Sáng kiến kinh nghiệm - Phương Pháp đồ thị
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (200.92 KB, 19 trang )
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
A. phơng pháp
I) Biện luận ph ơng trình bằng đồ thị:
1) Cho ph ơng trình: F(x, m) = 0 (1) , m là tham số.
Biến đổi phơng trình (1) về dạng f(x) = g(m) (2)
Trong cùng hệ trục Oxy, vẽ 2 đờng (C): y = f(x)
và đờng thẳng : y = g(m)
Số hoành độ giao điểm của (C) và là số nghiệm của phơng trình (1)
2) Chú ý:
a) Đờng thẳng có ba dạng sau:
: y = g(m) là đờng thẳng // trục Ox
: y = kx + m là đờng thẳng có hệ số góc k
: y = m(x - x
0
) + y
0
là đờng thẳng quay quanh một điểm cố
định A(x
0
; y
0
)
b) Nếu F(x; m) = 0 có nghiệm x thoả mãn điều kiện x
Ta chỉ vẽ đờng (C): y = f(x) với x [; ]
Biện luận theo m chọn nghiệm thuộc đoạn [; ]
c) Nếu phải đặt ẩn phụ, ta biện luận để tìm ẩn số phụ, sau đó biện luận
để tìm m.
II) Đồ thị của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.
1) Dạng tổng quát:
Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối
Dựa vào định nghĩa:
<
=
0A nếuA-
0A nếuA
A
để bỏ giá trị tuyệt đối
Viết hàm số về dạng đợc cho bởi nhiều công thức
Khảo sát hàm số ứng với từng công thức.
Lập bảng biến thiên chung rồi vẽ đồ thị hàm số.
2) Các điều cần nhớ:
Các phép biến đổi chính trong phần này là phép đối xứng qua các trục
toạ độ. Cơ sở của nó là các nhận xét sau đây:
Hai điểm (x; y) và (x; -y) đối xứng nhau qua trục hoành.
Hai điểm (x; y) và (-x; y) đối xứng nhau qua trục tung.
Hai điểm (x; y) và (-x; -y) đối xứng nhau qua gốc toạ độ O.
Đồ thị hàm số y = f(x) và đồ thị hàm số y = -f(x) đối xứng nhau qua
trục hoành.
3) Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối th ờng gặp:
a) Dạng đồ thị (C
1
) của hàm số: y =
( )
xf
Vũ Văn Ninh
Trang:1
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
Ta có: y =
( )
xf
=
( ) ( )
( ) ( )
<
0xf nếuxf-
0xf nếuxf
Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
Đồ thị (C
1
) gồm 2 phần:
Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x) 0)
Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dới trục hoành qua Ox.
b) Dạng đồ thị (C
2
) của hàm số: y =
( )
xf
Ta có y =
( )
xf
=
( )
( )
<
0 x nếux-f
0x nếuxf
Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
Đồ thị (C
2
) gồm 2 phần:
Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng
với x >0)
Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy.
c) Dạng đồ thị (C
3
) của hàm số:
( )
xfy =
Ta có:
( )
xfy =
( )
( )
=
xfy
xf 0
(Do đó
( )
xfy =
đợc coi là hàm đa trị của y theo x)
Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x)
Đồ thị (C
3
) gồm hai phần:
Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.
Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox.
d) Dạng đồ thị của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Ta có: y =
( )
( )
xg
xf
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
<
0xf nếu
xf
-
0xf nếu
xg
xg
xf
Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Đồ thị (C
4
) gồm hai phần:
Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) 0
Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành.
e) Dạng đồ thị (C
5
) của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Các bớc làm tơng tự nh phần d)
Chú ý: g(x) 0.
f) Dạng đồ thị (C
6
) của đồ thị hàm số: y =
( ) ( )
xgxf +
Vũ Văn Ninh
Trang:2
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
Ta có: y =
( ) ( )
xgxf +
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
<+
+
0xf u nếxgxf-
0xf u nếxgxf
đồ thị (C
6
) gồm hai phần:
Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) 0
Phần đồ thị của hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < 0
Mở rộng:
Vẽ đồ thị hàm số: y =
( ) ( ) ( ) ( )
xgxfxfxf
k
++++
21
Ta vẽ đồ thị trên các khoảng mà ở đó biểu thức trong dấu giá trị tuyệt
đối không đổi dấu.
g) Dạng đồ thị (C
7
) của hàm số: y =
( )
xf
Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x)
Sau đó vẽ đồ thị (C
2
) của hàm số: y = f(
x
)
Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số: y =
( )
xf
.
Tóm lại ta thực hiện dần các bớc nh sau:
y = f(x) y = f(
x
) y =
( )
xf
B. các bài tập mẫu:
ài số 1:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x
4
- 2x
2
- 1
b) Với những giá trị nào của m thì phơng trình:
12
24
xx
= log
2
m
có 6 nghiệm phân biệt?
Giải:
TXĐ: D = R. Hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối
xứng.
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y' = 4x
3
- 4x
y' = 0 4x(x
2
- 1) = 0
=
=
=
=
2
1
1
0
y
y
x
x
Bảng xét dấu y':
x -
-1 0 1 +
y' - 0 + 0 - 0 +
Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-
; -1) (0; 1)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (-1; 0); (1; +
)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x
CĐ
= 1 và y
CĐ
= -2
Hàm số đạt cực tiểu tại x
CT
= 0 và y
CĐ
= -1
Giới hạn:
=
x
lim
Vũ Văn Ninh
Trang:3
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Tính lồi lõm và điểm uốn:
y" = 12x
2
- 4 = 0 x =
3
3
y = -
9
14
x -
-
3
3
3
3
+
y" + 0 - 0 +
Đồ thị hsố lõm lồi lõm
Bảng biến thiên:
x
-
-1 -
3
3
0
3
3
1 +
y' - 0 + + 0 - - 0 +
y +
CT
U
1
-
9
14
CĐ
U
2
-
9
14
CT
+
Vẽ đồ thị:
Giao với trục Ox: y = 0 x
4
- 2x
2
- 1 = 0 x =
21 +
Giao với trục Oy: x = 0 y = -1
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
Các điểm khác: (2; 7)
(1; -2)
9
14
;
3
3
b) Phơng trình:
mxx
2
24
log12 =
có 6 nghiệm phân biệt khi đồ thị
hàm số: y =
12
24
xx
cắt đờng thẳng y = log
2
m tại 6 điểm phân biệt
Vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số: y =
12
24
xx
Vũ Văn Ninh
Trang:4
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
Ta có: y =
( )
( ) ( )
( ) ( )
<
=
0xf nếuxf-
0xf nếuxf
xf
Vậy đồ thị (C
1
) gồm hai phần:
Phần đồ thị (C) ứng với f(x) 0 có nghĩa là phân đồ thị nằm phía trên
trục Ox
Phần đồ thị đối xứng (C) nằm phía dới trục hoành.
Vẽ đờng thẳng D: y = log
2
m; D // Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung
độ bằng log
2
m
Nhìn vào đồ thị: ta có kết quả: đờng thẳng D cắt đồ thị (C
1
) tại 6 điểm
1 < log
2
m < 2 2 < m < 4
KL: Vậy phơng trình:
mxx
2
24
log12 =
có 6 nghiệm phân biệt
2 < m < 4
Bài số 2:
Cho hàm số: y = f(x) =
1
2
x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số: y = f
1
(x) =
1
2
x
x
(Vẽ hình riêng)
c) Dùng đồ thị (C
1
) để biện luận theo tham số m số nghiệm x thuộc đoạn
[-1; 2] của phơng trình:
( )
01 = mxm
(*) (ĐH QG HN -
1999)
Giải:
a)
TXĐ: D = R \ {1}
Sự biện thiên:
Chiều biến thiên: y' = -
( )
0
1
2
2
<
x
, x D
hàm số luôn nghịch biến với x 1.
Vũ Văn Ninh
Trang:5
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
Giới hạn:
=
=
1
2
limlim
11
x
x
y
xx
=
=
++
1
2
limlim
11
x
x
y
xx
đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng
2
1
2
limlim =
=
x
x
y
xx
đờng thẳng y = 2 là tiệm cận ngang
Bảng biến thiên:
x -
1 +
y' - -
y
2
-
+
2
Vẽ đồ thị:
Giao với trục Ox: (0; 0)
Giao với trục Oy: (0; 0)
Các điểm khác: (2; 4);
3
4
;2
; (3; 3);
2;
2
1
Nhận xét: Đố thị nhận giao điểm I(1; 2) của 2 đờng tiệm cận làm tâm đối
xứng
b) Suy ra đồ thị (C
1
): y =
( )
1
2
=
x
x
xf
Ta có y =
( )
<
=
0 x u nế
x-1
2x
-
1x 0,x u nế
1
2
x
x
xf
Vũ Văn Ninh
Trang:6
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
Nhận xét: Đây là hàm chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
Đồ thị (C
1
) gồm hai phần:
Phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy.
Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua trục Oy
Chú ý: Lấy đối xứng cả đờng tiệm cận đứng qua trục Oy ta đợc đờng
thẳng x = -1.
Vẽ đồ thị (C
1
):
c) Ta có:
( )
01 = mxm
02 = mxxm
( )
xxm 21 =
m
x
x
=
1
2
(*) với
1x
Vì nếu
1=x
thì m - 2 - m = -2 = 0 (Vô lý) phơng trình không có
nghiệm bằng 1
Số nghiệm của phơng trình (*) [-1; 2] là số hoành đô giao điểm của
đồ thị (C
1
) với đờng thẳng d: y = , ta có d // Ox; với x [-1; 2]
Nhìn vào đồ tịh ta có kết quả:
Nếu m < 0 thì phơng trình (*) có 2 nghiệm đơn.
Nếu 0 < m < 4 thì phơng trình (*) vô nghiệm
Nếu m = 0 thì phơng trình (*) có 1 nghiệm kép
Nếu m > 4 thì phơng trình (*) có 1 nghiệm đơn
Bài số 3:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x
3
+ 3x
b) Từ đó suy ra đồ thị (C
1
) của hàm số:
xxy 3
3
+=
Giải:
a) TXĐ: D = R
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y' = -3x
2
+ 3 = -3(x
2
- 1)
Vũ Văn Ninh
Trang:7
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
y' = 0
=
=
=
=
2
2
1
1
y
y
x
x
Xét dấu y':
x -
-1 1 +
y' - 0 + 0 -
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1)
Hàm số nghịch biến trên (-
; -1) ; (1; +
)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x
CĐ
= 1 y
CĐ
= 2
Hàm số đạt cực đại tại x
CT
= -1 y
CT
= -2
Giới hạn:
( )
=+=
xxy
xx
3limlim
3
đồ thị không có tiệm cận.
Tính lồi lõm và điểm uốn:
y" = -6x ; y" = 0 x = 0 y = 0
Bảng xét dấu y"
x -
0 +
y" + 0 -
Đồ thị h.số Lõm
Đ.uốn
O(0; 0)
Lồi
Bảng biến thiên:
x -
-1 0 1 +
y' - 0 + + 0 -
y +
CT
-2
0
Đ.U
2
CĐ
-
Vẽ đồ thị:
Giao với Ox:
( ) ( )
0;3;0;3
Giao vơi Oy: (0; 0)
Các điểm khác: (-2; 2); (2; -2) (1;
2); (-1; -2)
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn
O(0; 0) làm tâm đối xứng.
Vũ Văn Ninh
Trang:8
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
b) Vẽ đồ thị:
xxy 3
3
+=
Ta có:
( )
( )
( )
=
=
0xf
xfy
xfy
Đồ thị hàm số (C
1
) gồm 2 phần:
Phần đồ thị của (C) nằm phía trên trục hoành
Phần đối xứng của phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox qua trục Ox
Bài số 4: ĐHKT QDân - 1999
Cho hàm số: y =
( )
2
1
2
+
x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: (x - 1)
2
= 2m
2+x
Giải:
Ta có y = x - 4 +
2
9
+x
a) TXĐ: D = R\{-2}
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y ' = 1 -
( )
2
9
+x
y' = 0 (x + 2)
2
= 9
=
=
5
1
x
x
Lập bảng xét dấu y':
x -
-5 -2 1 +
y' + 0 - - 0 +
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-
; -5); (1; +
)
Vũ Văn Ninh
Trang:9
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-5; -2); (-2; 1)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x
CĐ
= -5 và y
CĐ
= -12
Hàm số đạt cực tiểu tại x
CT
= 1 và y
CT
= 0
Giới hạn:
( )
=
+
=
2
1
limlim
2
22 x
x
y
xx
x = -2 là phơng trình của đờng tiệm cận
đứng
( )
[ ]
0
2
9
lim4lim =
+
=
x
xy
xx
y = x - 4 là phơng trình đờng tiệm
cận xiên
Bảng biến thiên:
x -
-5 -2 1 +
y' + 0 - - 0 +
y
-
-12
CĐ
-
+
0
CT
+
Vẽ đồ thị:
Nhận xét: Đồ thị hàm số
đi qua các điểm (1; 0);
2
1
;0
; (-5; -12);
2
3
;4
và nhận giao điểm I(-2;
-6) của hai đờng tiệm cận
làm tâm đối xứng
b) Ta có:
( )
221
2
+= xmx
(*)
( )
m
x
x
2
2
1
2
=
+
(*), x -2
Nếu x = -2 thì (*) 9 = 2m m =
2
9
Nếu x -2 thì số nghiệm của phơng trình (*) là số hoành độ giao điểm
của đồ thị hàm số: y =
( )
2
1
2
+
x
x
và đờng thẳng y = 2m
Vũ Văn Ninh
Trang:10
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
Vẽ đồ thị (C
1
): y =
( )
2
1
2
+
x
x
Ta có: y =
( )
2
1
2
+
x
x
=
( )
( )
<
+
>
+
2- x u nế
2- x u nế
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
Vậy đồ thị (C
1
) gồm 2 phần:
Phần đồ thị (C) ứng với x > -2
Phần đồ thị đối xứng của đồ thị (C) ứng với x < -2 qua trục Ox
Đờng thẳng y = 2m là đờng thẳng song song trục Ox cắt trục Oy tại
điểm có tung độ bằng 2m
Vậy nhìn vào đồ thị ta có kết quả:
Nếu 2m < 1 m <
2
1
thì phơng trình (*) vô nghiệm
Nếu m =
2
1
thì phơng trình (*) có 1 nghiệm kép
Nếu
6
2
1
<< m
thì phơng trình (*) có 2 nghiệm đơn
Nếu m = 6 thì phơng trình (*) có 1 nghiệm kép và 2 nghiệm đơn
Nếu m > 6 thì phơng trình (*) có 4 nghiệm phân biệt
Bài số 5 ĐHY Dợc TPHCM - 93
Cho (C
m
) là đồ thị hàm số: y =
1
2
2
+
++
x
mmxx
Vẽ đồ thị (C
-1
) ứng với m = -1. Từ đó suy ra đồ thị (C) của hàm số:
y =
( )
1
121
+
+
x
xx
Vũ Văn Ninh
Trang:11
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
Giải:
Với m = -1 ta đợc y =
1
2
32
1
12
2
+
+=
+
x
x
x
xx
TXĐ: D = R\{-1}
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y' = 2 -
( ) ( )
+
=
+
22
1
1
12
1
2
xx
y' = 0
=
=
2
0
x
x
Bảng xét dấu y':
x -
-2 -1 0 +
y' + 0 - - 0 +
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-
; -2); (0; +
)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-2; -1); (-1; 0)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x
CĐ
= -2 và y
CĐ
= -9
Hàm số đạt cực tiểu tại x
CT
= 0 và y
CT
= -1
Giới hạn:
=
y
x 1
lim
x = -1 là phơng trình đờng tiệm cận đứng
( )
[ ]
1
2
lim32lim
+
=+
x
xy
xx
= 0 y = 2x + 3 là phơng trình đờng
tiệm cận xiên
Bảng biến thiên:
x -
-2 -1 0 +
y' + 0 - - 0 +
-
-9
CĐ
-
+
-1
CT
+
Vẽ đồ thị:
Giao với trục Ox: (1; 0) và
0;
2
1
Giao với trục Oy: (0; -1)
đồ thị nhận giao điểm I(-1; -5)
của hai đờng tiệm cận làm
tâm đối xứng
Vũ Văn Ninh
Trang:12
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =
( )
( )
xf
x
xx
=
+
+
1
121
Ta có: y =
( )
( )( )
( )( )
<
+
+
+
+
=
+
+
1x ếu N
1x ếu N
1
121
1
121
1
121
x
xx
x
xx
x
xx
Vậy đồ thị (C) của hàm số gồm 2 phần:
Phần đồ thị (C
-1
) ứng với x 1
Phần đối xứng của đồ thị (C
-1
) ứng với x < 1 qua trục hoành
Bài số 6: ĐH Mở HN - 99
Cho hàm số: y = x + 1 +
1
1
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Vẽ đồ thị (C
*
) của hàm số y =
1
1
1
++
x
x
c) Tìm tất cả giá trị của m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
1
1
1
++
x
x
= m
Vũ Văn Ninh
Trang:13
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
Giải:
TXĐ: D = R\{1}
Sự biến thiên: y' =
( )
2
2
1
2
x
xx
Chiều biến thiên: y' = 0 x
2
- 2 = 0
=
=
2
0
x
x
Bảng xét dấu y':
x -
0 1 2 +
y' + 0 - - 0 +
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-
; 0); (2; +
)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 1); (1; 2)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x
CĐ
= 0 và y
CĐ
= 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x
CT
= 2 và y
CT
= 4
Giới hạn:
=
y
x 1
lim
x = 1 là phơng trình đờng tiệm cận đứng
( )
[ ]
1
1
lim1lim
=+
x
xy
xx
= 0 y = x + 1 là phơng trình đờng tiệm
cận xiên
Bảng biến thiên:
x -
0 1 2 +
y' + 0 - - 0 +
y
-
0
CĐ
-
+
4
CT
+
Vẽ đồ thị:
Giao với trục Ox và Oy:
(0; 0)
Đồ thị đi qua các điểm
khác:
2
1
;
2
1
;
2
1
;1
; (2;
4)
Nhận xét: đồ thị nhận
giao điểm I(1; 2) của hai
đờng tiệm cận làm tâm
Vũ Văn Ninh
Trang:14
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
đối xứng Giao với trục Ox và Oy:
(0; 0)
b) Vẽ (C
*
): y =
1
1
1
++
x
x
(*)
Với x > -1 thì (*) có dạng: y
1
= x + 1 +
1
1
x
Vậy đồ thị là phần của (C) tơng ứng với x -1
Với x < -1 thì (*) có dạng: y
2
= -x -1 +
1
1
x
TXĐ: D = (-
; -1)
Sự biến thiên: y
2
' = -1 -
( )
2
1
1
x
< 0
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-
; -1)
Cực trị: Hàm số không có cực trị
Giới hạn:
( )
[ ]
0
1
1
lim1lim =
=
x
xy
xx
y = -x - 1 là đờng
tiệm cận xiên
Bảng biến thiên:
x -
-1 +
y' -
y +
-
2
1
Đồ thị (C
2
) là nhánh
(). Vậy đồ thị (C
*
)
gồm hai phần:
Phần đồ thị (C
1
)
Phần đồ thị (C
2
)
c)
phơng trình:
1
1
1
++
x
x
= m có
Vũ Văn Ninh
Trang:15
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
ba nghiệm phân biệt đồ thị (C
*
) cắt đờng thẳng d: y = m tại 3 điểm
phân biệt
Vẽ đờng thẳng D:
y = m, với D là đờng thẳng // Ox cắt Oy tại điểm có tung độ bằng m
Nhìn vào đồ thị ta thấy: đờng thẳng D cắt (C
*
) tại ba điểm phân biệt
>
<<
4
0
2
1
m
m
KL: Vậy phơng trình có 3 nghiệm phân biệt khi
>
<<
4
0
2
1
m
m
Bài số 7: ĐH SP HN - Khối B - 2001
Cho hàm số: y = x
3
- 6x
2
+ 9x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Từ đồ thị hàm số đã cho suy ra đồ thị của hàm số: y =
xxx 96
2
3
+
c) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
xxx 96
2
3
+
- 3 +
m = 0
Giải:
a) TXĐ: D = R
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y' = 3x
2
- 12x + 9
y' = 0 x
2
- 4x + 3 = 0
=
=
3
1
x
x
Xét dấu y'
x -
1 3 +
y' + 0 - 0 +
Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-
; 1) ; (3; +
)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x
CĐ
= 1; y
CĐ
= 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x
CT
= 3; y
CT
= 0
Giới hạn:
=
x
lim
Đồ thị hàm số không có tiệm cận
Tính lỗi lõm và điểm uốn:
y" = 6x - 12 y" = 0 x = 2 y = 0
Xét dấu y":
x -
2 +
Vũ Văn Ninh
Trang:16
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
y" - 0 +
Đồ thị lỗi trên khoảng (-
; 2)
Đồ thị lõm trên khoảng (2; +
)
Đồ thị có điểm uốn là I(2; 2)
Bảng biến thiên:
x -
1 2 3 +
y' + 0 - - 0 +
y
-
4
CĐ
2
U
0
CT
+
Vẽ đồ thị:
Giao với Ox: (0; 0), (3; 0)
Giao với Oy: (0; 0)
Đồ thị nhận giao điểm I(2; 2) làm tâm đối xứng
Các điểm khác: (-1; -16), (4; 4), (2; 2)
b) Vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số:
y =
xxx 96
2
3
+
Vẽ đồ thị (C
2
): y =
xxx 96
23
+
=
( )
xf
Ta có
( )
xf
=
( )
( )
0x Nếu
0x Nếu
xf
xf
Đồ thị (C
2
) gồm hai phần:
Phần đồ thị (C) ứng với x 0
Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Oy
Vẽ xong đồ thị (C
2
) thì vẽ đồ thị (C
1
)
Vậy đồ thị (C
1
) chính là đồ thị (C
2
) và đồ thị (C
1
) ứng với f(x) 0 x
Vũ Văn Ninh
Trang:17
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
c) Số nghiệm của phơng trình:
xxx 96
2
3
+
- 3 + m = 0 (*) là số
hoành độ giao điểm của đồ thị (C
1
) của hàm số y =
xxx 96
2
3
+
với
đờng thẳng :
y = 3 - m là đờng thẳng // Ox
Vậy nhìn vào đồ thị ta có kết quả sau:
Nếu 3 - m < 0 m > 3 thì phơng trình (*) vô nghiệm
Nếu 3 - m = 0 m = 3 thì phơng trình (*) có 3 nghiệm kép
Nếu 0 < 3 - m < 4 -1 < m < 3 thì phơng trình (*) có 6 nghiệm
phân biệt
Nếu 3 - m = 1 m = -1 thì phơng trình (*) có 2 nghiệm kép và 2
nghiệm đơn
Nếu 3 - m > 4 m < -1 thì phơng trình (*) có 2 nghiệm đơn
c. các bài tập tự giải:
Bài1: ĐH kỹ thuật công nghệ năm 1997
Cho hàm số: y =
2
33
2
+
++
x
xx
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đó suy ra đồ
thị (C
1
) của hàm số: y =
2
33
2
+
++
x
xx
(Vẽ hình riêng)
b) Biện luận theo m số nghiệm phơng trình:
2
33
2
+
++
x
xx
= 2m bằng đồ
thị
Bài2: ĐHSP Vinh - Khối A,B - 2001
Cho hàm số: y =
1
1
2
+
x
xx
Vũ Văn Ninh
Trang:18
Sỏng kin kinh nghim - Phng Phỏp th
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x
2
- (1 + m)
x
- m - 1 =
0
Bài3: Cho hàm số: y = -x
4
+ 3x
2
- 5
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Suy ra đồ thị hàm số:
53
24
+= xxy
c) Biện luận số nghiệm phơng trình: -x
4
+ 3x
2
- 5 + m = 0
Bài4:
Cho hàm số: y =
2
2
+
x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Dùng đồ thị biện luận phơng trình:
25log2
2
+= xmx
Bài5:
Cho hàm số: y =
1
1
3
+
++
x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm x (-4; 3) của phơng trình:
1
1
3
+
++
x
x
= 2m + 1
Bài6:
Cho hàm số: y = -x
3
+ 3x
2
- 2 (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Từ đó suy ra đồ thị: y =
23
2
3
+ xx
c) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:
23
2
3
+ xx
= -m
+1
Vũ Văn Ninh
Trang:19
