Một số dạng toán cực trị trong hình học không gian

TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134
Vn Thi-Vn Hng 2010
1

Khai thác các cách giải khác nhau về một số dạng
toán cực trị trong hình học không gian
Phần 1: Cơ sở lý thuyết
1. Trong không gian oxyz: Xét hệ toạ độ Đề các vuông góc giả sử A(x
1
,y
1
,z
1
),
B(x
2
,y
2
,z
2
) thì
),,(
121221
zzyyxxAB

2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
AB x x y y z z


2. Cho 2 vectơ:
),,(
111
zyxu
,
),,(
222
zyxv

*
1
2
2
1
2
1
zyxu

2
2
2
2

2
2
zyxv

dấu đẳng thức p xảy ra khi và chỉ khi
vu,
cùng chiều hoặc 1 trong 2 vectơ bằng
0

*
u v u v



dấu = xảy ra khi và chỉ khi
vu,
cùng chiều hoặc 1 trong 2 vectơ bằng
0

*Điều kiện để hai véc tơ
a

và
b


cùng phơng là
t R

để

a

=t
b


*
Điều kiện để ba véc tơ
a

;
c

và
b


không đồng phẵng là
; . 0
a b c





*
Điều kiện để ba véc tơ
a

;

c

và
b


đồng phẵng là
; . 0
a b c






*

1 2 1 2 1 2
. 0 0
u v u v x x y y z z



* Cho
ABC

Thì AB+BC
BC

và

AB BC AC

dấu đẳng thức sãy ra khi ba điểm
A;B;C thẳng hàng

















TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134
Vn Thi-Vn Hng 2010
2

Phần II .
Các dạng toán - phơng pháp chung và ví dụ minh hoạ

I .Dạng 1 Cho đờng thẳng
0 0 0

:
x x y y z z
a b c


và hai điểm A và B
Sao cho AB//

.Hãy tìm trên

điểm M sao cho :
1. MA+MB nhỏ nhất
2.
MA MB


nhỏ nhất
3.
MA k MB


ngắn nhất

. A . B



M

Câu 1

; Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c


Và hai điểm A và B sao cho
//
AB


hãy tìm trên

điểm M

Sao cho MA+MB nhỏ nhất
1. Phơng pháp chung

Cách 1:
I
A B



M M'

0 0 0
:
x x y y z z

a b c




A'
*chứng minh cho
//
AB


*Gọi I là trung điểm của AB .Gọi M là hình chiếu của I trên

. Ta chứng minh M là
điểm cần tìm nh sau : Gọi A là điểm đối xứng của A qua

hiển nhiên 3 điểm A;M;B
là thẳng hàng . Giả sử M là 1 điểm tuỳ ý trên

ta có
' ' ' ' ' ' '
M A M B M A M B A B MA MB MA MB


Cách 2
: Gọi A là điểm đối xứng của A qua

,Gọi M là giao điểm của AB và

Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Giả sử M là 1 điểm tuỳ ý trên

ta có
' ' ' ' ' ' '
M A M B M A M B A B MA MB MA MB


2 . Ví dụ minh hoạ: cho

:
1 1
1 2 1
x y z











TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134
Vn Thi-Vn Hng 2010
3

Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên

điểm M. sao cho :MA+MB nhỏ nhất
Cách 1: Nhận xét đờng thẳng

có vectơ chỉ phơng là
( 1, 2,1)
v




Và
(2, 4, 2) //
AB v



Thay toạ độ A vào phơng trình

đợc:
2 2 3
1 2 1




Vâỵ điểm A không thuộc

nên AB//

Ta có phơng trình tham số của

là:
1
2 ( )
1
x t
y t t R
z t









Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0) Gọi M là hình chiếu của I trên

thì
M=(1-t, 2t , t-1) (1) Vậy:
(1 , 2 , 1)
IM t t t


Ta có:

1
. 0 1 4 1 0

3
v IM t t t t



Thay
1
3
t

vào (1) ta đợc
2 2 2
, ,
3 3 3
M






Gọi A là điểm đối xứng với A qua

vì AB//

nên A,M, B thẳng hàng và MA=MB.
Lấy điểm M tuỳ ý thuộc

.
Ta có: MA +MB=MA+MB

AB= MA+ MB = MA+ MB
Cách 2:

Nhận xét đờng thẳng

có vectơ chỉ phơng là
( 1, 2,1)
v



Và
(2, 4, 2) //
AB v




Thay toạ độ A vào phơng trình

đợc:
2 2 3
1 2 1



Vâỵ điểm A không thuộc

nên

AB//

Ta có phơng trình tham số của

là:
1
2 ( )
1
x t
y t t R
z t









Gọi H là hình chiếu của A trên

Thì H=(1-t,2t,-1+t) (1)
Vậy
( 2, 2 2, 2)
AH t t t


Ta có
4

. 0 2 4 4 2 0 6 8
3
v AH t t t t t




Thay
4
3
t

vào (1) đợc toạ độ điểm
1 8 1
, ,
3 3 3
H






Gọi


1 1 1
' , ,
A x y z

là điểm đối xứng với A qua

Ta có:
2 16 2
' , , // (1, 8, 1)
3 3 3
A B v







Vậy phơng trình đờng thẳng AB là:
8 6 0 8 6
1 2 1
2 8 8 8 6
1 8 1
x y x y
x y z
y z y z

Vậy phơng trình tổng quát của

là:
2 2 2 2
2 2 2 2
x y x y
y z y z














TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134
Vn Thi-Vn Hng 2010
4

Gọi M=(x,y,z) là giao điểm của AB và

thì toạ độ M là nghiệm của hệ:
2

8 6
3
8 6
2
2 2
3
2
2 2
3
x
x y
y z
y
x y
y z
z

vậy
2 2 2
, ,
3 3 3
M






Nhận xét M là điểm cần tìm. thật vậy lấy điểm M tuỳ ý trên


Ta có: MA+MB=MA+MB

AB=MA+MB=MA+MB.
Câu 2 : Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c

và hai điểm A và B
Sao cho AB//

.Hãy tìm trên

điểm M sao cho :
MA MB


nhỏ nhất
1.Phơng pháp chung
Cách 1:
A I B




M M'
0 0 0
:
x x y y z z
a b c




Gọi I là trung điểm của AB .Gọi M là hình chiếu của I trên

Tìm toạ độ M và chứng
minh M là điểm cần tìm nh sau .Gọi M' là điểm tuỳ ý trên

ta có
' '
M A M B


=2M'I
2
MI

=
MA MB



Cách 2: Lấy
0 0 0
( ; ; )
M x at y bt z ct

tính độ dài của
MA MB


từ đó tìm đợc GTNN
2.ví dụ minh hoạ: cho

:
1 1
1 2 1

x y z



Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên

điểm
M. sao cho :
MA MB


nhỏ nhất

Cách 1: Nhận xét đờng thẳng

có vectơ chỉ phơng là
( 1, 2,1)
v




Và
(2, 4, 2) //
AB v




Thay toạ độ A vào phơng trình

đợc:
2 2 3
1 2 1











TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134
Vn Thi-Vn Hng 2010
5

Vâỵ điểm A không thuộc

nên AB//


Ta có phơng trình tham số của

là:
1
2 ( )
1

x t
y t t R
z t









Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0).
Gọi M là hình chiếu của I trên

thì M=(1-t , 2t, t-1) (1)
Vậy:
(1 ,2 , 1)
IM t t t



Ta có:
1
. 0 1 4 1 0
3
v IM t t t t

. Thay
1
3
t

vào (1) ta đợc
2 2 2
, ,
3 3 3
M






Ta chứng minh điểm M cần tìm:
Thật vậy. Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc


Ta có:
' ' 2 ' 2 ' 2
M A M B M I M I MI MA MB



Cách 2: Ta có phơng trình tham số của

là:
1

2 ( )
1
x t
y t t R
z t








Lấy điểm
M (
1
t

;
2
t
;
1
t

) Ta có
(
AM

2-t;2t-2;t-2) và
( ; 2 2; )
BM t t t



Nên
AM BM


(2-2t;4t;2t-2) vậy
2 2 2 2
(2-2t) +16t +(2t-2) 24 16 8
MA MB t t



MA MB


nhỏ nhất khi t=
1
3
tức
2 2 2
, ,
3 3 3
M

Câu 3: Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c


Và hai điểm A và B sao cho
//
AB


hãy tìm trên

điểm M

Sao cho
MA k MB


ngắn nhất
1. Phơng pháp giải
*Viết phơng trình

về tham số
0

0
0
( )
x x at
y y bt t R
z z ct









*Lấy M tuỳ ý thuộc

: M=(
0
x at

;
0
y bt

;
0
z ct

)

Thay vào P=
MA k MB


=
( )
f t
với f(t) là tam thức bậc hai từ đó ta tìm đợc GTNN của P
2. Ví dụ minh hoạ: cho

:
1 1
1 2 1
x y z



Với A=(-1,2,1); B=(1,-2,-1) Tìm trên

điểm
M. Sao cho :
3
MA MB


nhỏ nhất

TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134
Vn Thi-Vn Hng 2010
6

Ta có phơng trình tham số của

là:
1
2 ( )
1
x t
y t t R
z t








Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc

điểm
M=(1-t , 2t , t-1)(*)
Ta có
( 2, 2 2 , 2 ); ( , 2 2 , ) 3 ( 3 ,6 6,3 )

MA t t t MB t t t MB t t t



Vậy
2 2 2 2
3 ( 2 2, 4 8, 2 2)
3 4 8 4 16 64 64 4 8 4 24 80 72
P MA MB t t t
P MA MB t t t t t t t t





P nhỏ nhất
5
3
t


Khi
5
3
t


vào (*) ta đợc
8 10 8
, ,

3 3 3
M






II .Dạng 2 Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c


và hai điểm A và B
Sao cho AB cắt

.Hãy tìm trên

điểm M sao cho :
1.MA+MB nhỏ nhất B
2.
MA MB


nhỏ nhất A
3.
MA k MB

ngắn nhất


Câu1: Cho đờng thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
a b c


Và hai điểm A và B sao cho AB và


cắt nhau ,và A;B nằm cùng phía so với

. hãy tìm điểm M

Sao cho MA+MB nhỏ
nhất
1. Phơng pháp giải
Cách 1:
*chứng minh cho AB và

cắt nhau và A;B nằm cùng phía so với

.
Gọi A là điểm đối xứng của A qua

,Gọi M là giao điểm của AB và

Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Giả sử M là 1 điểm tuỳ ý trên

ta có
' ' ' ' ' ' '
M A M B M A M B A B MA MB MA MB


Cách 2:
*Lấy M tuỳ ý thuộc

: M=(
0
x at

;
0
y bt

;
0
z ct

) ta tinh MA và MB
( ) ( )
P MA MB f t g t

Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc GTNN của P
2.ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng :
2 5
1 5 3
x y z



(d)







TT LTH, GIA S PHI HNG PH YấN 0984124134
Vn Thi-Vn Hng 2010
7

và 2 điểm M
1
(2 ; 1; 5) ; M
2
(4 ; 3 ; 9). Tìm điểm I (d) sao cho IM
1
+ IM
2
nhỏ nhất.
(d) có véc tơ chỉ phơng là :

1, 5, 3
a


và đi qua điểm A(2 ; -5 ; 0)
Phơng trình tham số của :









t3z
)Rt(t55y
t2x
:)d(

Ta có


1 2
2,2,4
M M

nên phơng trình tham số đờng thẳng M
1

M
2
là :









m25z
)Rm(m1y
m2x

Toạ độ giao điểm nếu có của (d) và đờng thẳng M
1
M
2
là nghiệm hệ phơng trình :

1t
1m
mt
m25t3
m1t55
m2t2

Giao điểm E (1, 0, 3).

6,3,3ME;2,1,1ME : cóTa
21


Vậy :


12
ME3ME

nên M
1

và M
2
ở về cùng 1 phía đối với đờng thẳng (d).
Gọi () là mặt phẳng qua M
1
và () (d) nên phơng trình mặt phẳng () là :
1(x - 2) - 5(y - 1) - 3(z - 5) = 0 x - 5y - 3z + 18 = 0
Giao điểm H của (d) với mặt phẳng () :

7
27
,
7
10
,
7
5
H
7
27
z
7
10
y
7
5
x
7

9
t
t3z
t55y
t2x
018z3y5x

Gọi M' là điểm đối xứng của M
1
qua (d) nên H là trung điểm M
1
M', do đó :

7
19
,
7
13
,
7
4
'M
7
19
zz2'z
7
13
yy2'y
7
4
xx2'x
1H
1H
1H