Bài giảng số 1.Bất đẳng thức cô si và ứng dụng

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY
Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội
Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400

Vấn đề 1: Bất đẳng thức Cauchy
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
BĐT cauchy cho hai số không âm a và b: ab
ba


2
, dấu bằng xảy ra khi a = b
BĐT cauchy cho ba số không âm a , b, c: abc
cba



3
, dấu bằng xảy ra khi a = b = c
BĐT cauchy tổng quát: Cho a
1
, a
2
, , a
n
 0 ta luôn có:

n
n
n
aaa
n
aaa


21
21


. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= = a
n
Một số bất đẳng thức phụ suy ra từ bất đẳng thức Cauchy
i)
1 1 4
( , 0)
a b
a b a b
  


ii)
1 1 1 9
( , , 0)

a b c
a b c a b c
   
 

B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
1. Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức cosi
Ví dụ 1: CMR với mọi ta có:
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
    
     
     

Luyện tập:
1) Cho các số dương x, y, z thoả mãn
1
xyz

. Chứng minh rằng :

2) Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng :



TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY

Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội
Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400

2. Kỹ thuật tách số mũ
Ví dụ 2:
a) Chứng minh rằng với mọi a, b,c không âm ta có: a
3
+ b
3
+ c
3


a
2
b + b
2
c +c
2
a
b) Cho
10


x
. CMR
3

27
(1 )
256
x x 
Luyện tập:
3) Chứng minh rằng với mọi a, b,c không âm ta có: a
4
+ b
4
+ c
4


abc( a +b + c)
4) Cho a, b dương. Chứng minh rằng :
3 3 2
3 7 9
a b ab
 
5) minh rằng với mọi số dương a b, c ta luôn có
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
  
     

3. Kỹ thuật tách thêm bớt
Ví dụ 3: Cho 0,,


cba sao cho
3



cba
. CMR
a) 3
333
 cba
b)
333444
cbacba 
Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số dương và
1.
x y z
  

CMR:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82.
x y z
x y z
     
Luyện tập:
6 ) Cho x, y, z dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

7) Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh rằng

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY
Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội
Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400

8) Cho
, 0.
a b

Chứng minh rằng:
1
3.
( )
a
b a b
 


9) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 1
4 ( , 0).
P xy x y
x y xy
   



4. Áp dụng các bất đẳng thức phụ
Ví dụ 5: Cho x, ,y, z là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
  
. CMR

Luyện tập
10) Chứng minh rằng với mọi
0
x

và với mọi
0


ta luôn có
1 .
x x

 
  
Từ đó chứng minh rằng với ba số dương a,b,c bất kì thì:
3 3 3
3 3 3
.
a b c a b c

b c a
b c a
    

11) Chứng minh rằng
( , , 0).
2
ab bc ca a b c
a b c
a b b c c a
 
   
  

C. BÀI TẬP TỔNG HỢP
12) Chứng minh rằng
3 2 4 3 5 ( , , 0)
x y z xz yz xy x y z
      

13) Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh rằng

14) Cho x, y, z > 0 thoả mãn
3.
x y z
  
Chứng minh:

15) Cho a, b, c > 0 thoả mãn:
1 1 1

2.
1 1 1
a b c
  
  
Chứng minh:
1
8
abc




TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY
Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội
Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400

16) Cho các số
, , 0, 1.
x y z x y z
   
Chứng minh rằng :

17) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
2
z xy
 với

, 0.
1 yx y

 

18) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn
1.
x y z
  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

19) Cho
, 0; 1.
,
z xyz
x y
 
Chứng minh rằng :
3 3 3
.
x y z x y z
    

20) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng:

8 8 8 2 2 2
a b c a b c
    
.
21) Cho

, 0.
x y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
4
( )( 1)
U x
x y y
 
 

22) Cho
, 0.
a b

Chứng minh rằng
3
3
3 3
1 1
.
a a
b b
a b a b
    