SKKN Phát triển một bài toán dẫn học sinh đến với một định lý đại số 9

A.Đặt vấn đề:
Trong chơng trình SGK hiện nay để đáp ứng yêu cầu giảm
lý thuyết hàn lâm, tăng nội dung của chơng trình với nhiều kiến
thức mới đợc đa vào chơng trình THCS nhng thời lợng lại giảm
( Từ 5 tiết/ tuần xuống 4 tiết / tuần) Nên nhiều kiến thức không
đựơc đa vào trực tiếp thành bài giảng mà lại đợc đa ra dới dạng bài
tập hay câu đố .Nhằm kích thích học sinh tìm tòi và tiếp cận kiến
thức khoa học thông qua việc tìm đáp án cho các bài tập dạng này .
Đó là cách làm rất hay giúp học sinh tiếp thu đợc nhiều kiến thức
hơn trong thời gian ngắn hơn.
Tuy nhiên trong thực tế nhiều lúc ,do nhiều lý do khác nhau
mà ngời dạy cha phát hiện ra đợc ý tởng xây dựng của phần kiến
thức nằm khuất sau bài tập đó. Dẩn đến phần kiến thức này không
đợc xây dựng và khắc sâu. gây ra nhiệu khó khăn cho việc tiếp cận
phần tiếp theo của chơng trình.
Vì vậy việc phát hiện ý tởng của những bài tập dạng này và phát
triển nó thành hệ thống kiến thức cơ bản là vấn đề hết sức quan
trọng. Với suy nghĩ đó tôi chọn đề tài: Phỏt trin mt bi toỏn dn
hc sinh n vi mt nh lý.
Trong kinh nghiệm này tôi chỉ xin đề cập đến một bài tập có
nhiều ý tởng. Đó là bài tập 19 trang 49 SGK toán 9 tập 2.
B. Giải quyết vấn đề:
I . Nội dung bài tập và cách giải.
1. Nội dung :
Đố: Tại sao phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0( a> 0) vô nghiệm
thì:
ax
2
+ bx + c >0 với mọi x.

2. Cách giải:
Ta có : ax
2
+ bx + c = a(x +
a
b
2
)
2
-
a
acb
4
4
2

= a(x +
a
b
2
)
2
-
a4

Do : a >0 => a(x +
a
b
2
)

2


0
Phơng trình vô nghiệm =>

< 0 => -
a4

> 0
=> a(x +
a
b
2
)
2
-
a4

> 0 với mọi x
hay ax
2
+ bx + c > 0 với mọi x.
II . ý tởng đặt ra :
1. Vậy phải chăng dấu của tam thức ax
2
+ bx + c ( a

0)
phụ thuộc vào a và

?
2. Nếu phơng trình vẫn vô nghiệm mà a <0 thì sao?
3. Nếu phơng trình đó không vô nghiệm mà có nghiệm thì thế
nào?
III . Khai thác ý tởng và vận dụng.
Với những câu hỏi đặt ra ở trên ta có thể có các bài tập sau đây.
1 . Bài tập 19.1:
Cho phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0( a< 0) vô nghiệm. Hãy
so sánh tam thức ax
2
+ bx + c với 0 ?
a. Lời giải:
Tơng tự cách biến đổi trên ta có:
ax
2
+ bx + c = a(x +
a
b
2
)
2
-
a
acb
4
4
2

= a(x +
a
b
2
)
2
-
a4

Do : a <0 => a(x +
a
b
2
)
2


0
Phơng trình vô nghiệm =>

< 0 => -
a4

< 0
=> a(x +
a
b
2
)

2
-
a4

< 0 với mọi x
hay ax
2
+ bx + c < 0 với mọi x.
b . Nhận xét:
Từ bài tập ban đầu và bài tập này ta thấy:
Nếu phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm thì tam thức bậc hai tơng ứng luôn cùng
dấu với a
hay a(ax
2
+ bx + c ) > 0 với mọi x.
c . Bài tập vận dụng:
Chứng minh rằng: a./. 2x
2
+5x + 10 > 0
b./. 2x
2
+x 1 < 0 với mọi x.
2 . Bài tập 19.2 :
Cho phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm kép. Chứng
minh rằng:

a./. Nếu thì ax
2
+ bx + c > 0 với mọi x

a
b
2

và là bình phơng của
một nhị thức bậc nhất.
b./. Nếu a< 0 thì ax
2
+ bx + c

0 với mọi x.
a . Lời giải:
a./. ax
2
+ bx + c = a(x +
a
b
2
)
2
-
a
acb
4
4
2

= a(x +
a
b
2
)
2
-
a4

Do : a >0 => a(x +
a
b
2
)
2


0
Phơng trình có nghiệm kép =>

= 0 => -
a4

= 0
=> ax
2
+ bx + c = a(x +
a
b

2
)
2
>0
với mọi x

a
b
2

.
Và ax
2
+ bx + c = a(x +
a
b
2
)
2
= (
a
b
xa
2
+
)
2
= (mx + n)
2

( với m =
a
và n =
a
b
2
).
b./. a <0 => a(x +
a
b
2
)
2


0
Do phơng trình nghiệm có nghiệm kép =>

= 0 => -
a4

= 0
=> a(x +
a
b
2
)
2
-
a4

0 với mọi x
hay ax
2
+ bx + c

0 với mọi x.
b . Nhận xét:
*Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a > 0) có nghiệm kép
thì a(ax
2
+ bx + c ) >0 với mọi x

a
b
2

.
Và ax
2
+ bx + c có dạng

(mx +n)
2
*Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a < 0) có nghiệm kép

thì a(ax
2
+ bx + c )

0 với mọi x.
c . Bài tập vận dụng:
Đem các đa thức sau về dạng bình phơng để chứng minh;
a./. x
2
+ 2x +1

0
b./. 2x
2
+ x +
8
1


0
c./. -
2
1
x
2
+ 2x 2 <0 với mọi x

2.
3 . Bài tập 19.3 :
Cho phơng trình bậc hai ax

2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
a./. Nếu a >0 hãy tìm giá trị của x để ax
2
+ bx + c >0
b./. Nếu a >0 hãy tìm giá trị của x để ax
2
+ bx + c

0
c./. Nếu a < 0 hãy kiểm tra các điều kiện trên.
a . Bµi gi¶i :
Ta cã : ax
2
+ bx + c = a(x +
a
b
2
)
2
-
a4
∆

= a[(x +
a
b
2
)
2

-
2
4a
∆
] = a[(x +
a
b
2
)
2
-
2
)
2
(
a
∆
] (*)
a./. Do a> 0 vµ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm (
∆
> 0)
nªn ax
2
+ bx + c >0 <=> ( x +
a
b
2
)
2
>

2
)
2
(
a
∆
<=> | x +
a
b
2
| > |
a2
∆
|
<=> x +
a
b
2
>
a2
∆
hoÆc x +
a
b
2
<-
a2
∆

<=> x > -

a
b
2
+
a2
∆
hoÆc x < -
a
b
2
-
a2
∆
<=> x >
a
b
2
∆+−
hoÆc x <
a
b
2
∆−−
<=> x > x
1
hoÆc x < x
2

b./. ax
2

+ bx + c
≤
0 <=> a[(x +
a
b
2
)
2
-
2
)
2
(
a
∆
]
≤
0
( x +
a
b
2
)
2

≤
2
)
2
(

a
∆
<=> | x +
a
b
2
|
≤
|
a2
∆
|
<=> -
a2
∆

≤
x +
a
b
2

≤
a2
∆

<=> -
a
b
2

-
a2
∆

≤
x
≤
-
a
b
2
+
a2
∆
<=>
a
b
2
∆−−

≤
x
≤

a
b
2
∆+−
<=> x
1

≤
x
≤
x
2
c./. Víi a < 0 ta nh©n hai vÕ víi – 1 råi tÝnh to¸n t¬ng tù ta cã
ax
2
+ bx + c
≥
0 <=> x
1

≤
x
≤
x
2

ax
2
+ bx + c < 0 <=> x < x
1
hoặc x > x
2

b . Nhận xét :
Trong trờng hợp này
*Với x < x

1
hoặc x > x
2
thì ax
2
+ bx + c >0 nếu a > 0
và ax
2
+ bx + c < 0 nếu a < 0
hay a(ax
2
+ bx + c) > 0
*Với x
1


x

x
2
thì ax
2
+ bx + c

0 nếu a <0
và ax
2
+ bx + c

0 nếu a > 0

hay a(ax
2
+ bx + c) < 0
c . Bài tập áp dụng:
a./. Tìm x để các biểu thúc sau nhận giá trị âm
* x
2
+ 2x 3
* - x
2
+ 5x + 6
b./. Tìm x để các biểu thúc sau nhận giá trị không âm
* x
2
5x 6
* - 2x
2
5x + 7
IV . Tổng kết vấn đề đã triển khai.
1 . Tổng quát hóa:
Một đa thức f(x) = ax
2
+ bx + c ( a

0) với phơng trình bậc hai t-
ơng ứng là
ax
2
+ bx + c = 0 .
Nếu

< 0 ( phơng trình vô nghiệm ) thì f(x) > 0 nếu a> 0
và f(x) < 0 nếu a < 0
hay af(x) > 0 với mọi x.
Nếu

= 0 ( phơng trình có nghiệm kép) thì af(x) >0 với mọi x

-
a
b
2

Nếu

> 0 (phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
< x
2
)
Thì af(x) > 0 nếu x < x
1
hoặc x> x
2

và af(x) < 0 nếu x
1
< x < x
2

Đó chính là kiến thức khởi đầu của định lý về dấu của tam thức bậc
hai.
2 . Vận dụng:
Hãy giải các phơng trình bậc hai tơng ứng rồi rút ra kết luận về
nghiệm của các bất phơng trình sau:
a./ 2x
2
+ x + 8 >0
b./ x
2
+ 2x + 1 > 0
c./ - x
2
+ 2x 1 >0
d./ x
2
5x + 6 < 0
e./ -2x
2
- 5x + 7 > 0
C. Kết quả nghiên cứu và áp dụng
Tôi đã áp dụng cách làm này cho học sinh trong nhửng năm gần
đây và thu đợc kết quả khả quan:
- Có 70% HS lớp 9giải thành thạo bất phơng trình bậc hai
- 75% HS có thể biến đổi thành thạo để khai thác tốt cách tìm
giá trị lớn nhất nhỏ nhất của tam thức bậc hai.
- 90% HS thấy đơc vai trò của

trong các bài toán về giải bất
phơng trình bậc hai

- 100% HS cho rằng cách làm này giúp HS dể tiếp cậnvới định
lý về dấu của tam thức bậc hai
D.Lời kết:
Trên đây là một số suy nghĩ và tìm tòi của GV khi giảng dạy HS về
phần này và đả thu nhận đợc kết quả rất khả quan. Gây đợc hứng
thú cho HS đang học lớp 9 và nhận đơc những phản ứng tích
cựccủa những HS đả học xong.
Tuy nhiên do điều kiện về năng lực và thời gian nên vấn đề đa ra
chă có chổ còn hạn chế.
Mong đơc sự quan tâm đọc góp ý và vận dụng của các bạn đồng
nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn