SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài tập về lập phương trình đường thẳng

PHN I M U.
I. L DO CHN TI.
Toỏn hc cú vai trũ rt quan trng i vi i sng v i vi cỏc
nghnh khoa hc. Ngay t th k 13 nh t tng Anh R.Ba - Con ó núi Ai
khụng hiu bit toỏn hc thỡ khụng th hiu bit bt c mt khoa hc no khỏc
v cng khụng th phỏt hin ra s rt nỏt ca bn thõn mỡnh (Tp chớ toỏn hc
trong trng ph thụng). n gia th k 20, nh vt lý hc ni ting P-Di-rac
khng nh rng khi xõy dng lý thuyt vt lý khụng c tin vo mi quan
nim vt lý m phi tin vo s toỏn hc, ngay c khi s ny thot u cú
th khụng liờn h gỡ vi vt lý c (Tp chớ toỏn hc trong trng ph thụng). S
phỏt trin ca cỏc khoa hc ó chng minh li tiờn oỏn ca Cỏc - Mỏc Mt
khoa hc ch thc s phỏt trin nu nú cú th s dng c phng phỏp ca
toỏn hc (Hong Chỳng: Phng phỏp dy hc toỏn, trang 16).
Toỏn hc cú vai trũ quan trng nh vy l vỡ Toỏn hc Khụng ch l
mt tp hp cỏc s kin trỡnh by di dng cỏc nh lý m trc ht nú l mt
h thng cỏc phng phỏp, hn na nú l ngụn ng din t cỏc s kin v
cỏc phng phỏp trong cỏc lnh vc rt khỏc nhau ca khoa hc v hot ng
thc tin (Hong Chỳng: Phng phỏp dy hc Toỏn hc). Do vy Xõy dng
mụ hỡnh Toỏn hc l mt phng phỏp hu hiu nghiờn cu t nhiờn (Tp
chớ Toỏn hc trong trng ph thụng).
trng ph thụng, cỏc mụn khoa hc t nhiờn núi chung v mụn Toỏn
núi riờng l mt mụn hc m nhiu hc sinh rt ngi hc bi nú ton nhng
cụng thc, nhng nh lớ, h qu khụ khan v cng nhc, mi bi toỏn khi
gii luụn phi tuõn theo mt quy tc, mt cụng thc rừ rng, iu ny gõy nờn
s nhm chỏn cho hc sinh. ụi khi cú nhng bi toỏn hc sinh khụng th ỏp
dng c ngay nhng quy tc, inh lớ, hay nhng cụng thc ó cú sn lm
m cn phi cú s suy lun sỏng to, mt s nhanh nhy khi tng hp cỏc kin
thc lớ thuyt gii.
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
1
Giỳp hc sinh ham hc v hc tt b mụn Toỏn l nhim v quan trng

ca ngi giỏo viờn dy Toỏn trng ph thụng bi cỏc kin thc v phng
phỏp Toỏn hc l cụng c thit yu giỳp hc sinh hc tp tt cỏc mụn khoa
hc khỏc, giỳp hc sinh hot ng cú hiu qu trong mi lnh vc Dự cỏc bn
phc v nghnh no, trong cụng tỏc no thỡ cỏc kin thc v phng phỏp
Toỏn hc cng cn cho cỏc bn. (Phm Vn ng - Tp chớ Toỏn hc v tui
tr). Do tớnh cht tru tng cao ca Toỏn hc, mụn Toỏn cú th giỳp rt
nhiu cho hc sinh rốn luyn úc tru tng. Do tớnh chớnh xỏc, suy lun lụgớc
cht ch l mụn th thao ca trớ tu Toỏn hc cú kh nng phong phỳ dy cho
hc sinh t duy chớnh xỏc, t duy hp vi logớc.
Vic tỡm kim chng minh mt nh lý, tỡm li gii cho mt bi Toỏn cú
tỏc dng ln trong vic rốn cho hc sinh cỏc phng phỏp khoa hc trong suy
ngh, trong suy lun, trong hc tp, trong gii quyt cỏc vn : Bit quan sỏt,
d oỏn, quy np v qua ú cú tỏc dng ln rốn cho hc sinh trớ thụng minh
sỏng to.
Khi hc Toỏn hc sinh phi bit tip thu tri thc, bin nhng tri thc thu
nhn c thnh ca bn thõn mỡnh, thnh cụng c nhn thc v hnh ng
ỳng. Bit n gin húa mt bi toỏn khi gii, bit s dng thnh tho cỏc quy
tc, cỏc thut toỏn ó bit, bit nhn dng, phõn loi bi toỏn gii mt cỏch
nhanh nht. Khi dy toỏn ngi giỏo viờn cn nờu lờn nhng bi toỏn gõy s tũ
mũ cho hc sinh, yờu cu hc sinh phi khỏm phỏ, suy lun, phi t ra cõu hi:
Bi toỏn ny nm trong ni dung lớ thuyt no ó hc, bi toỏn ny thuc vo
dng toỏn no, nú cú liờn h gỡ vi cỏc bi toỏn ó c lm
Nhng cõu hi v nhng vn nờu trờn thc s cn thit vi ngi dy
Toỏn v hc Toỏn, bi nhiu bi toỏn khụng cú thut toỏn gii, khụng c
trỡnh by trong SGK theo mt bi c th m nú l s tng hp ca nhiu kin
thc trong mt chng, hc sinh khi gii phi t nhn dng, phõn loi bi toỏn
gii. Lm tt nhng bi toỏn dng ny khụng phi l mt vn n gin
i vi hc sinh, mt trong nhng dng Toỏn m hc sinh hay gp khú khn
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
2

khi gp phi l dng toỏn Lp phng trỡnh ng thng. giỳp hc sinh
cú mt cụng c hu hiu, mt nh hng rừ rng khi gp nhng bi toỏn dng
ny, sau nhiu nm thc t ging dy bn thõn tụi ó cú mt chỳt phng phỏp
Hng dn hc sinh lp 9 gii bi tp v lp phng trỡnh ng
thng, v õy cng l ni dung chớnh m tụi mun a ra trong ti ny.
II. NI DUNG NGHIấN CU.
ti ny nhm nghiờn cu nhng vn sau:
1. Nghiờn cu c s lớ lun tỡm hiu khỏi nim: Phng trỡnh ng thng.
2. Hng dn hc sinh s dng cỏc kin thc v hm s bc nht, th ca
hm s bc nht gii cỏc bi tp v Lp phng trỡnh ng thng.
3. Kt qu t c sau khi s dng phng phỏp dy trờn vo thc hnh gii
toỏn.
4. Bi hc kinh nghim rỳt ra v nhng xut ca bn thõn.
III. MC CH NGHIấN CU.
ti ny nghiờn cu nhm nhng mc ớch sau.
1. Cung cp cho hc sinh nhng kin thc c bn v: Hm s bc nht, th
hm s bc nht, cỏch lp phng trỡnh ng thng tha món mt s iu kin
no ú.
2. Nờu lờn cỏc dng bi tp v lp phng trỡnh ng thng, hng dn cho
hc sinh bit cỏch s dng cỏc kin thc ó hc vo gii toỏn.
3. Giỳp hc sinh thờm yờu thớch v say mờ tỡm hiu Toỏn hc nhm nõng cao
cht lng dy v hc toỏn trng THCS ụng Phỳ núi riờng v trng
THCS núi chung.
4. Phỏt trin cỏc nng lc, phm cht, trớ tu, hỡnh thnh th gii quan khoa
hc, xõy dng cỏc t tng o c hỡnh thnh nhõn cỏch con ngi mi nng
ng v sỏng to.
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
3
PHN II. NI DUNG.
I. C S L LUN.

1. Cỏc kin thc c bn v Hm s bc nht .
1.1. nh ngha hm s bc nht.
Hm s bc nht l hm s c cho bi cụng thc y = ax + b, trong ú a, b l
cỏc s thc xỏc nh v a

0.
1.2. Tớnh cht.
Hm s bc nht y = ax + b xỏc nh vi mi giỏ tr x thuc R (TX = R) v
cú tớnh cht.
a. ng bin trờn R khi a > 0.
b. Nghch bin trờn R khi a < 0.
1.3. th hm s y = ax + b (a

0).
th hm s y = ax + b (a

0) l mt ng thng:
- Ct trc tung ti im cú tung bng b.
- Song song vi ng thng y = ax nu b

0, trựng vi ng thng y = ax
nu b = 0, b c gi l tung gc ca ng thng y = ax + b.
1.4. Cỏch v th hm s y = ax + b ( a

0)
1.4a. Khi b = 0, thỡ th hm s y = ax l ng thng i qua gc to
O(0; 0) v im A(1; a).
1.4b. Khi b

0, thỡ th hm s y = ax + b l ng thng:

+ Qua im P(0; b) thuc trc tung,
+ Qua im Q(
b
a

; 0) thuc trc honh.
1.5. V trớ tng i ca hai ng thng. Trờn cựng mt h trc to , hai
ng thng y = ax + b (a

0) v y = ax + b (a

0)
a. Song song vi nhau khi v ch khi a = a, b

b.
b. Trựng nhau khi v ch khi a = a, b = b.
c. Ct nhau khi v ch khi a

a.
d. Vuụng gúc vi nhau khi v ch khi a.a = -1.
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
4
e. Khi a

a v b = b thỡ hai ng thng ct nhau ti mt im trờn
trc tung cú tung l b.
1.6. H s gúc.
Cỏc ng thng cú cựng h s a (h s ca x) thỡ to vi trc Ox cỏc gúc bng
nhau. H s a ca ng thng y = ax + b c gi l h s gúc ca ng
thng.

1.7. im thuc ng thng.
im A(x
0
; y
0
) c gi l thuc th hm s y = ax + b (a

0) khi v
ch khi y
0
= ax
0
+ b.
2. Ni dung c bn ca bi toỏn Lp phng trỡnh ng thng .
Bi toỏn Lp phng trỡnh ng thng thc cht l bi toỏn xỏc nh
h s a, b trong cụng thc y = ax + b (a

0) khi ó bit ng thng y = ax + b
(a

0) tha món mt s iu kin no ú.
II. C S THC TIN.
ti nghiờn cu da trờn cỏc c s thc tin sau õy.
1. í ngha ca vic gii bi toỏn.
Dy hc gii cỏc bi toỏn cú tm quan trng c bit v t lõu ó l mt
trong nhng vn trung tõm ca phng phỏp dy hc toỏn hc trng ph
thụng. i vi hc sinh vic gii toỏn l hỡnh thc ch yu ca vic hc toỏn.
Vic gii toỏn cú nhiu ý ngha.
1. L hỡnh thc cng c, o sõu h thng húa kin thc v rốn luyn k nng,
ú l hỡnh thc rt tt dn dt HS t mỡnh i n nhng kin thc mi.

2. L hỡnh thc vn dng nhng kin thc ó hc vo vn c th, vo thc
t, vo cỏc vn mi.
3. L hỡnh thc giỏo viờn kim tra hc sinh v hc sinh t kim tra v nng
lc v mc tip thu v vn dng kin thc ó hc.
4. Gii toỏn gõy hng thỳ hc tp cho hc sinh, phỏt trin trớ tu v giỏo dc,
rốn luyn cho con ngi hc sinh v rt nhiu mt.
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
5
Trong vic la chn bi toỏn v hng dn hc sinh gii toỏn cn phi chỳ ý
n nhiu mt ca bi toỏn, trỏnh hc sinh phi lm nhiu bi tp, to nờn gỏnh
nng cho hc sinh, gõy s bun t v chỏn nn khi hc toỏn. Xut phỏt t c
im tõm lý, theo nguyờn tc phỏt huy tớnh tớch cc, t giỏc ca hc sinh giỏo
viờn cn chỳ trng n la chn h thng bi tp, dn dt hc sinh gii theo
tng bc, tng quy trỡnh rừ rng, cú h thng, gn gng v y .
2. Cu trỳc chng Hm s bc nht trong SGK Toỏn lp 9 trng
THCS.
th hm s y = ax + b (a

0) hay cũn gi l ng thng y = ax + b
l dng th m HS lp 9 rt quen thuc. Khi hc i s lp 9, ton b
chng II Hm s bc nht HS c hc lớ thuyt trong 5 bi, ú l:
1. Nhc li v b sung cỏc khỏi nim v hm s.
2. Hm s bc nht.
3. th ca hm s y = ax + b (a

0).
4. ng thng song song v ng thng ct nhau.
5. H s gúc ca ng thng y = ax + b (a

0).

Sau khi hc xong chng II, cú rt nhiu bi tp liờn quan n vic Xỏc nh
h s a, b ca hm s bc nht y = ax + b (a

) hay cũn gi l Lp phng
trỡnh ng thng nht l nhng bi tp nõng cao, ụn thi vo lp 10, nhng
lớ thuyt trong SGK cp n vn ny rt hn ch, lm cho HS cm thy
mi m khi cú mt bi tp liờn quan n vic Lp phng trỡnh ng thng.
giỳp HS lm tt phn bi tp dng ny, tụi ó tỡm cỏch phõn loi bi tp
thnh cỏc dng, tỡm cỏc VD minh ho HS ghi nh cỏch lm v vn dng cho
cỏc bi tp tng t, nõng cao v m rng.
3. Thc trng hc toỏn ca hc sinh Trng THCS ụng Phỳ.
Trng THCS ụng Phỳ nm v phớa Nam huyn ụng Sn, cỏch xa trung
tõm Huyn 10 km. Trong nhng nm hc qua trng ó gt hỏi c mt s
thnh tớch trong dy v hc, cht lng i tr cỏc mụn cú s tin b nhng
c bit b mụn Toỏn vn cũn thp. Cỏc em ngi hc Toỏn vỡ nhiu lớ do
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
6
khỏc nhau, chng hn nh mụn Toỏn ton nhng cụng thc, nhng nh lớ,
nhng phộp bin i v.v Cú nhng bi toỏn yờu cu hc sinh s thụng minh,
sỏng to, mt t duy tng hp cỏc kin thc ca thy truyn t vn dng
vo nhng cỏc em cha cú c cỏc phm cht ú. Vy lm th no phỏt
huy c s sỏng to trong mi hc sinh, ú l trn tr ca tụi cng nh ca
cỏc ng nghip trong trng. Bng cỏc gi hc trờn lp, cỏc gi luyn tp tụi
ó nờu ra cho hc sinh cỏc bi toỏn t n gin n phc tp, phõn loi bi tp
cho hc sinh, giao cho hc sinh nhng bi toỏn cú tớnh tng t vi bi ó lm
cng c kin thc cho hc sinh tng s yờu thớch mụn hc nhm nõng cao
hn na cht lng mụn Toỏn trong nh trng.
4. Kinh nghim tớch ly ca bn thõn trong nhng nm hc qua.
Trong nhng nm ging dy va qua bn thõn tụi ó nhiu nm c
trc tip dy lp 9, ng thi cng trc tip dy bi dng, ụn thi vo lp 10

cho hc sinh qua ú nhn thc c vai trũ ca loi toỏn Lp phng trỡnh
ng thng trong dy hc. Khi dy hc gii cỏc bi toỏn cho hc sinh tụi c
gng phõn loi bi tp, sp xp cỏc bi tp theo mt trỡnh t thng nht t mc
d n khú, t n gin n phc tp, t nhng bi tp c th tụi bt i mt
s iu kin ca gi thit v yờu cu hc sinh th gii t ú tng quỏt bi toỏn
thnh mt bi mc cao hn. Khi giao bi tp v nh cho hc sinh thỡ tỡm ra
nhng bi cú dng tng t vi bi trờn lp hoc nhng bi cú th dựng
phng phỏp ó c hc mt bi trc ú. Kinh nghim ú c tụi trỡnh
by c th hn nhng phn sau.
III. CC DNG BI TON V LP PHNG TRèNH NG THNG.
Bi toỏn Lp phng trỡnh ng thng c chia lm hai trng hp.
TRNG HP 1. Bit mt h s tỡm h s cũn li:
Bit h s a v mt d kin th 2, yờu cu tỡm h s b hoc bit h s b v mt
d kin th 2, yờu cu tỡm h s a.
CCH GII.
B1. Nờu dng tng quỏt ca phng trỡnh ng thng l y = ax + b (a

0).
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
7
B2. Thay h s ó bit vo cụng thc y = ax + b (a

0).
B3. Da vo d kin th 2, tỡm h s cũn li.
B4. Thay h s a, b va tỡm c vo cụng thc y = ax + b ri kt lun phng
trỡnh ng thng cn tỡm.
TRNG HP 2. Cha bit c hai h s, cho bit 2 d kin, tỡm hai h s a v
b.
CCH GII.
B1. Nờu dng tng quỏt ca phng trỡnh ng thng l y = ax + b (a

0).
B2. Da vo 2 d kin bi cho lp h phng trỡnh hai n a, b.
B3. Gii h phng trỡnh lp c.
B4. Thay h s a, b va tỡm c vo cụng thc y = ax + b ri kt lun phng
trỡnh ng thng cn tỡm.
IV. CC BI TON C TH.
TRNG HP 1.
DNG 1. Lp phng trỡnh ng thng khi bit h s gúc a v bit ng
thng i qua mt im M(x
0;
y
0
) cho trc.
PHNG PHP GII.
B1. Nờu dng tng quỏt ca phng trỡnh ng thng l y = ax + b (a

0) (1)
B2. Thay h s a vo (1)
B3. Thay to (x
0;
y
0
) ca im M vo phng trỡnh cú c bc 2 ri gii
phng trỡnh n b thu c.
B4. Thay h s a, b vo cụng thc y = ax + b ri kt lun phng trỡnh ng
thng cn tỡm.
V D. Lp phng trỡnh ng thng (d) cú h s gúc 3 v qua im M (-4; 5).
Gii.
Phng trỡnh ng thng (d) cú dng: y = ax + b (a

0).
Vỡ a = 3 nờn (d) cú dng: y = 3x + b.
Vỡ (d) i qua M (-4 ; 5) nờn thay x = -4, y = 5 vo y = 3x + b ta c:
5 = 3.(-4) + b

b = 17.
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
8
Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = 3x + 17.
DẠNG 2. Lập phương trình đường thẳng song song với một đường thẳng cho
trước và đi qua điểm M(x
0;
y
0
) cho trước.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
B1. Nêu dạng tổng quát của phương trình đường thẳng là y = ax + b (a
≠
0) (1)
B2. Dựa vào điều kiện song song để suy ra hệ số a (a = a’, b
≠
b’)
B3. Thay hệ số a vào (1).
B4. Thay toạ độ (x
0;
y
0
) của điểm M vào phương trình có được ở bước 3 rồi giải
phương trình ẩn b thu được.

B5. Thay hệ số a, b vào công thức y = ax + b rồi kết luận phương trình đường
thẳng cần tìm.
VÍ DỤ 1. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1; 3) và song song với
đường thẳng (d’) có phương trình y = 2x.
Giải.
Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b (a
≠
0).
Đường thẳng (d’) có phương trình là y = 2x nên suy ra a’ = 2, b’ = 0.
Vì (d) // (d’) nên a = a’ = 2, b
≠
b’ nên b
≠
0 suy ra (d) có dạng: y = 2x + b
(b
≠
0).
Vì (d) đi qua M (1; 3) nên thay x = 1, y = 3 vào y = 2x + b ta được: 3 = 2.1 + b
⇔
b = 1. Ta thấy b = 1
≠
0 (thoả mãn điều kiện).
Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = 2x + 1.
VÍ DỤ 2. Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’) có
phương trình y = 4x - 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.
Giải.
Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b (a
≠
0).
Đường thẳng (d’) có a’ = 4, b’ = -3.Vì (d) // (d’) nên a = 4, b

≠
b’ tức là b
≠
-3.
Suy ra (d) có dạng: y = 4x + b ( b
≠
-3).
Vì (d) cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 5 nên suy ra b = 5 (TMĐK).
Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = 4x + 5.
trÞnh huy träng gi¸o viªn Tr– êng thcs ®«ng phó - ®«ng s¬n
9
V D 3. Lp phng trỡnh ng thng (d) song song vi ng thng (d) cú
phng trỡnh y = 2x + 3 v ct trc honh ti im cú honh bng
1
2

.
Gii.
Phng trỡnh ng thng (d) cú dng: y = ax + b (a

0).
ng thng (d) cú phng trỡnh y = 2x + 3 nờn suy ra a = 2, b = 3. Vỡ
ng thng (d) // (d) nờn a = 2 v b

b tc l b

3.
Khi ú ng thng (d) cú dng y = 2x + b (b

3)

Gi giao im ca ng thng (d) v trc honh l M, vỡ honh giao im
bng
1
2

nờn suy ra to im M l (
1
2

; 0).
Thay to im M vo y = 2x + b ta tỡm c b = 1 (TMK).
Vy phng trỡnh ng thng (d) cn tỡm l: y = 2x + 1.
TRNG HP 2.
DNG 1. Lp phng trỡnh ng thng i qua hai im A, B cho trc.
PHNG PHP.
B1. Nờu dng tng quỏt ca phng trỡnh ng thng l y = ax + b (a

0) (1)
B2. Ln lt thay to ca hai im m ng thng i qua vo phng trỡnh
y = ax + b bc 1.
B3. Gii h gm 2 phng trỡnh tỡm c bc 2 ta c a v b.
B4. Thay h s a, b vo cụng thc y = ax + b ri kt lun phng trỡnh ng
thng cn tỡm.
V D 1. Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua A(1; 3) v B(2; 1).
Gii.
Phng trỡnh ng thng (d) cú dng: y = ax + b (a

0).
Vỡ (d) i qua A(1; 3) nờn ta cú: 3 = a.1 + b (1).
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn

10
Vì (d) đi qua B(2; 1) nên ta có: 1 = a.2 + b (2). Vì (d) phải đồng thời đi qua
cả hai diểm A và B nên a và b phải thoả mãn hệ điều kiện (1) và (2). Tức là a, b
phải là nghiệm của hệ phương trình:
3
2 1
a b
a b
+ =


+ =

.
Giải hệ phương trình ta tìm được a = -2, b = 5.
Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = -2x + 5.
ĐẶC BIỆT.
Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O và điểm A(x
0
; y
0
).
CÁCH 1.
Giải theo cách trên: Đường thẳng đi qua điểm O(0; 0) và điểm A(x
0
; y
0
).
CÁCH 2.
B1. Nêu dạng tổng quát của phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ là

y = ax (a
≠
0) (1)
B2. Thay toạ độ x
0
; y
0
của A vào (1) rồi giải phương trình để tìm a.
B3. Thay hệ số a vào công thức y = ax rồi kết luận phương trình đường thẳng.
DẠNG 2. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua một điểm M(x
0
; y
0
) và vuông
góc với một đường thẳng (d’) cho trước.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
B1. Nêu dạng tổng quát của phương trình đường thẳng y = ax + b (a
≠
0) (1).
B2. Dựa vào điều kiện hai đường thẳng vuông góc nên a.a’ = -1 (a’ là hệ số góc
của đường thẳng (d’) đã biết) từ đó suy ra a.
B3. Thay toạ độ x
0
; y
0
của điểm M vào đường thẳng (d) có được ở B2 ta tìm
được b.
B4. Thay hệ số a, b vào công thức y = ax + b rồi kết luận.
VÍ DỤ. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2; -1) và vuông góc với
đường thẳng (d’) có phương trình: y =

1
2
−
x +3.
Giải.
Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b (a
≠
0).
trÞnh huy träng gi¸o viªn Tr– êng thcs ®«ng phó - ®«ng s¬n
11
ng thng (d) cú phng trỡnh y =
1
2

x + 3 nờn suy ra a =
1
2

, b = 3.
Vỡ (d) vuụng gúc vi (d) nờn: a.a = -1

a. (
1
2

) = -1

a = 2.
Vy (d) cú dng y = 2x + b. Ta cú (d) i qua im M(2 ; -1) nờn to im M
tho món y = 2x + b tc l: -1 = 2.2 + b

b = -5.
Vy phng trỡnh ng thng (d) cn tỡm l. y = 2x - 5.
V. B SUNG V PHNG TRèNH NG THNG.
Sau khi phõn loi cỏc bi tp v tin hnh thc hin nh trờn, khi hc
sinh ó cú nhng kin thc vng vng v cỏch lm bi tp Lp phng trỡnh
ng thng, khi hc sinh khụng cũn cm thy s khi gp bi Lp
phng trỡnh ng thng, m hiu rng bi toỏn Lp phng trỡnh ng
thng ch l mt bi toỏn yờu cu ta tỡm h s a, b ca ng thng y = ax + b
(a

0) kốm theo mt s iu kin. Lỳc ú cng l thi im tụi cung cp cho
hc sinh mt s kin thc m rng, b sung cho nhng kin thc m cỏc em ó
bit, khi ta s dng nhng kin thc m rng ú thỡ bi toỏn Lp phng trỡnh
ng thng cng tr nờn n gin hn, ta d dng tip cn vi nhng bi
toỏn phỏt trin khú hn.
1. Phng trỡnh ng thng i qua im A(x
0
; y
0
) v song song vi ng
thng y = ax.
PHN TCH. Phng trỡnh ng thng phi tỡm cú dng y = ax + b trong ú a
xem nh ó bit, ta i tỡm b.
Vỡ ng thng qua A(x
0
; y
0
) nờn ta cú y
0

= ax
0
+ b, suy ra b = y
0
- ax
0
.
Vy y = ax + b = ax + (y
0
- ax
0
) = ax + y
0
- ax
0
= a(x - x
0
) + y
0
. Suy ra
y - y
0
= a(x - x
0
) (I)
V D: Vit phng trỡnh ng thng i qua im A(1; 3) v song song vi
ng thng y = 2x.
Gii.
p dng (I). Ta cú: y - 3 = 2(x - 1)

y - 3 = 2x - 2 hay y = 2x + 1.
2. Phng trỡnh ng thng i qua im A(x
0
; y
0
) v B(x
1
; y
1
) vi x
0


x
1
.
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
12
PHN TCH. Phng trỡnh ng thng phi tỡm cú dng y = ax + b. ng
thng i qua A(x
0
; y
0
) v B(x
1
; y
1
) nờn ta cú:
y
0

= ax
0
+ b (1)
y
1
= ax
1
+ b (2).
Ly (1) tr (2) v theo v ta cú: y
0
- y
1
= a(x
0
- x
1
). Suy ra a =
0 1
0 1
y y
x x


(x
0


x
1
).

T cụng thc (I) ta cú a =
0
0
y y
x x


. Do ú ta cú phng trỡnh:
0 0 1
0 0 1
y y y y
x x x x

=

(II)
V D: Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua A(1; 3) v B(2; 1).
p dng (II), Ta cú:
3 3 1 2
2 3 2 2
1 1 2 1
y
y x
x

= = = + =

hay y = -2x + 5.
3. Phng trỡnh ng thng ct trc honh A(a; 0) v trc tung B(0; b)
vi a

0 v b

0.
PHN TCH.
p dng cụng thc (II) ta c:
0 0
0
y b
ya bx ab
x a a

= = +

.
Chia c hai v cho ab

0, ta cú
1
y x
b a
= +

hay
1
x y
a b
+ =
(III)
V D: Lp phng trỡnh ng thng, bit ng thng ú ct trc honh A

(-3; 0) v ct trc tung B (0; 2).
Gii.
p dng cụng thc (III) phõn tớch trờn ta cú ng thng ct trc honh
A (-3; 0) v ct trc tung B (0; 2) cú phng trỡnh l:
1
3 2
x y
+ =


hay -3y + 2x = -6

-3y = -2x - 6

y =
2
3
x + 2.
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
13
x
y
b
a
O
B
A
4.1. Khoảng cách giữa hai điểm A(x
1
) và B(x

2
) trên trục số x
,
Ox.
AB
= x
B
- x
A
d = AB =
2 1
x x−
4.2 Khoảng cách d giữa 2 điểm A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
) trong mặt phẳng toạ độ.
PHÂN TÍCH: Trong tam giác vuông ABC ta có:
AB
2
= AC
2
+ BC
2
AB
2

= (x
2
- x
1
)
2
+ (y
2
- y
1
)
2
d
2
= (x
2
- x
1
)
2
+ (y
2
- y
1
)
2
d =
2 2
2 1 2 1
( ) ( )x x y y− + −

.
VÍ DỤ: Khoảng cách giữa hai điểm
A (3 ; 2) và B (-2 ; 4) là:
d =
2 2
( 2 3) (4 2) 25 4 29− − + − = + =
.
5. Toạ độ của điểm M(x; y) chia đoạn AB theo tỉ số k.
PHÂN TÍCH: A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
),
MA
k
MB
=
.
Ta có
1
2
x xMA
k
x x
MB
−

= =
−
(1)
1
2
y yMA
k
y y
MB
−
= =
−
(2).
Từ (1) và (2) suy ra:
1 2
1
M
x kx
x
k
−
=
−
(k
≠
1)

1 2
1
M

y ky
y
k
−
=
−
.
Đặc biệt: Nếu k = -1, tức M (x; y) là trung
điểm của AB thì:
1 2
2
M
x x
x
+
=
,
1 2
2
M
y y
y
+
=
.
VÍ DỤ:
Tìm toạ độ điểm M(x; y) chia đoạn AB theo tỉ số - 0,3, với A(1; 3), B(-3; 4).
Giải.
Ta có: x
M

=
1 0.3.( 3) 0,1 1
1 0.3 1,3 13
+ −
= =
+
. y
M
=
3 0,3.4 4,2 42
1 0,3 1,3 13
+
= =
+
.
BÀI TẬP CỦNG CỐ VÀ PHÁT TRIỂN.
trÞnh huy träng gi¸o viªn Tr– êng thcs ®«ng phó - ®«ng s¬n
14
x
y
O x
2
x
1
A
C
B
y
1
y

2
x
y
O
x
2
x
1
A
B
y
1
y
2
M
x
y
Sau khi cung cấp các kiến thức và dạng bài tập như trên, ta có thể đưa
ra một số bài tập củng cố và phát triển sau đây cho HS tự giải.
Bài 1. Phương trình ba cạnh của tam giác là: x + 2y - 2 = 0 (d
1
), 2x + y - 13 = 0
(d
2
) và x - 2y + 6 = 0 (d
3
).
Chứng minh rằng tam giác này là tam giác vuông và xác định bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Giải.

Giả sử cạnh AB, BC, AC lần lượt có phương trình (d
1
), (d
2
), (d
3
) ta có:
a
AB
=
1
2
−
, a
BC
= -2, a
AC
=
1
2
. Ta có: a
AB
. a
BC
= -1.
Do đó tam giác ABC vuông tại C. Cạnh AB là đường kính của đường tròn
ngoại tiếp. Xác định toạ độ của A và B ta có: A(-2; 2), B(8, -3).
Do đó AB =
2 2
(8 2) ( 3 2) 125 11,2.+ + − − = ≈

. Vậy R =
5,6
2
AB
≈
.
Bài 2. Cho tam giác ABC có đỉnh A(8; 4), B(-21; 6) và C(4; 0).
Từ điểm D chia BC theo tỉ số
:DB DC
= -2, vẽ đường thẳng qua trung điểm E
của AB. Tìm phương trình đường thẳng đó và độ dài DE.
Giải:
Toạ độ D được tính như sau:
x
D
=
2
21
4.22
21
.2
=
+
+−
=
+
+
CB
xx
. y

D
=
2
21
0.26
21
.2
=
+
+
=
+
+
CB
yy
.
Trung điểm E của AB có toạ độ E






+−
2
46
;
2
28
hay E (3; 5).

Áp dụng (II) ta có phương trình đường thẳng DE là:
23
35
2
2
−
−
=
−
−
x
y

⇔
3x - y = 4
Độ dài: DE =
22
)25()23( −+−
=
10
Bài 3. Tìm khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng x - y - 3 = 0 (1)
với hai đường thẳng y = 2x + 1 (2) và 3x - 2y = 5 (3).
Giải:
Giao điểm A của đường thẳng (1) và (2) là: A (- 4; 7).
trÞnh huy träng gi¸o viªn Tr– êng thcs ®«ng phó - ®«ng s¬n
15
Giao im B ca ng thng (1) v (3) l: B(- 1; - 4).
Khong cỏch d = AB =
23)47()14(
22

=+++
.
V. KT QU T C.
Vi phng phỏp dy trờn õy tụi ó t chc chc cho hc sinh tip nhn
bi hc mt cỏch ch ng, tớch cc, tt c cỏc em u hng thỳ hc tp hc tp
thc s v cỏc em u c lm vic. Phng phỏp dy hc trờn õy da trờn
cỏc nguyờn tc.
- m bo tớnh khoa hc, chớnh xỏc
- m bo tớnh hp lụgic.
- m bo tớnh s phm.
- m bo tớnh hiu qu.
Khi trỡnh by tụi ó chỳ ý n cỏc phng din sau.
- Phự hp vi trỡnh nhn thc ca hc sinh.
- Phự hp vi quan im hot ng trong hc tp tc l phõn chia hot ng
thnh cỏc hot ng thnh phn t n hot ng tng hp phc tp.
- Phỏt huy c nng lc t duy toỏn hc ca hc sinh.
Khi a sỏng kin vo ging dy khi 9 nm hc 2007 - 2008 v nm
hc 2008 - 2009, tụi thy kt qu hc sinh tip thu bi tt hn, k nng gii cỏc
bi toỏn Lp phng trỡnh ng thng tt hn rt nhiu so vi khi cha a
sỏng kin vo.
C th kt qu kim tra kho sỏt cht lng hc sinh nm hc 2007 - 2008,
trc v sau khi ỏp dng SKKN nh sau:
`Kt qu kim tra kho sỏt cht lng hc sinh nm hc 2008 - 2009 khi ỏp
dng SKKN nh sau:
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
TNG
TRC KHI P DNG SKKN SAU KHI P DNG SKKN
YU
KẫM
TRUNG

BèNH
KH GII YU
KẫM
TRUNG
BèNH
KH GII
69
S
LNG
20 30 14 5 10 22 25 12
% 29 43,4 20,3 7,3 14,5 31,9 36,2 17,3
16
Qua kinh nghim nh ny ca bn thõn, tụi cng xin mnh dn xut mt s
ý kin sau õy.
- Nh trng cn t chc nhng bui hi tho giỏo viờn tham gia qua ú hc
hi ln nhau, thng nht cú nhng phng phỏp dy tt cho hc sinh.
- Giỏo viờn dy hc trờn lp ngoi vic dy cho hc sinh nhng kin thc SGK
cn cú nhng bi tp nõng cao, nhng bi tp tng quỏt hc sinh t gii
nhm nõng cao cht lng hc sinh gii ca nh trng.
- Khi giao bi cho hc sinh giỏo viờn cn chn lc nhng bi phự hp, nhng
bi m cỏc em cú th dựng phộp tng t gii nhm nõng cao hn na cht
lng i tr ca hc sinh nh trng.
PHN III. KT LUN.
Dy hc l mt ngh thut m mi ngi giỏo viờn l mt ngh nhõn.
Trong s nghip ca mỡnh ngi giỏo viờn no cng mong mun cú c
nhng th h hc sinh hc gii, iu ny ph thuc vo tay ngh ca ngh nhõn
ca nhng thy cụ giỏo ang trc tip ging dy trờn lp. Mụn Toỏn trng
ph thụng l mụn hc m hc sinh cho l khú hc, khú hc ch khụng phi l
khụng th hc c, iu ny ph thuc vo kh nng truyn t ca ngi
thy. Khi ngi thy nm c vai trũ, tỏc dng ca cỏc phng phỏp gii, cỏc

cỏch gii mt bi toỏn v truyn th li cho hc sinh thỡ hc sinh nhanh chúng
tip thu c kin thc, hc sinh s khụng cũn ngi khi hc toỏn. Trong quỏ
trỡnh cụng tỏc ca bn thõn, tụi ó cm nhn c sõu sc vai trũ ch o ca
ngi thy, ngi thy cú thc s u t cho cht lng bi son, cú thc s
tỡm tỡm nhng phng phỏp ging dy tớch cc, cú nhng bi toỏn mang tớnh
cht phõn loi cỏc dng toỏn thỡ hc sinh mi d dng lnh hi c kin thc,
mc dự kin thc ú cú th khú hn nhng kin thc m SGK cung cp. Nhng
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
TNG S HS YU KẫM TRUNG BèNH KH GII
80
S LNG
7 21 34 18
% 8,7 26,3 42,5 22,5
17
tỡm tũi phỏt hin ú giỳp ngi dy cng nh ngi hc lnh hi c kin
thc mt cỏch ch ng cú h thng cú c s khoa hc, nú phỏt trin tt nng
lc t duy, phỏt huy tt s sỏng to nhm xõy dng nờn nhng con ngi nng
ng cú tri thc khoa hc cao.
Trờn õy l mt sỏng kin nh ca tụi, vỡ nng lc ca bn thõn cũn
nhiu hn ch, phm vi s dng ca sỏng kin cũn hp v.vdo ú chc chn
nú cha hon chnh v s cú ch khim khuyt, tụi mong rng cỏc bn ng
nghip cựng cỏc cp lónh o hóy gúp ý xõy dng tụi tin b hn.
Tụi xin chõn thnh cm n.
trịnh huy trọng giáo viên Tr ờng thcs đông phú - đông sơn
18