SKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VẬN DỤNG TAM THỨC BẬC HAI

Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
A. T VN
I. LI M U:
Toỏn hc l mt mụn hc cú vai trũ khỏ quan trng trong trng THPT. Qua toỏn
hc giỳp cho ngi hc nõng cao c kh nng t duy , kh nng suy lun v
vic vn dng cỏc kin thc ú vo cỏc mụn hc khỏc. Qua ú giỳp ngi hc
phỏt trin v hon thin nhõn cỏch ca mỡnh. Chớnh vỡ l ú vic lnh hi v tip
thu mụn toỏn l c mt vn m khụng ngi giỏo viờn dy toỏn no khụng
quan tõm. c bit trong cỏc hot ng dy v hc mụn toỏn ũi hi ngi dy
cng nh ngi hc phi khụng ngng tỡm tũi sỏng to, tớch lu kinh nghim
a ra nhng phng phỏp ging dy, nhng cỏch lnh hi phự hp nht. giỳp
ngi hc nm vng kin thc mụn hc cú tớnh h thng õy l vn c t
ra. Nht l trong thc hnh vic gii cỏc bi toỏn mang tớnh vn dng ũi hi
ngi hc phi nm vng nhng h thng kin thc c bn v kh nng vn
dng linh hot cỏc cụng c toỏn hc cú tớnh h thng, cỏc k nng, k so trong
khi thc hin.
Trong chng trỡnh toỏn hc ph thụng tam thc bc hai úng vai trũ khỏ quan
trng, nờn vic hiu v nm vng c l mt vic lm vụ cựng cn thit, nú lm
tin v sau cho cỏc em khi cỏc em tip tc hc lờn nhng bc cao hn. Trong
chng trỡnh toỏn hc lp 9 chỳng ta ó lm quen vi phng trỡnh bc hai v
hm s bc hai. Song vic ng dng v vn dng phng trỡnh bc hai, hm s
bc hai trong vic gii cỏc loi toỏn khỏc nh th no cha c quan tõm nhiu.
Chớnh vỡ l ú trong quỏ trỡnh ging dy cho cỏc em c bit l hc sinh khỏ
gii ,tụi nhn thy õy l iu cn quan tõm. giỳp cỏc em hiu sõu v tam
thc bc hai v vic vn dng nú vo vic gii cỏc loi toỏn khỏc; tụi mnh dn
nờu lờn vn :" vn dng tam thc bc hai vo gii toỏn bc THPT"
Vi ti ny, tụi hi vng s giỳp cỏc em nm vng hn kin thc c bn ca
mụn hc v cú t tin khi thc hnh gii toỏn. T ú phỏt huy c kh nng
vn dng kin thc linh hot, kh nng sỏng to cng nh t duy c lp c bit
1
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt

giỳp cỏc em cú mt hnh trang tt chun b cho mt cp hc cao hn.
Tuy vy do khuụn kh ca ti cng nh kinh nghim cũn hn ch chc rng
cũn gp nhng thiu xút khụng mong mun, rt mong s úng gúp xõy dng ca
quớ ng nghip.
2
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
MT S DNG TON VN DNG TAM THC BC HAI
(I):GII PHNG TRèNH :
A:KIN THC C BN:
vn dng tam thc bc hai vo gii phng trỡnh ta a phng trỡnh ú v
dng phng trỡnh bc hai dng :ax
2
+ bx + c = 0 bng cỏch t hoc bin i.
Khi a phng trỡnh ú v dng phng trỡnh bc hai mt n ta ó cú cụng c
gii lp 9. ú l cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn ca phng
trỡnh bc hai .
B :MT S DNG TON C BN :
1 : PHNG TRèNH TRNG PHNG
A :KIN THC C BN :
Phng trỡnh trựng phng cú dng : a x
4
+bx
2
+c =0 (a

0 )
a phng trỡng trờn v dng phng trỡng bc hai ta t n ph :x
2
= t (t

0 )
Ta c phng trỡng bc hai : at
2
+bt +c = 0
B.Vớ d : Gii phng trỡnh : 2x
4
-3x
2
-2=0
Gii :
t x
2
=t iu kin t

0 ta c phng trỡnh bc hai i vi n t .
2t
2
- 3t - 2 = 0

=9 +16 = 25;

=5 Phng trỡnh cú hai nghim:
t
1
=
2
1
4
53
=

; t
2
=
2
4
53
=
+
t
2
=2 tho món iu kin t
2
0

.
vi t=t
2
=2 ta cú x
2
=2

x
1
=
2
; x
2
=-
2

.
Vy phng trỡnh cú ha inghim : x
1
=
2
; x
2
=-
2
2: PHNG TRèNG I XNG BC CHN :
A: KIN THC C BN :
Ta xột phng trỡnh bc bn dng : a x
4
+ bx
3
+c x
2
+bx +a = 0
(a
0

; cỏc h s ca n cỏch u s hng chớnh gia )
3
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
vỡ x= 0 khụng phi l nghim ca phng trỡnh nờn chia hai v ca phng trỡnh
cho x
2
ta cú :

2

4
x
ax
+
0
222
2
2
3
=+++
x
a
x
bx
x
cx
x
bx
a x
2
+ bx +c -
0
2
=+
x
a
x
b
0)
1

()
1
(
2
2
=++++
c
x
xb
x
xa
(1)
t x+
y
x
=
1
ta cú : x
2
+
.22)
1
(
1
22
2
=+= y
x
x
x

Do ú phng trỡnh ( 1) cú dng phng trỡnh bc hai :
ay
2
+ by +c -2a = 0 (2)
Gii phng trỡnh bc hai vi n s y ta tỡm c y t ú suy ra x .
B: vớ d :
Gii phng trỡnh : 2x
4
+ 3x
3
- x
2
+3x +2 = 0
Gii :
Nhn thy x= 0 khụng l nghim ca phng trỡnh , vi x
0
chia c hai v ca
phng trỡnh cho x
2
ta c phng trỡnh tng ng :
2x
2
+ 3x -1 +
0
23
2
=+
x
x
05)

1
(3)
1
(2
05)
1
(3)
1
2(2
2
2
2
=+++
=++++
x
x
x
x
x
x
x
x
ti õy ta nhn thy phng trỡnh trờn cú dng bc hai nu t x +
y
x
=
1
a phng trỡnh v dng : 2y
2
+ 3y -5 = 0 gii phng trỡnh ta c :

4
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
y
1
=1 ; y
2
= -
2
5

vi x +
1
1
=
x
ta cú : x
2
+ 1 -x = 0 vụ nghim
vi x +
x
x
2
2
51
=
2
+ 5x + 2 = 0 gii phng trỡnh ta c hai nghim :
x
1
= -2 ; x

2
= -
2
1

C : NHN XẫT : phng trỡnh i xng bc chn nu m l nghim thỡ
m
1

cng l nghim ca phng trỡnh .
Nu phng trỡnh cú dng : a x
5
+bx
4

cx
3
+cx
2
+bx +a = 0
c gi l phng trỡnh i xng bc l , phng trỡnh ny bao gi cng nhn
-1 lm nghim . Do ú cú th h bc a phng trỡnh v phng trỡnh i
xng bc chn m ta v trỡnh by cỏch gii trờn .
3 : PHNG TRèNH HI QUY :
A: PHNG TRèNH Cể DNG : a x
4
+ bx
3
+cx
2

+dx +k = 0 (a
)0
vỡ x= 0 khụng phi l nghim nờn ta chia c hai v cho x
2
ta c phng trỡnh
tng ng :
a(x
2
+
)
2
ax
k
+ b(x +
0) =+ c
bx
d
trong ú :
2
)(
b
d
a
k
=
t x +
b
d
t
xb

d
xt
bx
d
2
2
2
2
2
=+=

hay x
2
+
b
d
t
ax
k
2
2
2
=
vy phng trỡnh ó cho c a v dng phng trỡnh
bc hai i vi n t :
at
2
+ bt + c +2
0=
b

ad
B: vớ d :
5
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
Gii phng trỡnh : 2x
4
- 21x
3
+ 74x
2
- 105x + 50 = 0
Gii :
x = 0 khụng phi l nghim ca phng trỡnh nờn chia c hai v cho x
2
ta c
phng trỡnh tng ng :
2(x
2
+
074)
5
(21)
25
2
=++
x
x
x
t x +
2

2
2
255
t
x
xt
x
=+=
- 10
khi ú phng trỡnh trờn cú dng phng trỡnh bc hai i vi n t
2t
2
- 21t +54 = 0
Gii phng trỡnh bc hai trờn ta c hai nghim :
t
1
= 6 v t
2
= 4,5
vi t
1
= 6 ta cú
6
5
=+
x
x
hay x
2
- 6x + 5 = 0

gii phng trỡnh trờn ta c :
x
1
= 1 ; x
2
=5
vi t
2
= 4,5 ta cú : x +
5,4
5
=
x
hay x
2
- 4,5x + 5 = 0
Gii phng trỡnh ta c x
3
= 2 ; x
4
=2,5
vy phng trỡnh ó cho cú cỏc nghim l :
x
1
= 1 ; x
2
= 5 ; x
3
= 2 ; x
4

=2,5
C : NHN XẫT :
Phng trỡnh hi quy trong ú
2
)(
b
d
a
k
=
; k
0

cú n ph dng
t =x +
bx
d
4 : PHNG TRèNH DNG : (x + a) (x + b )(x + c)( x+ d) = m
hoc : ( x + a )(x +b)(x + c)(x +d) = mx
2

A: vớ d1: Gii phng trỡnh :
( x + 1 )( x+ 2)(x +3)(x+4) =3
6
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
Gii :

( x+1)(x+2)(x +3)( x+4) = 3

( x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3

(x
2
+ 5x +4 )(x
2
+5x+6) = 3
t : x
2
+5x + 4 = t ta c phng trỡnh bc hai vi n t :
t(t + 2) = 3

t
2
+2t-3 = 0
Gii phng trỡnh bc hai i vi n t ta c : t
1
=1 ;t
2

= -3
vi t
1
= 1 ta cú : x
2
+5x+4 = 1

x
2
+5x +3 =0
Gii phng trỡnh ta c :

x
1;2
=
2
135

t
2
= -3 ta cú : x
2
+5x+4= -3

x
2
+ 5x + 7 = 0 ; phng trỡnh ny vụ nghim
(vỡ

= 25 - 28 < 0 )
vy phng trỡnh ó cho cú nghim : x
1;2
=
2
135

B.Vớ d 2 : gii phng trỡnh :
4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x
2
(1)
Gii :
(1)

4(x
2
+17x + 60)(x
2
+ 16x + 60) = 3x
2


4(x +17 +
2
60
x
)(x + 16 +
x
60
) = 3 (vỡ x
0

)
7
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
t x+16 +
x
60
= y
Ta c phng trỡnh bc hai n y : 4y
2
+ 4y - 3 = 0
Phng trỡnh cú hai nghim vỡ

/

= 4 + 12 = 16
Gii phng trỡnh ta c :
y
1
=
2
1
; y
2
=
2
3
vi y
1
=
2
1
ta cú : 2x
2
+ 31x +120 = 0
gii phng trỡnh ta c x
1
= - 8 ;x
2
= -
2
15
vi y

2
= -
2
3
ta cú : 2x
2
+ 35x + 120 = 0 gii phng trỡnh ta c :
x
3;4
=
4
26535

vy phng trỡnh ó cho cú nghim :
x
1
= - 8 ; x
2
=
2
15
; x
3;4
=
4
26535
C: NHN XẫT :
i vi tphng trỡnh dng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 trong ú a + d = b +c
ta nhúm
[ ][ ]

mcxbxdxax
=++++
))(())((
t ú ta t n ph a phng trỡnh ó cho v dng phng trỡnh bc hai mt
n .
i vi phng trỡnh dng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx
2
trong ú :ad = bc ta
nhúm
[ ][ ]
2
))(())(( mxcxbxdxax =++++
8
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
n ph cú th t l : y= x +
x
ad
hoc y = (x + a)(x + d).
i vi phng trỡnh dng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong ú d =
2
cba ++
m = (d - a)(d - b)(d - c) ta t n ph y = x + d mt nghim ca phng trỡnh l y
y = 0
5: PHNG TRèNH Vễ T :
A) C S L THUYT :
Trong quỏ trỡnh gii phng trỡnh vụ t ụi khi ta gp nhng phng trỡnh nu ta
dựng phng phỏp bỡnh phng hai v phỏ cn thc bc hai thỡ dn n
phng trỡnh bc cao m vic gii phng trỡnh ú khụng n gin . Song nu
khộo lộo t n ph ta cú th qui phng trỡnh ú v phng trỡnh bc hai sau
õy ta s xột mt vi vớ d:

B) V D :
Vớ d 1: Gii phng trỡnh :
2x
2
- 8x - 3
54
2
xx
= 12 (2)
Gii :
(2)
543)54(2
22
xxxx
- 2 = 0
t
54
2
xx
= t (t
)0
ta quy phng trỡnh bc hai vi n t :
2t
2
- 3t - 2 = 0
Gii phng trỡnh ny ta c hai nghim t
1
= 2 ; t
2
= -

2
1
vi t
2
= -
2
1
loi ( vỡ t
)0
vi t
1
= 2 ta gii phng trỡnh :
54
2
xx
= 2 hai v khụng õm phng trỡnh
tng ng vi x
2
- 4x - 5 = 4


x
2
- 4x - 9 = 0
9
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
gii phng trỡnh trờn ta c hai nghim : x
1;2
= 2
13

vớ d 2 :
Gii phng trỡnh :
(4x - 1)
1
2
+x
= 2x
2
+ 2x + 1
Gii :
Nu bỡnh phng hai v phỏ cn thc ta quy v phng trỡnh bc bn y
vic gii gp khú khn hn , nu t t =
1
2
+x
( t
)1

x
2
= t
2
- 1 phng
trỡnh trờn tr thnh (4x - 1)t = 2(t
2
- 1) + 2x + 1
ta quy v phng trỡnh bc hai i vi n t :
2t
2
-(4x - 1)t + 2x - 1 = 0

= (4x - 1)
2
- 8(2x - 1) = (4x - 3)
2
t
1;2
=
4
)34(14 xx
t
1
= 2x - 1 ; t
2
=
2
1
< 0 (loi)
vi t = 2x - 1 thay t =
1
2
+x
ta c phng triỡnh: 4x
2
- 4x + 1 = x
2
+ 1 (t
)1

3x
2
- 4x = 0
Gii phng trỡnh ta c x
1
=
3
4
; x
2
= 0 (loi)
vy x =
3
4
l nghim ca phng trỡnh ó cho.
6: Gii v bin lun phng trỡnh :
A)KIN THC C BN :
i vi phng trỡnh bc cao vi nhng tham s õy khụng phi l nhng
phng trỡnh c bit nờn vic gii ụi khi rt khú khn, nu phng trỡnh ó cho
cú tham s l bc hai ta cú th a phng trỡnh v dng phng trỡnh bc hai
i vi n l tham s:
b) Vớ d :
Gii v bin lun phng trỡnh :
10
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
x
4
- 10x
3

- 2(a - 11)x
2
+(5a + 6)x + 2a + a
2
= 0
Gii :
Phng trỡnh trờn cú th vit di dng:
a
2
- 2(x
2
- 5x - 1)a + (x
4
- 10x
3
+ 22x
2
- 12x ) = 0

a
/

= (x
2
- 5x - 1)
2
- (x
4
- 10x
3

+ 22x
2
- 12x ) = (x - 1)
2
a
1
= x
2
- 4x - 2 ; a
2
= x
2
- 6x
- Vi a = x
2
- 4x - 2

x
2
- 4x - 2 - a = 0
ta cú : = 4+ 2+ a = 6 + a
*Nu
/

0



a
6

phng trỡnh cú hai nghim x
1;2
= 2
a+ 6
* Nu
/

< 0

a <-6 phng trỡnh vụ nghim
-vi a= x
2
+ 6x

x
2
- 6x - a = 0, ta cú
/

= 9 + a
*Nu
/

0


a
9
phng trỡnh cú hai nghim x

3;4
= 3
a+ 9
*Nu
/

< 0

a < -9 phng trỡnh vụ nghim
Túm li:
* Nu a < -9 phng trỡnh vụ nghim.
* Nu-9

a < -6 phng trỡnh cú hai nghim x
3;4
= 3
a+ 9
* Nu a
6
phng trỡnh cú bn nghim x
12
= 2
a+ 6
; x
3;4
= 3
a+ 9
C: NHN XẫT :
Vi nhng phng trỡnh cú dng nh trờn ta cn lu ý tham s ca chỳng
nu tham s l bc hai ta a phng trỡnh ó cho v phng trỡnh bc hai vi n

l tham s:

II: BT NG THC:
A:KIN THC C BN :
11
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
Do tam thc bc hai f(x) = ax
2
+ bx + c (a

0) x

R.
- iu kin f(x)
0




>


0
0
a
x
- Xột hm s bc hai :y = ax
2
+ bx + c (a

0) x

[ ]

,
*Nu x = -
a
b
2

[ ]

,
thỡ :
max y = max







)
2
();();(
a
b
yyy

min y = min

)
2
();();(
a
b
yyy

*Nu x = -
a
b
2

[ ]

,
thỡ:
max y= max
{ }
)();(

yy
min y = min
{ }

)();(

yy
B: MT S V D:
1: Dựng iu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai:
Vớ d 1:
Cho cỏc s a, b, c tho món iu kin :
a + b + c = -2 (1) ; a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 (2)
Chng minh rng mi s a, b, c u thuc on






0;
3
4
khi biu din trờn trc s.
Gii
Bỡnh phng hai v ca (1) ta c: a
2
+ b
2

+ c
2
+ (ab +bc + ca) = 4
do (2) nờn ab +bc + ca =
2
24
= 1

bc = 1 - a(b + c ) = 1 - a(a - 2) = a
2
+ 2a + 1
Ta li cú : b + c = -(a + 2) do ú b,c l nghim ca phng trỡnh .
X
2
+ (a + 2)X + (a
2
+ 2a + 1) = 0
tn ti X thỡ:

0


(a + 2)
2
- 4(a
2
+ 2a + 1)
0

a(3a + 4)
0



0
3
4


a

12
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
Tng t :
0
3
4


b
;
0
3
4


c

Vớ d 2: Cho ba s tho món : a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1)
3
4


Chng minh rng : -1

a + b + c

4
Gii:
Ta cú: a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1)
3
4




( a
2
+ b
2
+ c
2
) - 3(a + b + c)

4 (1)
Ta li cú: (a + b + c)
2

( a
2
+ b
2
+ c
2
) (theo bt ng thc Bunhiacpki) (2)
Kt hp (1) v (2) ta cú:
(a + b + c)
2
- 3(a + b + c) - 4

0 (3)
Ta thy bt ng thc trờn v trỏi cú dng tam thc bc hai vi bin a + b + c
Tam thc trờn nhn -1 v 4 lm nghim
kt hp vi (3) ta c : -1

a + b + c

4 (.p.c.m)
Vớ d 3:
Cho (x, y, z) l nghim ca h:




=++
=++
4

8
222
zxyzxy
zyx

)5(
)4(
chng minh rng
3
8
,,
3
8
zyx

Gii :
Nhõn (5) vi 2 rii cng vi (1) ta c :
(x+y+z)
2
= 16

x+y+z =

4
Nu x + y + z = 4

z = 4 - x - y thay vo (5) ta c :
xy + y(4 - x - y) + (4 - x - y) = 4

x
2
- (4 - y)x - y(4- y) + 4 = 0 (*)
Do x l nghim ca h nờn x l nghim ca (*) . vy (*) cú nghim khi
0


(4 - y)
2
+ 4
13
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt


- 3y
2
+ 8y
0

0
3
8

y
Nu x + y + z = -4 tng t ta c :-
0
3
8

y

Vy ta cú :
3
8
3
8

y
Vỡ x, y,z cú vai trũ nh nhau nờn ta c :


3
8
,,
3
8

zyx
2: Dựng tớnh cht ca hm s bc hai : y=ax
2
+bx + c (a
)0
vi
[ ]

,x
vớ d 1 :
Cho a,b,c
[ ]
2;0
tho món iu kin a+b+c = 3 chng minh rng a

2
+b
2
+c
2

5

(1)
Gii :
Nhn thy bt phng trỡnh trờn cú ba bin a,b,c nhng a + b + c = 3 nờn ta a
bt ng thc trờn v cũn hai bin bng cỏch thay c=3 - a - b vo (1) ta c :
a
2
+ b
2
+ c
2

5

a
2
+ b
2
+ (3 - a - b)
2

5
(2)

vy ta i chng minh bt ng thc (2) vi bin a,b u cú bc l hai nờn ta cú
th quy (2) v tam thc bc 2 vi n no ú, chng hn i vi n a :
(2)

f(a) =2a
2
- 2 (3 - b) + b
2
+(3 - b)
2
- 5
0
(3)
mun chng minh (3) ta ch cn chng minh f(a)
0
vi a
[ ]
2;0

Do h s ca a bng 2 > 0 nờn a
[ ]
2;0
thỡ :
max f(a) = max
{ }
)2(),0( ff
vi a
[ ]
2;0

ta cú :
f(0) = b
2
+(3 - b)
2
- 5 =2(b - 1)(b - 2)
khi a = 0 thỡ b + c = 3

c = 3 - b
14
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
do 0

21312302 bbbc
(b - 1)(b - 2)
0



f(0)
0

f(2) = 8 - 4(3 - b) +b
2
+(3 - b )
2
- 5 = 2b(b - 1 )
khi a = 2 thỡ b +c = 1

0

1,

cb

b(b - 1)
0


f(2)
0

Nh vy f(0)
0

; f(2)
0



max
{ }
)2(),0( ff
0


maxf(a)
0


f(a)

0

vi a
[ ]
2;0
.
Vớ d 2:
Tỡm m sao cho mi 2 < x < 3 u l nghim ca h bt phng trỡnh :




>++
>+
04
0544
2
2
mxx
mxx
Gii:
Do mi 2 < x < 3 cng u l nghim ca h bt phng trỡnh trờn nờn :




>++
>+
04
0544

2
2
mxx
mxx
mi 2 < x < 3
hay :








<<
>
<<
>
32
0)(min
32
0)(min
2
1
x
xf
x
xf
(*)

trong ú : f
1
(x) = 4x
2
- 4x+5 - m

f
2
(x) = x
2
+ 4x+ m
Nhng cỏc honh nh ca cỏc parabol
x
1
=
( )
3;2
2
1

; x
2
= -2
)3;2(

15
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
hay (*)

0)3(
0)2(
0)3(
0)2(
2
2
1
1
f
f
f
f

+
+
+


021
012
029
013
m
m
m
m
vy :-12

m

13
3: Dựng nh lớ v du ca tam thc bc hai
Vớ d :
Chng minh bt ng thc :
x
2
+2y
2
-2xy +12x- 4y+3 > 0
Gii :
Ta nhn thy cú dng tam thc bc hai i vi n x :
f(x) = x
2

- 2(y - 1)x+(2y
2
- 4y+3)
ta cú :

=(y - 1)
2
- (2y
2
- 4y+3) = -y
2
+2y - 2 = -(y - 1)
2
- 1 < 0 do ú f(x) cựng
du vi h s ca x tc l f(x) > 0
C: NHN XẫT :
Khi thc hin bng cỏch no ú ta phi quy v s bc hai i vi n no ú . qua
ú ta s dng, tớnh cht v iu kin v du ca tam thc bc hai :
Tam thc bc hai: f(x) = ax
2
+bx+c (a
)0

*Nu

< 0 thỡ f(x) cựng du vi a vi mi giỏ tr ca x
*Nu

= 0 thỡ f(x) cựng du vi a vi mi giỏ tr ca x tr x = -
a

b
2
*Nu

> 0 thỡ : f(x) trỏi du vi a vi mi giỏ tr ca x nm trong khong hai
nghim .

f(x) cựng du vi a vi mi giỏ tr ca x nm ngoi khong hai nghim .
III: CC BI TON CC TR .
A:KIN THC C BN .
tỡm cc tr ca mt biu thc ta cú th vn dng cỏc tớnh cht v iu kin
cú nghim ca tam thc bc hai .Nh vy ta cú th bin i biu thc a v
16
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
dng tam thc bc hai .
B: MT S V D:
1) i bin a v tam thc bc hai i vi bin mi.
vỡ d 1:
Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc sau:
A= x +
x1
Gii:
iu kin: x

1
t
x1
= y ta cú : y
2
= 1 - x

x = 1 - y
2
Vy : A = 1 - y
2
+ y
= -(y
2
- y +
4
1
) +
4
5
= -(y -
2
1
)
2
+
4
5



4
5
maxA =
4
5

y =
2
1


1- x =
4
1


x =
4
3
2: i bin a v bt phng trỡnh bc hai i vi bin mi :
vớ d 1 :
Tỡm giỏ tr nh nht , giỏ tr ln nht ca A = x
2
+ y
2

bit : x
2
(x
2
+ 2y
2
- 3) + (y
2
- 2)

2
= 1 (1)
Gii :
T (1)

( x
2
+ y
2
)
2
- 4(x
2
+ y
2
) + 3 = - x
2


0
vy : A
2
- 4A + 3

0

(A - 1)(A - 3)

0

1

A

3
minA = 1

x = 0 khi ú y =

1
17
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
maxA = 3

x = 0 khi ú y =
3
Vớ d 2:
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
A =
2
2
20002
x
xx +
(x

0)
Gii:
A =

2
2
20002
x
xx +
=
222
2
20002
xx
x
x
x
+

= 1-
2
20002
x
x
+
vỡ x

0
Biu thc trờn cú dng tam thc bc hai nu ta t
x
1
= y
ta cú : A = 1 - 2y + 2000y
2

= 2000(y -
2000
1
)
2
+
2000
1999
Vy: A


2000
1999
minA =
2000
1999

2000
1
= y
hay x = 2000

3: a v phng trỡnh bc hai v s dng iu kin
0

Vớ d 1:
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc :
M = 2x
2
+ 2xy + y

2
- 2x + 2y + 2
Gii :


18
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
Gi s A l mt giỏ tr ca biu thc vỡ vy phng trỡnh :
2x
2
+ 2xy + y
2
- 2x + 2y + 2 = A cú nghim i vi x, y .a v phng trỡnh
bc hai i vi n x ta cú :
2x
2
+ 2(y - 1)x + (y
2
+ 2y + 2 - A) = 0 cú nghim khi
0
/

x


(y - 1)
2
- 2(y
2
+ 2y + 2 - A)

0


bt phng trỡnh : y
2
+ 6y + 3 - 2A
0

cú nghim y:


y
/

= 9 - (3 - 2A)
0



2A + 6
0


A
3


Du " = " xy ra khi y = -3
x =
2

1 y
= 2
Vy minM = -3 khi x = 2 ; y = -3
Vớ d 2:
Cho A =
1
)1(2
2
2
+
++
x
xx

Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc A v cỏc giỏ tr tng ng
ca x
Gii:
Vỡ x
2
+ 1 > 0 vi mi x :Do ú A =
1
)1(2
2
2
+
++
x
xx

(x
2
+ 1)A = 2x
2
+ 2x + 2



(A - 2)x
2
- 2x + (A -2) = 0 (1)
khi A = 2 thỡ x = 0 .
khi A

2 (1) cú nghim , iu kin cn v l
0
/

tc l :
1 - (A - 2)
2
0

19
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt


(A - 2)
2

1


1

A

Vy minA = 1 khi x=- 1 v maxA = 3 khi x = 1.
20