Tuyển tập các bài toán tích phân (Có lời giải)

Toán 12 (Tích phân)
NGUYÊN HÀM
I) Đònh nghóa nguyên hàm :
Cho 2 hàm số F(x) và f(x) xác đònh trên tập D.
F(x) gọi là 1 nguyên hàm của f(x) ⇔ F’(x) = f(x), ∀x∈D
II) Đònh nghóa tích phân không xác đònh :
Ta biết rằng 1 hàm số y = f(x) có nhiều nguyên hàm. Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằng số.
Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích phân không xác đònh của hàm f(x).
Ký hiệu :
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
III) Bảng các nguyên hàm :
dx x C= +
∫
( )
1
x
x dx C 1
1
α+
α
= + α ≠ −
α +
∫
dx
ln x C
x
= +
∫
x x

e dx e C= +
∫
x
x
a
a dx C
lna
= +
∫
cosxdx sin x C= +
∫
sinxdx cosx C= − +
∫
2
dx
tgx C
cos x
= +
∫
2
dx
cotgx C
sin x
= − +
∫
kdx kx C= +
∫
( )
( )
( )

1
ax b
1
ax b dx C 1,a 0
a 1
α+
α
+
+ = + α ≠ − ≠
α +
∫
( )
dx 1
ln ax b C a 0
ax b a
= + + ≠
+
∫
ax b ax b
1
e dx e C
a
+ +
= +
∫
( ) ( )
1
cos ax b dx sin ax b C
a
+ = + +

∫
( ) ( )
1
sin ax b dx cos ax b C
a
+ = − + +
∫
( )
( )
2
dx 1
tg ax b C
cos ax b a
= + +
+
∫
( )
( )
2
dx 1
cotg ax b C
sin ax b a
= − + +
+
∫
TÍCH PHÂN
I) Đònh nghóa tích phân xác đònh :
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên tập K; a,b là 2 phần tử thuộc tập K
F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân xác đònh của f(x) trên [a;b]

Ký hiệu :
( )
b
a
f x dx
∫
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = − 
 
∫
Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx được
gọi là vi phân của mọi nguyên hàm f(x)
a là cận trên, b là cận dưới, x là biến số lấy tích phân
1
Toán 12 (Tích phân)
II) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b ∈ K
1)
( )
a
a
f x dx 0=
∫
2)
( ) ( )

b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
3)
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
4)
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ± 
 
∫ ∫ ∫
5)
( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx c a;b= + ∈ 
 
∫ ∫ ∫
6)
( )
[ ]
( )
b
a

f x 0, x a;b f x dx 0≥ ∀ ∈ ⇒ ≥
∫
7)
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
b b
a a
f x g x , x a;b f x dx g x dx≥ ∀ ∈ ⇒ ≥
∫ ∫
8)
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
b
a
m f x M, x a;b m b a f x dx M b a≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≤ ≤ −
∫
9)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
t
a
t biến thiên trên đoạn a;b G t f x dx là 1 nguyên hàm của f t và G a 0⇒ = =
∫
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1) Diện tích hình phẳng :
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong: y
1
= f

1
(x), y
2
= f
2
(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b, trong
đó y
1
, y
2
là 2 hàm số liên tục trên [a;b] được tính bởi công thức sau :
( ) ( )
b
1 2
a
S f x f x dx
= −
∫
2) Thể tích vật thể tròn xoay :
• Cho đường cong (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b] có đồ thò là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
(C), Ox, x = a, x = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay có
thể tích là :
( )
2
b b
2
Ox
a a
V y dx f x dx
= π =π  

 
∫ ∫
• Cho đường cong (C) : x = g(y) liên tục trên [a;b] có đồ thò là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
(C), Ox, y = a, y = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Oy ta được 1 vật thể tròn xoay có
thể tích là :
( )
2
b b
2
Oy
a a
V x dy g y dy
= π =π  
 
∫ ∫
2
Toán 12 (Tích phân)
CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC
1) Tính tích phân :
2
1
x
I dx
1 x 1
=
+ −
∫
(Đại học khối A – 2004)
2 2
1

1 1 1
2 3 3 2
2
0 0 0
0
Đặt t x 1 t x 1 x t 1 dx 2tdt
x 1 t 0;x 2 t 1
t 1 t t 2 t t 1 1
I 2tdt 2 dt 2 t t 2 dt 2 2t 2ln t 1 2 2 2ln2
1 t t 1 t 1 3 2 3 2
11
4ln2
3
= − ⇔ = − ⇔ = + ⇔ =
= ⇒ = = ⇒ =
 
+ +
   
= = = − + − = − + − + = − + −
 ÷  ÷
 
+ + +
   
 
= −
∫ ∫ ∫
2) Tính tích phân :
2 3
2
5

dx
I
x x 4
=
+
∫
(Đại học khối A – 2003)
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 3 4 4 4 4
2
2 2
3 3 3 3
5
4
4
3
3
Đặt t x 4 t x 4 2tdt 2xdx tdt xdx
Đổi cận : x 5 t 3;x 2 3 t 4
t 2 t 2
xdx tdt dt 1 1 1 1
I dt dt
t 2 t 2 4 t 2 t 2 4 t 2 t 2
t 4 t
x x 4
1 1 t 2 1 1 1

ln t 2 ln t 2 ln ln ln
4 4 t 2 4 3 5
= + ⇔ = + ⇔ = ⇔ =
= ⇒ = = ⇒ =
+ − −
 
= = = = = −
 ÷
+ − + − − +
−
 
+
−
  
=  − − +  = = −
 
 
+
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 5
ln
4 3

=
 ÷
 
3) Tính tích phân :
1
3 2

0
I x 1 x dx= −
∫
(Dự bò 2 – Đại học khối A – 2003)
( )
( )
( )
2 2 2 2 2
1
1 0 1
3 5
2 2 2 2 4
0 1 0
0
Đặt t 1 x t 1 x x 1 t 2xdx 2tdt xdx tdt
Đổi cận : x 0 t 1;x 1 t 0
t t 1 1 2
I x 1 x xdx 1 t t tdt t t dt
3 5 3 5 15
= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −
= ⇒ = = ⇒ =
 
= − = − − = − = − = − =
 
 
∫ ∫ ∫
4) Tính tích phân :
2
0
sin2x sinx

I dx
1 3cosx
π
+
=
+
∫
(Đại học khối A – 2005)
( )
2
2
1 2
2 3
2 2
0 0 2 1
2tdt
Đặt t 1 3cosx t 1 3cos x 2tdt 3sinxdx sinxdx
3
Đổi cận : x 0 t 2;x t 1
2
t 1 2tdt
2 1
2cosx 1 sin xdx
3 3
2sin x cosx sin x 2 2t 1 2 2t t
I dx
t 3 3 3 9 3
1 3cos x 1 3cosx
π π
= + ⇔ = + ⇔ = − ⇔ = −

π
= ⇒ = = ⇒ =
 
−
 
+ −
 ÷
 ÷
+
   
+ +
 
 
= = = = = +
 ÷
 
+ +
   
∫ ∫ ∫ ∫
2
1
2 16 2 2 1 34
3 9 3 9 3 27
 
   
= + − + =
 ÷  ÷
 
   
 

3
Toán 12 (Tích phân)
5) Tính tích phân :
2
2 2
0
sin2x
I dx
cos x 4sin x
π
=
+
∫
(Đại học khối A – 2006)
2 2 2 2
2
2 2
1 1
1
2tdt
Đặt t cos x 4sin x t 1 3sin x 2tdt 6sin x cosxdx 3sin2xdx sin2xdx
3
Đổi cận : x 0 t 1;x t 2
2
2tdt
2 2 4 2 2
3
I dt t
t 3 3 3 3 3
= + ⇔ = + ⇔ = = ⇔ =

π
= ⇒ = = ⇒ =
 
= = = = − =
 
 
∫ ∫
6) Tính tích phân :
1
2
0
I 1 x dx= −
∫
Giải
2 2
Khi gặp a x , ta đặt x asin t t ;
2 2
 π π 
 
− = ∈ −
 ÷
 
 
 
2 2 2 2 2
2
2 2 2
0
0 0 0 0 0
Đặt x sint t ; dx cos tdt.

2 2
x 0 sint 0 t 0;x 1 sint 1 t
2
1 cos2t 1 1
I 1 sin t costdt cos t cos tdt cost costdt cos tdt dt t sin2t
2 2 4 4
π π π π π
π
 π π 
 
= ∈ − ⇒ =
 ÷
 
 
 
π
= ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ⇔ =
+ π
 
= − = = = = = + =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
7) Tính tích phân :
1
2
0
dx
I
1 x

=
+
∫
Giải
2 2
Khi gặp a x , ta đặt x atgt t ;
2 2
 π π 
 
+ = ∈ −
 ÷
 ÷
 
 
( )
( )
[ ]
2
4
2
4 4
2
0 0
0
Đặt x tgt t ; dx 1 tg t dt
2 2
x 0 tgt 0 t 0;x 1 tgt 1 t
4
1 tg t dt
I dt t

1 tg t 4
π
π π
 π π 
 
= ∈ − ⇒ = +
 ÷
 ÷
 
 
π
= ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ⇔ =
+
π
= = = =
+
∫ ∫
8) Tính tích phân :
1
2
0
dx
I
x x 1
=
+ +
∫
4
Toán 12 (Tích phân)
( )

( )
1
2
2
2
0
3
2
3 3
2
6 6
6
dx 1 3 3
I . Đặt x tgt t ; dx 1 tg t dt
2 2 2 2 2
1 3
x
2 2
3 1 1 3 3
x 0 tgt tgt t ;x 1 tgt tgt 3 t
2 2 6 2 2 3
3
3
1 tg t dt
2 3 2 3 2 3 3
2
I dt t
3 3
3 3 3 3 6 9
tg t

4 4
π
π π
π π
π
 π π 
 
= + = ∈ − ⇒ = +
 ÷
 ÷
 
 
 
 
+ +
 ÷
 ÷
 
 
π π
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
+
 
π π π
 
= = = = − =
 
 ÷
 
 

+
∫
∫ ∫
9) Tính tích phân :
e
1
1 3ln x lnx
I dx
x
+
=
∫
(Đại học khối B – 2004)
( )
2
2
2 2
2 5 3
4 2
1 1
1
3dx dx 2tdt
Đặt t 1 3ln x t 1 3ln x 2tdt
x x 3
x 1 t 1;x e t 2
t 1 2tdt 2 2 t t 2 32 8 1 1 116
I t t t dt
3 3 9 9 5 3 9 5 3 5 3 135
= + ⇔ = + ⇔ = ⇔ =
= ⇒ = = ⇒ =

   
−  
   
= = − = − = − − − =
 ÷
 ÷  ÷
 
 
   
 
   
∫ ∫
10)Tính tích phân :
ln5
x x
ln3
dx
I
e 2e 3
−
=
+ −
∫
(Đại học khối B – 2006)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x x
ln5 5 5 5 5
x

5
2x x 2
3
ln3 3 3 3 3
5
3
Đặt t e dt e dx
x ln3 t 3,x ln5 t 5
t 1 t 2
e dx dt dt 1 1
I dt dt ln t 2 ln t 1
e 2 3e t 3t 2 t 1 t 2 t 1 t 2 t 2 t 1
t 2 3 1 3
ln ln ln ln
t 1 4 2 2
= ⇒ =
= ⇒ = = ⇒ =
− − −
 
= = = = = − =  − − − 
 ÷
 
+ − − + − − − − − −
 
 − 
= = − =
 
−
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

11)Tính tích phân :
2
0
sin2x cos x
I dx
1 cosx
π
=
+
∫
(Đại học khối B – 2005)
( ) ( )
( )
2
2 2
0 0
2
2
1 2 2
2 2
2 1 1
1
2sin x cosx cosx sinx cos x
I dx 2 dx
1 cos x 1 cosx
Đặt t 1 cos x dt sin xdx
Đổi cận : x 0 t 2,x t 1
2
t 1 dt
t 2t 1 1 t 1

I 2 2 dt 2 t 2 dt 2 2t ln t 2 2 4 ln 2 2
t t t 2 2
2ln
π π
= =
+ +
= + ⇒ = −
π
= ⇒ = = ⇒ =
− −
 
− +  
   
= = = − + = − + = − + − −
 ÷
 ÷  ÷
 
   
 
 
=
∫ ∫
∫ ∫ ∫
2 1−
5
Toán 12 (Tích phân)
12)Tính tích phân :
( )
3
2

2
I ln x x dx= −
∫
(Đại học khối D – 2004)
( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
2
2
3 3 3 3
3
3
2
2
2
2 2 2 2
3
2
2x 1
u ln x x
du dx
Đặt :
x x
dv dx
v x
x 2x 1
1

I udv uv vdu x ln x x dx 3ln 6 2ln2 2 dx
x x 1 x 1
3ln6 2ln 2 2x ln x 1 3ln6 2 ln 2 6 ln2 4 2 3ln6 3ln2 2 3ln 3
−


= −
=
 
⇒
−
 
=



=

−
 
 
= = − = − − = − − +
 ÷
 
− −
 
= − −  + −  = − − + − = − + − = − + 
  
∫ ∫ ∫ ∫
13) Tính tích phân :

( )
2
sinx
0
I e cosx cosxdx
π
= +
∫
(Đại học khối D – 2005)
2 2
sinx 2
0 0
2
sinx
0
1
1
t t
0
0
2 2
2
2
0
0 0
I e cosxdx cos xdx A B
Tính A e cosxdx : Đặt t sin x dt cosxdx. Đổi cận : x 0 t 0,x t 1
2
A e dt e e 1
1 cos2x x sin2x

Tính B cos xdx dx
2 2 4 4
Vậy I A B e 1
π π
π
π π
π
= + = +
π
= = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
 
= = = −
 
+ π
 
= = = + =
 
 
= + = − +
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
4
π
14) Tính tích phân :
( )
1
2x
0

I x 2 e dx= −
∫
(Đại học khối D – 2006)
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
2x 2x
2x
1 1
1 1 1
2
1
2x 2x 2 2x 2 2
0
0 0
0 0 0
du dx
u x 2
Đặt :
1
v e dx e
dv e dx
2
1 1 1 1 1 1 5 3e
I udv uv vdu e x 2 e dx e 2 e e 2 e 1
2 2 2 4 2 4 4
=

= −



⇒
 
= =
=



−
   
= = − = − − = − + − = − + − − =
   
   
∫
∫ ∫ ∫
15)Tính tích phân :
2
2
0
I x x dx= −
∫
(Đại học khối D – 2003)
Giải phương trình x
2
– x = 0, ta được x = 0 V x = 1
x -∞ 0 1 2 +∞
x
2
– x + 0 – 0 + +
( ) ( )

1 2
1 2
2 3 3 2
2 2
0 1
0 1
x x x x 1 1 8 1 1
Vậy I x x dx x x dx 2 1
2 3 3 2 2 3 3 3 2
   
     
= − + − = − + − = − + − − − =
 ÷  ÷  ÷
   
     
   
∫ ∫
6
Toán 12 (Tích phân)
16)Tính tích phân :
4
0
x
I dx
1 cos2x
π
=
+
∫
(Dự bò 1 – Đại học khối A – 2003)

[ ] [ ]
( )
4 4
1
2 2
0 0
2 2
4 4 4 4
4
4 4
1
0 0
0
0 0 0 0
1
u x du dx
x 1 x 1
I dx dx I Đặt :
dx dx
2cos x 2 cos x 2
dv v tgx
cos x cos x
cosx '
1 1
I udv uv vdu xtgx tgxdx dx ln cos x ln ln2
4 cosx 4 4 4 2
2
1 1
I I ln2
2 8 4

π π
π π π π
π
π π
= =
 
 
= = = ⇒
 
= = =
 
 
π π π π
= = − = − = + = +   = + = −
 
π
= = −
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
17)Tính tích phân :
2
1
3 x
0
I x e dx=
∫
(Dự bò 1 – Đại học khối D – 2003)
[ ]
( )

2
2
1 1 1
2 x t t
1
0 0 0
1 1 1
1 1
1
t t t
1
t t
0
0 0
0 0 0
Đặt t x dt 2xdx. Đổi cận : x 0 t 0,x 1 t 1
dt 1 1
I x e xdx te te dt I
2 2 2
u t du dt
1
Đặt I udv uv vdu te e dt e e e e 1 1 I
2
dv e dt v e
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
= = = =
= =
 
   
⇒ = = − = − = − = − − = ⇒ =

 
   
= =
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
18)Tính tích phân :
2
0
I x sin xdx
π
=
∫
(Dự bò 1 – Đại học khối D – 2004)
2 2 2
1
0
2
2 2
1 2
0
0
Đặt t x x t dx 2tdt. Đổi cận : x 0 t 0;x t Vậy I 2 t sintdt 2I
du 2tdt
u t
Đặt Vậy I t cos t 2 t cos tdt 2I
v sin tdt cost
dv sin tdt
du' dt
u' t

Đặt
v'
dv' costdt
π
π
π
= ⇔ = ⇔ = = ⇒ = = π ⇒ = π = =
=


=

 
⇒ = − + = π +
 
 
= = −
=



=
=

⇒

=

∫
∫

∫
[ ] [ ]
2
0
0
0
2 2
1
Vậy I t sin t sin tdt cost 1 1 2
costdt sin t
I 4 I 2 8
π
π
π


= − = = − − = −

= =


= π − ⇒ = π −
∫
∫
19)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + e
x
)x (Đại học khối A – 2007)
( )
( ) ( )
( )

( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( )
x x
x
1 1 1
x x x x
0 0 0
x
x 0
x 0
Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : e 1 x 1 e x x e e 0
x 1
e e
S e 1 x 1 e xdx x e e dx ; x 0;1 , ta luôn có x e e 0, vậy S x e e dx
du dx
u x
Đặt
dv e e dx v e
=
=


+ = + ⇔ − = ⇔ ⇔


=
=



 
= + − + = − ∀ ∈ − ≥ = −
 
=
=


⇒

= − = −


∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
1
x x x
x x
0
0
0
ex
S x ex e ex e dx e
e dx ex e
2

e e
e 1 1 đvdt
2 2

 

 
= − − − = − −

 
 
= −
 


 
 
= − − − − = −
 ÷
 
 
 
∫
∫
7
Toán 12 (Tích phân)
20)Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi
trục Ox và đường
( )
y x sin x 0 x= ≤ ≤ π

(Dự bò 1 – Đại học khối A – 2004)
( )
2 3
2
2
Ox
0 0 0 0 0
0
x 0
x 0
Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : x sin x 0
x
sinx 0
1 cos2x x
V x sin x dx xsin xdx x dx xdx x cos2xdx I I
2 2 2 4 2 4 2
du dx
u x
Đặt
1
dv cos2xdx
v s
2
π
π π π π π

=

=
= ⇔ ⇔



= π
=


 
− π π π π π π
= π = π = π = − = − = −
 
 
=
=

⇒

=
=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
3
Ox
0 0
0
x 1 1
I sin2x sin2xdx 0 cos2x 0 V đvtt
2 2 4 4
in2x
π π

π

π

   
= − = − = ⇒ =

   
   


∫
21)Tính tích phân :
2
4
0
1 2sin x
I dx
1 sin2x
π
−
=
+
∫
(Đại học khối B – 2003)
2
4
2
1
0 1

x 0 t 1
cos2x 1 dt 1 1
I dx Đặt t 1 sin2x dt 2cos2xdx. Vậy I ln t ln 2
1 sin2x 2 t 2 2
x t 2
4
π
= ⇒ =
= = + ⇒ = = =   =
π
 
+
= ⇒ =
∫ ∫
22)Tính tích phân :
3
3
1
dx
I
x x
=
+
∫
(Dự bò 1 – Đại học khối B – 2004)
( ) ( )
( )
( )
( )
3 3

2
2 2 2
1 1
4
4 4 4
4
2
2 2 2
2
x 1 t 2
dx xdx
I Đặt t 1 x dt 2xdx.
x 1 x x 1 x
x 3 t 4
t t 1
1 dt 1 1 1 1 1 1 t 1 1 3 1 1 3
I dt dt ln t 1 ln t ln ln ln ln
2 t t 1 2 t t 1 2 t 1 t 2 2 t 2 4 2 2 2
= ⇒ =
= = = + ⇒ =
+ +
= ⇒ =
− −
 − 
   
= = = − =  − −  = = − =
 ÷  ÷
 
 
− − −

   
 
∫ ∫
∫ ∫ ∫
23)Tính tích phân :
2
4
2
0
x x 1
I dx
x 4
− +
=
+
∫
(Dự bò 2 – Đại học khối A – 2004)
( )
2
2 2 2
3
2
2 2 2 2
0 0 0
0
2
8
8
4
4

x 17 x xdx dx 16
I x 4 dx 4x 17 A 17B
x 4 x 4 3 x 4 x 4 3
Tính A : Đặt t x 4 dt 2xdx ; x 0 t 4,x 2 t 8
1 dt 1 1 1
A ln t ln8 ln 4 ln 2 ln 2
2 t 2 2 2
Tính B: Đặt x 2tgt t ;
2 2
 
 
= − − + = − − + = − − +
 ÷
 
+ + + +
 
 
= + ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
= =   = − = =
 
 π π
 
= ∈ −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
∫
( )
( )
2

2
4 4
4
2
0
0 0
dx 2 1 tg t dt ; x 0 tgt 0 t 0,x 2 tgt 1 t
4
2 1 tg t dt
1 1
B dt t
4 4tg t 2 2 8
16 17
Vậy I ln 2
3 8
π π
π
 π
⇒ = + = ⇔ = ⇔ = = ⇔ = ⇔ =
 ÷
 
+
π
 
= = = =
 
+
 
π
= − − +

∫ ∫
8
Toán 12 (Tích phân)
24)Chứng minh rằng :
1
3
1
2 dx 2
9 8 x 7
−
≤ ≤
+
∫
[ ]
( ) ( ) ( )
3 3
3
1 1
3 3
1 1
1 1 1
x 1;1 thì 1 x 1 1 x 1 7 8 x 9
9 8 x 7
1 dx 1 2 dx 2
1 1 1 1 đpcm
9 8 x 7 9 8 x 7
− −
∀ ∈ − − ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤
+
⇒ + ≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤

+ +
∫ ∫
25)Chứng minh rằng :
2
2
4
5
3 2sin xdx
2 4
π
π
π π
≤ + ≤
∫
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
4 4
2 1
x ; , ta có : sin x 1 sin x 1 1 2sin x 2 4 3 2sin x 5
4 2 2 2
5
2 3 2sin x 5 2 3 2sin xdx 5 3 2sin xdx đpcm
2 4 2 4 2 4
π π
π π
π π
 
∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤

 
 
π π π π π π
   
⇒ ≤ + ≤ ⇒ − ≤ + ≤ − ⇒ ≤ + ≤
 ÷  ÷
   
∫ ∫
26)Chứng minh rằng :
1
2
0
4 x 5
1 dx
2 2
+
≤ ≤
∫
[ ]
2
2 2 2
1
2
0
4 x 5
x 0;1 0 x 1 0 x 1 4 4 x 5 2 4 x 5 1
2 2
4 x 5
1 dx (điều phải chứng minh)
2 2

+
∀ ∈ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤
+
⇒ ≤ ≤
∫
27)Tính tích phân :
4
3
I 1 cos2xdx
π
π
−
= −
∫
[ ] [ ]
0 0
4 4 4 4
2
0 0
3 3 3 3
0
4
0
3
I 2sin xdx 2 sinx dx 2 sin x dx sin x dx 2 sin xdx sin xdx
1 1 3 2
2 cosx cosx 2 1 1 1
2 2
2
π π π π

π π π π
− − − −
π
π
−
   
 ÷  ÷
= = = + = −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
 
 
 
= − − − = − + − − + = −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
28)Tính tích phân :
( )
2
2
1
5 x 1
I dx
x x 6

−
=
− −
∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
1
1
5x 5 5x 5 A B Ax 2A Bx 3B
Ta có : 5x 5 A B x 2A 3B
x x 6 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2
A B 5 A 2
2A 3B 5 B 3
2 3
I dx 2 ln x 3 3ln x 2 3ln 4 2 ln 2 3ln3 6 ln 2 2ln 2 3ln3 4 ln 2 3ln3
x 3 x 2
− − + + −
= = + = ⇔ − = + + −
− − − + − + − +
+ = =
 
⇒ ⇔
 
− = − =
 
 

= + =  − + +  = − + = − − = −
 ÷
 
− +
 
∫
9
Toán 12 (Tích phân)
29)Xác đònh các hằng số A, B sao cho :
( ) ( ) ( )
3 3 2
3x 1 A B
, x 1
x 1 x 1 x 1
+
= + ∀ ≠ −
+ + +
Dựa vào kết quả trên, hãy tìm :
( )
3
3x 1
dx
x 1
+
+
∫
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

3 3 2 3 3
3 3 2 2
B 3 A 2
A B x 1
3x 1 A B Bx A B
A B 1 B 3
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
3x 1 2 3 1 3
dx dx C
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
= = −
+ +
 
+ + +
= + = = ⇒ ⇔
 
+ = =
+ + + + +
 
 
+ −
= + = − +
 ÷
 ÷
+
+ + + +
 
∫ ∫
30) Tính tích phân :

( )
2
1
2
0
x ln x 1 x
I dx
1 x
+ +
=
+
∫
(
)
(
)
( )
[ ]
2
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2 2 2
1
1
2 2
0
0

x 1 x x
1
u ln x 1 x
dx
1 x 1 x
du dx dx
Đặt
x 1 x 1 x x 1 x
xdx
dv
xdx
1 x
v
1 x
tdt
Tính v : Đặt t 1 x t 1 x 2tdt 2xdx tdt xdx. v dt t 1 x
t
I 1 x ln x 1 x dx 2 ln 1 2 x

+ +
+


= + +
+ +


= = =
 
⇒

 
+ + + + +
=
 

+ 

=

+

= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = = = = = +
 
= + + + − = + −
 
 
∫
∫ ∫
( )
1
0
2 ln 1 2 1= + −
∫
31) Tính tích phân :
( )
2
e
e
ln x ln ln x
I dx

x
+
=
∫
(CĐ KT Đối ngoại khối A, D – 2005)
( )
[ ] [ ]
( )
2
2
2 2 2
2
1 1 1
1 1 1
1
2
2 2
1 1
1 1
1
dx
Đặt t ln x dt x e t 1,x e t 2
x
t 1 3
I t ln t dt tdt ln tdt I 2 I I
2 2 2
dt
u ln t
du
Tính I : Đặt I t ln t dt 2ln 2 t 2ln 2 2 1 2ln 2 1

t
dv dt
v t
3 1
I 2ln 2 1 2 ln 2
2 2
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
 
= + = + = + = − + = +
 
 

=
=


⇒ = − = − = − − = −
 
=


=

= + − = +
∫ ∫ ∫
∫
32)Tính tích phân :
3
2
2

6
cos x
J dx
sin x
π
π
=
∫
(HK2 – Sở GĐ TPHCM – 2004 – 2005)
10