SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2013-2014 MÔN TOÁN LỚP 12, CHƯƠNG TRÌNH THPT

SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG BÌNH
Trường:
Họ tên HS:
Số báo danh:
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN LỚP 12 THPT
Thời gian 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề có 01 trang gồm có 5 câu
I.PHẦN CHUNG. (7.0 điểm). Dành chung cho tất cả các thí sinh.
Câu 1. (2.5 điểm). Cho hàm số:
= − +y x x
3 2
3 1

( )
C

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm m để phương trình:
3 2
3 0x x m− − =
có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 2. (1.5 điểm ). Tính các tích phân sau.
a.
2
2
1
1
( 2 5 )I x x dx
x
= − + −

∫
.
b.
( )
2
2
0
2 os2x .cosxdxI c
π
= −
∫
Câu 3. (3.0 điểm ).
Trong không gian toạ độ
Oxyz
cho 4 điểm:
( ) ( ) ( ) ( )
3;9;8 , 3; 2;0 , 0;2;1 , 1;1;2A B C D− −

a. Viết phương trình mặt phẳng
( )BCD
.
b. Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên mặt phẳng
( )BCD
c. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng
( )BCD
II.PHẦN RIÊNG.( 3.0 điểm).
( Thí sinh chỉ được chọn một trong hai chương trình ).
Phần I. ( Chương trình chuẩn).
Câu 4a.(1.5 điểm): Cho số phức z thoả mãn:
( )

1 3 4 1 3i z i i+ − + = − +
. Tìm
z
?
Câu 5a. (1.5 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường:
.
x
y x e=
,
0y =
và hai đường thẳng
0; 1x x= =
, khi quay quanh Ox.
Phần II. ( Chương trình nâng cao).
Câu 4b.(1.5 điểm). Giải phương trình sau trên C:
2
(z 2 ) 2( 2 ) 3 0i z i+ + + − =

Câu 5b. (1.5 điểm): Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường:
1.
x
y x e= +
,
0y =
và hai đường thẳng
0; 1x x= =
, khi quay quanh Ox.
Hết
SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG BÌNH KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013 - 2014
HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn : Toán lớp 12 THPT
(Hướng dẫn chấm này có 06 trang)
YÊU CẦU CHUNG
*Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu
phải lập luận logic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước trước thì cho điểm 0 đối với những bước
giải sau có liên quan.
* Học sinh có lời giải khác so với đáp án, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
* Điểm bài kiểm tra là tổng các điểm thành phần. Nguyên tắc làm tròn điểm bài kiểm
tra học kì theo Quy chế đánh giá, xếp loại học sinh.
* Đối với phần riêng, nếu thí sinh làm bài theo đề cả hai chương trình thì không chấm
điểm phần này.
Câu Nội dung Biểu
điểm
I.PHẦN CHUNG. (7.0 điểm). Dành chung cho tất cả các thí sinh. 7.0
điểm
Câu1 2.5
điểm
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số :
= − +y x x
3 2
3 1
2.0
điểm
• TXĐ:
D R
=
.
• Sự biến thiên:
+. Chiều biến thiên:

Ta có :

= −

= ⇒ =
= ⇔

= ⇒ = −

y x x
x y
y
x y
2
' 3 6
0 1
' 0
2 3
Trên khoảng
( ;0)
−∞
và
(2; )
+∞
; y’>0
⇒
Hàm số đồng biến
Trên khoảng (0;2) ; y’<0
⇒
Hàm số nghịch biến

+. Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0,
(0) 1
CĐ
y y= =
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2,
(2) 3
CT
y y= = −
+. Giới hạn:

lim ; lim .
x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
+. BBT:
0,25đ
0,25đ
0.25đ
0,25đ
0,25đ
x –
∞
0 2 +
∞
y’ + 0 - 0 +
y +
∞

1
-3
–
∞
• Đồ thị:
+. Điểm đặc biệt:
( 1; 3); (3;1)− −


x
y
2
3
1
-3
-1
1
+ NX: đồ thị nhận điểm uốn
(1; 1)I −
làm tâm đối xứng.
0,25đ
0,5đ
b. Tìm m để phương trình:
3 2
3 0x x m− − =
có 3 nghiệm phân biệt.
0.5
điểm
Ta có :
3 2

3 0x x m− − =
3 2
3 1 1x x m⇔ − + = +

Dựa vào đồ thị (C) để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi:
3 1 1 4 0m m− < + < ⇔ − < <

0.25đ
0.25đ
Câu2 Tính các tích phân sau: 1.5
điểm
a.
2
2
1
1
( 2 5 )I x x dx
x
= − + −
∫
.
0.5
điểm
Ta có:

2
3
2
2 2

1
1
1
( 2 5 ) ( 5 ln )
3
8 1 13
4 10 ln 2 ( 1 5 ln1) ln2
3 3 3
x
I x x dx x x x
x
= − + − = − + −
= − + − − − + − = −
∫
0.25đ
0.25đ
b.
( )
2
2
0
2 os2x .cosxdxI c
π
= −
∫
1.0
điểm
Ta có:

( )

2
2
0
2 os2x .cosxdxI c
π
= −
∫
( )
2
2
2
0
1 2sin .cosxdxx
π
= +
∫

Đặt:

sinx cosxdxt dt= ⇒ =
Đổi cận:

0 0
1
2
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =

Khi đó:

1
2 2
0
1
2 4
0
1
3 5
0
(1 2 )
(1 4 4 )
4 4 47
(t 4. 4. ) 1
3 5 3 5 15
I t dt
t t dt
t t
= +
= + +
= + + = + + =
∫
∫
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Câu3
Trong không gian toạ độ

Oxyz
cho 4 điểm:
( ) ( ) ( ) ( )
3;9;8 , 3; 2;0 , 0;2;1 , 1;1;2A B C D− −
3.0
điểm
a. Viết phương trình mặt phẳng (BCD) 1.0
điểm
Ta có:

( 3;4;1)
( 4;3;2)
; (5;2;7)
BC
BD
BC BD
= −
= −
 
⇒ =
 
uuur
uuur
uuur uuur
Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua
(3; 2;0)B = −
và nhận
; (5;2;7)BC BD
 
=

 
uuur uuur
làm một véc tơ pháp tuyến, do đó có phương trình
tổng quát là:

5( 3) 2( 2) 7( 0) 0 5 2 7 11 0x y z x y z− + + + − = ⇔ + + − =
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
b. Tìm tọa độ hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD) 1.25
điểm
Gọi
∆
là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) nên 0.25đ
∆
nhận véc tơ
(5;2;7)n =
r
làm một véc tơ chỉ phương, do đó
∆
có phương
trình tham số là:
3 5
9 2 ( )
8 7
x t
y t t R
z t
= +



= + ∈


= +

Khi đó tọa độ điểm H chính là nghiệm
( )
; ;x y z
của hệ phương trình:

3 5
9 2
8 7
5 2 7 11 0
x t
y t
z t
x y z
= +


= +


= +


+ + − =


( )
1
2
2;7;1
7
1
t
x
H
y
z
= −


= −

⇔ ⇒ = −

=


=

Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là:
( )
2;7;1H = −

0.25đ
0.25đ

0.25đ
0.25đ
c. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng
( )BCD
0.75
điểm
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 7 9 1 8 78AH R= − − + − + − = =

Vậy phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) là:

( ) ( ) ( )
2 2 2
3 9 8 78x y z− + − + − =

0.5đ
0.25đ
II.PHẦN RIÊNG. ( Thí sinh chỉ được chọn một trong hai chương trình ). 3.0
điểm
Câu
4a
Cho số phức z thoả mãn:
( )
1 3 4 1 3i z i i+ − + = − +
. Tìm
z
?
1.5

điểm
Ta có:
( )
1 3 4 1 3i z i i+ − + = − +

( )
1 2i z i⇔ + = −


( ) ( )
2
1
2 1
2
1 3
2 2
i
z
i
i i
z
z i
−
⇔ =
+
− −
⇔ =
⇔ = −

Vậy

2 2
1 3 10
2 2 2
z
   
= + − =
 ÷  ÷
   

0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
Câu
5a
Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường:
.
x
y x e=
,
0y =
và hai đường thẳng
0; 1x x= =
, khi quay quanh Ox.
1.5
điểm
Ta có:
[ ]
. 0, 0;1

x
x e x≥ ∀ ∈
Khi đó thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh Ox là:

1 1
2 2
0 0
( . ) .
x x
V x e dx x e dx
π π
= =
∫ ∫
Đặt:
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
dv e dx
v e
=


=
 
⇒

 
=
=
 



Vậy:

( )
1
1
2 2
0
0
1 1
2 2
0 0
2 2
2
1 1
2 2
1 1
2 4
1
2 4 4
1 ( )
4
x x
x x

V xe e dx
xe e
e e
e dvtt
π
π
π
π
 
= −
 ÷
 ÷
 
 
= −
 ÷
 ÷
 
 
 
= − −
 
 ÷
 
 
= +
∫

0.25đ
0.25đ

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Câu
4b
Giải phương trình sau trên C:
2
(z 2 ) 2( 2 ) 3 0i z i+ + + − =
1.5
điểm
Đặt:
2t z i= +
. Khi đó phương trình đã cho trở thành:

2
1
2 3 0
3
t
t t
t
=

+ − = ⇔

= −

*. Với:
1t =

, ta có:

2 1 1 2z i z i+ = ⇔ = −
*. Với:
3t = −
, ta có:

2 3 3 2z i z i+ = − ⇔ = − −
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
1 2 à 3 2z i v z i= − = − −
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu
5b
Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường:
1.
x
y x e= +
,
0y =
và hai đường thẳng
0; 1x x= =
, khi quay quanh Ox.
1.5
điểm
Ta có:
[ ]
1. 0, 0;1
x

x e x+ > ∀ ∈
Khi đó thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh Ox là:

1 1
2 2
0 0
( 1. ) ( 1).
x x
V x e dx x e dx
π π
= + = +
∫ ∫
0.25đ
Đặt:
2
2
1
1
2
x
x
du dx
u x
dv e dx
v e
=


= +
 

⇒
 
=
=
 



Vậy:

( )
( )
1
1
2 2
0
0
1 1
2 2
0 0
2
2
2
1 1
( 1)
2 2
1 1
( 1)
2 4
1 1

2 1
2 4 4
3 1 ( )
4
x x
x x
V x e e dx
x e e
e
e
e dvtt
π
π
π
π
 
= + −
 ÷
 ÷
 
 
= + −
 ÷
 ÷
 
 
 
= − − −
 
 ÷

 
 
= −
∫
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Hết