Đề thi toán 11 - sưu tầm đề kiểm tra, thi học kỳ, thi học sinh giỏi tham khảo bồi dưỡng (35)

ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ I MÔN TOÁN– Khối 11
Năm học :2010-2011

A. ĐẠI SỐ:
I - LƯỢNG GIÁC:
Dạng 1 : Phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ:Giải các phương trình sau:
3
a. sin x
2
= −

1
b. sin x
4
=

( )
o
1
c. sin x 60 d. sin 2x 1
2
− = = −
a.
3
sin x sin x sin
2 3
π
 
= − ⇔ = −
 ÷

 
⇔
x k2
x k2
3
3
, k
5
x k2
x k2
3
3
π

π

= − + π
= − + π



⇔ ∈

π
π
 


= π− − + π
= + π

 ÷



 

¢
b. Phương trình
1
sin x
4
=
có các nghiệm là:
1 1
x arcsin k2 , x arcsin k2 k
4 4

= + π = π− + π ∈


¢
c.
( ) ( )
o o o
1
sin x 60 sin x 60 sin 30
2
− = ⇔ − =
o o o o o
o o o o o o

x 60 30 k360 x 90 k360
k
x 60 180 30 k360 x 210 k360
 
− = + = +
⇔ ⇔ ∈
 
− = − + = +
 
¢
d. Ta có: sin2x = -1 .Phương trình có nghiệm là:
3 3
2x k2 x k2 k
2 4
π π
= + π ⇔ = + π ∈¢
Bài 1) Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
2sin 3 0
5
x
π
 
+ − =
 ÷
 
b)
3
cos 2 sin 0
4 2

x x
π π
   
+ − + =
 ÷  ÷
   

c)
( ) ( )
0 0
sin 2 50 os x+120 0x c
+ − =
d) cos3x − sin4x = 0
sinu=sinv
⇔



+−=
+=
ππ
π
2
2
kvu
kvu
sinx = 0
⇔
x = k
., zk ∈

π
sinx = 1
⇔
x =
.,2
2
zkk ∈+
π
π
sinx = -1
⇔
x =-
.,2
2
zkk ∈+
π
π
cosu=cosv
⇔



+−=
+=
π
π
2
2
kvu
kvu

(k
)z∈
cosx = -1
⇔
x = (2k+1)
., zk ∈
π
cosx = 0
⇔
x =
.,
2
zkk ∈+
π
π
cosx = 1
⇔
x = k2
., zk ∈
π
tanu=tanv
π
kvu +=⇔
(k
)z∈
tanx = 0
⇔
x = k
., zk ∈
π

tanx = -1
⇔
x = -
.,
4
zkk ∈+
π
π
tanx = 1
⇔
x =
.,
4
zkk ∈+
π
π

cotu=cotv
π
kvu +=⇔
(k
)z∈
cotx = 0
⇔
x =
+
2
π
k
., zk ∈

π
cotx = -1
⇔
x = -
.,
4
zkk ∈+
π
π
cotx = 1
⇔
x =
.,
4
zkk ∈+
π
π

e)
2cos 2 3 sin 1 0
3 5
x x
π π
  
   
+ − − + =
 ÷  ÷
 ÷ ÷
   
  

f) sinx(3sinx +4) = 0
Bài 2) Giải các phương trình sau:
a)
cot 1 0
4
x
π
 
+ − =
 ÷
 
b)
3 tan 2 1 0x − =
c) tan3x.tanx = 1 d) cot2x.cot
1
4
x
π
 
+ = −
 ÷
 
e)
( )
3tan2x.cot3x + 3 tan 2 3cot3 3 0x x− − =
g)
( )
tan 2 .sinx+ 3 sinx - 3 tan 2 3 3 0x x − =
Bài 3) Giải các phương trình sau trên tập đã chỉ ra:
a)

[
)
2sin 3 0, 0;2
3 4
x
x
π
π
 
+ − = ∈
 ÷
 
b)
( )
sin 3 sinx
sin 2 os2x, x 0;
1-cos2x
x
x c
π
−
= + ∈
c) tan3x − 2tan4x + tan5x = 0 , x ∈(0; 2π) d)
3
2
1 3
tan 1 3cot 3, ;
os 2 2
x x x
c x

π π
π
   
− + − − = ∈
 ÷  ÷
   
Dạng 2 : Phương trình bậc nhất, bậc hai.
At+b=0,t là các hàm số sinx,cosx,tanx,cotx
Cách giải :đưa về Phương trình lượng giác cơ bản
Asin
2
x+bsinx+c=0 ,đặt t=sinx,
1 1t
− ≤ ≤
Tương tự đối với cosx,tanx,cotx
Ví dụ : Giải các phương trình sau:
( )
2 2
a. cot 3x cot 3x 2 0 b. 4cos x 2 1 2 cos x 2 0− − = − + + =
( )
( )
( )
2
2 2
3
x k
cot3x 1
3x k
4 3
a. cot 3x cot 3x 2 0 k Z

4
cot3x 2 1
3x arccot 2 k
x arccot 2 k
3 3
b. 2cos2x 2cos x 2 0 2 2cos x 1 2cos x 2 0 4cos x 2cos x 2 2 0
2
cos x
2
2
cos x cos x cos x
2 4
1 2
cos x
2
π π

π
= +


= −
= + π


− − = ⇔ ⇔ ⇔ ∈



= π



= + π
= +



+ − = ⇔ − + − = ⇔ + − + =

=

π

⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =

+
= −


k2
4
π
± + π
(phương trình
1 2
cos x
2
+
= −
vô nghiệm vì

1 2
1
2
+
− < −
)
Bài tập:
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 2cosx -
2
= 0 b)
3
tanx – 3 = 0
c) 3cot2x +
3
= 0 d)
2
sin3x – 1 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) 2cos
2
x – 3cosx + 1 = 0 b) cos
2
x + sinx + 1 = 0
c) 2cos
2
x +
2
cosx – 2 = 0 d) cos2x – 5sinx + 6 = 0
e) cos2x + 3cosx + 4 = 0 f) 4cos

2
x - 4
3
cosx + 3 = 0
Bài 3. Giải các phương trình:
a) 2sin
2
x - cos
2
x - 4sinx + 2 = 0 b) 9cos
2
x - 5sin
2
x - 5cosx + 4 = 0
c) 5sinx(sinx - 1) - cos
2
x = 3 d) cos2x + sin
2
x + 2cosx + 1 = 0
2
Dạng 3 : Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx.
Phương trình dạng asinx+bcosx = c
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
⇔

2 2
sin .cos cos .sin
c
x x
a b
α α
+ =
+
⇔ sin(x+α) =
2 2
c
a b+
( với cosα=
2 2
a
a b+
,sinα=
2 2
b
a b
+
)
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. 3cos x sin x 2 b. sin 5x cos5x 1+ = − + = −
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
a. 3cos x sin x 2 3 1 sin x 2 2sin x 2 sin x 1 1+ = − ⇔ + + α = − ⇔ +α = − ⇔ + α = −
Với

1
cos
2
3
3
sin
2

α =

π

⇒ α =


α =


( )
5
1 sin x 1 x k2 x k2
3 3 2 6
π π π π
 
⇔ + = ⇔ + = − + π ⇔ = − + π
 ÷
 
( ) ( ) ( )
2 2
2

b. sin 5x cos5x 1 1 1 sin 5x 1 sin 5x 2
2
+ = − ⇔ + + α = − ⇔ + α = −
Với
1
cos
2
1
4
sin
2

α =

π

⇒ α =


α =


( )
2 sin 5x sin
4 4
π π
   
⇔ + = −
 ÷  ÷
   

( )
5x k2
4 4
k
5x k2
4 4
π π

+ = − + π

⇔ ∉

π π

+ = π− + π


¢
( )
2
x k
10 5
k
2
x k
5 5
π π

= − +


⇔ ∈

π π

= +


¢
Bài tập:
Giải các phương trình lượng giác sau :
a.
3sin cos 2 0x x− + =
b.
3
3sin 1 4sin 3cos3x x x
− = +

c.
4 4
sin cos 1
4
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
d.
( )
4 4

2 cos sin 3sin 4 2x x x+ + =
e.
2sin 2 2sin 4 0x x+ =
f.
3sin 2 2cos2 3x x+ =

Dạng 4 : Phương trình đẳng cấp
2 2
.sin .sin cos .cosa x b x x c x d+ + =

Cách giải
 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
 Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
2
x để được phương trình bậc 2 theo tanx.
Ví dụ: Giải phương trình:
( )
2 2
4sin x 5sin x cos x 6cos x 0 3
− − =
Khi cosx = 0 thì
sin x 1= ±
nên dễ thấy các giá trị của x mà cosx = 0 không phải là nghiệm của (3)
Vậy chia hai vế của (3) cho cos
2
x
0
≠

, ta được phương trình tương đương
( )
2
2
2
x arctan 2 k
tan x 2
sin x sinx
4 5 6 0 4tan x 5tan x 6 0 k Z
3
3
x arctan k
cos x cosx
tan x
4
4
= + π

=



− − = ⇔ − − = ⇔ ⇔ ∈
 


= − + π
= −
 ÷



 

Bài tập:
Giải các phương trình lượng giác sau :

3
a.
2 2
2sin sin cos 3cos 0x x x x+ − =
b.
2
2sin 2 3cos 5sin cos 2 0x x x x− + − =
c.
2 2
sin sin 2 2cos 0,5x x x+ − =
d.
2
sin 2 2sin 2cos2x x x− =
e. 2sin
2
x + 3sinx.cosx - 3cos
2
x = 1 f.
2
sin 2sin
4
x x
π
 

+ =
 ÷
 
II – TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT:
1/ Số các hoán vị
! ( 1) 2.1
n
p n n n= = −
2/Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :
k
n
A
=

( )
!
( 0 k n)
!
n
n k
≤ ≤
−

3/Số tổ hợp chập k của n phần tử :
k
n
C
=
( )
!

( 0 k n)
! !
n
k n k
≤ ≤
−
*Chú ý
−
= ≤ ≤
k n k
n n
C C 0 k n
−
− −
+ = ≤ ≤
k 1 k k
n 1 n 1 n
C C C 1 k n
4/CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTƠN:
( )
0 1 1

n
n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + + +
5/Xác suất
( )

( )
( )
n A
P A
n
=
Ω
Ví dụ:
Bài 1. Trong một lớp có 18 bạn nam, 12 bạn nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bạn phụ trách quỹ lớp?
Giaỉ: Số cách chọn 1 bạn nam là: 18 cách; Số cách chọn 1 bạn nữ là: 12 cách.
Theo quy tắc cộng, ta có: 18 + 12 = 30 cách chọn một bạn phụ trách quỹ lớp (hoặc nam hoặc nữ)
Bài2. Nam đến cửa hàng văn phòng phẩm để mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có ba mặt hàng: bút,
vở và thước, trong đó có 5 loại bút, 4 loại vở và 3 loại thước. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một món quà
gồm một bút, một vở, 1 thước.’
Giaỉ: Số cách chọn bút: 5 cách;Số cách chọn vở: 4 cách;Số cách chọn thước: 3 cách
Theo quy tắc nhân, có: 5.4.3 = 60 cách chọn.
Bài 4. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau?
Giaỉ:Gọi số tự nhiên có ba chữ số là:
abc
;Vì
abc
chẵn nên c ∈ {0, 2, 4, 6}
Trường hợp c = 0:Có 1 cách chọn c;Có 6 cách chọn a;Có 5 cách chọn b;
Theo quy tắc nhân, có: 6.5.1 = 30 số.
Trường hợp c
≠
0:Có 3 cách chọn c;Có 5 cách chọn a;Có 5 cách chọn b
Theo quy tắc nhân, có: 3.5.5 = 75 số
Vậy theo quy tắc cộng có: 30 + 75 = 105 số chẵn có ba chữ số khác nhau.

Bài 5. Có một cặp vợ chông đi dự tiệc. Tính số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà
trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho:
a. Hai người đó là vợ chồng.
b. Hai người đó không là vọ chồng.
Giaỉ:a. Có 10 cách chọn người đàn ông.
Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có một cách chọn người đàn bà (là vợ người đàn ông đó)
Vậy theo quy tắc nhân có:10.1 = 10 cách chọn
b.Có 10 cách chọn người đàn ông.
Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có 9 cách chọn người đàn bà (trừ vợ người đàn ông đã chọn)
Vậy theo quy tắc nhân có: 10.9 = 90 cách chọn.
4
Bài 6. Một tổ học sinh gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Giáo viên chọn 4 học sinh để đi trực thư
viện. Có bao nhiêu cách chọn nếu:
a. Chọn học sinh nào cũng được?
b. Trong 4 học sinh được chọn, có đúng một học sinh nữ được chọn?
c. Trong 4 học sinh được chọn, có ít nhất một học sinh nữ được chọn?
Gỉai: a. Mỗi cách chọn tùy ý 4 học sinh trong số 12 học sinh là một tổ hợp chập 4 của 12 học sinh:
Vậy ta có:
4
12
12! 12.11.10.9.8!
C 495
4!.8! 4.3.2.8!
= = =
(cách chọn)
b. Vì chọn đúng 1 học sinh nữ nên cần phải chọn thêm 3 học sinh nam.
Số cách chọn học sinh nữ là:
1
3
C

;Số cách chọn học sinh nam là:
3
9
C
Vậy có:
1 3
3 9
C .C 252=
(cách chọn)
c. Trường hợp 1: (1 nữ + 3 nam) có 252 cách chọn.
Trường hợp 2: (2 nữ + 2 nam) Số cách chọn nữ:
2
3
C
;Số cách chọn nam:
2
9
C
Vậy có:
2 2
3 9
C .C 3.36 108= =
(cách chọn)
Trường hợp 3: (3 nữ + 1 nam) Số cách chọn nữ:
3
3
C
;Số cách chọn nam:
1
9

C
Vây có:
3 1
3 9
C .C 1.9 9= =
Vậy số cách chọn 4 học sinh trong đó có ít nhất 1 học sinh nữ là: 252 + 108 + 9 = 369 (cách chọn)
Bài 7. Với các số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a. Có 4 chữ số khác nhau.
b. Số lẻ với 4 chữ số khác nhau.
c. Số chẵn có 4 chữ số khác nhau.
d. Có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Giaỉ:a. Có
4
5
A 120=
số có 4 chữ số khác nhau từ tập các chữ số {0, 1, 3, 6, 9} (có thể bắt đầu với chữ
số );Có
3
4
A 24=
số có 4 chữ số bắt đầu bởi số 0;Vậy có 120 – 24 = 96 số có 4 chữ số khác nhau.
b. Gọi số có 4 chữ số là
abcd
. Vì là số lẻ nên:Chữ số d có 3 cách chọn (1, 3, 9)
Chữ số a có 3 cách chọn;Chữ số b có 3 cách chọn’Chữ số c có 2 cách chọn.
Vậy có 3 . 3 . 3 . 2 = 54 số lẻ; c. Có 96 – 54 = 42 số chẵn.
d. Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
Trong tập hợp {0, 1, 3, 6, 9} có duy nhất 1 số không chia hết cho 3.
Vậy số đo chia hết cho 3 khi và chỉ khi các chữ số của nó thuộc tập {0, 3, 6, 9}.
Có 4! số có 4 chữ số khác nhau từ {0, 3, 6, 9} (có thể bắt đầu với chữ số 0)

Có 3! số có 4 chữ số khác nhau từ {0, 3, 6, 9} bắt đầu với chữ số 0.
Vậy kết quả là: 4! – 3! = 24 – 6 = 18 số
Bài 8. Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 6 người khách ngồi quanh một bàn tròn? (Hai cách xếp được
xem là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia bằng cách xoay bàn đi một góc nào đó).
Giaỉ: Có 5! = 120 cách
Có (n – 1)! Cách xếp n (n ≥ 2) người quanh một bàn tròn. Để xếp n + 1 người quanh bàn tròn ta xếp n
người đầu tiên rồi xếp người cuối cùng vào 1 trong n khoảng trống giữa n người.
Vậy có (n – 1)!n = n! cách xếp n + 1 người ngồi quanh một bàn tròn.
Bài 9. Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau:
( )
10
8
x
a. 1 b. 3 2x
2
 
− −
 ÷
 
Giaỉ:
2 8 1 7 2 6 2
8 8
45
a. 1 5x x b. 3 C 3 2x C 3 4x
4
− + − +
Bài 10. Tìm:a. Số hạng thứ 8 trong khai triển của
( )
12
1 2x−

b. Số hạng thứ 6 trong khai triển của
9
x
2
2
 
−
 ÷
 
Giaỉ:
5
7 7 7 5 5
12 9
1
a. C 2 x b. C x
2
− −
Bài 11.Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tìm xác suất để thẻ
được lấy ghi số:
a. Chẵn; b. Chia hết cho 3. c. Lẻ và chia hết cho 3.
Giaỉ: Không gian mẫu Ω = {1, 2, …, 20}
Kí hiệu A, B, C là các biến cố tương ứng với các câu a, b, c. Ta có:
a. A = {2, 4, 6, …, 20}, n(A) = 10, n(Ω) = 20
( )
10 1
P A
20 2
⇒ = =
b. B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, n(B) = 6
( )

6 3
P B
20 10
⇒ = =
c. C = {3, 9, 15), n(C) = 3
( )
3
P C
20
⇒ =
Bài tập
Dạng 1: Nhị thức Niu tơn - Xác định hệ số, số hạng.
Bài 01: Tính hệ số của
3
x
trong khia triển
6
2
1
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 02: Tìm số hạng không chứa x khi khai triển
8
3
1
x

x
 
+
 ÷
 
Bài 03: Biết hệ số x
2
trong khai triển của biểu thức
(1 3 )
n
x−
là 90 .Tìm n .
Bài 04: Tìm hệ số của số hạng thứ sáu của khai triển biểu thức M = (a+b)
n
nếu biết hệ số của
số hạng thứ ba trong khai triển bằng 45.
Bài 05: Trong khai triển
,
2
m
x
a
x






+

hệ số của các số hạng thứ tư và thứ mười ba bằng nhau Tìm
số hạng không chứa x .
Dạng 2: Đếm – chọn
Bài 01:Cho tập A có 20 phần tử.
a)Có bao nhiêu tập hợp con của A.
b)Có bao nhiêu tập hợp con khác
∅
của A mà các phần tử là số chẵn?
Bài 01:Cho các chữ số 1,2,3,4,5,6.Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau chọn
từ 6 chữ số trên
a) có bao nhiêu số chẵn
b) Có bao nhiêu số lẻ
Bài 02:Từ tập thể gồm 14 người,có 6 nam và 8 nữ,người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6
người.Hỏi
a)Có bao nhiêu cách chọn
b) Có bao nhiêu cách chọn,có 4 nam ,2 nử
Bài 03: Cho tâp hợp A =
{ }
6,5,4,3,2,1
.
a)Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ tập A ?
b)Có bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?
Bài 04:Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau.Hỏi trong các số
đã thiết lập được,có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau.
Bài 05:Một lớp học có 10 học sinh nam và 120 học sinh nữ.Cần chọn ra 5 người trong lớp để đi
làm công tác phong trào.Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 người đó phải có ít nhất :
a)02 học sinh nam và 02 học sinh nữ. b)01 học sinh nam và 01 học sinh nữ.
Dạng 3: Tính xác suất của biến cố.
1/ Năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 3cm, 5cm, 7cm, 9cm. Lấy ngẫu nhiễn 3 đoạn thẳng trong 5
đoạn thẳng trện Tìm xác suất để 3 đoạn thẳng lấy ra lập thành 1 tam giác

6
2/ Có một bài kiểm tra trắc nghiệm 8 câu với lựa chọn A,B,C,D (mỗi câu chọn một đáp
án).Một bạn học sinh trả lời đại các đáp án.Tính xác suất của bạn đó có thể chọn ra được chỉ 4
câu đúng
3/ Rút 4 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ gồm 52 con. Xác suất để rút được 3 quân át
4/ Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần. Xác suất để ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 3
chấm
5/ Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 8 bóng tốt . Lấy ngẫu nhiên 3 bóng . Tính xác suất
để lấy được :
a/ Một bóng hỏng b/ ít nhất một bóng hỏng
6/ Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện
trên hai con xúc sắc là 7
7/ Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ.
Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất để :
a) Cả 6 người đều là nam. b) Có 4 nam và 2 nữ. c) Có ít nhất hai nữ.
III – DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ:
DÃY SỐ-CSC-CSN
I/CẤP SỐ CỘNG (u
n
)là cấp số cộng
⇔
u
1+n
= u
n
+ d
Số hạng tổng quát
1n
u u=
+(n-1)d

Tổng n số hạng đầu
+ −
=
1
n
n[2u (n 1)d]
S
2

+
=
1 n
n
n(u u )
S
2
II/CẤP SỐ NHÂN 1/
( )
n
u
là cấp số nhân

1
quu
nn
=⇔
+
2. Số hạng tổng quát
1
1

.
−
=
n
n
quu
3/ Tổng n số hạng đầu
( )
q
qu
S
n
n
−
−
=
1
1
1
Dạng 1: Chứng minh quy nạp.
1. CMR:
2
:1 3 5 (2 1)n n n
∗
∀ ∈ + + + + − =¥
2. CMR:
( 1)
:1 2 3
2
n n

n n
∗
+
∀ ∈ + + + + =¥
3. CMR:
1 1 1 1 2 1
:
2 4 8 2 2
n
n n
n
∗
−
∀ ∈ + + + + =¥
4. CMR :
: 2
n
n n
∗
∀ ∈ >¥
Dạng 2: Cấp số cộng.
1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
a.



=
=+
14s
0u2u

4
51
b.



=
=
19u
10u
7
4
c.
1 5 3
1 6
10
17
u u u
u u

+ − =

+ =

d.
2 5 3
4 6
10
26
u u u

u u

+ − =

+ =

2. Cho một Cấp số cộng có 5 số hạng . biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng thứ 4 bằng
7 . Hãy tìm các số hạng còn lại của Cấp số cộng đó .
3. Một Cấp số cộng có 7số hạng mà tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 28 , tổng
của số hạng thứ 5 và số hạng cuối bằng 140 .hãy tìm Cấp số cộng đó .
4. Viết 6 số xen giữa 2 số 3 và 24 để được một Cấp số cộng có 8 số hạng .Tính tổng các số
hạng của Cấp số cộng
Dạng 3: Cấp số nhân.
1. Cho cấp số nhân (u
n
) thỏa:
1 5
2 6
u + u = 51
u + u = 102



.
a. Tìm số hạng đầu u
1
và công bội q của cấp số nhân đó.
b. Tính S
10
.

7
2. Ba số dương lập cấp số cộng có tổng bằng 21. Thêm lần lượt 2, 3, 9 vào 3 số đó ta được cấp
số nhân. Tìm 3 số của cấp số cộng.
3. Cho hai số : 2 và 54. Điền vào giữa hai số ấy 2 số sao cho 4 số mới lập cấp số nhân.
4. Cho hai số : 3 và 48. Xen giữa 3 số để được cấp số nhân.
5. Tìm cấp số nhân có tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng bình phương bằng 85.
A. HÌNH HỌC:
I – PHÉP BIẾN HÌNH:
M’(x’,y’) là ảnh M



+=
+=
byy
axx
'
'
Cho đường thẳng d:ax+by+c=0 ảnh d’:ax+by+c’=0 .Tìm M trên d và tìm ảnh M’ trên
d’ ,ta có c’
Đối với đường tròn:Tâm I(a,b) tìm ảnh I’(a’,b’) và có cùng bán kính .
1. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép tịnh tiến
v
= (2;-1 )
A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3).
2 Tìm ảnh của cácđường thẳng sau qua phép tịnh tiến
v
= (1;-3 )
a) -2x +5 y – 4 = 0 b) 2x -3 y – 1 = 0
c) 3x – 2 = 0 d) x + y – 1 = 0

3 Tìm ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến
v
= (3;-1 )
a) (x - 2)
2
+ (y +1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
Dạng 2: Các bài tốn có sử dụng biểu thức tọa độ phép đối xứng trục
a)Biểu thức toạ độ trục Ox:
'
'
x x
y y
=


= −

b) Biểu thức toạ độ trục Oy:
'
'
x x
y y
= −



=

Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường tròn (C
1
) và (C
2
) lần lượt có phương trình:
( )
2 2
1
C : x y 4x 5y 1 0+ − + + =
Viết phương trình ảnh của đường tròn trên phép đối xứng có trục Oy
Gỉai: Ảnh của điểm M(x ; y) qua phép đối xứng có trục Oy là điểm M’(-x ; y). Ta có:
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1
M C x y 4x 5y 1 0 x y 4 x 5y 1 0∈ ⇔ + − + + = ⇔ − + − − + + =
Bài tập:
4 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Ox:
A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3).
5 .Tìm ảnh của điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0.
6 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) 2x + y – 4 = 0 b) x + y – 1 = 0
7 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) x – 2 = 0 b) x + y – 1 = 0
8 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) (x + 1)
2

+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
Dạng 3: Tìm ảnh của Điểm, đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng tâm.
Hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(x;y) ,ảnh M’(x’,y’) đối xứng với M qua gốc tọa độ O



−=
−=
yy
xx
'
'
Ví dụ:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho I(2 ; -3) và d có phương trình 3x + 2y – 1 = 0. Tìm tọa
độ của điểm I và phương trình đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của I và đường thẳng d qua phếp
đối xứng tâm
8
Dạng 1: Các bài tốn sử dụng phép tịnh tiến
),(),,( yxMbav =
Giải Ta có I’ = (-2 ; 3)
Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có:
x x '
y y'
= −



= −

Thay biểu thức của x và y vào
phương trình của d ta được:3(-x’) + 2(-y’) – 1 = 0 hay
3x ' 2y' 1 0+ + =
. Vậy d’: 3x + 2y + 1 = 0
Bài tập:
1. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm
a) Tâm O(0; 0) b) Tâm I(1; –2) c) Tâm H(–2; 3)
2. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0
3. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0
4. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) (x - 2)
2
+ (y +1)
2
= 9 b) x
2
+ y
2
– 6x – 2y +6 = 0
Dạng 4:Các bài tốn sử dụng phép quay
1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay Q(O;90
o
);Q(O;-90
o
)

A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3).
2 Tìm ảnh của cácđường thẳng sau qua phép quay Q(O;90
o
);Q(O;-90
o
)
a) -2x +3 y – 7 = 0 b) 2x -5 y – 4 = 0
3 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép Q(O;90
o
);Q(O;-90
o
)
a) (x - 2)
2
+ (y +1)
2
= 9 b) x
2
+ y
2
– 6x – 2y +6 = 0
Dạng 5 :Các bài tốn sử dụng phép vị tự
- Cho điểm O và tỉ số k
≠
0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
OMkOM .' =
được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k
-Biến đường thẳng thành đường thẳng song song
-Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính


k

R.
Ví dụ:Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 2y – 6 = 0. Hãy viết phương
trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2.
Giaỉ: d’ : 3x + 2y + C = 0
Lấy M(0 ; 3) thuộc d. Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O, tỉ số
k 2= −
.
Ta thấy:
( )
OM 0;3=
uuuur
,
( )
OM' x '; y' 2OM= = −
uuuur uuuur
Ta có: x’ = 0, y’ = -2.3 = -6 ; Do M’ thuộc d’ nên: 2.(-6) + C = 0 ⇒ C = 12 ;Vậy d’: 3x + 2y + 12 = 0.
Bài tập:
1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự V
(I;k)
;I(-3;4);k=-3
A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3).
2 Tìm ảnh của cácđường thẳng sau qua phép vị tự V
(I;k
) ;I(1;-2);k=-5
a) -2x +3 y – 7 = 0 b) 2x -5 y – 4 = 0
3 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép vị tự V
(I;k
) ;I(3;-2);k=-3

a) (x - 2)
2
+ (y +1)
2
= 9 b) x
2
+ y
2
– 6x – 2y +6 = 0
II – HÌNH HỌC KHƠNG GIAN:
1. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) , ta tìm trong (P) một đường thẳng c cắt
a tại điểm M nào đó thì M là giao điểm của a và (P) .
Chú ý : Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là giao tuyến của (P)
và (Q) .
2. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy .
- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của hai
mặt phẳng phân biệt.Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó .
9
- Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường này là
điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba .
II.Đường thẳng song song
1. Chứng minh hai đường thẳng song song:
- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song
song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét )
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3 .
- Áp dụng định lý về giao tuyến .
2 .Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Thiết diện qua một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước .:
* Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng

* Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến (tức chứng minh giao tuyến
song song với một đường thẳng đã có)
Giao tuyến sẽd là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy .
-Ghi chú : Ta có 2 cách để tìm giao tuyến :
Cách 1(2 điểm chung) và cách 2 (1 điểm chung + phương giao tuyến) ta thường sử dụng phối
hợp 2 cách khi xác định thiết diện của hình chóp .
Ví dụ:
Bài 1. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình thàng ABCD (AB // CD và AB > CD). Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
Gọi I = AD ∩ BC
Ta có S và I là hai điểm chung của (SAD) và (SBC) nên:
(SAD) ∩ (SBC) = SI
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng SI
Bài 2. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD)
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có: S và O là hai điểm chung của (SAC) và (SBD) nên:
(SAC) ∩ (SBD) = SO
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.
Bài tập:
1. Cho tứ diện ABCD. M và N lần lượt là trung điểm AD và BC. Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng (MBC) và (NAD).
10
2. Cho tứ diện SABC. Gọi M,N là các điểm trên các đoạn SB và SC sao cho MN không song
song với BC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (AMN) và (ABC), mặt phẳng (ABN) và (ACM).
3. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J, K là ba điểm tuỳ ý trên SB, AB, BC sao cho JK không song
song với AC và SA không song song với IJ.Xác định giao tuyến của (IJK) và (SAC).
4. Cho 2 hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không đồng phẳng.
a). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACE) và (BFD).
b). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BCE) và (ADF).

5. Cho tam giác ABC và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của AB, BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a). (SMN) và (ABC)
b). (SAN) và (SCM)
6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm trên
cạnh BD không phải là trung điểm. Tìm giao điểm của:
a). CD và mặt phẳng (MNK); b). AD và mặt phẳng (MNK)
7. Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J, K lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, AB, BC. Giả sử
đường thẳng JK cắt các đường thẳng AD, CD tại M, N. Tìm giao điểm của các đường thẳng
SD và SC với mặt phẳng (IJK)
8. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. P là điểm nằm
trên cạnh AD nhưng không là trung điểm. Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng(MNP).
9. Cho tứ diện ABCD. Trên các đoạn AC, BC, BD lấy các điểm M, N, P sao cho MN không
song song với AB, NP không song song với CD. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP)
và tứ diện ABCD.
10. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD (AB > CD).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh: MN // CD
b) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ADN)
11.Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm
của các cạnh AB, CD .
a) Chứng minh MN // (SBC) và MN // (SAD)
b) Gọi P là trung điểm của cạnh SA. Chứng minh SB // (MNP) và SC // (MNP).
Chú ý :bài tập trong SGK- ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 , HÌNH HỌC 11
“ chuc cac ban thanh cong trong moi linh vuc “
“ Co cong mai sat co ngay len kim”
11