SKKN PHát triển các bài toán SGK

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
A - Đặt vấn đề
I/ Cơ sở lí luận:
Cuộc cách mạng khoa học và công nghệ phát triển ngày càng
nhanh, nền kinh tế tri thức có vai trò ngày càng nổi bật trong quá trình
phát triển lực lợng sản xuất. Trong bối cảnh đó, giáo dục đào tạo đã trở
thành nhân tố quyết định đối với sự phát triển kinh tế - xã hội.
Nhận định rõ vấn đề Đảng và nhà nớc ta luôn coi trọng phát triển
giáo dục và đào tạo, đặc biệt trong giai đoạn hiện nay đất nớc đang
trong giai đoạn thực hiện công cuộc đổi mới.
Thực hiện nghị quyết, t tởng chỉ đạo của Đảng. Năm học 2002 -
2003, Bộ giáo dục và đào tạo đã triển khai chơng trình SGK mới vào
giảng dạy đại trà trên toàn quốc đã đem lại hiệu quả đáng phấn khởi.
Sau 4 năm thực hiện thay sách, bên cạnh những thành tựu đã đạt đợc
qua việc triển khai chơng trình SGK mới ở bậc THCS và việc thực hiện
chỉ đạo đổi mới phơng pháp thì vẫn còn những hạn chế cần khắc phục.
Đó là việc đổi mới các phơng pháp dạy học cha thực sự có hiệu quả,
đặc biệt việc dạy cho học sinh phơng pháp học tập, phơng pháp nghiên
cứu và khai thác tài liệu còn hạn chế.
Phát triển các bài toán trong sách giáo khoa là đề tài đợc nhiều
tác giả, các thầy cô giáo nghiên cứu và có hiệu quả thiết thực trong quá
trình dạy học. Tuy nhiên với điều kiện khác nhau, cách hình thành phát
triển các dạng toán khác nhau mà mỗi ngời có cách nhìn nhận và thể
hiện dạng đề tài này một cách khác nhau. Vì vậy mặc dù đã có nhiều
thầy cô giáo, nhiều tác giả đề cập về vấn đề này nhng tôi vẫn mạnh dạn
đa ra đề tài này để cùng bạn bè đồng nghiệp cùng thảo luận.
Nội dung bài viết đợc trình bày trên cơ sở:
Thông qua việc giải các bài tập trong sách giáo khoa hình thành các
bài tập có nội dung phong phú và đa dạng hơn.
Bằng các thao tác t duy: phân tích, so sánh, tơng tự, khái quát hóa,
đặc biệt hóa, trừu tợng hóa hình thành các bài tập có nội dung tơng tự,

tổng quát, từ các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập.
2
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Thông qua việc phát triển các bài toán, hình thành chuỗi các bài tập
có nội dung liên quan, lấy bài tập này làm cơ sở để phát triển các bài
kế tiếp.
Ngoài ra bằng cách thay đổi, thêm, bớt một số yếu tố trong đề bài
của các bài toán, hoặc thay đổi cách hỏi ta cũng có các bài toán thú vị
và khá độc đáo.
II/ Cơ sở thực tiễn:
Qua nghiên cứu, tìm hiểu và thông qua thực tiễn giảng dạy của
bản thân tôi nhận thấy:
Thực trạng cho thấy phần nhiều học sinh hiện nay vẫn còn tình
trạng thụ động tiếp thu kiến thức, hoặc chỉ là vận dụng máy móc kiến
thức, cha có tính sáng tạo, cha phát huy đợc năng lực tự học, tự nghiên
cứu của bản thân.
Biên chế chơng trình cho môn học với thời gian hạn chế không thể
hình thành những kiến thức, kĩ năng và các thao tác t duy đầy đủ cho
học sinh ngay trên lớp vì vậy việc học tập ở nhà có tác dụng hết sức
quan trọng đối với chất lợng học tập của học sinh.
Bên cạnh đó yêu cầu đặt ra cho mỗi con ngời trong thời đại mới
phải thực sự tích cực, năng động và thích ứng với những thay đổi của
điều kiện ngoại cảnh. Đây cũng là yêu cầu mà Đảng và nhà nớc ta
đang đặt ra cho ngành giáo dục chúng ta.
Thực tiễn giảng dạy của bản tôi nhận thấy việc triển khai đề tài
Phát triển các bài tập trong sách giáo khoa là hết sức khả thi và có
hiệu quả giáo dục cao.
Xin đợc trình bày một số biện pháp triển khai đề tài vào thực
tiễn giảng dạy:
Trong mỗi giờ lên lớp giáo viên dành một thời gian nhỏ (đặc biệt

trong các giờ luyện tập, ôn tập) cho học sinh làm bài tập củng cố kiến
thức và kĩ năng cơ bản từ đó hớng dẫn tự phát triển bài tập để có các
bài tập khác, hoặc cho các em luyện tập dới hình thức tự ra các đề toán
từ các bài toán đã làm.
3
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Sau mỗi bài giảng khi hớng dẫn học sinh học ở nhà ngoài việc yêu
cầu học, nghiên cứu bài, làm bài tập thì giáo viên cho học sinh là các
bài tập tơng tự các bài trong SGK hoặc yêu cầu các em phải tự tìm ra
các bài toán lên quan đến các bài toán trong SGK.
Có thể triển khai đề tài dới hình thức chơi trò chơi: Cho các nhóm
ra đề chéo và yêu cầu giải.
Ngoài ra việc triển khai đề tài này càng có hiệu quả trong việc bồi
dỡng học sinh khá giỏi, có thể cho các em tự hệ thống các bài toán dới
dạng các đề tài nhỏ.
Bài viết này đợc trình bày với hình thức chỉ là đa ra các ví dụ để
đồng nghiệp cùng bình luận và tham khảo. Rất mong đợc sự
đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để đề tài này sẽ có hiệu quả
cao hơn.
III/ Cấu trúc SKKN:
A. Đặt vấn đề:
I. Cơ sở lí luận.
II. Cơ sở thực tiến
III. Cấu trúc SKKN
B. Giải quyết vấn đề
Phần giải quyết vấn đề đợc trình bày trên cơ sở đa ra các ví dụ đại diện
chọn trong SGK từ lớp 6 đến 9, từ đó phân tích phát triển để có chuổi bài
tập liên quan, từ ví dụ ban đầu. Mỗi ví dụ đều đợc đa ra các bài toán phát
triển và bài tập tham khảo.
Nội dung đa ra gồm 4 ví dụ:

Ví dụ 1 - Bài 113b trang 44 SGK toán 6 tập 1 - NXBGD, đợc phát triển
với hai dạng với 9 bài toán và hai bài toán tổng quát. Sau các bài toán đa ra
là phần bài tập tham khảo với 20 bài tập.
4
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Ví dụ 2 - Bài 25 - trang 16 - SGT toán 6 tập 2 - NXBGD, đợc phát triển với
8 bài toán và 9 bài tập tham khảo.
Ví dụ 3 - Bài 31 trang 19 - SGK toán 7 tập 1 - NXBGD, đợc phát triển với 4
bài toán và 8 bài tập tham khảo.
Ví dụ 4 - Bài 19. trang 49 - SGK Toán 9 tập 2 - NXBGD, đợc phát triển với
7 bài toán và 8 bài tập tham khảo.
C. Kết luận - kiến nghị
5
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
B - Giải quyết vấn đề
Ví dụ 1
Tìm các số tự nhiên a sao cho a chia hết cho 15 và 0 <
a < 40.
(Bài 113 b trang 44 SGK toán 6 tập 1-
NXBGD).
Giải: a 15 a = 15k (k N) mà 0 < a < 40
0 < 15k < 40 k = 1;2 . Vậy a = 15 ; a = 30.
Nếu chỉ giải bài toán này thôi thì bài toán chỉ dừng lại ở việc
giải một bài toán củng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng vận dụng
kiến hức một cách thuần túy. Chỉ bằng cách khai thác nhỏ theo hớng
tơng tự và có thay đổi cách hỏi và thay đổi một chút về rằng buộc ta
có bài toán:
Bài toán 1.1:
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng nó chia hết cho 119
và 5.

Giải: Từ a 19 ; a 5 a BC(19;5) a [19;5] mà
(19;5) = 1 [19;5] = 95 suy ra a 95 a = 95k (k N) .Vì a là số
tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số nên 95k > 100 và k nhỏ nhất k = 2.
Vậy a = 190.
Từ bài toán 1 phát triển nên một chút và đổi cách hỏi chỉ một
chút ta có bài toán thực tế sinh động và đầy thú vị. Ta xét bài toán 2:
Bài toán 1.2:
Học sinh lớp 6C khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa đủ
hàng. Biết số học sinh lớp đó trong khoảng từ 35 đến 60. Tính số học
sinh của lớp 6C.
(Bài 154 - trang 59 SGK toán 6 tập 1)
6
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Giải: Giả sử lớp 6C có A học sinh thì A chia hết cho 2; 3; 4; 8
A BC(2; 3 ;4 ;8) A [2 ;3 ;4 ;8] A 24 A = 24k với k N
mà 35 < A < 60 nên 35 < 24k < 60 k = 2 .
Vậy số học sinh của lớp 6C là A = 48 học sinh.
Cũng theo hớng đó ta thay phép chia hết bằng phép chia có d thì
bài toán thực sự không chỉ đơn giản nh ví dụ mà ta đã xét. Bằng
cách đó ta có bài toán 3 thực sự đem lại cảm hứng cho ngời học.
Bài toán 1.3:
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất biết rằng khi chia nó cho 3 ;4 ;5 đều cho
các số d là 1.
Giải: Vì a chia cho 3; 4; 5 đều cho các số d là 1 nên a 1 chia hết
cho 3; 4; 5 mà a là số nhỏ nhất nên a 1 = [3; 4; 5] a 1 = 60
a = 61. Vậy a = 61 .
Cao hơn chút nữa, thay vì các phép chi có cùng số d ta cho các
phép chia có số d khác nhau thì quả thật bài toán đã yêu cầu học
sinh phải động não. Sự tuyệt vời của bài toán 4 này không chỉ là sự
tuyệt vời của một bài toán mà sự tuyệt vời của nó là nó đợc bắt

nguồn từ một bài toán mà ta tởng nh nó thực sự đơn giản mà không
có hớng phát triển. Xét bài toán 4:
Bài toán 1.4:
Tìm số tự nhiên a có hai chữ số biết rằng khi chia a cho 3; 4; 5 đợc
các số d lần lợt là 2; 3; 4.
Giải: Vì a chia cho 3; 4; 5 cho các số d lần lợt là 2; 3; 4 nên a + 1
chia hết cho 3; 4; 5 a + 1 [3; 4; 5]
a + 1 60 a + 1 = 60k (k N), mà a có 2 chữ số nên
10 < a < 100 11 < a + 1 < 101
a + 1 = 60 a = 59. Vậy a = 59.
Nếu ở bài toán 4 ta chỉ cần cộng thêm 1 vào số đó thì ta có các
phép chia hết thì cũng không có gì là quả khó. Nếu ta không chịu
dừng lại ở đó mà ta cho các dữ kiện của bài toán khác đi, với số d
bất kì thì sao? . Đây là ý t ởng hay và đầy táo bạo, nhng không sao
7
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
từ ý tởng đó nó sẽ giúp chúng ta khám phá ra những kiến thức còn
hay hơn nhiều. Ta xét bài toán 5:
Bài toán 1.5:
Một số tự nhiên a khi chia cho 9 d 2 , chia cho 17 d 9 , chia cho
19 d 13. Hỏi khi chia a cho 2907 d bao nhiêu?
Giải: Vì a chia cho 9 d 2, a chia cho 17 d 9 và a chia cho 19 d 13
nên a + 25 chia hết cho cả 9; 17 ;19 a BC(9;17;19) a
[9;17;19] mà 9; 17; 19 đôi một nguyên tố cùng nhau
(a + 25) 9.17.19. a + 25 2907 a + 25 = 2907k (k N)
a = 2907.k 25 a = 2907(k 1) + 2882 .
Vậy a chia cho 2907 d 2882.
Vấn đề thay đổi cách đặt vấn đề cho một bài toán là đề tài hay
và cũng có nhiều hiệu quả. Để giảm sự khô khan của toán học ta thử
cho bài toán dới dạng bài văn, bài thơ có đợc không? Đây là vấn đề

khó, nhng với dạng toán đầy tính thực tiễn này thì ta cũng không có
gì ngại. Ta xét bài toán cổ sau:
Bài toán 1.6:
Đố: Bé kia chăn vịt khác thờng
Buộc đi cho đợc chẵn hàng mới thôi
Hàng hai xếp thấy cha vừa
Hàng ba xếp thấy vẫn thừa một con
Hàng bốn xếp cũng cha tròn
Hàng năm xếp thiếu một con mới đầy
Xếp thành hàng bẩy đẹp thay !
Vịt bao nhiêu? Tính đợc ngay mới tài
(Biết số vịt cha đến 200 con)
(Bài 169 trang 64 SGK toán 6 tập 1 )
8
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Giải: Gọi x là số vịt cần tìm thì x : 2 d 1, x : 3 d 1, x : 5 d 4, x 7
x + 56 chia hết cho cả 3; 5; 7 mà 3; 5 ;7 đôi một nguyên tố cùng
nhau nên x + 56 3.5.7
x + 56 105 x + 56 = 105k (k N) mà x < 200 nên 105k -
56 < 200 k = 1; 2 mà x
M
2 nên k = 1 x = 49.
Vậy số vịt cần tìm là 49 con.
Qua 6 bài toán trên cho ta thấy phát triển một bài toán quả thật
là không khó mà hiệu quả lại quả thật ta không thể tính đợc. Qua
đây chác hẳn bạn làm toán sẽ nghĩ Bài toán này có dạng tổng quát
không? Nếu có thì giải nó nh thế nào? . Câu hỏi này thật thú vị, nh -
ng việc tìm ra bài toán tổng quát quả thật là khó. Đối với ngời học
toán cái khó không phải là bó cái khôn, sự tao bạo trong toán học
lại đem lại sự thành công và những kết quả khiến ta nhiều khi phải

ngạc nhiên. Xin đợc đa ra và trình bày tóm tắt lời giải của bài toán
tổng quát cho dạng bài nay:
Bài toán tống quát 1:
Cho a : m d r
1
, a : n d r
2
, a : p d r
3
,. Hãy cho biết a : [m, n, p] d bao
nhiêu?
Cách giải: Từ các dữ kiện của bài cho ta có
a - r
1
m, a - r
2
n, a - r
3
p, (*) khi đó ta tìm số tự nhiên t sao cho r
1
t m, r
2
t n, r
3
t p a t [m, n, p].
Nếu đọc đến bài toán 6ta có thể nói bài toán chỉ khai thác đến
đó mà thôi. Quả thật tôi cũng chỉ định dừng lại ở đó, nhng nghĩ đi
nghĩ lại chẳng lẽchẳng lẽ việc phát triển bài toán này củng chỉ đến
thế thôi sao. Nhìn lật ngợc lại vấn đề ta cứ mải mê đi tìm số bị chia
nên mức độ bài toán củng chỉ dừng lại ở đó hoặc may chăng cũng

chỉ có những bài tập tơng tự ở mức độ đó, hơn thế đó. Khi quay sang
hớng đi tìm số chia thì bài toán lại mở ra cho ta một hớng mới. Xin
nêu ra bài toán 7 sau:
Bài toán 1.7:
Tìm các số tự nhiên x sao cho: 16 x.
(Bài 113d - trang 44 SGK toán 6 tập 1).
Giải: 16 x x Ư(16) ={1; 2; 4; 8; 16}.
9
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Vậy x nhận các giá trị 1; 2; 4; 8; 16.
Cũng tơng tự nh khi phát triển ở dạng bài toán tìm số bị chia, ta
thay vì có một số bị chia bằng nhiều số bị chia thì bài toán 8 cũng
không kém phần thú vị và hấp dẫn.
Bài toán 1.8:
Tìm số tự nhiên a lớn nhất , biết rằng 420 a và 700 a.
(Bài 143 - trang 46 SGK toán 6 tập 1).
Giải: a là số lớn nhất thoả mãn 420 a và 700 a
a = ƯCLN(420;700). Mà 420 = 2
2
.3.5.7 và 700 = 2
2
.5
2
.7
a = 2
2
.5.7 = 140. Vậy a = 140.
Cũng bàng cách thay phép chia hết bằng phép chia thì từ bài
toán 8 ta có bài toán 9. Bài toán 9 này nếu khó thì không phải là khó
nhng nó lại đem cho ta những điều thú vị và hấp dẫn không kém

những bài toán mà ta đã xét, hơn nữa nó lại mở cho ta vô vàn bài
toán tơng tự hay và khó hơn thế.
Bài toán 1.9:
Tìm số tự nhiên a biết, rằng 264 chia cho a d 24, còn 363 chia cho a
thì d 43.
(Ví dụ 22 - trang 28 sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 -
NXBGD).
Giải:
264 : a d 24 264 - 24 a 240 a
363 : a d 43 363 - 43 a 320 a
mà ƯCLN(320; 240) = 80 a Ư(80) a = 80 (vì a > 43).
Vậy a = 80.
10

a ƯC(320; 240)
Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa

Cứ theo hớng đó thì ta còn phát triển đợc nhiều bài toán hơn nữa
và cũng không kém phần hay và khó. Với khuôn khổ của bài viết xin
dừng việc khai thác bài toán này. Cũng nh dạng bài tìm số bị chia
xin nêu ra bài toán tổng quát, từ đó ta có thể từ đó ta có thể cho đợc
nhiều bài toán từ bài toán tổng này.
Bài toán tổng quát 2:
Tìm số tự nhiên x sao cho a : x d r
1
, b : x d r
2
, c : x d r
3
,

Cách giải: Từ dữ kiện của bài cho ta có : a - r
1
x, b - r
2
x, c - r
3

x, suy ra x ƯC(a - r
1
. b - r
2
, c - r
3
, ) và x > max(r
1
, r
2
, r
3
).Tìm
ƯC(a - r
1
. b - r
2
, c - r
3
, ) (đpcm).
Trớc khi khép lại việc khai thác ví dụ 1, xin đợc nêu ra một số
bài toán tơng tự để các bạn cùng tham khảo.
Bài tập tham khảo:

Bài 1.1:
Một liên đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5đều
thừa một ngời.Tính số đội viên của liên đội biết rằng số đội viên trong
khoảng từ 100 đến 150.
(Bài 195 - trang 25 SBT toán 6 tập 1).
Bài 1.2:
Một khối học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều
thiếu 1 ngời, , nhng xếp hàng 7 thì vừa đủ. Biết số học sinh cha đến
300. Tinh số học sinh.
(Bài 196 - trang 25 SBT toán 6 tập 1).
Bài 1.3:
Có ba chồng sách: Văn, Âm nhạc, Toán, mỗi chồng chỉ gồm một loại
sách. Mỗi cuốn sách Văn dầy 15 mm, mỗi cuốn sách Âm nhạc dầy 6
mm, mỗi cuốn sách Toán dầy 8 mm. Ngời ta xếp cho ba chồng sách
cao bằng nhau. Tính chiều cao nhỏ nhất của ba chồng sách đó.
(Bài 217 - trang 28 SBT toán 6 tập 1).
Bài 1.4:
11

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Tìm số tự nhiên có ba chữ số, sao cho chia nó cho 17, cho 23 đợc các
số d theo thứ tự là 8 và 16
Bài 1.5:
Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, sao cho n chia cho 8 thì d 7,
chia cho 31 thì d 28.
(Bài 147 - trang 30 sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 -
NXBGD)
Bài 1.6:
Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho chia n cho 131 thì d 112,
chia n cho 132 thì d 98.

(Ví dụ 79 - trang 78 sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1-
NXBGD)
Bài 1.7:
Tìm dạng chung của các số tự nhiên n, sao cho n chia cho 30 thì d 7,
n chia cho 40 thì d 17.
(Bài 373 - trang 89 sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1-
NXBGD)
Bài 1.8:
Hàn Tín là một tớng giỏi đã giúp Lu Bang lập nên nhà Hán bên
Trung Quốc. Khi điểm binh, muốn biết số quân ông cho xếp hàng 3,
hàng 5, hàng 7, rồi tính số ngời lẻ hàng. Nếu số ngời lẻ hàng thứ tự là
a, b, c thì số quân bằng:
70a + 21b + 15c 105k (k N) .
a)Tính số quân trong khoảng 2200 đến 2400 nếu xếp hàng 3 thì d 1,
nếu xếp hàng 5 thì d 2, xếp hàng 7 thì d 6.
b)Giải thích cách làm trên .
(Ví dụ 376 trang 89 sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 -
NXBGD)
Bài 1.9:
Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp để có 517** chia hết cho cả ba
số 6, 7, 9.
12

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
(Ví dụ 53 - trang 45 Toán bồi dỡng học sinh lớp 6 - NXB GD).
Bài 1.10:
Một số tự nhiên chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia cho 19 d 13.
Hỏi số đó chia cho 1292 d bao nhiêu?
(Ví dụ 54 - trang 45 Toán bồi dỡng học sinh lớp 6 - NXB GD).
Bài 1.11:

Lớp 6A có 54 học sinh, lớp 6B có 42 học sinh, lớp 6C có 48 học sinh.
Trong ngày khai giảng, ba lớp xếp thành một số hàng dọc nh nhau đẻ
điều hành mà không có ngời nào lẻ hàng. Tính số hàng dọc nhiều nhất
có thể xếp đợc.
(Bài 187 - trang 24 SBT toán 6 tập 1).
Bài 1.12:
Có 133 quyển vở , 80 bút bi, 170 tập giấy. Ngời ta chia vở, bút bi,
giấy thành các phần thởng đều nhau, mỗi phần thởng gồm ba loại. Nh-
ng sau khi chia còn thừa 13 quyển vở , 8 bút bi và 2 tập giấy không đủ
chia vào các phần thởng. Tính xem có bao nhiêu phần thởng.
(Bài 213 - trang 27 SBT toán 6 tập 1).
Bài 1.13:
Tìm số tự nhiên a, biết rằng 398 chia cho a thì d 38, còn 450 chia cho
a thì d 18.
(Bài 135 - trang 28 Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 - NXBGD).
Bài 1.14:
Tìm số chia và thơng của một phép chia có số bị chia bằng 145,số d
bằng 12 biết rằng thơng khác 1 (số chia và thơng là các số tự nhiên).
(Ví dụ 20 trang 25 Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 NXBGD)
Bài 1.15:
Biết n - 1 chia hết cho 15 còn 1001 thì chia hết cho n +1. Hãy tìm số
tự nhiên n.
(Bài 60 - trang 36 sách Toán bồi dỡng học sinh lớp 6 - NXBGD).
13

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Bài 1.16:
Tìm các số tự nhiên x và y, sao cho:
a) (2x + 1) (y - 3) = 10; d) x + 6 = y(x - 1);
b) (3x - 2)(2y - 3) = 1; e) x - 3 = y(x + 2);

c) (x + 1)(2y - 1) = 12;
(Bài 121 - trang 26 sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 -
NXBGD).
Bài 1.17:
Một phép chia số tự nhiên có số bị chia bằng 3193. Tìm số chia và
thơng của phép chia đó ,biết rằng số chia có hai chữ số.
(Bài 122 - trang 26 sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 -
NXBGD).
Bài 1.18:
Tìm số tự nhiên n , sao cho:
a)
n + 2 n - 1;
b)
2n + 1 6 - n;
c)
2n + 7 n + 1;
d)
3n 2n + 6;
e)
4n + 3 2n + 6;
f)
n
2
+ 4 n + 2.
Bài 1.19:
Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tích của chúng bằng 2730.
Bài 1.20:
Tìm số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho số gồm 100 chữ số 3.
Ví dụ 2
Viết tất cả phân số số bằng

39
15
mà tử và mẫu là các số
tự nhiên có hai chữ số.
(Bài 25 - trang 16 SGT toán 6 tập 2 -NXBGD)
14

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Giải: Gọi các phân số cần tìm là
b
a
(a, b Z, 9 < a, b < 99 ) thì ta
có:
13
5
=
b
a
vì
13
5
39
15
=
13a = 5b b 13 b = 13k ( k Z)
9 < 13k < 99 k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 b = 13; 26; 39; 52; 65; 78;
91 a = 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35 (loại a = 5). Vậy các phân số cần
tìm là:
.
91

35
;
78
30
;
65
25
;
52
20
;
39
15
;
26
10
Với dữ kiện của bài thì việc tìm ra các phân số thỏa mãn đề bài
không có gì khó khăn và số phân số tìm đợc lại là một tập hợp có
nhiều phần tử. Đáp số của bài quả là cha thật thú vị cho lắm. Bằng
cách thay đổi một yêu cầu của bài toán ta có bài toán 1:
Bài toán 2.1:
Tìm phân số bằng
8
3

và có tổng tử số và mẫu số bằng 85.
(Bài 4.15 - trang 10 Toán cơ bản và nâng cao 6 tập 2 - NXBGD).
Giải: Gọi phân số cần tìm là
b
a

(a, b Z; b 0) thì ta có
8
3

=
b
a
và a
+ b = 85 8a = - 3b và 8a + 8b = 680 - 3b + 8b = 680 5b =
680 b = 136 a = - 51. Vậy phân số cần tìm là
136
51
.
Cũng phát triển theo hớng đó tuy vậy chỉ cần thay đổi cách hỏi
của bài toán thì bài toán lại trở lên thú vị hơn nhiều. Ta xét bài toán
2 với yêu cầu không phải là tìm phân số nhng bản chất lại vẫn là
vấn đề đó:
Bài toán 2.2:
Cho phân số
605
203
. Hãy tìm một phân số nguyên sao cho khi tử số
cộng với số đó và mẫu số trừ đi số đó ta đợc một phân số bằng
5
3
.
(Bài 4.5 - trang 8 Toán cơ bản và nâng cao 6 tập 2 - NXB GD).
15

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa

Giải: Giả sử số nguyên cần tìm là a thì ta có
5
3
605
203
=

+
a
a
(với a
605) 5(203 + a) = 3(605 - a) 1015 + 5a = 1815 - 3a 3a +
5a = 1815 - 1015 8a = 800 a = 100. Vậy số cần tìm là 100.
Từ bài toán 2 nếu ta đề cập đến khác đi một chút thì ta có bài
toán 3 sau thực sự bổ ích và sinh động.
Bài toán 2.3:
Tìm phân số tôí giản biết giả trị của nó không thay đổi nếu ta cộng tử
của nó với 16 và cộng mẫu của nó với 36.
Giải: Giả sử phân số cần tìm là
b
a
(a, b Z; b 0. B 36) thì ta có
36
16
+
+
=
b
a
b

a
a(b + 36) = b(a + 16) ab + 36a = ab + 16b 36a =
16b 9a = 4b
9
4
=
b
a
là phân số tối giản.
Vậy phân số cần tìm là
9
4
.
Sau khi đề cập đến tính tối giản của phân số tôi lại nghĩ ngay
đến khái niệm ƯCLN và BCNN, liệu vấn đề này khi sử dụng vào các
bài toán về phân số thì nó nh thế nào? Ta xét bài toán 4 sau tuy hơi
khó nhng cũng thật khiến ngời ta không thể đề cập đến.
Bài toán 2.4:
Tìm phân số
b
a
a)
bằng
54
45
và có ƯCLN(a, b) = 12
b)
bằng
27
13

và có BCNN(a, b) = 1053.
(Bài 4.12 - trang 10 Toán cơ bản và nâng cao 6 tập 2 - NXBGD)
Giải: a) Theo bài ra ta có
6
5
54
45
==
b
a
6a = 5b và ƯCLN(a, b) = 12
a = 12k , b = 12m với (k, m Z và ƯCLN(k, m) = 1
16

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
6.12k = 5.12m 6k = 5m
6
5
=
m
k

mà
6
5
là phân số tối giản nên và ƯCLN(k, m) = 1 (
m
k
tối giản) từ đó
suy ra k = 5, m = 6 a = 60, b = 72.

Vậy phân số cân tìm là
72
60
.
b) Theo bài ra ta có
27
13
=
b
a
mà
27
13
là phân số tối giản nên ta có a =
13k, b = 27k ( k Z, k 0) BCNN(13k, 27k) = 1053 k .
BCNN(13, 27) = 1053 k . 351 = 1053 k = 3 a = 39, b = 81 .
Vậy phân số cần tìm là
81
39
.
Cũng theo hớng tối giản, ƯC, ƯCLN, thì đi sâu hơn một chút
nữa thay vì việc phân số có ƯCLN là bao nhiêu ta đi tìm các số để
các số chỉ cần có ƯC thì bài toán tởng chừng nh đơn giản nhng quả
thật lại không hề đơn giản mà sự thú vị của nó ta thực sự khó mà
nghĩ đến. Khai thác theo hớng đó ta có bài toán 5:
Bài toán 2.5:
Tìm tất cả các số nguyên n để phân số sau rút dọn đợc:
45
54
+

+
=
n
n
P
.
Giải: Để phân số đã cho rút gọn đợc thì
54
+
n
và
45
+
n
phải có ƯC
lớn hơn 1 . Gọi d là một ớc chung nguyên tố của
54
+
n
và
45
+
n
thì ta
có 4n + 5 d và 5n +4 d [5(4n + 5) - 4(5n + 4)] = 9 d do d
nguyên tố nên d = 3 5n + 4 3 và 4n + 5 3 [(5n + 4) - (4n +
5)] 3
n - 1 3 n - 1 = 3k với k Z n = 3k +1. Kiểm tra n = 3k + 1 thì
)45(3
)34(3

4)13(5
5)13(4
+
+
=
++
++
=
k
k
k
k
P
rút gọn đợc.
Vậy để P rút gọn đợc thì n + 3k + 1 với k Z.
17

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Thay đổi cách đặt vấn đề của bài toán thì bài toán 6 này sẽ cho
ta đợc sự đa dạng toán học và từ đó ta lại có đợc những bài tập hay
và khó.
Bài toán 2.6:
Cho biểu thức
2
3

+
=
n
n

Q
với n là số nguyên khác 2.
a) Với giá trị nào của n thì Q nhận giá trị nguyên.
b) Với giá trị nào của n thì Q là phân số tối giản.
(Bài 4.29 - trang 15 Toán cơ bản và nâng cao 6 tập 2 - NXBGD).
Giải: a) Ta viết
2
5
1
2
52

+=

+
=
nn
n
Q
từ đó ta có Q là số nguyên khi và
chỉ khi n - 2 Ư(5) n - 2 = 1; 5. Suy ra n = - 3; 1; 3; 7.
b) Trớc hết ta xét các giá trị nguyên của n để Q rút gọn đợc khi đó thì
3
+
n
và
2

n
có ớc lớn hơn 1. Xét d là một ớc chung nguyên tố của

3
+
n
và
2

n
khi đó n + 3 d và n - 2 d [(n + 3) - ( n- 2)] = 5 d
mà nguyên tố nên d = 5 n + 3 5 và n - 2 d n = 5k + 2 ( k Z
).
Vậy để Q là phân số tối giản thì n là các số nguyên thoả mãn n
5k + 2 với k Z.
Nếu dừng việc khái thác ví dụ 2 ở đay thì ta cũng có đợc một
chuỗi bài toán hay và khó. Nhng nếu cứ thỏa mãn với những thành
quả minh có đợc thì quả thật không phải là ngời học toán. Chỉ suy
nghĩ thêm một chút thì việc khái thác này còn nhiều hớng mở. Khi đề
cập đến vấn đề chứng minh thì việc khai thác ví dụ 2 này và các bài
toán khai thác từ nó thì nó lại cho ta những bài toán thực sự cuốn
hút ngời học toán. Bài toán 7 sau đây sẽ khảng định và minh chứng
cho sự phong phú của toán học.
Bài toán 2.7:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số sau luôn là phân
số tối giản:
220
112
+
+
=
n
n

M
.
18

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Giải: Gọi d = ƯCLN(
112
+
n
;
220
+
n
) thì
112
+
n
d,
220
+
n
d
12n + 1 d và 20n + 2 d [3(20n + 2) - 5(12n + 1)] d 1 d
d = 1 M là phân số tối giản.
Sau những gì đã là đợc từ ví dụ này, tôi cũng có một chút đắn đo
và thực sự trăn trở. Tuy nhiên khi đọc và nghiên cứu một chút thì
mối liên hệ giữa các bài toán cũng thực sự phong phú và đa dạng.
Nếu nhìn các bài toán trên khía cạch khác thì bài toán 8 sau đây
cũng có những mối liên quan mật thiết với những bài toán mà tôi đã
trình bày ở trên. Xin đợc đa ra bài toán sau:

Bài toán 2.8:
Với giá trị nào của số tự nhiên a thì
134
175
+
+
a
a
có giá trị lớn nhất và tìm
giá trị lớn nhất đó.
(Ví dụ 68 - trang 62 Toán bồi dỡng học sinh lớp 6 - NXBGD).
Giải: Ta viết
)134(4
3
4
5
)134(4
3)134(5
)134(4
)175(4
134
175
+
+=
+
++
=
+
+
=

+
+
aa
a
a
a
a
a
suy ra phân
số đã cho đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi phân số
)134(4
3
+a
đạt giá trị
lớn nhất 4(4a + 13) đạt GTNN a đạt GTNN a = 0 vì a N.
Khi đó giá trị của phân số đã cho là
13
17
`
13.4
3
4
5
=+
.
Vậy GTLN của phân số
134
175
+
+

a
a
là
13
17
khi a = 0.

Việc khai thác ví dụ này thì thực là đa dạng và phong phú, với
khuôn khổ của bài viết xin đợc nêu ra 8 bài toán đại diện cho các
dạng bài mà tôi khai thác đợc từ ví dụ này. Từ các bài toán trên tôi
hay bất kì ai cũng có thể đa ra đợc vô vàn bài toán tơng tự. Sau đây
xin đợc đa ra một số bài tập tham khảo để các bạn cùng tham khảo.
Bài tập tham khảo:
Bài 2.1:
a)
Tìm phân số bằng phân số
7
5
và có mẫu số lớn hơn tử số là 100.
(Bài 4.13 - trang 10 Toán cơ bản và nâng cao 6 tập 2 - NXBGD).
19

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
b)
Tìm phân số bằng phân số
9
4

và có tổng của tử số và mẫu số là
100.

Bài 2.2:
Tìm số nguyên sao cho khi cộng nó vào cả tử số và mẫu số của phân
số
31
13
ta đợc phân số bằng phân số
17
11
.
Bài 2.3:
Cho phân số
2
17

+
=
n
n
A
với n Z.
a) Tìm giá trị của n để A là số nguyên.
b) Tìm giá trị của n để A là phân số thực sự.
c) Tìm giá trị của n để A là phân số tối giản.
d) Tìm giá trị tự nhiên của n để A có GTLN, tìm GTLN đó.
Bài 2.4:
Tìm các phân số mà tử và mẫu là các số tự nhiên có một chữ số , tử
kém mẫu 3 đơn vị, biết rằng:
a) 210 là BC của các mẫu.
b) 210 là BC của các tử.
c) 210 là BC của tử và mẫu số.

Bài 2.5:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có :
421
314
+
+
=
n
n
P
là một
phân số tối giản.
(Bài 4.19 - trang 13 Toán cơ bản và nâng cao 6 tập 2 - NXBGD).
Bài 2.6:
CMR với mọi số nguyên n thì phân số
610
712
+
+
=
n
n
Q
luôn là phân số tối
giản.
Bài 2.7:
20

Ph¸t triÓn mét sè bµi to¸n trong s¸ch gi¸o khoa
T×m ph©n sè

b
a
b»ng ph©n sè
75
45
biÕt r»ng:
a) 2a - b = 20.
b) ¦CLN(a, b) = 11.
c) BCNN(a, b) = 1995.
Bµi 2.8:
a) T×m c¸c sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n sè
56
1110
+
+
n
n
®¹t gi¸ trÞ lín
nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.
b) T×m c¸c sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n sè
96
312
+
+
n
n
®¹t gi¸ trÞ nhá
nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
Bµi 2.9:
T×m c¸c sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n sè

65
117
+
+
n
n
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
vµ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt ®ã.
21

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Ví dụ 3
Viết các số (0,25)
8
và (0,125)
4
dới dạng các lũy thừa của
cơ số 0,5.
(Bài 31 trang 19 - SGK toán 7 tập 1 - NXBGD).
Giải: Có (0,25)
8
= [(0,5)
2
]
8
= 0,5
2 . 8
= 0,5
16

(0,125)
4
= [(0,5)
3
]
4
= 0,5
2 . 4
= 0,5
8
.
Việc giải bài toán thì không có gì là khó khăn, tuy nhiên nếu suy
nghĩ bài toán một chút thì bài toán này có nhiều hớng mở. Xét bản
chất của bài toán thì ta có thể phát biểu bài toán nh sau:
Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn:
(0,25)
8
= (0,5)
n
(0,125)
4
= (0,5)
n
.
Nhìn nhận bài toán theo hớng này thì ta lại có những có bài toán
sau:
Bài toán 3.1:
Ta thừa nhận tính chất sau dây: Với a 0; a

1, nếu a

m
= a
n
thì
m = n. Dựa vào tính chất này, hãy tìm số tự nhiện m và n, biết:
a)
32
1
2
1
=






m
; b)
n






=
5
7
125

343
.
Giải:
a)
32
1
2
1
=






m

5
2
1
2
1






=

m
m = 5;
b)
n






=
5
7
125
343

n






=

5
7
5
7
3
n = 7.
Nếu nhìn bài toán theo hớng bất đẳng thức thì ta lại có đợc bài
toán sau không kém phần thú vị.
Bài toán 3.2:
Tim tất cả các số tự nhiên n sao cho:
32 . 4 < 2
n
< 2 . 256.
(Bài toán 19 - trang 33 Toán phát triển 7 tập 1 - NXBGD)
Giải: 32 . 4 < 2
n
< 2 . 256
2
5
. 2
2
< 2
n
< 2 . 2
8

2
7
< 2
n
< 2
9
7 < n < 9
22

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
n = 8 ( vì n N).
Thay vì việc tìm các luỹ thừa khi cha biết số mũ bằng các bài
toán về tìm cơ số của một luỹ thừa khi nó thoả mãn một số điều kiện
thì ta cũng có những bài toán không kém phần thú vị. Xét bài toán 3:
Bài toán 3.3:
Tìm x Q, biết rằng:
a)
(2x - 1)
3
= - 8;
b)
(x - 2)
2
= 1;
c)
0
2
1
2
=

x
;
d)
16
1
2
1
2
=






+
x
.
(Bài 42 - trang 9 Sách bài tập toán 7 tập 1 - NXBGD).
Giải:
a)
(2x - 1)
3

= - 8 (2x - 1)
3
= (- 2)
3
2x - 1 = - 2 2x = -1 x
= -
2
1
b)
(x - 2)
2
= 1 x - 2 = 1 hoặc x - 2 = - 1
x = 3 hoặc x = 1.
c)
0
2
1
2
=







x
x -
2
1

= 0 x =
2
1
.
d)
16
1
2
1
2
=






+
x

22
4
1
2
1

=






+
x

x +
2
1
=
4
1
hoặc x +
2
1
= -
4
1
x =
4
1
-
2
1
x = -

4
1
-
2
1
x = -
4
1
x = -
4
3
.
Nếu nâng độ phức tạp của bài toán nên một chút thì ta có bài
toán sau:
Bài toán 3.4:
Tìm x R thoả mãn:
a)
8
27
2
1
3
=

x
;
b)
(x -
2
1
)
2
= x -
2
1
;
c)
(x + 0,3)
400
= 1;
d)
(x
2
- 6)
2
= 9.
Giải:
a)
8
27
2
1
3
=

x

33
2
3
2
1






=







x
x -

2
1
=
2
3

x =
2
1

2
3


x = - 1.
23

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
b)
(x -
2
1
)
2
= x -
2
1

-
Nếu x -

2
1
= 0 thì ta có 0
2
= 0 (thoả mãn).
-
Nếu x -
2
1
0 ta chia cả hai vế của (x -
2
1
)
2
= x -
2
1
cho x -
2
1
0
thì ta đợc x -
2
1
= 1 x = 1 +
2
1
x =
2
3

.
c)
(x + 0,3)
400
= 1 (x + 0,3)
400
= 1
400
x + 0,3 = 1 x = 0,7
hoặc x + 0,3 = -1 x = - 1,3
Vậy x = 0,7 hoặc x = 1,3.
d)
(x
2
- 6)
2
= 9 x
2
- 6 = 3 x
2
= 9 x = 3
hoặc x
2
- 6 = -3 x
2
= 3 x =
3
.
Vậy x = 3 hoặc x =
3

.
Ví dụ 3 này còn có nhiều hớng phát triển. Với khuôn khổ của
bài viết xin dừng việc khai thác ví dụ này ở đây. Sau đây tôi xin đa
ra một số bài tập tham khảo:
Bài tập tham khảo:
Bài 3.1:
Viết số
81
16
dới dạng một luỹ thừa, ví dụ
81
16
=
2
9
4






. Hãy tìm các
cách viết khác.
(Bài 29 trang 19 - SGK Toán 7 tập 1. NXBGD).
Bài 3.2:
Tìm x Q, biết:
a)
x
4

=
81
16
;
b)
(x -
3
1
)
3
=
27
64
;
c)
25
36
1
5
2
2
=







x

;
d)
64
125
4
3
2
1
3
=







x
.
Bài 3.3:
Tìm n N thoả mãn:
a)
625
81
5
3
=

n
;
b)
729
256
3
2
3
4
=
n
n
.
Bài 3.4:
Viết số
729
64
dới dạng một luỹ thừa.
(Bài 15.5 trang 29 - Toán phát triển 7 tập 1. NXBGD).
Bài 3.5:
24

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho:
5
2
. 25

11
> 5
x
> 125
7
.
(Bài 19.2 trang 34 - Toán phát triển 7 tập 1. NXBGD).
Bài 3.6:
Tìm x thoả mãn:
a)
xx
=
;
b)
xx
=+
6
.
c)
1111 =+ xx
(Bài 9 trang 60 - Toán phát triển 7 tập 1 - NXBGD).
Bài 3.7:
Hai số 2
2004
và 5
2004
viết dới dạng số thập phân, viết liền nhau thì đ-
ợc số có bao nhiêu chữ số?
(Bài 19.3 trang 34 - Toán phát triển 7 tập 1. NXBGD).
Bài 3.8:

Cho năm số nguyên dơng a; b; c; d; e thoả mãn:
a
b
= b
c
= c
d
= d
e
= e
a
. Chứng minh rằng a = b = c = d = e.
(Bài 6 trang 60 - Toán phát triển 7 tập 1. NXBGD).
25

Phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa
Ví dụ 4
Đố.
Đố em biết vì sao

khi a > 0 và phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 vô
nghiệm thì ax
2
+ bx + c > 0 với mọi giá trị của x?
(Bài 19. trang 49 - SGK Toán 9 tập 2 - NXBGD)
Giải:
Ta phân tích
ax

2
+ bx + c =
2
2 2 2
2
2 2
b b b c b b 4ac
a x 2 x a x
2a 4a 4a a 2a 4a




= + + + = +
ữ
ữ
ữ



.
Vì phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm nên
2
b 4ac 0
= <
, mà theo bài
ra a > 0,
2

b
x 0
2a

+
ữ

, từ đó ta có ax
2
+ bx + c =
2
2
b b 4ac
a x
2a 4a


+
ữ

> 0
với mọi giá trị của x.
Từ ví dụ trên cho ta thấy tơng tự nếu thay a > 0 bằng a < 0 thì ta có kết
luận gì? Ta có thể rút ra đợc kết luận từ phép biến đổi:
ax
2
+ bx + c
2
2 2 2
2

2 2
b b b c b b 4ac
a x 2 x a x
2a 4a 4a a 2a 4a




= + + + = +
ữ
ữ
ữ



.
Bài toán 4.1
Chứng minh rằng nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm thì: ax
2
+ bx
+ c > 0 với mọi x khi a > 0 và ax
2
+ bx + c < 0 với mọi x khi a < 0.

Lời giải của bài toán đợc chứng minh tơng tự ví dụ 1. Nếu lật
lại vấn đề nếu thay vì phơng trình
ax
2

+ bx + c = 0 vô nghiệm bằng
giả thiết
0
ta có kết luận gì?
Bài toán 4.2
Chứng minh rằng nếu
2
b 4ac 0

thì: ax
2
+ bx + c > 0 với mọi x khi a > 0
và ax
2
+ bx + c < 0 với mọi x khi a < 0.

Lật lại vấn đền nếu
ax
2
+ bx + c > 0 với mọi x hoặc ax
2
+ bx + c < 0
với mọi x thì ta có điều gì? Ta có bài toán sau:
Bài toán 4.3
Chứng minh rằng nếu a 0 và:
a. ax
2
+ bx + c > 0 với mọi x thì
2
b 4ac 0

và a > 0.
b. ax
2
+ bx + c < 0 với mọi x thì
2
b 4ac 0

và a < 0
Giải:
Trong cả hai trờng hợp,
Giả sử
2
b 4ac 0
= >
thì phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm phân
biệt x
1
< x
2
. Từ đó suy ra f(x) = ax
2
+ bx + c = a(x - x
1
)(x - x
2
)
(theo bài 19 trang 49 SGK Toán 9 tập 2 - NXBGD).

26