Đề kiểm tra học kì môn Toán lớp 10 (7)

Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2014-2015
TỔ TOÁN MÔN TOÁN LỚP 10 - Thời gian làm bài: 90 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC − − − − − −&− − − − − −
o0o
Câu 1 (1,0 điểm): Xét dấu biểu thức
( )
2
(3 )(2 1)f x x x x= − − −
.
Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình
2
(3 )(2 1) 0x x x− − − ≥
Câu 2 (1,0 điểm): Giải bất phương trình
3 1
2 4x x
≤
+ −
Câu 3 (1,0 điểm): Tìm các giá trị
m
để phương trình
2 2
2( 1) 6 5 0x m x m m− − − + − =
(1) có hai
nghiệm dương phân biệt.
Câu 4 (1,0 điểm): Rút gọn biểu thức
( )
2 2
sin sin 1 tan( )
2
p x x x
π

π π
 
= − + − − + +
 ÷
 
Câu 5 (1,0 điểm): Cho
3
sin ,
5 2
π
α α π
= < <
. Tính giá trị của biểu thức
2 3
cos sin
4 3 5
A
π π
α α
   
= + + − −
 ÷  ÷
   
Câu 6 (1,0 điểm):
Chứng minh đẳng thức
1 sin 2 cos2
cot
1 sin 2 cos2
a a
a

a a
+ +
=
+ −
, (khi các biểu thức có nghĩa)
Câu 7 (1,0 điểm): Cho
, , A B C
là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng:
2 2 2
cos cos cos 1 2cos .cos .cosA B C A B C+ + = −
Câu 8 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng
( )Oxy
cho
( )
1; 1A − −
và đường thẳng
:3 4 5 0x y∆ − + =
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua
A
và song song với
∆
.
b) Viết phương trình đường tròn tâm
( )
3;1I
và tiếp xúc với
∆
.
Câu 9 (1,0 điểm):
Trong mặt phẳng

( )Oxy
cho tam giác
ABC
cân ở
( )
4;6A
và điểm
( )
6;2M
nằm trên
cạnh
BC
, trọng tâm G của tam giác
ABC
nằm trên đường thẳng
: 2 2 0d x y− + =
.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
BC
.
Hết
ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2014-2015
Câu Nội dung
Điểm
1
Xét dấu biểu thức
( )
2
(3 )(2 1)f x x x x= − − −
.

1,0
Ta có
2
( ) 0 (3 )(2 1) 0f x x x x= ⇔ − − − =

2
3
3 0
1
2 1 0
1
2
x
x
x
x x
x


=
− =


⇔ ⇔ =


− − =


= −



0,25
Bảng xét dấu của
( )f x

x
−∞

1
2
−
1 3
+∞
3 x
−
+ + + 0 ─
2
2 1x x− −
+ 0 ─ 0 + +
( )f x
+ 0 ─ 0 + 0 ─
0,25
Từ BXD ta có
( )
1
( ) 0, ; 1;3
2
f x x
 

> ∀ ∈ −∞ −
 ÷
 
U
;
( )
1
( ) 0, ;1 3;
2
f x x
 
< ∀ ∈ − +∞
 ÷
 
U
0,25
Dựa vào BXD suy ra tập nghiệm của bất phương trình
2
(3 )(2 1) 0x x x− − − ≥
là

[ ]
1
; 1;3
2
S
 
= −∞ −



 
U
0,25
2
Giải bất phương trình
3 1
2 4x x
≤
+ −
(1)
1,0

ĐK :
2
4
x
x
≠ −


≠

0,25
Bpt (1)
( ) ( )
3 1 10 4
0 0
2 4 2 4
x
x x x x

−
⇔ − ≤ ⇔ ≤
+ − + −
0,25
Đặt
( )
( ) ( )
10 4
2 4
x
g x
x x
−
=
+ −
;
( )
5
0
2
g x x= ⇔ =
0,25
x
−∞

2−

5
2
4

+∞
10 4x−
+ + 0 ─ ─
( ) ( )
2 4x x+ −
─ 0 + + 0 ─
( )g x
─ + 0 ─ + .
Dựa vào BXD suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

( )
5
; 2 ;4
2
S
 
= −∞ −
÷

 
U
0,25
3

Tìm các giá trị
m
để phương trình
2 2
2( 1) 6 5 0x m x m m− − − + − =
(1) có hai

nghiệm dương phân biệt.
1,0
Để pt(1) có hai nghiệm dương phân biệt
' 0
0
0
S
P
∆ >


⇔ >


>

0,25

2 2 2
2 2
( 1) 6 5 0 2 8 6 0
2( 1) 0 1
6 5 0 6 5 0
m m m m m
m m
m m m m
 
− + − + > − + >
 
⇔ − > ⇔ >

 
 
− + − > − + <
 
0,25

1
3
1 3 5
1 5
m
m
m m
m

<



>



⇔ > ⇔ < <


< <




Vậy
3 5m< <
là giá trị cần tìm
0,50
4
Rút gọn biểu thức
( )
2 2
sin sin 1 tan( )
2
p x x x
π
π π
 
= − + − − + +
 ÷
 
1,0
Ta có
( )
2 2
sin sin 1 tan( )
2
p x x x
π
π π
 
= − + − − + +
 ÷
 

2 2
cos sin 1 tanx x x= + − +
0,75

tan x=
0,25
5
Cho
3
sin ,
5 2
π
α α π
= < <
. Tính giá trị của biểu thức
2 3
cos sin
4 3 5
A
π π
α α
   
= + + − −
 ÷  ÷
   
1,0
Ta có
2 2
9 16 4

cos 1 sin 1 cos
25 25 5
α α α
= − = − = ⇒ = ±
0,25
Vì
2
π
α π
< <
suy ra
cos 0
α
<
nên
4
cos
5
α
= −
0,25

2 3
cos sin
4 3 5
A
π π
α α
   
= + + − −

 ÷  ÷
   

2 3
cos .cos sin .sin sin .cos cos .sin
4 4 3 3 5
π π π π
α α α α
= − + − −
0,25

4 2 3 2 3 1 4 3 2 3 3 7 2
. . . .
5 2 5 2 5 2 5 2 5 10
−
= − − + + − =
0,25
6
Chứng minh đẳng thức
1 sin 2 cos2
cot
1 sin 2 cos2
a a
a
a a
+ +
=
+ −
, (khi các biểu thức có nghĩa)
1,0

Ta có
2
2
1 sin 2 cos2 (1 cos2 ) sin 2 2cos 2sin cos
1 sin 2 cos2 (1 cos2 ) sin 2 2sin 2sin cos
a a a a a a a
a a a a a a a
+ + + + +
= =
+ − − + +
0,50

2cos (cos sin )
2sin (sin cos )
a a a
a a a
+
=
+
0,25

cos
cot
sin
a
a
a
= =
0,25
7

Cho
, , A B C
là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng:
2 2 2
cos cos cos 1 2cos .cos .cosA B C A B C+ + = −
1,0
Ta có
2 2 2 2
1 cos2 1 cos2
cos cos cos cos
2 2
B C
A B C A
+ +
+ + = + +
0,25

( )
2 2
1
cos 1 cos2 cos2 1 cos cos( ).cos( )
2
A B C A B C B C= + + + = + + + −
0,25

2 2
1 cos cos( ).cos( ) 1 cos cos .cos( )A A B C A A B C
π
= + + − − = + − −

[ ]
1 cos cos cos( )A A B C= + − −
0,25

[ ]
1 cos cos( ) cos( ) 1 2cos cos cosA B C B C A B C= + − + − − = −
0,25
8
Trong mặt phẳng
( )Oxy
cho
( )
1; 1A − −
và đường thẳng
:3 4 5 0x y∆ − + =
2,0
8a Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua
A
và song song với
∆
. 1,0
Vì d song song với
∆
nên phương trình đường thẳng d có dạng

:3 4 0d x y C− + =
với
5C
≠
0,5

Vì
( )
1; 1A − −
thuộc d ta có
3 4 0 1C C
− + + = ⇔ = −
thỏa mãn
5C
≠
0,25
Vậy phương trình đường thẳng
:3 4 1 0d x y− − =
0,25
8b
Viết phương trình đường tròn tâm
( )
3;1I
và tiếp xúc với
∆
. 1,0
Đường tròn tâm
( )
3;1I
và tiếp xúc với
∆
nên có bán kính

2 2
9 4 5
10

( ; ) 2
5
3 4
R d I
− +
= ∆ = = =
+
0,50
Vậy phương trình đường tròn tâm
( )
3;1I
bán kính
2R =
là

2 2
( 3) ( 1) 4x y− + − =
0,50
9
Trong mặt phẳng
( )Oxy
cho tam giác
ABC
cân ở
( )
4;6A
và điểm
( )
6;2M
nằm

trên cạnh
BC
, trọng tâm G của tam giác
ABC
nằm trên đường thẳng
: 2 2 0d x y− + =
. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
BC
.
1,0
Gọi
( )
;H x y
là trung điểm của
BC
suy ra
AH BC⊥
Vì
G d∈
nên tọa độ
( )
2 2;G a a−
Ta có
(2 6; 6)AG a a= − −
uuur
;
( 4; 6)AH x y= − −
uuur
Vì
G

là trọng tâm của tam giác
ABC
nên
2
2 6 ( 4)
2
3
2
3
6 ( 6)
3
a x
AG AH
a y

− = −


= ⇔


− = −


uuur uuur

3 5
3
3 5; 3
3

2
3
2
x a
a
H a
a
y
= −


 
⇔ ⇒ − −

 ÷
= −
 


0,25
Ta có
3
(3 9; 9)
2
a
AH a= − −
uuur
;
3
(3 11; 5)

2
a
MH a= − −
uuuur
Mà
. 0M BC AH MH AH MH∈ ⇒ ⊥ ⇔ =
uuur uuuur

3 3
(3 9)(3 11) 9 5 0
2 2
a a
a a
  
⇔ − − + − − =
 ÷ ÷
  
0,25

2
5 108 576 0t t⇔ − + =
với
3t a
=

12 4
48 16
5 5
t a
t a

= =
 
 
⇔ ⇒
 
= =
 
+ Với
4 (7;3)a H= ⇒
và
(3; 3) 3(1; 1)AH = − = −
uuur
Đường thẳng BC đi qua
( )
6;2M
và nhận véc tơ
1
(1; 1)
3
n AH= = −
r uuur
làm VTPT
Phương trình đường thẳng
BC
:
6 ( 2) 0 4 0x y x y− − − = ⇔ − − =
0,25
+ Với
16 23 9
;

5 5 5
a H
 
= ⇒
 ÷
 
và
( )
3 21 3
; 1; 7
5 5 5
AH
 
= − = −
 ÷
 
uuur
Đường thẳng BC đi qua
( )
6;2M
và nhận véc tơ
5
(1; 7)
3
n AH= = −
r uuur
làm VTPT
Phương trình đường thẳng
BC
:

6 7( 2) 0 7 8 0x y x y− − − = ⇔ − + =
0,25
Hết