Đề thi toán 11 - sưu tầm đề kiểm tra, thi học kỳ, thi học sinh giỏi tham khảo bồi dưỡng (363)

SỞ GD-ĐT BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT HOÀI ÂN
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Môn Toán
Năm học 2014-2015
Thời gian làm bài : 120’
Bài 1.(2 điểm) Giải phương trình:
3 2
543 27
3 9 13 3 2
90
x x x x
−
+ + − = − +
Bài 2. (2 điểm) Giải hệ phương trình:
1
3 3
1
2 8
x x y
y
x y
y

+ + + − =




+ + =



Bài 3 (2 điểm): Cho a, b, c >0 thỏa 21ab+2bc+8ca 12.
Tìm GTNN của biểu thức:
1 2 3
P
a b c
= + +
Bài 4 (4 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB=a và BC=2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc
với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc bằng nhau. Biết khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BD bằng
2
6
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Hết
Bài YÊU CẦU Điểm
1
Tập xác định D=
3
1;
2
 
 
 
0.5
Đặt
3 2
( ) 3 9 13 3 2f x x x x x
= + + − − −

Ta có
3
'( ) 0, 1;
2
f x x
 
> ∀ ∈
 ÷
 
nên hàm số đồng biến trên
3
1;
2
 
 ÷
 

0.5
4 543 27
3 9
f
−
 
=
 ÷
 
.
Do đó
4
3

x
=
là nghiệm duy nhất của phương trình.
1.0
2
Điều kiện
1
0
3 0
x
y
x y

+ ≥



+ − ≥


Đặt
1
, , 0
3
u x
y
u v
v x y

= +


≥


= + −

. Hệ trở thành
2 2
3
5
u v
u v
+ =


+ =


0.5
Giải ra ta được
2 1
1 2
u u
v v
= =
 
∨
 
= =
 

0.5
+
3
1
2
1
5
1
x
y
u
v
x
y

=



=
=



⇔


=
=





= −




4 10
3 10
1
2
4 10
3 10
x
y
u
v
x
y


= −




= +
=




⇔


=


= +




= −




1
câu
3
Đặt
1 2 3
, ,x y z
a b c
= = =
. ĐK bài toán thành:
, , 0
2 2 4 7
x y z

xyz x y z
>


≥ + +

Bài toán quy về tìm GTNN của p = x+y+z.
Từ
( )
2 2 4 7 2 7 2 4xyz x y z z xy x y≥ + + ⇒ − ≥ +

2 7
2 4
2 7
xy
x y
z
xy
>


⇒
+

≥

−


Khi đó:

14
2
2 4 11 7
2 7 2 2 2 7
x
x y
x
P x y x y
xy x x xy
+
+
≥ + + = + + − +
− −
2
11 7
2 1
2
x
x x
≥ + + +
(AM-GM)
1.0
Dể dàng CM được
2
7
3
7
2 1
2
x

x
+
+ ≥

7
3
11 3 9 3 9 15
2 .
2 2 2 2 2
x
P x x x
x x x
+
≥ + + = + + ≥ + =
(AM-GM)
Dấu “=” xảy ra khi
5
3, , 2
2
x y z= = =
hay
1 4 3
, ,
3 5 2
a b c= = =

Vậy
15 1 4 3
min , , .
2 3 5 2

P khi a b c= = = =
1.0
Câu 4 (4,0 điểm)
Gọi
H
là hình chiếu của
S
trên
( )ABCD
,
suy ra
H AB∈
(do
( ) ( )SAB ABCD⊥
).
CB HB
⊥
, suy ra góc giữa hai mặt phẳng
( )SBC
và
( )ABCD
là góc SBH.
Hạ
( )HE CD E CD⊥ ∈
, suy ra góc giữa hai
mặt phẳng
( )SCD
và
( )ABCD
là góc SEH.

Do đó SBH=SEH
2HB HE a⇒ = =
.
Ta được
//BD AE

//( )BD SAE⇒
d( , ) d( ,( )) d( ,( ))SA BD B SAE H SAE⇒ = =
(do
A
là trung điểm
HB
)
2
d( ,( ))
6
a
H SAE⇒ =
.
2,0
Nhận xét rằng
, ,HA HE HS
đôi một vuông góc, suy ra:
2 2 2 2
1 1 1 1
d ( ,( ))H SAE HA HE HS
= + +
2 2 2 2
3 1 1 1
2 4a a a HS

⇔ = + +
2SH a⇔ =
.
Thể tích:
3
( . ) ( )
1 4
.
3 3
S ABCD ABC D
a
V S SH= =
.
2,0
S
A
B
C
D
E
t
H