SKKN một số dạng bài tập và phương pháp giải về số hữu tỉ và tỷ lệ thức trong Đại số lớp 7

PHẦN A: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong hệ thống các môn học ở bậc THCS, môn toán đóng một vai trò hết sức
quan trọng, bởi lẽ học môn Toán giúp cho học sinh dần hình thành và phát triển được
sự linh hoạt, sáng tạo và tư duy trừu tượng. Học toán giúp con người nâng cao trình
độ tính toán, giúp khả năng tư duy logic, sáng tạo ngày càng nâng cao và phát triển.
Khi học toán là qua hoạt động giải bài tập giúp học sinh nâng cao dần khả năng suy
luận, đào sâu, tìm hiểu và trình bày các vấn đề một cách logic.
Trong chương trình môn Đại số lớp 7 phần kiến thức về số hữu tỉ và tỷ lệ thức
là hết sức cơ bản. Các phép tính số hữu tỉ đã giải quyết đước các bài toán thực tế mà
trong số nguyên không thực hiện được, chúng được sử dụng để học tiếp các phần sau
của môn toán THCS và các môn khoa học tự nhiên khác. Đặc biệt từ một tỷ lệ thức
ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết được
3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi học về đại lượng
tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta giải
toán. Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồng dạng
(lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Trong hoá học, vật lý tỉ lệ thức
cũng là phương tiện để giải các bài toán. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của
dãy tỷ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai
thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Qua quá trình dạy học tôi thấy rất nhiều học sinh còn chưa có kĩ năng thực hiện
các phép tính số hữu tỉ như: quy đồng, cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, tìm số hạng
trong một tỉ lệ thức.
Với những lý do trên đây, tôi đưa ra một số dạng bài tập và phương pháp giải
về số hữu tỉ và tỷ lệ thức trong Đại số lớp 7.
II. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU:
1. Mục đích nghiên cứu.
1
Trong chuyên đề này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm số hữu tỉ, hệ thống lại
một số định nghĩa, quy tắc về phép toán số hữu tỉ và tỉ lệ thức, phương pháp giải,
các bước giải các dạng toán về số hữu tỉ và tỉ lệ thức. Bằng cách sắp xếp các dạng

toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh, phát huy tính tích cực
của học sinh, giúp học sinh làm được một số dạng toán về phép tính số hữu tỉ và tỷ lệ
thức như: tìm số hạng chưa biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán
chia tỷ lệ, tránh những sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số
bằng nhau. Học sinh có khả năng tư duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận,
chính xác trong tính toán.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Khảo sát chất lượng học sinh học môn toán đầu năm học, khảo sát chất lượng
thực hiện phép tính phân số khi bắt đầu học chương I.
Nghiên cứu tài liệu, lựa chọn phân loại các bài tập, tìm phương án giải, cách
hướng dẫn học sinh.
Đưa các bài tập đã lựa chọn vào các tiết dạy học lý thuyết mới, các tiết luyện
tập, các buổi phụ đạo, bồi dưỡng học sinh ngoài giờ chính khoá.
Tổ chức khảo sát chất lượng học sinh sau khi học xong chương I, phân loại
chất lượng học sinh.
Từ kết quả thực tiễn, viết sáng kiến kinh nghiệm.
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1. Phạm vi của đề tài:
Chương I, môn đại số lớp 7
2. Thời gian thực hiện:
Từ ngày 17/8/2009 đến ngày 21/11/2009.
PHẦN B: NỘI DUNG

CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI
2
A. Định nghĩa số hữu tỉ, các phép toán về số hữu tỉ.
I. Định nghĩa số hữu tỉ.
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số
b
a

với a, b
∈
Z; b
≠
0.
II. Cộng, trừ số hữu tỉ.
1. Quy tắc cộng, trừ.
Viết các số hưu tỉ dưới dạng các phân số cùng mẫu dương rồi thực hiện công, trừ
phân số:
Với x=
m
a
; y=
m
b
( a, b, m
∈
Z; m
≠
0), ta có:
x+y=
m
a
+
m
b
=
m
ba +
; x-y=

m
a
-
m
b
=
m
ba −
2. Quy tắc "chuyển vế"
Với mọi x, y, z
∈
Q ta có x+ y=z
⇒
x = z- y.

III. Nhân, chia số hữu tỉ.
1. Nhân số hữu tỉ.
Với x=
b
a
; y=
d
c
, ta có: x. y=
b
a
.
d
c
=

db
ca
.
.
2. Chia số hữu tỉ.
Với x=
b
a
; y=
d
c
, ( y
≠
0) ta có: x:y=
b
a
:
d
c
=
b
a
.
c
d
B. Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức.
I. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
d
c

b
a
=
Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ.
II. Tính chất
3
1. Tính chất 1( tính chất cơ bản): Nếu
a c
b d
=
thì ad = bc
2. Tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a
b
c
d
a
c
b
d
d
b
c
a
d
c
b
a
==== ;;;

3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
+ từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
ta suy ra
( )
db
db
ca
db
ca
d
c
b
a
±≠
−
−
=
+
+
==
+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau
f
e
d
c

b
a
==
ta suy ra
=
+−
+−
=
++
++
===
fdb
eca
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
4. Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số
532
cba
==
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết
a:b:c = 2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức,

từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
suy ra
( )
2 2
1 2
1 2
1 2
. ; . . 0 ; ( , 0)
k a k ca c a c a c
k k k k k
b d b d b d k b k d
   
= = = ≠ = ≠
 ÷  ÷
   
từ
f
e
d
c
b
a
==
suy ra
3

3 3 2
;
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
 
     
= = = × × = ×
 ÷
 ÷  ÷  ÷
     
 
C. Các bước thực hiện phương pháp luyện tập thực hành giải toán.
Bước 1. Xác định tài liệu cho luyện tập và thực hành.
Tập chung chú ý của học sinh về một kỹ năng hoặc sự kiện cho luyện tập.
Bước 2. Giới thiệu mô hình luyện tập hoặc thực hành.
Thông qua ví dụ, khuôn mẫu để học sinh bắt trước làm theo.
Bước 3. Thực hành hoặc luyện tập sơ bộ.
HS tìm hiểu để luyện tập thực hành. Thử kỹ năng, đặt câu hỏi về những kỹ năng đó.
Việc nhắc lại kỹ năng có thể thông qua hoạt động của cả lớp với sự hướng dẫn của
GV.
Bước 4. Thực hành đa dạng.
4
Đưa ra các bài tập đòi hỏi hoc sinh phải sử dụng nhiều định lý, công thức,. . .
Bước 5. Bài tập cá nhân.
HS luyện tập các bài toán có trong SGK, SBT nhằm phát triển kỹ năng giải toán và
rèn luyện tư duy.
CHƯƠNG II. THỰC TRẠNG GIẢI TOÁN VỀ SỐ HỮU TỈ CỦA HỌC SINH.
I. Đánh giá chung.
Qua khảo sát chất lượng đầu năm học và quá trình dạy học chương I Đại số 7 thấy
rằng:

1. Đa số học sinh chưa biết thực hiện quy đồng mẫu số của phân số, vì vậy gây
khó khăn cho việc học và thực hiện phép cộng trừ số hữu tỉ.
2. Kỹ năng thực hiện phép tính về phân số và số hữu tỉ còn hạn chế, có những
học sinh không biết trình bày các bước biến đổi của một dãy phép tính, không thực
hiện được phép cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ.
3. Có những học sinh không nhớ các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, dãy tỉ số
bằng nhau do đó gặp khó khăn trong giải toán về tỉ lệ thức.
4. Kỹ năng biến đổi một tỉ lệ thức để tìm số hạng chưu biết, chứng minh đẳng
thức, tính toán thực tế, . . . còn hạn chế.
5. Phần lớn học sinh còn mơ hồ về phương pháp giải, các bước giải khi đứng
trước một bài toán về số hữu tỉ và tỉ lệ thức.
II. Kết quả khảo sát chất lượng học sinh đầu chương I
Lớp sĩ số
Giỏi Khá TB Yếu- Kém
SL % SL % SL % SL %
7A 27 0 0 2 7, 4 10 37, 03 15 55, 57
5
Qua khảo sát chất lượng học sinh thấy rằng: tỉ lệ học sinh giỏi không có, tỉ lệ học
sinh trung bình và khá nhỏ hơn tỉ lệ học sinh yếu kém.
Nguyên nhân có thể do trong hè học sinh không được ôn tập, nhưng chủ yếu là do
học sinh bị lỗ hổng kiến thức và kĩ năng từ các lớp dưới.
Trước thực trạng đó rất cần có một chuyên đề bồi dưỡng, phụ đạo cho học sinh về
phép toán số hữu tỉ và tỉ lệ thức.
CHƯƠNG III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số một số dạng toán và
phương pháp giải sau:
I. Các phép toán về số hữu tỉ.
Dạng 1 . Phép cộng, trừ số hưu tỉ.
1. Phương pháp.
Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số cùng mẫu dương, thực hiện phép cộng, trừ

theo quy tắc cộng, trừ các phân số.
Công thức như sau: Với x=
m
a
; y=
m
b
( a, b, m
∈
Z; m
≠
0), ta có:
x+y=
m
a
+
m
b
=
m
ba +
; x-y=
m
a
-
m
b
=
m
ba −

Đối với học sinh miền núi, việc thực hiện quy đồng mẫu số là rất khó khăn, trong
khi lên lớp, cùng với thời gian phụ đạo ngoài giờ cần nhắc lại, luyện tập việc
thực hiện quy đồng mẫu số để đưa về phân số cùng mẫu.
Việc trình bày lời giải cần hướng dẫn học sinh viết một dãy các đẳng thức số bằng
nhau, biểu thức sau là kết quả của phép toán trước.
Quá trình lên lớp cần vận dụng linh hoạt phương pháp thực hành giải toán, phù hợp
với trình độ các đối tượng học sinh trong lớp. Nếu cần có thể đưa ra các hướng dẫn,
các mức độ bài toán khác nhau cho từng đối tượng học sinh.
2. Bài tập minh hoạ:
Tính: a, 0, 6+
3
2
−
; b,
3
1
- (-0, 4); c,
18
8−
-
27
15
6
Giải.
a, 0, 6+
3
2
−
=
10

6
+
3
2−
=
5
3
+
3
2−
=
15
9
+
15
10−
=
15
1−
b,
3
1
- (-0, 4)=
3
1
+0, 4=
3
1
+
10

4
=
3
1
+
5
2
=
15
65 +
=
15
11
c,
18
8−
-
27
15
=
9
4−
-
9
5
=-1
Dạng 2. Phép nhân, chia số hưu tỉ.
1. Phương pháp.
Viết số hữu tỉ dưới dạng các phân số, áp dụng quy tắc nhân, chia và các tính chất
phép nhân để thực hiện.

Đối với phép nhân, chia học sinh thực hiện rễ rằng hơn. Trong các bài tập cần chú
ý rèn luyện cho học sinh rút gọn kết quả(nếu cần), khi thực hiện phép chia học sinh
hay nhầm lẫn không nhân với nghịch đảo của số chia.
Với x=
b
a
; y=
d
c
, ta có: x. y=
b
a
.
d
c
=
db
ca
.
.
Với x=
b
a
; y=
d
c
, ( y
≠
0) ta có: x:y=
b

a
:
d
c
=
b
a
.
c
d
2. Bài tập minh hoạ:
Thực hiện phép tính. a,
7
2−
.
8
21
; b) 0, 24.
4
15−
; c, (-2). (-
12
7
); d,
23
5−
: (-2)
Giải.
a.
7

2−
.
8
21
=
8.7
21.2−
=
4.1
3.1−
=
4
3−
b. 0, 24.
4
15−
=
100
24
.
4
15−
=
25
6
.
4
15−
=
10

9−
c, (-2). (-
12
7
)=
1
2−
.
2
7−
= 7
d,
23
5−
: (-2)=
23
5−
.
2
1
−
=
46
5
Dạng 3. Thực hiện phối hợp các phép tính.
1. Phương pháp.
7
Vận dụng linh hoạt các quy tắc, tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của các
phép tính thực hiện liên tiếp một dãy các phép tính theo thứ tự thực hiện.
Khi trình bày lời giải cần rèn luyện cho học sinh viết các biểu thức bằng nhau liên

tiếp, biểu thức sau là kết quả của phép toán đứng trước, phép toán nào chưa thực
hiện thì viết lại.
2. Bài tập minh hoạ: Tính giá trị các biểu thức.
a, A =
2 1 5 3 7 5
6 5 3
3 2 3 2 3 2
     
− + − + − − − +
 ÷  ÷  ÷
     
; b, B =
4 5 4 16
1 0.5
23 21 23 21
+ − + +
c, C=
1 5 1 5
15 : 25 :
4 7 4 7
   
− − −
 ÷  ÷
   
; d, D= (
7
3
+
2
1

)
2
e, E= -5, 13: (5
28
5
-
8
1
9
. 1, 25 + 1
63
16
)
Giải.
a, Có thể hướng dẫn học sinh giải theo hai cách sau:
Cách 1. Trước hết tính giá trị các biểu thức trong ngoặc.
36 4 3 30 10 9 18 14 15
6 6 6
A
− + + − − +
= − −
=
35 31 19 15 5 1
2
6 6 6 6 2 2
− −
− − = = = −
Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng thích hợp.
2 1 5 3 7 5
6 5 3

3 2 3 2 3 2
A = − + − − + − + − =
( )
2 5 7 1 3 5
6 5 3
3 3 3 2 2 2
   
− − − + − + + −
 ÷  ÷
   
=
1 1 1
2 0 2 2
2 2 2
 
− − − = − + = −
 ÷
 
b, B =
4 5 4 16 4 4 5 16
1 0.5 1 0.5 1 1 0.5 2.5
23 21 23 21 23 23 21 21
   
+ − + + = − + + + = + + =
 ÷  ÷
   
c, C =
1 5 1 5 1 1 5 7
15 : 25 : 15 25 : ( 10) 14
4 7 4 7 4 4 7 5

         
− − − = − − = − × − =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
d, D = (
7
3
+
2
1
)
2
= (
14
13
)
2
=
196
169
e, E = -5, 13: (5
28
5
-
9
17
.
4
5
+ 1

63
16
) = -5, 13: (5
28
5
-2
36
13
+ 1
63
16
)
= -5, 13 [(5-2+1)+ (
28
5
+
36
13
+
63
16
)] = - 1, 26
8
Dạng 4. Tìm x trong đẳng thức.
1. Phương pháp.
Vận dụng quy tắc chuyển vế đưa các số hạng chứa x sang một vế, các số hạng
không chứa x sang một vế rồi thực hiện các phép tính trong các biểu thức.
Quy tắc "chuyển vế": Với mọi x, y, z
∈
Q ta có x+ y=z

⇒
x = z- y.
Học sinh thường mắc sai lầm khi chuyển vế nhưng không đổi dấu, hay chuyển vế
các số hạng không hợp lý. Khi lên lớp cần thường xuyên yêu cầu học sinh nhắc lại
quy tắc và vận dụng quy tắc.
2. Bài tập minh hoạ:
Tìm x, biết:
a, x-
2
1
=
3
2−
; b,
7
2
- x = -
4
3
; c, x +
3
1
=
4
3
; d, x -
5
2
=
7

5
Giải.
a, x=
3
2−
+
2
1
=
6
34 +−
=
6
1−
; b, x=
7
2
+
4
3
=
28
2114 +
=
28
35
c, x=
4
3
-

3
1
=
12
5
; d, x=
7
5
+
5
2
=
35
39
II. Các bài toán về tỉ lệ thức.
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
1. Tìm một số hạng chưa biết
a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu
. . .
. . ; ;
a c b c a d a d
a d b c a b c
b d d c b
= ⇒ = ⇒ = = =
Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết,
muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.

b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)

9
- 0, 52 : x = - 9, 36 : 16, 38

( )
. 9,36 0.52.16,38
0,52.16,38
0,91
9,36
x
x
⇒ =
−
⇒ = =
−
Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó
hơn như sau :
a)
1 2 3 2
: 1 :
3 3 4 5
x
 
=
 ÷
 
' b)
( )
1 2
0,2 :1 : 6 7
5 3

x= +
có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)
60
15
x
x
−
=
−
Giải : từ
( ) ( )
2
2 2
60
15
. 15 . 60
900
30
x
x
x x
x
x
−
=
−
⇒ = − −
⇒ =
⇒ =

Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta
đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
1 60
15 1
x
x
− −
=
− −
;
1 9
7 1
x
x
−
=
+
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
3 5
5 7
x
x
−
=
−
Giải:
Cách 1: từ

( ) ( )

3 5
3 .7 5 .5
5 7
7 21 25 5
12 46
5
3
6
x
x x
x
x x
x
x
−
= ⇒ − = −
−
⇒ − = −
⇒ =
⇒ =
Cách 2: từ
3 5 3 5
5 7 5 7
x x x
x
− − −
= ⇒ =
−
áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có
10

( )
3 5 3 5 2 1
5 7 5 7 12 6
3 1
6 3 5
5 6
5 5
3 3
6 6
x x x x
x
x
x x
− − − + −
= = = =
+
−
⇒ = ⇒ − =
⇒ − = ⇒ =
Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 4
1 7
2 7 4 1
7 2 14 4 4
5 14 3 4
5 3 4 14 2 10 5
x x

x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
− +
=
− +
⇒ − + = + −
⇒ + − − = − + −
⇒ − = −
⇒ − = − + ⇒ = ⇒ =
Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x
2
bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau
2. Tìm nhiều số hạng chưa biết
a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
a b c
= =
(1) và x +y + z =d (2)
( trong đó a, b, c, a+b+c
0≠
và a, b, c, d là các số cho trước)
Cách giải:
- Cách 1: đặt
. ; . ; .

x y z
k
a b c
x k a y k b z k c
= = =
⇒ = = =
thay vào (2)
Ta có k. a + k. b + k. c = d
( )
d
k a b c d k
a b c
⇒ + + = ⇒ =
+ +
Từ đó tìm được
.
; ;
a d bd cd
x y z
a b c a b c a b c
= = =
+ + + + + +
- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
. . .
; ;
x y z x y z d
a b c a b c a b c
a d b d c d
x y z
a b c a b c a b c

+ +
= = = =
+ + + +
⇒ = = =
+ + + + + +
11
b). Hướng khai thác từ bài trên như sau.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
*
1 2 3
k x k y k z e+ + =
*
2 2 2
1 2 3
k x k y k z f+ + =
*x. y. z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
-
1 2 3 4
;
x y y z
a a a a
= =
-
2 1 4 3
;a x a y a y a z= =
-
1 2 3
b x b y b z= =
-

1 3 3 2
2 1
b x b z b z b y
b y b x
a b c
− −
−
= =
-
3 3
1 2 2
1 2 3
z b
x b y b
a a a
−
− −
= =
+Thay đổi cả hai điều kiện
c). Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và x +y + z = 27
Giải: Cách 1.
Đặt
2 , 3 , 4
2 3 4
x y z

k x k y k z k= = = ⇒ = = =
Từ x + y + z = 27 ta suy ra
2 3 4 27 9 27 3k k k k k+ + = ⇒ = ⇒ =
Khi đó x = 2. 3 = 6; y = 3. 3 = 9; z = 4. 3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.

27
3
2 3 4 2 3 4 9
2.3 6; 3.3 9; 4.3 12
x y z x y z
x y z
+ +
= = = = =
+ +
⇒ = = = = = =
Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và 2x + 3y – 5z = -21
Giải:
12
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x y z
= =
=k

- Cách 2: Từ
2 3 4
x y z
= =
suy ra
2 3 5
4 9 20
x y z
= =
áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 3 5 2 3 5 21
3
4 9 20 4 9 20 7
6; 9; 12
x y z x y z
x y z
+ − −
= = = = =
+ − −
⇒ = = =
Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1)Các phương pháp :
Để Chứng minh tỷ lệ thức :
a c
b d
=
Ta có các phương pháp sau :
Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc.
Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số

;
a c
b d
có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho
trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính
giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế
phải.
Phương pháp 4: dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:
a c
b d
=
hãy suy ra tỷ lệ thức:
a b c d
a c
− −
=
.
Giải:
Cách 1: Xét tích
( )
( )
(1)
(2)
a b c ac bc

a c d ac ad
− = −
− = −

13
Từ
(3)
a c
ad bc
b d
= ⇒ =
Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
a b c d
a c
− −
=
- Cách 2: Đặt
,
a c
k a bk c dk
b d
= = ⇒ = =
Ta có:

( )
( )
1
1
(1),( 0)
1

1
(2),( 0)
b k
a b bk b k
b
a bk bk k
d k
c d dk d k
d
c dk dk k
−
− − −
= = = ≠
−
− − −
= = = ≠
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c d
a c
− −
=
- Cách 3: từ
a c b d
b d a c
= ⇒ =
Ta có:
1 1
a b a b b d c d
a a a a c c
− −

= − = − = − =
Do đó:
a b c d
a c
− −
=
- Cách 4:
Từ

a c a b a b
b d c d c d
a a b a b c d
c c d a c
−
= ⇒ = =
−
− − −
⇒ = ⇒ =
−
- Cách 5: từ
1 1
a c b d b d
b d a c a c
a b c d
a c
= ⇒ = ⇒ − = −
− −
⇒ =
Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức
a c

b d
=
ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
;
a b c d a b c d
b d a c
± ± + +
= =
(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Bài tập 2: chứng minh rằng nếu
2
a bc=
thì
14
a)
2 2
2 2
; ) ,( 0)
a b c a a c c
b b
a b c a b a b
+ + +
= = ≠
− − +
(với a
, )b a c≠ ≠
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
- Cách 2: từ
2

a c
a bc
b a
= ⇒ =
Đặt
,
a c
k a bk c ak
b a
= = ⇒ = =
Ta có:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
, 0 (1)
1 1
1
1
0 ,(2)
1 1
b k
a b bk b k
b
a b bk b b k k

a k
c a ak a k
a
c a ak a a k k
+
+ + +
= = = ≠
− − − −
+
+ + +
= = = ≠
− − − −
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c a
a b c a
+ +
=
− −
- Cách 3: Ta có

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
,

, 0
a a b
a b a ab bc ab
do a bc
a b a a b a ab bc ab
b c a
c a
a b
b c a c a
+
+ + +
= = = =
− − − −
+
+
= = ≠
− −
Do đó:
a b c a
a b c b
+ +
=
− −
Ngược lại từ
a b c a
a b c b
+ +
=
− −
ta cũng suy ra được a

2
= bc
Từ đó ta có bài toán cho
a b c a
a b c b
+ +
=
− −
chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a
2
= bc

a c a b a b a b
b a c a c a c a
a b c a
a b c a
+ −
= = ⇒ = = =
+ −
+ +
⇒ =
− −
b)- Cách 1: xét tích chéo ( a
2
+ c
2
)b = a
2

b + c
2
b = bc. b + c
2
b = bc (b +c)
15
= (b
2
+ a
2
)c = b
2
c + a
2
c = b
2
c + bc. c= bc ( b+c)
Do đó (a
2
+ c
2
)b = ( b
2
+ a
2
)c
2 2
2 2
a c c
b a b

+
⇒ =
+
- Cách 2: Từ a
2
= bc
a c
b a
⇒ =
Đặt
a c
k
b a
= =
suy ra a = bk, c = ak = bk
2

Ta có

( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 4
2
2 2 2 2 2
2 2
2
2
1

, 0
1
b k k
a c b k b k
k b
b a b b k
b k
c k b
k
b b
+
+ +
= = = ≠
+ +
+
= =
Do đó:
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
- Cách 3: từ a
2
= bc
a c
b a
⇒ =

2 2 2 2
2 2 2 2
(1)
a c a c
b a b a
+
⇒ = =
+
Từ
2
2
(2),( 0)
a c a a c c
a
b a b b a b
= ⇒ = × = ≠
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
- Cách 4: Ta có
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2

, 0
c b c
a c bc c c
b c
b a b bc b b c b
+
+ +
= = = + ≠
+ + +
Do đó:
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
Bài tập 3: Biết
bz cy cx az ay bx
a b c
− − −
= =
Chứng minh rằng
x y z
a b c
= =
Giải: Ta có
2 2 2
bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx
a b c a b c

− − − − − −
= = = = =
16
2 2 2
0
abz acy bcx bay cay cbx
a b c
− + − + −
= =
+ +
2
0 (1)
abz acy y z
abz acy bz cy
a b c
−
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

2
0 (2)
bcx baz z x
bcx baz cx az
b c a
−
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Từ (1) và (2) suy ra:
x y z
a b c
= =
Dạng 3: Toán chia tỉ lệ

1. Phương pháp giải
Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết
Bước 4:Kết luận.
2. Bài tập
Bài tập 1: Trong một đợt lao động ba khối 7, 8, 9 chuyển được 912
3
m

đất, trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm được
3 3 3
1,2 ;1,4 ;1,6m m m
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4
và 5. Tính số học sinh của mỗi khối.
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7, 8, 9 lần lượt là a, b, c(h/s)(a, b, c là số nguyên
dương)
Số đất khối 7 chuyển được là 1, 2a
Số đất khối 8 chuyển được là 1, 4b
Số đất khối 9 chuyển được là 1, 6c
Theo bài rat a có
;
1 3 4 5
a b b c
= =
Và 1, 2a +1, 4b + 1, 6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7, 8, 9 lần lượt là 80 h/s, 240h/s, 300h/s
Bài tập 2:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm

17
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c (cm, a, b, c
0>
)
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
542
cba
==
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

2
11
22
542542
==
++
++
===
cbacba
Suy ra

102
5
42
4
42
2

=→=
=→=
=→=
c
c
b
b
a
a
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm, 8cm, 10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ
nhất bằng 3. Khi đó ta có được: c-a=3
Bài tập 3:
Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây, số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ
với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn
số cây của lớp 7C là 119 cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được.
Lời giải:
Gọi số cây trồng được của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a, b, c (cây, a, b, c nguyên
dương)
Theo bài ra ta có
7
17
119
5166
42
516
4
6
2

542
==
−+
−+
======
cbacbacba
Suy ra
18

357
5
287
4
217
3
=→=
=→=
=→=
c
c
b
b
a
a
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 21cây, 28cây, 35cây
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi
1
5

số thóc ở kho I,
1
6
số thóc ở kho II và
1
11
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau. Hỏi
lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I, II, III lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn, a, b, c>0)
Số thóc của kho I sau khi chuyển là
1 4
5 5
a a a− =
Số thóc của kho II sau khi chuyển là
1 5
6 6
b b b− =
Số thóc của kho III sau khi chuyển là
1 10
11 11
c c c
− =
theo bài ra ta có
4 5 10
5 6 11
a b c= =
và a+b+c=710
từ
4 5 10 4 5 10

5 6 11 5.20 6.20 11.20
a b c a b
c
= = ⇒ = =
710
10
25 24 22 25 24 22 71
a b c a b c
+ +
⇒ = = = = =
+ +
Suy ra a=25. 10=250; b=24. 10=240 ; c=22. 10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lượt là 250tấn, 240 tấn, 220 tấn.
Dạng 4 :Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
1) Sai lầm khi áp dụng tương tự
H/s áp dụng
.
.
x y x y
a b ab
= =
hay
. .
. .
x y z x y z
a b c ab c
= = =
19
Bài tập 1: (Bài 62 – SGKT31) tìm 2 số x, y biết rằng

2 5
x y
=
và x. y=10
H/s sai lầm như sau :
. 10
1
2 5 2.5 10
x y x y
= = = =
suy ra x=2, y=5
Bài làm đúng như sau:
Từ
2
2
. . 10
4 2
2 5 2 5 2 5
x y x x x y x
x x
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
từ đó suy ra
5y
= ±
vậy x= 2, y= 5 hoặc x=-2, y= -5
hoặc từ
2 2
2 2
10
. 1 4 2

2 5 4 2 5 4 10
x y x x y x
x x= ⇒ − ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ±
hoặc đặt
2 , 5
2 5
x y
x x x y x= = ⇒ = =
vì xy=10 nên 2x. 5x=10
2
1 1x x⇒ = ⇒ = ±
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện số chia khác 0
Khi rút gọn h/s thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần
tìm
Bài tập 2: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
a b c
b c c a a b
= =
+ + +
.
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có
a b c
b c c a a b
= =
+ + +
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2
a b c a b c a b c

b c c a a b b c c a a b a b c
+ + + +
= = = =
+ + + + + + + + + +
Học sinh thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng
1
2
ta phải làm như sau
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
20
nên mỗi tỉ số
; ;
a b c
b c c a a b+ + +
đều bằng -1
+ Nếu a+b+c
≠
0 khi đó
( )
1
2 2
a b c a b c
b c c a a b a b c
+ +
= = = =
+ + + + +
Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1
Bài tập 3: Cho biểu thức
x y y z z t t x
P

z t t x x y z y
+ + + +
= + + +
+ + + +
Tính giá trị của P biết rằng
(1)
x y z t
y z t z t x t x y x y z
= = =
+ + + + + + + +

Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
3( )
x y z t x y z t
y z t z t x t x y x y z x y z t
+ + +
= = = =
+ + + + + + + + + + +
Cách 2:Từ (1) suy ra
1 1 1 1
x y z t
x z t z t x t x y x y z
+ = + = + = +
+ + + + + + + +
x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x x y t x y z
+ + + + + + + + + + + +
→ = = =
+ + + + + + + +

ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3
ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng như sau :
Nếu x+y+z+t
0≠
suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0
→
x+y=-(z+t);y+z=-(t+x). Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau. Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1, bài
tập 4 nên dùng cách 2
Bài tập tương tự :
1)Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −
= =
21
Hãy tính giá trị của biểu thức
1 1 1
b a c
B
a c b
   
= + + +
 ÷ ÷ ÷
   
2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
2 2 2 2a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d

+ + + + + + + + + + + +
= = =
Tìm giá trị của biểu thức M biết :
a b b c c d d a
M
c d d a a b b c
+ + + +
= + + +
+ + + +
Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưng
khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại, nếu các số hạng dưới bằng
nhau thì các số hạng trên bằng nhau.
3. Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thường sai lầm nếu A
2
=B
2
suy ra A=B
Bài tập 4:Tìm x biết
1 60
15 1
x
x
− −
=
− −
Giải:
1 60
15 1
x

x
− −
=
− −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 15 . 60 1 900x x⇒ − = − − ⇒ − =
Học sinh thường sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31
phải suy ra 2 trường hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29
CHƯƠNG IV HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN.
I. Quá trình áp dụng của bản thân
Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấp mình hiểu sâu sắc hơn về
các phép tính số hữu tỉ và tỷ lệ thức.
Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 4 đối tượng học sinh giỏi, trung bình, khá và yếu
tuỳ từng đối tượng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội
dung trong chuyên đề một cách dề dàng, các em rất hứng thu khi tự mình có thể lập
ra các bài toán.
II. Hiệu quả khi áp dụng đề tài:
Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài
kiểm tra và kết quả thu được như sau
22
Lớp sĩ số
Giỏi Khá TB Yếu- Kém
SL % SL % SL % SL %
7A 27 1 3, 7 7 33, 4 12 44, 4 5 18, 5
PHẦN C. KẾT LUẬN
I. Ý nghĩa sáng kiến.
Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về phép toán số hữu tỉ và tỉ lệ thức
trong môn Đại số lớp 7 tôi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả, học sinh
dễ hiểu và hứng thú trong quá trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác sâu

bài toán, biết tự đặt ra các bài toán mới, tránh được những sai lầm mà mình hay mắc
phải.
II. Những bài học kinh nghiệm rút ra.
Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng một
vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc vì vậy người
thầy phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng
cao trình độ cho bản thân.
III. Những kiến nghị, đề xuất
Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng
phù hợp với đối tượng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học
sinh.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi chưa thể
đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây
dựng để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
23
24