Đề kiểm tra học kỳ môn Toán lớp 11 (1)

Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014-2015
TỔ TOÁN MÔN TOÁN LỚP 11 - Thời gian làm bài: 90 phút
o0o 
Câu 1: (1 điểm) Tìm tập xác định của hàm số
cos 1
1 cot
x
y
x
−
=
−
Câu 2: (3 điểm) Giải các phương trình sau:
a/
2
2cos 2 cos 0x x− =
b/
2
sin cos 3cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
c/
( )
( )
2
3 2 2sin sin cos 3 2sin 0x x x x

− − + − =
Câu 3: (1,5 điểm)
a/ Lớp 11B có 38 học sinh trong đó có 10 học sinh khá , giỏi . Hỏi có bao nhiêu
cách chọn một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập và hai ủy viên .
Biết rằng lớp trưởng, lớp phó phải là học sinh khá giỏi (còn ủy viên ai làm cũng được).
b/ Từ các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 . Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ
số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số có hai chữ số khác nhau ở trên . Tính xác suất để
số được chọn có cả hai chữ số đều lẻ .
Câu 4: (1.5 điểm)
a/ Tìm hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển nhị thức
( )
7
2 3x−
b/ Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu , mỗi người bắn một viên đạn . Xác suất
bắn trúng mục tiêu tương ứng của hai xạ thủ là 0,6 và 0,8 . Tính xác suất phần trăm để
mục tiêu bị trúng đạn .
Câu 5: (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình
2 2 0x − =
. Tìm phương trình ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
1
2
k =
và phép quay tâm O góc
0
45

.
Câu 6: (2 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với AB là đáy lớn .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và SC .
a/ Tìm giao tuyến của mặt phẳng
( )SAD
và mặt phẳng
( )SBC
, giao tuyến của mặt
phẳng (SDC) và mặt phẳng (SAB) .
b/ Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng
( )AMN
và thiết diện của
hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng
( )AMN
.
Hết
1
Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014-2015
TỔ TOÁN MÔN TOÁN LỚP 11 - Thời gian làm bài: 90’
o0o 

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA (ĐỀ TỰ LUẬN
NỘI DUNG – MỨC ĐỘ
NHẬN
BIẾT
THỒNG
HIỂU
VẬN
DỤNG TỔNG

Chương I:
Hàm số
lượng giác và
Hàm số
lượng giác
Câu 1
1,0
1
1,0
Phương trình
lượng giác
Câu 2a
1,0
Câu 2b
1,0
Câu 2c
1,0
3
3,0
Chương II:
Tổ hợp – Xác
suất
Nhị thức
Newton . Tổ
và chỉnh hợp
Câu 3a,4a

1,0
2
1,0

Xác suất của
biến cố
Câu3b
1,0
Câu 4b
1,0
2
2,0
Chương I:
Phép dời
hình và phép
đồng dạng
Phép vị tự ,
Phép quay

Câu5
1,0
1
1,0
Chương II:
Đường thẳng
và mặt phẳng
Đại cương về
đường thẳng
và mặt phẳng
Câu 6
2,0

1
2,0

TỔNG
3
3,0
2
4,0
2
3,0
7
10
Chú thích :
-Trong phần “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng’’ chú ý thêm cho học sinh vấn đề về
hai đường thẳng song song (các định lý về giao tuyến có liên quan ) .
- Trong phần hàm số lượng giác giảm tải cho học sinh vấn đề về tính tuần hoàn của hàm số ,
đồ thị của hàm số lượng giác .
- Giảm nhẹ cho học sinh những phương trình lượng giác bậc cao (bậc ba trở lên) .
2
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 -2015 MÔN TOÁN LỚP 11
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
Tìm tập xác định của hàm số
cos 1
1 cot
x
y
x
−

=
−
1,0
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi
sin 0
1 cot 0
x
x
≠


− ≠


0,25
sin 0
cot 1
x
x
≠

⇔

≠


( )

4
x k

k
x k
π
π
π
≠


⇔ ∈

≠ +


¢
0,5
Vậy tập xác định của hàm số là

và ,
4
D x x k x k k
π
π π
 
= ∈ ≠ ≠ + ∈
 
 
¢¡
0,25
2 Giải các phương trình lượng giác 3,0
2 a

2
2cos 2 cos 0x x− =
1,0
PT
( )
cos 0
cos 2cos 2 0
2
cos
2
x
x x
x
=


⇔ − = ⇔

=


0,5

2
( )
2
4
x k
k Z

x k
π
π
π
π

= +

⇔ ∈


= ± +


.Vậy phương trình có 3 nghiệm .
0,5
2b

2
sin cos 3cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
1,0
PT
2 2

sin os 2sin .cos 3 cos 2
2 2 2 2
x x x x
c x⇔ + + + =
0,25

1 3 1 1
sin cos cos .sin sin .cos
2 2 2 3 3 2
x x x x
π π
⇔ + = ⇔ + =
0,25

sin sin
3 6
x
π π
 
⇔ + =
 ÷
 
2
3 6
2
3 6
x k
x k
π π
π

π π
π π

+ = +

⇔


+ = − +


0,25
Phương trình có hai nghiệm :
2
6
x k
π
π
= − +
và
2 ( )
2
x k k
π
π
= + ∈¢
0,25
2c

( )

( )
2
3 2 2sin sin cos 3 2sin 0x x x x− − + − =
1,0
PT
( )
( )
2
3 2cos sin cos 3 2sin 0x x x x⇔ − + − =

( ) ( )
2
2 3cos 3cos 3 sin 2sin cos 0x x x x x⇔ + − + =
0,25

( ) ( )
3cos 2cos 3 sin 3 2cos 0x x x x⇔ + − + =

( ) ( )
2cos 3 3 cos sin 0x x x⇔ + − =
0,25
3

3
2cos 3 0
cos
2
3 cos sin 0
tan 3
x

x
x x
x


+ =
= −

⇔ ⇔


− =



=

0,25

5 5
cos cos 2
6 6
( )
tan tan
3 3
x x k
k
x x k
π π
π

π π
π
 
= = ± +
 
⇔ ⇔ ∈
 
 
= = +
 
 
¢
. (Phtrình có 3 nghiệm)
0,25
3 1,5
3a Lớp có 38 học sinh trong đó có 10 học sinh khá , giỏi . Hỏi có bao nhiêu
cách chọn một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng , một lớp phó học tập
và hai ủy viên . Biết rằng lớp trưởng , lớp phó phải là học sinh khá giỏi .
0,5
Phép chọn được thực hiện bởi hai bước liên tiếp :
- Chọn một lớp trưởng , một lớp phó học tập có
2
10
90A =
cách
0,25
- Sau đó ứng với mỗi cách trên chọn hai ủy viên có
2
36
630C =

cách
Theo qui tắc nhân có 90 .630 = 56.700 cách chọn ban cán sự lớp
0,25
3b Từ các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 . Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên
có 2 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số có hai chữ số khác nhau
ở trên . Tính xác suất để số được chọn có cả hai chữ số đều lẻ .
1,0
Số cách lập số tự nhiên có hai chữ số khác nhau
2
7
42A =
cách
Suy ra có 42 số , ta có
( ) 42n Ω =
0,25
Gọi A là biến cố “ Số được chọn có hai chữ số đều lẻ”
Số các kết quả thuận lợi cho A :
2
4
( ) 12n A A= =
0,5
Xác suất của biến cố A là
( ) 12 2
( )
( ) 42 7
n A
P A
n
= = =
Ω

.
0,25
4 1,5
a
Tìm hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển nhị thức
( )
7
2 3x−
0,5
Số hạng chứa
4
x
trong khai triển nhị thức trên là
4 3 4 4 3 4 4
7 7
2 ( 3 ) ( 3) 2C x C x− = −
0,25
Vậy hệ số cần tìm :
4 4
7
8( 3) 22680C− =
0,25
b Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu , mỗi người bắn một viên đạn .
Xác suất bắn trúng mục tiêu tương ứng của hai xạ thủ là 0,6 và 0,8 .
Tính xác suất phần trăm để mục tiêu bị trúng đạn .
1,0
Gọi

i
A
là biến cố : “Người thứ i bắn trúng mục tiêu ”
1;2i =
.
thì
i
A
là biến cố : “ Người thứ i bắn không trúng mục tiêu”
Ta có
( )
1 1
( ) 0,6 0,4P A P A
= ⇒ =
và
( )
2 2
( ) 0,8 0,2P A P A
= ⇒ =
0,25
Gọi X là biến cố : “ Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu’’
X
là biến cố : “ Không có xạ thủ nào bắn trúng mục tiêu ”
Ta có
1 2
X A A= ∩
.
0,25
Do
1 2

, A A
là các biến cố độc lập nên
1 2
, A A
cũng là các biến cố độc lập
Nên
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
. 0,4.0,2 0,08P X P A A P A P A
= = = =
( )
( ) 1 1 0,08 0,92P X P X⇒ = − = − =
0,25
Vậy xác suất để mục tiêu bị trúng đạn là 92%. 0,25
4
5
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương
trình
2 2 0x − =
. Tìm phương trình ảnh của d qua phép đồng dạng có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
1
2
k =
và phép
quay tâm O góc
0
45
.
1,0

+ Gọi
( )
1 1
1
;
2
O
d V d d
 
 ÷
 
= ⇒
//
d
⇒
Phương trình
1
: 0d x m+ =
(1)
0,25
Lấy điểm
( )
1 1
1
;
2
2 2; 0 ( ) ( 2; 0)
O
M d V M M d

 
 ÷
 
∈ ⇒ = ∈

Thay tọa độ của
1
M
vào phương trình (1) ta có
2m = −
.
Suy ra phương trình
1
: 2 0d x − =
.
0,25
+ Gọi
'd
là ảnh của
1
d
qua phép quay tâm O góc
0
45
Lấy điểm
( )
1 1
2; 0M d∈
thì
( )

( ) ( )
0
1
; 45
' ; '
O
Q M M x y d= ∈
Do
1
OM x∈
nên qua phép quay đó biến
1
M
thành
'M ∈∆
(đường phân
giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình
y x=
)
'( ; )M x x⇒
.
Ngoài ra
( )
1
' 2 ' 1; 1OM OM M= = ⇒
( hình vẽ )
0,25
Ta có phép
0
( ; 45 )O

Q
biến
1
'OM OM→
và biến
1
'd d→
, mà
1 1
' 'OM d OM d⊥ ⇒ ⊥
nên
'd
qua
'(1; 1)M
và nhận
' (1; 1)OM =
uuuur
làm
vec tơ pháp tuyến. Suy ra
':1( 1) 1( 1) 0 2 0d x y x y− + − = ⇔ + − =
Vậy phép đồng dạng
: 'F d d→
và phương trình
': 2 0d x y+ − =
.

0,25
6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với AB là đáy
lớn . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và SC.
2,0

6a
Tìm giao tuyến của mặt phẳng
( )SAD
và mặt phẳng
( )SBC
, giao tuyến
của mặt phẳng (SDC) và mặt phẳng (SAB)
1.0
- Ta có S là điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)
Trong mp(ABCD) : BC cắt AD tại E . Ta có
( )E BC SBC∈ ⊂
và

( )E AD SAD∈ ⊂
nên E là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng đó.
Vậy
( ) ( )SBC SAD SE∩ =

0,25
- Ta có S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SDC).
Ngoài ra hai mặt phẳng này lần lượt đi qua hai đường thẳng AB và CD
song song với nhau, suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường 0,5
5
thẳng d qua S và
// // d AB CD
. Vậy
( ) ( )SAB SCD d∩ =
.
0,25
6b

Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng
( )AMN
và thiết diện
của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng
( )AMN
.
1,0
Trong mặt phẳng (SBC), đường thẳng MN cắt SE tại điểm K .
Trong mặt phẳng (SAD), đường thẳng KA cắt SD tại điểm P .
Do
( ) ( )K MN K AMN AK AMN∈ ⇒ ∈ ⇒ ⊂
. Vậy
( )SD AMN P∩ =
0,5
Ta có (AMN) cắt các cạnh SB , SC , SD của hình chóp lần lượt tại các
điểm M , N , P nên (AMN) cắt các mặt bên SAB , SBC , SCD , SAD của
hình chóp S.ABCD theo các đoạn giao tuyến lần lượt là AM , MN , NP ,
PA .
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AMNP .
0,5
6