Bài toán giao điểm của hai đồ thị hàm số

Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Bài giảng số 5. GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hai đồ thị hàm số




:
C y f x
 và




' : .
C y g x

Hai đồ thị


C
và



'
C
cắt nhau tại điểm
 


 
0 0
0 0
0 0
,
y f x
M x y
y g x
 






tức là


0 0
;
x y
là một nghiệm
của hệ phương trình



 
y f x
y g x
 





.
Như vậy hoành độ giao điểm của


C
và


'
C
là nghiệm của phương trình






1
f x g x
Số nghiệm của phương trình



1
bằng số giao điểm của


C
và


'
C
.

B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Cho hàm số
1
.
1
x
y
x




a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị


C

của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

1
(1)
1
x
m
x




Lời giải:
a. Hàm số
1
1
x
y
x



có tập xác định


\ 1 .
D R
Giới hạn:
1 1

1 1 1
lim 1; lim ; lim .
1 1 1
x
x x
x x x
x x x
 

 
  
    
  

Đạo hàm:
 
2
2
' 0, 1
1
y x
x

    

Hàm số nghịch biến trên các khoảng


;1


và


1; .


Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên:








Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1;
x

tiệm cận ngang
1.
y


Giao của hai tiệm cận


1;1
I là tâm đối xứng.

Đồ thị

b. Đồ thị hàm số
1
1
x
y
x



được vẽ từ đồ thị hàm số
1
1
x
y
x



theo quy tắc giữ nguyên phần đồ thị của
hàm số
1
1
x
y
x



ứng với

0
x

, phần đồ thị của hàm số ứng với
0
x

lấy đối xứng qua trục tung.
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị
1
1
x
y
x



và đường thẳng
.
y m


Dựa vào đồ thị ta có
 Với
1; 1:
m m
  
phương trình (1) có 2 nghiệm.
 Với
1:

m
 
phương trình (1) có 1 nghiệm.
 Với
1 1:
m
  
phương trình (1) vô nghiệm.

x

 

1

 

'
y






y

1

 

 

1


Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Ví dụ 2: Cho hàm số






3 2
3 1 3 4 8 .
m
y x m x m x C      Tìm
m
để



m
C
cắt trục hoành tại
ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân.
Lời giải:
Điều kiện cần: Giả sử


m
C
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
lập thành một
cấp số nhân. Khi đó phương trình:





3 2
3 1 3 4 8 0
x m x m x
     
(2)
có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,

x x x
.










3 2
1 2 3
3 1 3 4 8
x m x m x x x x x x x
         








3 2 3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
3 1 3 4 8
x m x m x x x x x x x x x x x x x x x x
             

1 2 3
8
x x x
 
.
Vì
1 2 3
, ,
x x x
lập thành một cấp số nhân nên
2 3
2 1 3 2 2
8 2.
x x x x x
    

Thay
2
x

vào phương trình




3 2
3 1 3 4 8 0
x m x m x
     
ta được

4 2 0 2.
m m
   

Điều kiện đủ:
Với
2
m

thay vào phương trình (2) ta được:






3 2
1 2 3
7 14 8 0 1 2 4 0 1; 2; 4
x x x x x x x x x
            
lập thành một cấp số nhân.
Vậy
2
m

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho hàm số
2 1

2



x
y
x
có đồ thị


C
. Chứng minh đường thẳng


:
d y x m
  
luôn cắt đồ
thị


C
tại hai điểm phân biệt
,
A B
. Tìm
m
để đoạn
AB
có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị


C
và đường thẳng


d
là nghiệm của phương trình
   
2
2
2 1
4 1 2 0 3
2
x
x
x m
x m x mx
 



   

    



Do phương trình


1
có
2
1 0
m
   
và
    
2
2 4 2 1 2 3 0,
m m m
         
nên đường
thẳng


d
luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt
,
A B
.
Ta có
   
2 2
2 2
; 2 12
A A B B A B A B

y m x y m x AB x x y y m
          

AB
ngắn nhất
2
AB
 nhỏ nhất
0 12.
m AB   

Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Ví dụ 4: Tìm
m
để đường thẳng


: 1
d y mx
 
cắt
 
2
1
:

2
x x
C y
x
 


tại hai điểm phân biệt thuộc
cùng một nhánh của đồ thị


.
C

Lời giải:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng


d
và đồ thị


C
là nghiệm của phương trình
       
2
2
1
1 1 2 1 1 0 4
2

x x
mx g x m x m x
x
 
        


Do


C
có tiệm cận đứng là
2
x
 
nên


d
cắt


C
tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của


C
khi và chỉ khi phương trình



4
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
thỏa mãn


  


 
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
' 1 0 1 0
2
2
2 2 0 2 4 0
m m m m
x x
x x
x x x x x x
      
  

 
 
  
  

      

 
 



 
1 0
1 0
0
1
1 0
2.2 4 0
1
m m
m m
m
m
m
  
 
 
   
 

 
  







Vậy với
0
m

thì


d
cắt


C
tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị.
Ví dụ 5: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng
( 3)
y m x
 
cắt đồ thị hàm số
2
1
x
y
x




tại hai
điểm phân biệt sao cho có ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1.
Lời giải:
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số
2
1
x
y
x



và
( 3)
y m x
 
là số nghiệm của phương trình
hoành đồ giao điểm:
2
2
( 3) (4 1) 3 2 0 (5)
1
x
m x mx m x m
x

       


Để đường thẳng

( 3)
y m x
 
cắt đồ thị hàm số
2
1
x
y
x



tại hai điểm phân biệt sao cho có ít nhất một
điểm có hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình


5
có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn 1.
Nếu m = 0, thì phương trình có nghiệm x = 2. Vậy m = 0 không thỏa mãn
Nếu
0
m

, ta có các trường hợp sau:
TH1: Phương trình


1
có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
1 2

1
x x
 

  
 
2
1 2
1 2 1 2
0
4 1 0
3 2 4 1
1 0 0
1 1 0
1 0
m
m m
m
x x
m m
x x x x
  
 

 
 
       
 
  
   






Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

TH2: Phương trình


1
có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
1 2
1
x x
 

  
   
 
2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
3 2 4 1
0 4 1 0

1 0
1 1 0 1 0 0
4 1
2 0
2 0
1 1 0
m m
m
m m
x x x x x x m
m
x x
x x
m
 



   
  




           
  

  
 
  

   




Vậy
0
m

thỏa mãn bài toán.

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hàm số
3 2
.
y x mx x m
   
. Tìm
m
để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
lập thành cấp số cộng. Đáp số:


0; 3
m
 

Bài 2: Cho hàm số
3 2
3 2

y x x
  
có đồ thị


.
C
Gọi d là đường thẳng đi qua


1; 2
A
 
và có hệ số
góc k.
a. Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N. Đáp số:




2
1 4 4 0
x x x k
    

 
2
x 1
0 k 9
g x x 4x 4 k 0

 

   

    


b. Với điều kiện câu a, hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.
Đáp số:
: 2, 2 25.
x y
    

Bài 3: Cho hàm số
3 2
6 9 .
y x x x
   Tìm m để đường thẳng :
d y mx

(C) tại ba điểm phân biệt
, , .
O A B
Chứng minh rằng khi m thay đổi, trung điểm I của AB luôn nằm trên một đường thẳng song song
với trục Oy.
Bài 4: Cho hàm số
3
1
3
3

y x x
  
có đồ thị (C) và đường thẳng
: ( 3)
d y m x
 
và


3;0 .
A Tìm m
để d cắt (C) tại ba điểm A, B, C. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng BC. Đáp số:
3
6 ,
4
m  
3 9
( ) : , 36
2 2
x y
     

Bài 5: Cho đường cong









3 2 2 2
2 1 4 1 2 1 .
m
y x m x m m x m C        Tìm
m
để


m
C

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn
3.
Đáp số:
3 17 3 17
2 17
m
m

   


 



Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Bài 6: Cho đường cong


3 2
3 3 3 .
m
y x x mx m C    Tìm
m
để


m
C
cắt đường thẳng


: 3 1
d y x
  
tại ba điểm phân biệt
1 2 3
, ,
x x x
sao cho
1 2 3
1 2 .
x x x

   
Đáp số:
1.
m


Bài 7: Cho đường cong


3 2
3 3 3 2 .
m
y x mx x m C
    
Tìm
m
để


m
C
cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
sao cho
2 2 2
1 2 3
15.

x x x
  
Đáp số:
1.
m
 

Bài 8: Tìm m để hàm số
4 2
2 2 1
y x mx m
    
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành cấp
số cộng. Xác định cấp số cộng ứng với mỗi m tìm được. Đáp số:
1 5
1, 5, .
2 9
   
m m m
Bài 9: Cho đường cong




4 2
3 2 3 .
m
y x m x m C
   
Tìm

m
để đường thẳng
1
y
 
cắt


m
C

tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Đáp số:
1
1
3
0.
m
m



  








Bài 10: Cho hàm số
4 2
1 3
4 2
y x mx
  
có đồ thị


.
m
C
a) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị


m
C
có ba điểm cực trị lập thành ba đỉnh của tam giác
vuông cân.
b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị


m
C
cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ thỏa mãn
2 2 2 2
1 2 3 4
20.
x x x x   
Bài 11: Cho đường cong





4 2
3 2 3 .
m
y x m x m C
   
Tìm
m
để đường thẳng
1
y
 
cắt


m
C

tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Đáp số:
1
1; 0.
3
m m
   

Bài 12: Cho hàm số
3

1
x
y
x



có đồ thị (C).
a. Chứng minh rằng đường thẳng : 2
d y x m
 
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm tập hợp
trung điểm I của đoạn thẳng MN. Đáp số: quỹ tích I là đường thẳng
2 1.
y x
  

b. Xác định m để đoạn MN ngắn nhất. Đáp số:
min
2 5 3.
MN m
  

Bài 13: Cho hàm số
2 2
1
x
y
x




Tìm
m
để đường thẳng


: 2
d y x m
 
cắt đồ thị hàm số tại hai điểm
phân biệt
,
A B
sao cho
5.
AB  Đáp số:
10; 2
m m
  

Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Bài 14: Cho hàm số
2 4
.

1
x
y
x



Gọi


d
là đường thẳng đi qua


1;1
A có hệ số góc
.
k
Tìm
k
sao
cho đường thẳng


d
cắt đồ thị hàm số tại hai điểm
,
M N
và
3 10.

MN 
Đáp số:
3 41
3;
16
k k
 
  
Bài 15: Cho hàm số
2
.
1
mx x m
y
x
 


Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm
đó có hoành độ dương. Đáp số:
1
0.
2
m
  

Bài 16: Tìm
m
để đường thẳng



: 2
d y mx m
 
cắt đồ thị
 
2
2 3
:
2
x x
C y
x



tại hai điểm phân biệt
thuộc hai nhánh của đồ thị


.
C
Đáp số:
1.
m


Bài 17: Tìm
m
để đường thẳng



: 2
d y x m
 
cắt đồ thị hàm số
 
3
: 3
1
C y x
x
   

tại hai
điểm phân biệt
,
A B
sao cho
AB
có độ dài ngắn nhất. Đáp số:
0.
m
