bài toán cực trị trong hình học không gian (1)

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (1)

BÀI TOÁN 1
Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho
OA = a;OB = b;OC = c
a) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC)
b) Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA = OB + OC .Hãy xác định
vị trí B,C sao cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất (ĐH Ngoại thương)

HD:
a) mp(ABC) :
1
xyz
abc
++=
;
22 2 2 22
(;( ))
abc
d o ABC
bc ca ab
=
++

b)
2
3
11 1
.( ) .
66 62

OABC
bc a
24
bcabca
+
⎛⎞
== ≤ =
⎜⎟
⎝⎠
Va
( đẳng thức khi b = c = a/2 )
BÀI TOÁN 2
Cho 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,một mặt phẳng (P) đi qua điểm N cố
định cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C .Giả sử N nằm trong tam giác ABC và
khoảng cách từ N đến các mp(OBC) ,(OCA) ,(OAB) lần lượt là a,b,c .
a) Chứng minh răng :
1
abC
OA OB OC
++ =

b) Tính OA,OB,OC để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất
c) Tính OA,OB,OC để tổng S = OA + OB + OC nhỏ nhất (ĐHHH95)
HD:

c
b
a
C
O

A
B
N












Chọn hệ trục Oxyz sao cho N(a,b,c) .Phương trình mặt phẳng (P) qua N là:

(x - a) + (y - b) + (z - c) = 0
α
βγ

Suy ra :
( ;0;0) ; (0; ;0) ; (0;0; )
abc abc abc
ABC
α
βγ αβγ αβγ
αβ
++ ++ ++
γ

b)
3
3
3
3. ( . . )
11( )1 9
66 6 2
OABC
abc
abc
V


abc abc
αβγ
αβγ
αβγ αβγ
++
== ≥ =
9
min khi a =b =c
2
OABC
V abc
α
βγ
=
suy ra OA = 3a ; OB = 3b ;OC = 3c

1
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
c) Ta có : OA + OB + OC
abcabcabc
α
βγ αβγ αβγ
αβλ
++ ++ ++
=++


ba ca cb
abc
β
αγαγβ
α
βαγ βγ
⎛⎞⎛⎞⎛
=+++ + + + + +
⎜⎟⎜⎟⎜
⎝⎠⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠


2
222(abc ba ac cb a b c≥+++ + + = + + )

min (OA + OB + OC)
222
a b c OA a ab ac
αβγ
⇔==⇒=++
…


BÀI TOÁN 3
Cho tứ diện SABC có
2 ; SC (ABC)SC CA AB a=== ⊥
,tam giác ABC vuông tại A ,các
điểm M thuộc SA , N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)
a) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn nhất
b) Khi MN ngắn nhất chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của SA và BC
(ĐH Đà Nẳng 2001)


C
B
A
S
M
N

HD: Chọn hệ trục C ≡ O ; A(a;a;0) ; B(2a;0;0);
S(

Viết phương trình SA và M∈SA suy ra M :
0;0; a 2)
(;;
22
2
ttt
Ma a−− ); N(t;0;0)

62
min khi t=
33
a
MN =
a


BÀI TOÁN 4
Cho tứ diện ABCD.Tìm điểm M sao cho S = AM
2
+ BM

2
+ CM
2
+ DM
2
nhỏ nhất

HD: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ,ta có:
222
2.
M
AMGGA MA MG GA MGGA=+⇒ = ++
JJJ JJJ JJJG JGJJJG JGJJJG

Tương tự:
222
2.
M
BMGGB MGGB=++
JJJJG JJJG
;
222
2.
M
CMGGC MGGC=++
J
JJJG JJJG
;
222
2.

M
DMGGD MGGD=++
JJJJG JJJG

Suy ra:
22 2 2 2222
4
2
M
AMBMCMD MGGAGBGCGD+++ = ++++

Vậy S nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất ⇔ M≡ G
2
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
BÀI TOÁN 5
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm
M ,trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ .Tìm giá trị nhỏ
nhất của MN

HD:
Chọn hệ trục M(0;0;m) N(a;n;0)
Vì MD’//NC’ nên:
aam an
m
an a na
−
=⇒=
−−
. Suy ra : MN = m + n – a =
22
nana
na
−+
−

Xét hàm số :
22
() (n>a)
nana
fn
na
−+
=

−
. MinMN = 3a khi n =2a
BÀI TOÁN 6
I
A
D
D'
B
C
A'
K
B'
C'
M
N
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Xác định thiết diện đi qua một đường chéo
và tìm diện tích nhỏ nhất của nó theo a

A
D
D'
B
C
A'
B'
C'
M
N

3
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
HD:
Đặt AM = y ⇒ B’N = a – y
Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(a;0;0) D(0;a;0) A’(0;0;a) .Khi đó M(0;y;0) N(a;a-y; a)
2
2 2422
6
',' ( )
22
td
aa
SAMANaayaay y
⎡⎤
==−++≥⇔
⎣⎦

JJJJJG JJJJG
=


BÀI TOÁN 7
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có :
;2 ;AA'=aAB a AD a== 2
.Trên AD
lấy điểm M và gọi K là trung điểm của B’M .Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M
để thể tích khối tứ diện A’KID lớn nhất (ĐHSP 2001)



y
x
z
K
I
A
B
D
C
A'
D'
C'
B'
M

HD: Đặt AM = m
Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(2a;0;0)
'(0;0; 2)Da
.
Khi đó M(m;0;0) ;
2
;;
22 2
maa
K
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

2
'
12
',' .' .(2 )

624
AKID
a
VAKAIAD a
⎡⎤
==
⎣⎦
JJJJG JJJG JJJJG
m−

2
'
2
ax khi m=0 M A
12
AKID
a
mV =⇔≡


BÀI TOÁN 8
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh BD và B’A lấy lần lượt các điểm
M,N sao cho BM = B’N = t ,gọi α , β lần lượt là các góc tạo bởi MN với BD và B’A
a) Tính MN theo a và t.Tìm t để MN nhỏ nhất
b) Chứng minh rằng :
22
1
cos cos
2
αβ

+=

c) Tính α , β khi MN nhỏ nhất ĐHSP (Vinh 2001)


4
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN

y
x
z
A
B
D
C
A'
D'
C'
B'
M
N

HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(a;0;0) A’(0;0;a) .
Viết phương trình BD và B’A suy ra M(a-u ; u;0) N(0;v ; v)
Theo giả thiết BM =B’N = t ⇒ u =v
MN
2
= (a-u)
2
+ (u-v)
2
+ v
2
= 2u
2
– 2au + a
2
=
2
22
2
22
aaa
u
⎛⎞

−+≥
⎜⎟
⎝⎠
2

a
min khi u=
2
22
aa
MN t=⇒=

c) α = β =60
0


BÀI TOÁN 9
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng 1 và đường cao bằng x .
Tìm x để góc tạo bới đường thẳng B’D và mp(B’D’C) lớn nhất

y
z
x
A
D
C
A'
B'
C'
D'

B

















5
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(1;0;0) D(0;1;0) A’(0;0;x) ⇒
' ( 1;1; )
B
Dx=−
JJJJG

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (B’D’C) là :
', ' ( ; ; 1)nCBCD xx
⎡⎤
=

=− − −
⎣⎦
G
JJJG JJJJG

Gọi α là góc tạo bởi B’D và mp(B’D’C) :
42
|'.|
sin
|'|.||
25
BDn x
BD n
xx
α
==
++
2
J
JJJG G
JJJJG G

Xét hàm số :
42
(x > 0)
252
x
y
xx
=

++

1
ax(sin )= khi x=1
3
M
α
. Khi đó ABCD.A’B’C’D’ là một hình lập phương

BÀI TOÁN 10
Cho khối cầu có bán kính R .Tìm khối trụ nội tiếp khối cầu có thể tích lớn nhất.Tính thể
tích khối trụ đó

HD: Gọi chiều cao của khối trụ là 2x (0 < x < R)
suy ra bán kính của khối trụ là :

22 2 3
.
2( )
ktru
rRxV Rxx
π
=−⇒= −

Xét hàm số :

23
x(0;R)yRxx=− ∈

BÀI TOÁN 11
Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu có bán kính r cho trước .Tìm hình
chóp đều có diện tích toàn phần nhỏ nhất

HD:
Giả sử hình chóp đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h và thể tích V .Ta có:
33
TP
TP
VV
rS
Sr
=⇒=

Vậy S
TP
nhỏ

nhất ⇔ V nhỏ nhất
Ta có :
22
3
12
TP
Vah
r
S
aa h
==

++

Gọi M là trung điểm của BC và ϕ là góc giữa mặt bên và đáy hình chóp suy ra :
3
.tan
6
a
h
ϕ
=

Khi đó :
6 (cos +1) (cos +1)
;
cos
3sin
rr
ah
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
==
;
22
33
(cos +1) r(1+t)
3 = 3r (0<t=cos <1
cos (1 cos ) t(1-t)
Vr

ϕ
ϕ
ϕϕ
=
−

Xét hàm số :
2
r(1+t)
( ) (0<t<1)
t(1-t)
ft=
ĐS:
4 ;tan =2 2 ; a=2r 6hr
ϕ
=




6
LTDH GV Vế S KHUN
BI TON 12
Cho hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy R ,chiu cao h. Tỡm
hỡnh tr ni tip hỡnh nún cú th tớch ln nht

HD:
Gi r l bỏn kớnh hỡnh tr ni tip hỡnh nún,
G
S

A
C
A'
F
ta cú:
22
.
1()1
()
33
ktru
hR r h
Vr rR
RR
r



==

Xột hm s

S:
2
( ) ( ) (0<r<R)fr r R r=
2
.
42
; r=
81 3

ktru
R
h

=VR




BI TON 13
SBT-B34
:Cho khi chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng cõn C v
SA mp(ABC) ,SC = a.Hóy tỡm gúc gia hai mt phng (SCB) v (ABC) th tớch khi
chúp ln nht.

Gii
Ta cú: SA(ABC) v BCCA BCSC (theo nh lý 3 ng vuụng gúc)
suy ra gúc gia hai mt phng (SCB) v (ABC) l
.
t :
n
SCA
n
2
0<x<


=

SCA x


suy ra: SA = a.sinx ; AC = a.cosx
3
2
.
111
sin.c
332 6
SABC ABC
a
V S SA AC BC SA x x== =os

Xột hm s: f(x) = sinx.cos
2
x
Ta cú: f(x)= cos
3
x 2cosx.sin
2
x = cosx(cos
2
x 2 + 2cos
2
x) = cosx(3cos
2
x 2)
=
22

3

cos cos cos
33

+



xx x
2
os = ,0 < <
3
Vỡ
2
cos cos 0
23
0 < x <
.


+



xx
>
2
Goùi laứ goực sao cho c

Bng bin thiờn :








Vy th tớch khi chúp S.ABC t giỏ tr ln nht
f(x) t giỏ tr ln nht
2
2
x= vụựi 0 < < vaứ cos =
3



f(x)
f(x)
0

2

-
0
+
A

B
C
S
x
7
LTDH GV Vế S KHUN
BI TON 14
SBT-B35
: Cho khi chúp t giỏc u S.ABCD cú khong cỏch t nh A n mp(SBC)
bng 2a.Vi giỏ tr no ca gúc gia mt bờn v mt ỏy khi chúp thỡ th tớch khi chúp
nh nht.

Gii
Gi O l tõm ca hỡnh vuụng ABCD SO (ABCD); gi E,H ln lt l trung im ca
AD v BC suy ra SE,SH l cỏc trung on ca hỡnh chúp
Vỡ AD // BC nờn AD // (SBC) d(A,(SBC)) = d(E,(SBC))
Dng EK SH thỡ EK (SBC) (vỡ (SEK) (SBC))
Vy EK = d(A,(SBC)) = 2a
Ta cú: BC SH v BCOH suy ra gúc gia
hai mt phng (SCB) v (ABC) l
n
SHO .
t :
n
2
0<x<


=

SHO x
.
Ta cú:
2
sin
aa
; OH= ; SO=
sinx cosx
=
a
EH
x

Vy:
3
.
2
14
.
33cos.s
SABCD ABCD
a
in
SO
xx
==VS


O

D
A
B
C
S
H
E
K
Th tớch khi chúp S.ABCD nh nht
f(x) = cosx.sin
2
x t giỏ tr ln nht

Ta cú: f(x)= -sin
3
x + 2sinx.cos
2
x = sinx(2cos
2
x sin
2
x) = sinx(2 3sin
2
x)
=
22
3sin sin sin
33

+

x
xx

Vỡ
2
sin sin 0
23
0 < x <
.


+



xx
>
2
2
Goùi laứ goực sao cho sin = ,0 < <
3

Bng bin thiờn :





f(x)
f(x)
0
2

-
0
+
x



Vy th tớch khi chúp S.ABC t giỏ tr nh nht
khi v ch khi f(x) t giỏ tr ln nht

2
2
x= vụựi 0 < < vaứ sin =
3

8
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
BÀI TOÁN 15
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, Gọi M là trung điểm của cạnh SC .Mặt
phẳng (P) đi qua AM nhưng luôn luôn cắt SB,SD lần lượt tại B’,D’
a) Chứng minh :
3
''
SB SD
SB SD
+=

B) Gọi V = V
S.ABCD
và V
1
= V
S.AB’MD’
.Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số
V
1
/V

HD:

Gọi O là tâm của hình bình hành và G = AM∩SO thì G là trọng tâm của tam giác SBD,suy
ra:
2
3
=
SG
SO

Xét tứ diện SAB’D’ và SABD :
G
M
O
D
A
B
C
S
B'
D'
Ta có:
''
''
.
SAB D
SABD

V
SB SD
VSBS
=
D

Xét tứ diện SAB’G và SABO :
Ta có:
'
'2

3
SAB G
SABO
V
SB SG SB
VSBSOS
==
'
B

Xét tứ diện SAD’G và SADO :
Ta có:
'
'2

3
SAD G
SADO
V

SD SG SD
VSDSOS
==
'
D
''
V+=

Mà :
VV
và
''SAB G SAD G SAB D
1
2
SABO SADO SABD
VV

V==
Suy ra:
''
2' '
3
SAB G SAD G
SABO SADO
VV
SB SD
V V SB SD
⎛⎞
+= +
⎜⎟

⎝⎠
''
2'
11
3
22
SAB G SAD G
SABD SABD
VV
SB SD
SB SD
VV
⎛⎞
⇒+=+
⎜⎟
⎝⎠
'

''
1' '
3
SAB G SAD G
SABD
VV
SB SD
VSBSD
+
+
⎛⎞
⇒=

⎜⎟
⎝⎠
''
1' '
3
SAB D
SABD
V
SB SD
VSBSD
⎛⎞
⇒= +
⎜⎟
⎝⎠
''1' '
.
3
SB SD SB SD
SB SD SB SD
⎛⎞
⇒=+
⎜⎟
⎝⎠

3
''
SB SD
SB SD
⇒+=

Ta cũng có:
.' .'

1' 1'
SD

22
SABM SADM
S ABC S ADC
VV
SB SD
VSBV
== ;
.' .'

1'
.
2
SABM SADM
S ABC S ADC
VV
SB SD
V V SB SD
⎛⎞
⇒+= +
⎜⎟
⎝⎠
'

9

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
.' .' .' '
.
1''
.
11 1
2
22 2
SABM SADM SABMD
S ABCD S ADCD S ABCD
VVV
SB SD
SB SD
VV V
⎛⎞
⇒+==+
⎜⎟
⎝⎠

.' '
1
.
1''
.
4
SABMD
SABCD
V
V
SB SD

V V SB SD
⎛⎞
= +
⎜⎟
⎝⎠
⇒=

Đặt :
''
SB SD
x
SB SD
=≤
; y= (1 x;y 2)
≤

1
111
.
4
V
Vx
⎛⎞
⇒= +
⎜
⎝⎠
y
⎟
với x + y = 3
1

33 1
.
44(3
V
Vxy xx
⇒= =
)
−

11
19 3
2
34 8
VV
VV
⇒= =
min khi xy= ; max khi xy=


BÀI TOÁN 16
Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi .Biết rằng SA = a ;
SB +SC = k (không đỏi) .Xác định SB,SC để thể tích tứ diện SABC lớn nhất
HD: Ta có:
11
ax(k-x)
66
VS

ASBSC==

BÀI TOÁN 17

Cho tam giác OAB đều cạnh a.Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mp(OAB) ta
lấy điểm M với OM = x.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của A lên MB ,OB .Đường thẳng
EF cắt d tại N .Chứng minh AN⊥ BM và định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất

HD:
Ta có: AF⊥ OB , AF⊥ OM ⇒ AF⊥ MB
AE⊥ MB
⇒ MB⊥ (AEF) ⇒ MB⊥ AN


1
.
3
ABMN OAB
V

SMN=

V
ABMN
nhỏ nhất ⇔ MN nhỏ nhất ⇔ OM + ON nhỏ nhất
O
B
A
M
F
E
N

∆OMB đồng dạng ∆OFN ⇒ OM.ON = OF.OB = a
2
/2





BÀI TOÁN 18

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x để diện tích toàn
phần lớn nhất


HD: S
TP
= 4S
ACD
=
2
41
x
x−




10
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN

BÀI TOÁN 19

Cho tứ diện ABCD có AB = 2x ; CD = 2y ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x ,y để diện
tích toàn phần lớn nhất


HD:
22
21 21
TP
Sxxy=−+−y

Mà :
(
)
2
22 2
21 ; 1 1xxx x−≤+ − =
(
)
2
22 2
21 1yyy y 1
−
≤+ − =

22
21 21 2
TP
Sxxyy=−+−≤

Max S
TP
= 2 Khi x = y =


BÀI TOÁN 20
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ trong đó AA’ = a ; AB = b ;AD = c.Gọi (P) là mặt
phẳng qua C’ và không cắt hình hộp nhưng cắt các cạnh AA’,AB;AD kéo dài tại E,F,G .
a) Chứng minh :
1
AF
abc
A
EAG
++ =

b) Xác định mp(P) sao cho thể tích tứ diện AEFG nhỏ nhất .

HD: Chọn hệ trục tọa độ: A(0;0;0) B(b;0;0) D(0;c;0) A’(0;0;a) C’(a;b;c)


c
b
a
A
D
B
C
C'

B'
D'
A'














Mặt phẳng (P) đi qua C’ lần lượt cắt AB,AD,AA’ tại F;G;E
Phương trình mp(P)
1
AG
xyz
A
FAE
+
+=

Mà (P) qua C’ nên:
1
AF

abc
A
EAG
+
+=

Do
3
1

3 .AF.AG 27abc
AF .AF.AG
a b c abc
AE
AE AG AE
=++≥ ⇒ ≥
1 27abc 9
.AF.AG
66
AEFG
V AE abc=≥=
2


11
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
BÀI TOÁN 21
Một hình trụ có thể tích V không đổi. Tìm quan hệ giữa đường kính đáy với chiều cao để
diện tích toàn phần nhỏ nhất.
HD: Gọi x là bán kính đáy và h là chiều cao hình trụ (x;h>0);

22
TP
Vxh;S 2x2xh
=
π=π+π


2
TP
2
V2V
hS2x(x0)
xx
⇒ =π+ >
π
⇒=
; S
TP
nhỏ nhất khi
3
V
xh

2x
2
=⇒=
π
BÀI TOÁN 22
Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, tìm hình trụ có diện tích xq S
Xq

lớn nhất.
HD:









Gọi x là bán kính hình trụ : 0 < x < R ; chiều cao y : 0 < y < 2R
2
22 22
Xq Xq
y
S2xy; xRS4xRx
2
⎛⎞
=π + = ⇒ =π −
⎜⎟
⎝⎠
;
2
xq
R
xS 2R x ;y 2x
2
=⇔= =
Ma

BÀI TOÁN 23
Có 1 miếng bìa hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn làm 1 cái hộp không nắp bằng cách
cắt đi bốn góc 4 hình vuông cạnh a. Tìm a để thể tích cái hộp lớn nhất.
BÀI TOÁN 24
Có 1 miếng bìa hình chữ nhật cạnh a;b cm. Người ta muốn làm 1 cái hộp không nắp bằng
cách cắt đi bốn góc 4 hình vuông cạnh x . Tìm x để thể tích cái hộp lớn nhất.
HD: Ta có : V = x(a-2x)(b-2x ) ĐS:
(
)
22
1
1
xx

ab a abb
6
== +− −+
BÀI TOÁN 25 ?
Trong các tam giác vuông có cạnh huyền 10cm, tìm tam giác có diện tích lớn nhất.
HD:
2
1
Sx

100x
2
=−
BÀI TOÁN 26
Tìm chiều cao của hình nón nội tiếp trong hình cầu bán kính R sao cho thể tích hình nón

lớn nhất
HD: Gọi x là bán kính hình nón : 0 < x < R ; chiều cao y : 0 < y < 2R
Ta có :
222 2 2
1
x (y R) R x 2Ry y V (2Ry y )y
3
+− = ⇒= − ⇒=π −
;
3
32 4R
xV R y
81 3
=π⇔=
Ma

BÀI TOÁN 27
Tìm hình nón ngoại tiếp trong hình cầu bán kính R sao cho diện tích xung quanh hình nón
nhỏ nhất HD: Chiều cao hinh nón
xR

(2 2)=+
BÀI TOÁN 28
Thể tích lăng trụ tứ giác đều là V. Tìm cạnh đáy của lăng trụ để diện tích toàn phần nhỏ
nhất HD: Gọi x là cạnh đáy của lăng trụ ;chiều cao y : V = x
2
y ;

3
22

Xq
4V
S2x4xy2x ;x0miny6V
x
=+=+ >⇒ =
2
khi
3
xV;y==x
12