Đề kiểm tra học kỳ môn Toán lớp 11 (2)

TRƯỜNG THPT VINH XUÂN KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015
TỔ TOÁN MÔN TOÁN LỚP 11 - Thời gian làm bài: 90 phút
o0o 
MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA (ĐỀ TỰ LUẬN)
NỘI DUNG – MỨC ĐỘ
NHẬN
BIẾT
THỒNG
HIỂU
VẬN
DỤNG TỔNG
Chương
IV
Giới hạn
Giới hạn hàm số
Câu 1a

1,0
Câu 1b
1,0
2

2,0
Hàm số liên tục
Câu 2
1,0
1
1,0
Chương V
Đạo hàm
Quy tắc tính đạo

hàm
Câu 3a

0,5
Câu 3b

1,0
2

1,5
Đạo hàm hàm
lượng giác
Câu 3c

0,5

1

0,5
Đạo hàm cấp hai
Câu 4

1,0
1
1,0
Ý nghĩa của đạo
hàm

Câu 5b
1,0
2
2,0
Chương
III
Quan hệ
vuông góc
Đường thẳng
vuông góc mặt
phẳng
Câu 6a

1,0
1
1,0
Góc giữa đường
thẳng và mặt
phẳng.

Câu 6b
1,0
Câu 6c


1,0
1

1,0
Góc giữa hai mặt

phẳng

Câu 6c
1,0
1
1,0
TỔNG
4
3,0
5
4,0
3
3,0
12
10,
0
Chú thích:
Câu 1:Tính giới hạn của hàm số.
Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm.
Câu 3a: Tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ.
Câu 3b: Tính đạo hàm của hàm số hợp.
Câu 3c: Tính đạo hàm của hàm lượng giác.
Câu 4: Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm cấp 2.
Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết một số yếu tố.
Câu 6a: Chứng minh đường thẳng vuông góc mp.
Câu 6b: Xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Câu 6c: Xác định được góc giữa 2 mặt phẳng.
TRƯỜNG THPT VINH XUÂN KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015
TỔ TOÁN MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 90phút


ĐỀ CHÍNH THỨC:
Câu 1 (2,0 điểm): Tính các giới hạn sau:
a)
1 2
lim
2 3
x
x
x
→+∞
+
−

b)
2
7 3
lim
2
x
x
x
→
+ −
−
Câu 2 (1,0 điểm): Cho hàm số
3
2
8
khi 2

( )
3 2
12 khi 2
x
x
f x
x x
x

−
≠

=
− +


=

.
Xét tính liên tục của hàm số trên
¡
.
Câu 3 (2,0 điểm): Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
1
2 4
x
y
x
−

=
−

b)
( )
6
2 2 1y x x
= − −

c)
2
sin 2
3 1
2
x
y cos x= − +

Câu 4 (1,0 điểm): Cho hàm số
(
)
2
2
1 .y x x= + +

Chứng minh đẳng thức :
( )
2
1 '' ' 4 0x y xy y
+ + − =
.

Câu 5(1,0 điểm): Cho hàm số
3 2
( ) 2 1y f x x x
= = + −
có đồ thị (C). Viết phương
trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:2x-2y-3=0.
Câu 6 (3,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,AC=
2a
.
Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =
3a
.
a) Chứng minh
( )BC SAB⊥
.
b) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
c) Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc của mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (ABC)

Hết
Ghi chú: - Học sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
TRƯỜNG THPT VINH XUÂN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
TỔ TOÁN KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015
o0o MÔN TOÁN LỚP 11

Câu Ý Nội dung Điểm
1
Tính các giới hạn sau
2,0
a
1

2
1 2
2
2 3
3
lim lim
x x
x
x
x
x
→+∞ →+∞
+
+
=
−
−
0,5

0 2 2
0 3 3
+
= = −
−
0,5
b
2 2
7 3 ( 7 3)( 7 3)
lim lim
2

( 2)( 7 3)
x x
x x x
x
x x
→ →
+ − + − + +
=
−
− + +
0,25

2
2
lim
( 2)( 7 3)
x
x
x x
→
−
=
− + +
0,25

2
1
lim
7 3
x

x
→
=
+ +
0,25

1
6
=
0,25
2
Cho hàm số
3
2
8
khi 2
( )
3 2
12 khi 2
x
x
f x
x x
x

−
≠

=
− +



=

.Xét tính liên tục của hàm số trên
¡
1,0
+ Hàm số liên tục trên các khoảng
( )
;1−∞
,
( )
1;2
;
( )
2;+∞
Ta có f(1) không xác định nên hàm số f(x) không liên tục tại x = 1
0,25
+Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2 , Ta có:

( )
( )
2
3
2
2 2 2
2 .( 2 4)
8
lim lim lim
3 2 ( 2)( 1)

x x x
x x x
x
f x
x x x x
→ → →
− + +
−
= =
− + − −
2
2
2 4
lim 12
1
x
x x
x
→
+ +
= =
−
0,25
+
( )
2 12f
=
;
2
lim ( ) (2)

x
f x f
→
=
( )
f x
⇒
liên tục tại x=2.
0,25
Vậy hàm số liên tục trên
¡
\
{ }
1
0,25
3 Tìm đạo hàm của các hàm số sau 2,0
a
1
2 4
x
y
x
−
=
−
0,5
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 ' 2 4 1 2 4 '
'

(2 4)
x x x x
y
x
− − − − −
=
−
0,25
2
2
'
(2 4)
y
x
−
=
−
0,25
b
( )
6
2 2 1y x x
= − −
1,0
( ) ( )
5 '
' 6 2 2 1 2 2 1y x x x x
= − − − −
0,5

( )
5
(2 1)'
6 2 2 1 2
2 2 1
x
x x
x
−
 
= − − −
 ÷
−
 
0,25

( )
5
1
6 2 2 1 2
2 1
x x
x
 
= − − −
 ÷
−
 
0,25
c

2
sin 2
3 1
2
x
y cos x= − +
0,5
( ) ( )
( ) ( )
1
' .2sin 2 . sin 2 ' cos3 ' 0
2
sin 2 . 2 'cos 2 3 'sin3
y x x x
x x x x x
= − +
= +
0,25
2sin 2 .cos 2 3sin3x x x
= +

0,25
4
Cho hàm số
(
)
2
2
1 .y x x= + +
Chứng minh:

( )
2
1 '' ' 4 0x y xy y+ + − =

1,0
(
)
( )
2
2
2
2 2
2 1
' 2 1 . 1
1 1
x x
x
y x x
x x
+ +
 
= + + + =
 ÷
+ +
 
0,25

(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
1 '. 1 1 ' 1
'' 2.
1
2 1
. 1 1
1 1

2.
1
2
4 1 1
1
1
x x x x x x
y
x
x x
x
x x x
x x
x
x
x x x x
x
x
 
+ + + − + + +
 
 
=
+
 
+ +
 
+ − + +
 
+ +

 
 
=
+
+ + − + +
+
=
+
0,25
( )
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
2
2
1 '' ' 4
2
4( 1 ) ( 1 )
( 1 )
1
(1 ) 2 ) 4( 1 )
1
1
VT x y xy y
x
x x x x
x x
x

x x x x
x
x
= + + −
 
+ + − + +
 
+ +
+
 
= + + − + +
+
 
+
 
 
0,25
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 ( 1 )
4( 1 ) ( 1 ) 2 ) 4( 1 )
1 1
0
x x x
x x x x x x x
x x
VP
+ +
= + + − + + + − + +

+ +
= =
0,25
5
Cho hàm số
3 2
( ) 2 1f x x x= + −
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:2x-2y-3=0.
1,0
Gọi M(x;y) là tiếp điểm. Ta có:
2
'( ) 3 4f x x x= +
0,25
Vì tiếp tuyến vuông góc với
3
: 2 2 3 0
2
d x y y x− − = ⇔ = −
nên hệ số góc
của tiếp tuyến k=-1
0,25

2
'( ) 1
3 4 1
1
1
3
f x

x x
x
x
⇔ = −
⇔ + = −
= −


⇔

= −

• Với
1 0 ( 1;0)x y M= − ⇒ = ⇒ −
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm:
1( 1) 0 1y x y x= − + + ⇔ = − −
0,25
• Với
1 22 1 22
( ; )
3 27 3 27
x y M
− − − −
= ⇒ = ⇒
.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm:
1 22 31
1( )
3 27 27

y x y x= − + − ⇔ = − −
0,25
6
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=
2a
.Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =
3a
.
3,0
a Chứng minh BC vuông góc mặt phẳng (SAB).
1,0
H
I
M
A
C
B
S
0,25
Ta có:
BC AB⊥
(vì tam giác ABC vuông tại B) (1)
0,25
BC SA⊥
(vì
( )SA ABC⊥
) (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra:
( )BC SAB⊥

0,25
b
Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
1,0
Ta có
( )SA ABC⊥
nên hình chiếu của SB lên mp(ABC) là AB.
Suy ra
( ,( )) ( , )SB ABC SB AB SBA
∧
= =
0,25
2 2 2
2
2 2
2
AB BC AC
AC
AB a AB a
+ =
⇔ = = ⇒ =
0,25
Trong tam giác vuông SAB ta có:
3
tan 3
SA a
B
AB a
= = =
0,25

Suy ra
0
ˆ
60B =
. Vậy
0
( ,( )) 60SB ABC =
.
0,25
c
Gọi M là trung điểm của SC . Tính góc của mặt phẳng (ABM) và mặt
phẳng (ABC)
1,0
Ta có:
( ) ( )ABM ABC AB∩ =
.Gọi I là trung điểm của AB.
Gọi H là trung điểm của AC
/ / ( )MH SA MH SAB⇒ ⇒ ⊥
.
0,25
Trong mặt phẳng (ABC): HI//BC mà BC
⊥
AB nên
HI AB⊥
.(1)
Ta lại có:
AB MH
AB MI
AB HI
⊥


⇒ ⊥

⊥

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
ˆ
(( ),( )) ( , )MAB ABC MI HI MIH
α
= = =


0,25
IH=
22
aBC
=
và
3
2 2
SA a
MH
= =

Trong tam giác MIH vuông tại H :
3
tan : 3 60
2 2
MH a a

HI
α α
= = = ⇒ =
o
0,25
Vậy
0
(( ),( )) 60MAB ABC =
0,25