SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2014-2015 MÔN TOÁN LỚP 12, CHƯƠNG TRÌNH THPT

SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG BÌNH
Họ tên HS:
Số báo danh:
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2014-2015
MÔN: TOÁN LỚP 12, CHƯƠNG TRÌNH THPT
Thời gian 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề có 01 trang, gồm có 4 câu
Câu 1. (3,5 điểm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số :
3 2
3 3 1= − + +y x x x
b) Tìm a, b để đồ thị của hàm số
ax b
y
x 1
+
=
−
đi qua điểm
( )
A 2;7
và tiếp tuyến của đồ
thị tại
A
có hệ số góc bằng
5−
Câu 2. (1,5 điểm )
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 3
y 3x 4x= −
b) Tính giá trị của biểu thức

ln 2021 a 1 1 a
2 5
A log 5.log 4 e 3 .3
+ −
= + −
với
a 0
>
Câu 3. (3,0 điểm)
Cho khối chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O với tam giác ABD là tam
giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng chứa đáy là trọng
tâm G của tam giác ABD. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc
0
45
.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
b) Chứng minh
GD DC⊥
, từ đó suy ra tam giác CDS vuông tại D.
c) Tính độ dài đường cao của khối chóp A.CDS theo a.
Câu 4. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:
− − =
x x
9 3 6 0
b) Giải phương trình sau:
( )
+
 
+ − = +

 ÷
 
2 2 2
x 2
2log x 2 log x log 6
x
Hết
SỞ GD & ĐT QUẢNG BÌNH KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2014 - 2015
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn : Toán lớp 12 THPT
(Hướng dẫn chấm này có 05 trang)
YÊU CẦU CHUNG
*Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu
phải lập luận logic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước trước thì cho điểm 0 đối với những
bước giải sau có liên quan.
* Học sinh có lời giải khác so với đáp án, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
* Điểm bài kiểm tra là tổng các điểm thành phần. Nguyên tắc làm tròn điểm bài kiểm
tra học kì theo Quy chế đánh giá, xếp loại học sinh.
* Bài hình nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai thì cho điểm 0.
Câu Nội dung Điểm
Câu 1 3,5
điểm
Câu 1a
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
3 2
3 3 1= − + +y x x x
*Tập xác định: D =
¡

* Sự biến thiên.
+Giới hạn :
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
x x
y ylim ; lim

+Chiều biến thiên

( )
2
, 2
3 6 3 3 1= − + = −y x x x
; y’ = 0 ⇔ x = 1 và
> ∀ ≠
,
y 0, x 1
nên hàm số đồng biến trên
¡
. Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên:

x
−∞
1
+∞


,
y

+ 0 +

y

+∞
2
−∞
* Đồ thị
Ta có:
,,
6 6= −y x
,
,,
0 1= ⇔ =y x

Đồ thị của hàm số đã cho nhận điểm
( )
I 1;2
làm tâm đối xứng
Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm
( )
0;1
; đồ thị qua điểm
( )
2;3

0.25
0.25
0.25

0.25
0.5
0.25
0.25

f(x)=x^3-3x^2+3x+1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
0,5
Câu 1b
b. Tìm a, b để đồ thị của hàm số
ax b
y
x 1
+
=
−
đi qua điểm
( )
A 2;7
và tiếp
tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc bằng
5−

Đồ thị hàm số
ax b
y

x 1
+
=
−
qua điểm
( )
A 2;7
khi và chỉ khi
2a b 7+ =
Ta có:
( )
,
2
a b
y
x 1
− −
=
−
.
Tiếp tuyến tại A có hệ số góc bằng
5−
nên
,
y (2) 5 a b 5= − ⇔ − − = −
Giải hệ PT
2a b 7
a b 5
+ =



− − = −

ta được
a 2
b 3
=


=

Vậy:
= =a 2, b 3
là các giá trị cần
tìm
0.25
0.25

0.25
0.25
Câu 2
1,5
điểm
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 3
y 3x 4x= −
TXĐ: D =
¡

Ta có:

( )
, 3 2 2
y 12x 12x 12x x 1= − = −
,
x 0
y 0
x 1
=

= ⇔

=

Bảng biến thiên
0,25
x
−∞
0 1
+∞


,
y


−
0
−
0 +
y

+∞

+∞

0

1
−
Từ bảng biến thiên ta suy ra
x
min y 1
∈
= −
¡
khi x = 1
0,25
0,25
Câu 2b
b. Tính giá trị của biểu thức
ln 2021 a 1 1 a
2 5
A log 5.log 4 e 3 .3
+ −
= + −
với
a 0
>
Ta có:

ln2021

2 5 2
a 1 1 a 2
log 5.log 4 log 4 2;e 2021;
3 .3 3 9
+ −
= = =
= =
Vậy
A 2 2021 9 2014= + − =
0,25
0,25
0,25
Câu 3
Cho khối chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O với tam giác
ABD là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt
phẳng chứa đáy là trọng tâm G của tam giác ABD. Cạnh bên SC tạo với
đáy một góc
0
45
.
3,0
điểm
a)Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a

Ta có:
( )
·
45⊥ ⇒ =
o
SG ABCD SCG
0,5

0,25
S
B
O
G
A
D
C
2
3
2
2
∆
= =
ABCD ABD
a
S S
a 3
AO AC 2AO a 3
2
= ⇒ = =

2 2 3 2 3
3 3 3
= = ⇒ = =
a a
GC AC SG GC
(do tam giác SGC vuông cân tại G)

2 3
.
1 1 3 2 3
. . .
3 3 2 3 3
= = =
S ABCD ABCD
a a a
V S SG

b) Chứng minh
GD DC⊥
, từ đó suy ra tam giác CDS vuông tại D
Ta có
·
·
·
0 0
60 30 90= + = + = ⇒ ⊥
o
CDG CDB BDG GD DC
Từ đó do
( )

SG ABCD⊥
theo định lý ba đường vuông góc suy ra
CD SD
⊥
nên tam giác CDS vuông tại D
c)Tính độ dài đường cao của khối chóp A.CDS theo a
Gọi h là độ dài đường cao của khối chóp A.CDS
Ta có
A.CDS
A.CDS CDS
CDS
1 3V
V S .h h
3 S
∆
∆
= ⇒ =

2
3 2 3 15 15
,
3 3 3 6
∆
= = ⇒ = ⇒ =
CDS
a a a a
GD SG SD S
3
. . .
1

2 6
= = =
A CDS S ACD S ABCD
a
V V V
. Kết quả
.
3
15
5
= =
V
A CDS
CDS
V
a
h
S
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
2,0
điểm
a) Giải phương trình :

− − =
x x
9 3 6 0

( )
− − = ⇔ − − =
2
x x x x
9 3 6 0 3 3 6 0
Đặt
x
t 3=
với t > 0. Ta có phương trình
( ) ( )
− − = ⇔ + − = ⇔ =
2
t t 6 0 t 2 t 3 0 t 3
( vì t > 0 )
Do đó:
= ⇔ =
x
3 3 x 1
Nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1

0,25
0,25
0,25
0,25
b) Giải phương trình:
( )

+
 
+ − = +
 ÷
 
2 2 2
x 2
2log x 2 log x log 6
x


Điều kiện xác định
x 0>
Với điều kiện trên PT
( )
2
2 2 2
x 2
log x 2 log x log 6
x
+
 
⇔ + − = +
 ÷
 
( )
2
2 2
x 2
x 2

log log 6
x
x
+
+
 
⇔ = +
 ÷
 
2
x 2 x 2
6
x x
+ +
 
⇔ = +
 ÷
 
.Đặt
x 2
t
x
+
=

t 0⇒ >
( do x > 0 )
Ta có
2
t t 6 0− − =

giải và chọn nghiệm t > 0 ta được t = 3 .
Từ đó x = 1 ; x = 4 là nghiệm của phương trình đã cho.

0,25
0,25
0,25
0,25