
k
= 1.2 + 2.3 + ………+ k(k + 1)
=
3
)2)(1( ++ kkk
(***).
Ta chứng minh (**) đúng với n = k + 1, tức là cm:
0,25
0,5
2
Câu Đ7p 7n Đi9m
S
1+k
= 1.2 + 2.3 + ………+ k (k + 1) +(k+1)(k+2) =
3
)3)(2)(1
(
+++ kkk
Thật vậy: S
1+k
= S
K
+(k+1)(k+2) =
3
)2)(1( ++ kkk
+

(k+1)(k+2) ( theo (***)
=
3
)2)(1( ++ kkk
+
3
)2)(1.(3 ++ kk
=
3
)3)(2)(1
(
+++ kkk
(đpcm)
Vậy theo nguyên lý quy nạp (**) đúng
n∀
∈
N
*

0,5
0,25
Câu 6a.1
(0,75
điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD, I là điểm thuộc cạnh
SC.
1/ Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD)
H
E
N

J
M
O
S
A
B
D
C
I
( )
S SAC∈
( )
S SBD∈
nên S là điểm điểm chung thứ nhất
( )
O AC SAC∈ ⊂
( )
O BD SBD∈ ⊂
nên O là điểm điểm chung thứ hai.
Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.
0,25
0,25
0,25
Câu 6a.2
(0,75
điểm)
2/ Gọi J là trọng tâm của tam giác SAD. Tìm giao điểm của đường thẳng SO và
mặt phẳng(BIJ).
M
là giao điểm của SJ và AD, N : giao điểm của MO và BC 0,25

Mặt phẳng (SMN) chứa SO và cắt mp (BIJ) theo giao tuyến là đường thẳng JE 0,25
JE cắt SO tại H . Vậy H chính là giao điểm cần tìm. 0,25
Câu 5b.1
(0,75
điểm)
1/ Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7 có thể viết được bao nhiêu số chẵn có ba chữ
số khác nhau.
Gọi số cần tìm có dạng
{ }
, 0, , 0,2,4,6abc a a b c c≠ ≠ ≠ ∈
,
Nếu c = 0, có 7 cách chọn a, có 6 cách chọn b nên có 6.7 = 42 số 0,25
Nếu
{ }
2,4,6c ∈
, có 3 cách chọn c, có 6cách chọn a, có 6 cách chọn b nên có
3.6.6 = 108 số
0,25
Vậy có tất cả 42 + 108 = 152 số thỏa ycbt. 0,25
Câu 5b.2
(0,75
điểm)
2/ Giải phương trình sau:
 
 ÷
 
3 3 2 2
π x
4sin x + 3cos x + 3 = 6cos - +sin x.cosx
4 2

3 3 2
4sin 3cos 3sin sin x.cosx = 0pt x x x⇔ + − −
0,25
Nếu cosx = 0 thì pt trở thành
( ) ( )
3
4 1 3 1 0± − ± =
vô lí
Nên cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos
3
x, ta được:
3
Câu Đ7p 7n Đi9m
3 2
t an x-tan x-3tanx+3=0
x=
4
t anx=1
t anx= 3 x= ,
3
t anx=- 3
x=-
3
k
k k Z
k
π
π
π
π

π
π

+





⇔ ⇔ + ∈






+


0,5
Câu 6b.1
(0,75
điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD, I là điểm thuộc cạnh
SC, J là điểm thuộc cạnh SA.
1/ Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD); (BIJ) và(SBD).
G
E
P
K

N
O
M
H
S
B
C
A
I
J
Tìm giao tuyến (SAC) và (SBD)
( )
S SAC∈
( )
S SBD∈
nên S là điểm điểm chung thứ nhất
( )
O AC SAC∈ ⊂
( )
O BD SBD∈ ⊂
nên O là điểm điểm chung thứ hai.
Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.
0,25
0,25
Tìm giao tuyến (BIJ) và(SBD)
G là giao điểm của SO và IJ suy ra giao tuyến là đường thẳng BG
0,25
Câu 6b.2
(0,75
điểm)

2/ Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và ABC. Hãy tìm giao
điểm của SN và mặt phẳng (MIJ)
Chọn mặt phẳng (SMN) chứa đường thẳng SN 0,25
Giao tuyến của của mặt phẳng (SMN) và mặt phẳng (MIJ) là đường thẳng MP 0,25
Gọi E là giao điểm của ME và đường thẳng SN thì E chính là giao điểm cần
tìm.
0,25
Học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần
như quy định.
4