Lớp 12 - Tuyển tập 345 bài toán tích phân LTĐH

HTTP://BUIPHAN.NET

1

345 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN LUYỆN THI ĐẠI HỌC


1. Định nghĩa nguyên hàm: Hàm số F(x) dược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)
trên K nếu F’(x)=f(x).
Lưu ý:  Các nguyên hàm của f(x) trên K sai khác nhau một hằng số C.
 Họ các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là
()f x dx

; Vậy
( ) ( )f x dx F x C


2. Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng:
11
1 ( )
1. ; . ; ; ( ) .
11
x ax b
dx x c a dx ax c x dx C ax b dx C
a





            


   

1 1 1 1 1 1
ln | | ; .ln | | ; 2 ; .2 ;dx x C dx ax b C dx x C dx ax b C
x ax b a a
x ax b
             


   

22
1 1 1 1 1 1
; . ; ; . ;
()
x x ax b ax b
dx C dx C e dx e C e dx e C
x x ax b a ax b a

             

   

11
cos sin ; cos( ) .sin( ) ; sin cos ; sin( ) .cos( ) ;xdx x C ax b dx ax b C xdx x C ax b dx ax b C
aa
                 
   

22
22
1 1 1
tan ; .tan( ) ;
cos cos ( )
1 1 1
cot ; .cot( ) ;
sin sin ( )
dx x C dx ax b C
x ax b a
dx x C dx ax b C
x ax b a
      

        




3. Phương pháp tìm nguyên hàm:
a) Phương pháp đổi biến:
[ ( )]. '( ) [ ( )]f t x t x dx F t x C


b) Phương pháp từng phần:
.udv u v vdu


4. Công thức tích phân: Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn
[a;b] thì

( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a  


5. Phương pháp đổi biến số: Xét
[ ( )]. '( )
b
a
I f t x t x dx


 Đặt t=t(x)dt=t’(x)dx;  Đổi cận: x=bt=t(b); x=at=t(a).
 Thay vào:
()
()
()
tb
ta
I f t dt

và tính tích phân mới này (biến t).
Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:
Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng
'( )
()
b

a
tx
dx
tx


Đặt t=t(x) Mẫu
()
( ). '( )
b
tx
a
f e t x dx


Đặt t=t(x) Mũ
( ( )). '( )
b
a
f t x t x dx


Đặt t=t(x) Ngoặc
( ( )). '( )
b
n
a
f t x t x dx


Đặt t=
()
n
tx

Căn


2

1
(ln ).
b
a
f x dx
x


Đặt t=lnx Lnx
(sin ).cos
b
a
f x xdx


Đặt t=sinx
Cosxdx đi kèm biểu thức
theo sinx
(cos ).sin
b

a
f x xdx


Đặt t=cosx
Sinxdx đi kèm biểu thức
theo cosx
2
1
(tan ).
cos
b
a
f x dx
x


Đặt t=tanx
2
1
cos
dx
x
đi kèm biểu thức
theo tanx
2
1
(cot ).
sin
b

a
f x dx
x


Đặt t=cotx
2
1
sin
dx
x
đi kèm biểu thức
theo cotx
( ).
b
ax ax
a
f e e dx


Đặt t=e
ax
.
e
ax
dx đi kèm biểu thức
theo e
ax
.
Đôi khi thay cách đặt t=t(x) bởi t=mt(x)+n ta sẽ gặp thuận lợi hơn.

6. Phương pháp tích phân từng phần:
()
bb
b
a
aa
udv uv vdu


Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:
Với P(x) là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây:

( ).sin( )
b
a
P x ax b dx

ta đặt
()
sin( )
u P x
dv ax b dx





ta có
'( ).
1

cos( )
du P x dx
v ax b
a




  




( ).cos( )
b
a
P x ax b dx

ta đặt
()
cos( )
u P x
dv ax b dx





ta có
'( ).

1
sin( )
du P x dx
v ax b
a









()
( ).
b
ax b
a
P x e dx


ta đặt
()
ax b
u P x
dv e dx







ta có
'( ).
1
ax b
du P x dx
ve
a










( ).ln( )
b
a
f x ax b dx

ta đặt
ln( )
()
u ax b
dv f x dx






ta có
.
()
a
du dx
ax b
v F x









7. Diện tích hình phẳng: Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b],
(H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường (C
1
):y=f(x), (C
2
):y=g(x), x=a, x=b. Khi
đó diện tích của hình phẳng (H) là:
| ( ) ( ) |
b

a
S f x g x dx


8. Thể tích vật thể tròn xoay: Hình (H) giới hạn bởi: y=f(x), Ox, x=a,x=b. Thể tích
vật thể do hình (H) quay quanh trục Ox là:
2
[ ( )]
b
a
V f x dx




Lưu ý: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x), x=a,
x=b(ab). Nếu f(x) và g(x) luôn cùng dấu trên [a;b] thì thể tích vật thể do (H) quay
quanh Ox là:
22
| ( ( )) ( ( )) |
b
a
V f x g x dx






3

1/ I =
1
x
xx
0
e dx
ee



.



2/ I =
1
1 ln
e
x
dx
x




3/ I =
2

2
1
x 1 dx
x x x



( ).
ln


4/I =
3
2
4
3tg xdx




5/I =
4
2
6
(2cotg x 5)dx





6/I =
2
0
1 cosx
dx
1 cosx





7/ I =

2
0

sin
2
x.cos
2
xdx
8/I =

3
0

(2cos
2
x-3sin
2

x)dx
9 / I =
2
2
sin( x)
4
dx
sin( x)
4








10 / I =


3
6


(tgx-cotgx)
2
dx

11/ I =
4

4
0
cos xdx





12 / I =
2
3
0
sin xdx



13*/ I =
3
3
2
3
sin x sin x
cotgxdx
sin x





14/I =

2
4
0
sin xdx



15/I =

3
4
22
2
cos
2
sin
1


xx
dx

16/I =

4
6


cotg2x dx

17/I =
2
2
sin x
4
e sin2xdx




18/ I =


4
0
2
2
cos

x
e
tgx



.


34/I =
1

22
3
1
dx
x 4 x


35/I =
4
2
2
1
dx
x 16 x


36*/I =
6
2
23
1
dx
x x 9




4

19/ I =

2
4
4
sin
1


x
dx
20/ I =

4
0
6
cos
1

x
dx
21/I =
dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0




22/ I =
2
3
0
cos xdx



23/ I =
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx




24/ I =
1
32
0
x 1 x dx


25/I =
1
52
0

x 1 x dx


26/I =
1
0
x
dx
2x 1


27/I =
1
x
0
1
dx
e4


28/I =
2
x
1
1
dx
1e




29/I =
2x
2
x
0
e
dx
e1


30/I =
x
1
x
0
e
dx
e1





31/I =
e
2
1
lnx
dx

x(ln x 1)


32/I =
7
3
3
0
x1
dx
3x 1




37/I =
2
22
1
x 4 x dx




38/I =
2
23
0
x (x 4) dx


39/I =
2
4
43
3
x4
dx
x



40*/I =
2
2
2
2
x1
dx
x x 1






41/I =
ln2
x
0

e 1dx


42/I =
1
0
1
dx
3 2x


43/I =
2
5
0
sin xdx



44*/I =
3
0
1
dx
cosx



45/I =
2x

1
x
0
e
dx
e1





46/I =
ln3
x
0
1
dx
e1


47/I =
4
2
6
1
dx
sin x cotgx




48/I =
3
2
e
1
ln x 2 ln x
dx
x



.

64/I =
2
0
sin x.sin2x.sin3xdx





5

33/I =
2
3
2
0

(x 3) x 6x 8dx  


.


49/I =
e
1
sin(lnx)
dx
x


50/I =
1
3 4 5
0
x (x 1) dx


51/I =
1
23
0
(1 2x)(1 3x 3x ) dx  


52/I =
2

3
1
1
dx
x 1 x


53/I =
3
22
6
tg x cotg x 2dx





54/I =
1
23
0
(1 x ) dx


55*/I =
1
2x
0
1
dx

e3


56/I =
x
ln3
x3
0
e
dx
(e 1)


57/I =
0
2x
3
1
x(e x 1)dx




58/I =
2
6
35
0
1 cos x sin x.cos xdx





59*/I =
23
2
5
1
dx
x x 4


60/I =
4
0
x
dx
1 cos2x




61/I =
2x
ln5
x
ln2
e
dx
e1



65/I =
2
44
0
cos2x(sin x cos x)dx




66*/I =
2
33
0
( cosx sin x)dx




67/I =
7
3
84
2
x
dx
1 x 2x


68*/I =
2
0
4cosx 3sin x 1
dx
4sin x 3cosx 5





69/I =
9
3
1
x. 1 xdx


70/I =
2
3
0
x1
dx
3x 2




71*/I =

6
0
x
sin dx
2



72*/I =
2
0
x
dx
2 x 2 x  


73/I =
3
32
0
x . 1 x dx


74**/I =
1
2
0
ln(1 x)
dx
x1





75/I =
2
0
sin x
dx
sin x cosx




76/I =
e
1
cos(ln x)dx



77*/I =
2
2
0
4 x dx


78/I =
2

1
x
dx
1 x 1



.



6

62/I =
2
e
1
x1
.lnxdx
x



63/I =
2
1
0
x
dx
(x 1) x 1




79/I =
e
1
1 3ln x ln x
dx
x



80/I =
3
2
2
ln(x x)dx



81/I =
e
2
1
(ln x) dx


82/I =
2
e

e
lnx
dx
x


83/I =
2
e
1
lnx
dx
lnx


84/I =
2
2
1
xln(x 1)dx


85/I =
3
2
3
1
dx
x3


86/I =
1
2
0
1
dx
4x


87/I =
2
4
0
sin xdx



88/I =
3
2
6
ln(sin x)
dx
cos x




89/I =

2
1
cos(ln x)dx


90*/I =
2
2
0
ln( 1 x x)dx


91*/I =
3
2
2
1
dx
x1


94/I =
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x





95*/I =
2
e
2
e
11
( )dx
ln x
ln x



96/I =
3
2
4
x 4 dx




97/I =
2
32
1
x 2x x 2 dx

  



98/I =
3
4
4
cos2x 1dx





99/I =
0
cosx sinxdx



100/I =
2
0
1 sinxdx




101/I =
3
4
4

sin2x dx




102/I =
0
1 sinxdx




103/I =
1
3
2
1
ln(x x 1) dx







104*/I =
2
0
xsin x
dx

1 cos x




105*/I =
1
2x
1
1
dx
(x 1)(4 1)




106*/I =
4
1
x
1
x
dx
12




107/I =
2

4
0
xsin xdx





7

92/I =
3
8
1
x1
dx
x



93/I =
3
3
2
1
x
dx
x 16


109/I =
6
2
0
x.sin xcos xdx



110*/I =
2x
1
2
0
xe
dx
(x 2)


111/I =
2x 2
0
e sin xdx




112/I =
2
2
1

1
x ln(1 )dx
x




113/I =
e
2
1
e
lnx
dx
(x 1)


114/I =
1
2
0
1x
x.ln dx
1x




115/I =
2

t
1
ln x
dx I 2
x






116/I =
3
0
sin x.ln(cosx)dx



117/I =
2
e
2
1
cos (ln x)dx



118/I =
4
0

1
dx
cosx



119*/I =
4
3
0
1
dx
cos x



120/I =
2
1
3x
0
x e dx


108/I =
2
4
0
xcos xdx





123/I =
1
2
0
3
dx
x 4x 5


124/I =
2
2
1
5
dx
x 6x 9


125/I =
1
2
5
1
dx
2x 8x 26





126/I =
1
0
2x 9
dx
x3




127/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1)



128*/I =
0
2
2
sin2x
dx
(2 sin x)





129/I =
1
2
0
x3
dx
(x 1)(x 3x 2)

  


130/I =
1
3
0
4x
dx
(x 1)


131/I =
1
42
0
1
dx
(x 4x 3)



132/I =
3
3
2
0
sin x
dx
(sin x 3)




133/I =
3
3
6
4sin x
dx
1 cosx





134/I =
3
2
6

1
dx
cosx.sin x




www.giaoducviet.net
t


8

121/I =
2
2
sin x 3
0
e .sin xcos xdx



122/I =
2
4
0
sin2x
dx
1 cos x





137/I =
3
4
2 2 5
0
sin x
dx
(tg x 1) .cos x




138/I =
3
22
3
1
dx
sin x 9cos x






139/I =
2

2
cosx 1
dx
cosx 2







140/I =
2
0
1 sin x
dx
1 3cosx





141/I =
2
0
cosx
dx
sin x cosx 1





142/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1)


143/I =
1
3
3
1
dx
x 4 (x 4)

  


144/I =
3
3
0
sin x
dx
cosx




145/I =
1
0
x 1 xdx


146/I =
6
4
x 4 1
. dx
x 2 x 2




147/I =
0
2
1
1
dx
x 2x 9




135/I =

3
0
sin x.tgxdx



136/I =
3
4
1
dx
sin 2x





.
152/I =
1
4x 2x
2
2x
0
3e e
dx
1e




153/I =
4
2
7
1
dx
x 9 x


154/I =
2
x2
0
e sin xdx



155/I =
4
2
44
0
cos x
dx
cos x sin x




156/I =
1
0
3
dx
x 9 x


157/I =
0
xsin xdx



158/I =
22
0
x cos xdx



159/I =
1
0
cos x dx


160/I =
1

0
sin x dx


161/I =
2
4
0
xsin x dx



162/I =
2
4
0
xcos x dx



-->