Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục

Bài giảng số 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Bài toán: Cho đồ thị




:
C y f x
 và điểm




,
o o o
M x y C
 . Viết phương trình tiếp tuyến
của tại


, .
o o o

M x y

Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến của


C
tại


,
o o o
M x y
có dạng




0
'
o o
y y f x x x
  
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.
Bài toán: Cho đồ thị




:
C y f x

 và một số
k


.Viết phương trình tiếp tuyến của


C
có
hệ số góc là
k
.
Phương pháp:
+ Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với




:
C y f x
 tại điểm có hoành độ


'
i i i
x f x k x
   là nghiệm của phương trình


' .

f x k


+ Giải phương trình


' , 1;2
i
f x k x x i   
+ Phương trình tiếp tuyến tại
i
x
là


i i
y k x x y
  

* Các dạng biểu diễn của hệ số góc
k

+ Dạng trực tiếp
.
k



+ Tiếp tuyến tạo với chiều dương
O

x
góc
tan
k
   

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng


: a .
d y x b k a
   

+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng


: a 1, 0.
d y x b ka a
     

+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng


: a
d y x b
 
một góc
tan .
1
k a

ka

   


Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.
Bài toán: Cho đồ thị




:
C y f x
 và điểm


,
A a b
. Viết phương trình tiếp tuyến của


C
đi
qua
.
A

Phương pháp:
Cách 1:
+ Giả sử đường thẳng



d
đi qua


,
A a b
tiếp xúc với




:
C y f x
 tại điểm có hoành độ
i
x

phương trình đường thẳng


d
có dạng







'
i i i
y f x x x f x
  
+ Do












, ' *
i i i
A a b d b f x a x f x    
+ Giải phương trình


* .
i
x

+ Phương trình tiếp tuyến tại
i
x

là






'
i i i
y f x x x f x
  
Cách 2:
+ Đường thẳng


d
đi qua


,
A a b
với hệ số góc
k
có phương trình là


y k x a b
  
.
Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục

+ Đường thẳng


d
tiếp xúc với đồ thị




:C y f x
 
hệ phương trình




 
'
f x k x a b
f x k

  






có nghiệm








' *
f x f x x a b   
+ Giải phương trình


* , 1;2
i
x i 
+ Phương trình tiếp tuyến tại
i
x
là






'

i i i
y f x x x f x
   .

B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Cho hàm số


3 2
3 4 .
y x x C
   Gọi


d
là đường thẳng đi qua điểm


2;0
A có hệ số góc
.
k
Tìm
k
để


d
cắt



C
tại ba điểm phân biệt
, ,
A M N
sao cho hai tiếp tuyến của


C
tại
M
và
N

vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng


d
đi qua


2;0
A có dạng


2
y k x
 

.
Hoành độ các điểm
, ,
A M N
là nghiệm của phương trình
   
 
 
3 2 2
2
2
3 4 2 2 2 0
2 0
x
x x k x x x x k
f x x x k



          

    



Phương trình có ba nghiệm phân biệt


0
f x

 
có hai nghiệm phân biệt
2.
x


 
0
9
0.
2 0
4
k
f
 


    





Theo định lí Viet ta có
1
. 2
M N
M N
x x
x x k

 


  


Tiếp tuyến tại
M
và
N
vuông góc với nhau




' . ' 1
M N
y x y x
  

   
2 2 2
3 2 2
3 6 . 3 6 1 9 18 1 0
3
M M N N
x x x x k k k
 
          

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số




4 2
: 1.
C y f x x x
   
Tìm các điểm
A Oy

kẻ được bà tiếp tuyến
tới đồ thị


.
C

Lời giải:
Lấy bất kì


0;
A a Oy
 . Đường thẳng


d
đi qua

A
có hệ số góc
k
có phương trình
.
y kx a
 

Đường thẳng


d
tiếp xúc với đồ thị
 


 
 
*
'
f x kx a
C
f x k
  







có nghiệm.
* Điêu kiện cần
Ta có






,
f x f x x f x
    

là hàm chẵn

đồ thị


C
nhận
Oy
làm trục đối xứng.
Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục

Do
A Oy


nên để từ
A
kẻ được ba tiếp tuyến tới


C
thì điều kiện cần là hệ phương trình


*
có
nghiệm
0.
k


Thế
0
k

và


*
ta được
4 2
2
3
0; 1

1
1 3
;
4 2 0
2 4
x a
x x a
x a
x x
 


  





 
 




* Điều kiện đủ
+ Nếu
1
a

thì

 


4 2 3
4 2
3
3
1 4 2 1
1 1
*
4 2
4 2
x x x x x
x x kx
x x k
x x k

    

   
 
 
 
 

 




 
 
2 2
2
2
0; 0
0; 0
3 1 0
1 2
;
1 2
;
3 3 3
2 2 1
3 3
1 2
;
3 3 3
x k
x k
x x
x k
x
x k
k x x
x k


 


 


 



     



  
 





  



Vậy từ


0;1
A kẻ được ba tiếp tuyến tới


.

C

+ Nếu
3
4
a

thì
 
 
4 2 4 2 3
3 3
3 3
1 1 4 2
*
4 4
4 2 4 2
x x kx x x x x x
x x k x x k
 
        
 
 
 
 
   
 

   
4 2 2

2
2 2
1 1
1
3 0
4 2
2
2 2 1 2 2 1
0
x x x
x
k x x k x x
k
 

   

  
  
  
  
   


 

Vậy từ
3
0;
4

A
 
 
 
kẻ được một tiếp tuyến tới


.
C

Vậy điểm


0;1
A thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
,
2 3
x
y
x



biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành,
trục tung lần lượt tại hai điểm
,
A B

phân biệt và tam giác
OAB
cân tại
.
O

Lời giải:
Ta có
 
2
1
'
2 3
y
x
 


Do tam giác
OAB
vuông cân nên tiếp tuyến phải có hệ số góc
1.
k
 

Gọi tọa độ tiếp điểm là


,
o o

x y
khi đó
 
 
2
1
' 1 1
2 3
o
o
y x
x
     


Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục

Do
' 0
y

nên
 
2
1
1

1
2
2 3
o
o
o
x
x
x
 

   

 



+ Với
1 1
o o
x y
    
phương trình tiếp tuyến là


1 1
y x y x
      
: loại vì tiếp tuyến này
đi qua gốc tọa độ nên không tạo ra tam giác

.
OAB

+ Với
2 0
o o
x y
    
phương trình tiếp tuyến là


2 0 2.
y x y x
       

Ví dụ 4: Cho hàm số
   
1
: 1 .
1
C f x x
x
  

Tìm những điểm trên đồ thị


C
có hoành độ lớn hơn
1

sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Lời giải:
Ta có
 
 
2
1
' 1
1
f x
x
 


+ Tiệm cận đứng
1
x

vì


1
lim .
x
f x

 

+ Tiệm cận xiên

1
y x
 
vì




lim 1 0.
x
f x x

  

+ Tọa độ giao điểm
I
của hai tiệm cận là


1;2 .
I
Giả sử






,
o o

M x f x C
 với
1,
o
x

khi đó phương trình tiếp tuyến tại
M
có dạng:
        
 
 
2 2
2
2
: ' :
1
1
o o o
o o o o
o
o
x x x
d y f x x x f x d y x x
x
x

      



Tọa độ giao điểm
A
của tiếp tuyến


d
và tiệm cận đứng là nghiệm của hệ
 
 
2 2
2
1
1
2
2
1;
2
1
1
1
1
o
o o o
o
o
o
o
o
o

x
x
x
x x x
x
y x x
y
x
x
x
x




 



  
 
 
  


 
 







Tọa độ giao điểm
B
của tiếp tuyến


d
và tiệm cận ngang là nghiệm của hệ
 
 
 
2 2
2
1
2 1
2
2 1;2
2
1
1
o
o o o
o o
o
o
o
o
y x

x x
x x x
x x
y x x
y x
x
x
 

 



   
 
  







Ta có
2
1
2
1 1
o
A I

o o
x
AI y y
x x
    
 

         
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 8 1 2 2 1
B I B I o o o o
BI x x y y x x x BI x
            

2
. .2 2 1 4 2
1
o
o
AI BI x
x
  


2 2 2 2 2
2 . . os 2 .
4
AB AI BI AI BI c AI BI AI BI


     
Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục

Chu vi
ABI

cho bởi

2 2
2 .
ABI
C AI BI AB AI BI AI BI AI BI
       


4
. 2 . 2 . 4 2 2 2 2 1
AI BI AI BI AI BI
      

Suy ra


4
min 4 2 2 2 2 1
ABI

C
  
, đạt được khi
AI BI


4
2 1
2 2 1 1
1
2
o o
o
x x
x
     


Vậy tọa độ điểm
M
cần tìm là
4
4 4
1 1
1 ;2 2
2 2
M
 
  
 

 


Ví dụ 5: Cho hàm số
2
(C)
1
x
y
x



. Cho điểm
(0; )
A a
. Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị
(C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía của trục hoành.
Lời giải
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến đi qua A, khi đó phương trình tiếp tuyến qua A có dạng
y kx a
 
(d).
Gọi
1 2
1 2
1 2
2 2
1 1
( , ), ( , )

x x
M x N x
x x
 
 
là hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) thỏa mãn điều kiện bài ra thì hệ phương trình sau:
2
2
1
1
5
1
= kx+a (5')
( '')
( )
x
x
k
x



 









Phải có hai nghiệm sao cho
1 2
1 2
2 2
0
1 1
( ) ( )
. (*)
( ) ( )
x x
x x
 

 

Thay k từ (5’’) vào (5’), ta có phương trình
2
1 2 2 2 0
( ) ( ) ( ) (**)
a x a x a     
Để (**) có hai nghiệm phân biệt thì
1 1
0 2
a a
a
 
 


 
  
 
(6)

Vì
1 2
,
x x
là nghiệm của (**), nên áp dụng viet, ta có:
1 2
1 2
2 2
1
2
1
( )
( )
a
x x
a
a
x x
a

 
 












Khi đó đẳng thức (*) tương đương với

1 2 1 2
1 2 1 2
2 4
0 2 0 2
1
  
      
  
( )
x x x x
a a
x x x x
(7)
Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục

Kết hợp (6) và (7) thì a < -2.

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1 4
3 2 .
3 3
y x mx x
   
Tìm
m
để tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc
với đường thẳng
1
1.
3
y x
 

Đáp sô:
2
3
m
 
hoặc
2
3
m


Bài 2: Cho hàm số
3 2
3 1.
y x x mx
   
Xác định
m
để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
1
y

tại ba
điểm phân biệt


0;1 , ,
C D E
sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại
D
và
E
vuông góc với nhau.
Đáp số:
9 65
8
m


Bài 3: Cho hàm số

3 2
1 1
.
3 2 3
m
y x x
  
Gọi
M
là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng
1

.
Tìm
m
để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
M
song song với đường thẳng
5 0.
x y
 

Đáp số:
4
m


Bài 4: Cho hàm số
3 2
1

2 3 .
3
y x x x
  
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn và
chứng minh rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất.
Đáp số:
8
3
y x
  

Bài 5: Cho hàm số




3
1 1 .
m
y x m x C    Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của


m
C
với
trục tung. Tìm
m
để tiếp tuyến nói trên cắt hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
8.

Đáp số:
9 4 3; 7 4 3.
m m    
Bài 6: Cho hàm số
4
2 2 1
y x mx m
    
có đồ thị là


m
C
.
a. Chứng minh rằng


m
C
luôn đi qua hai điểm cố định
A
và
.
B

b. Tìm
m
để hai tiếp tuyến tại
,

A B
vuông góc với nhau.
Đáp số:
3 5
; .
4 4
m m
 

Bài 7: Tìm điểm
A
trên trục tung, sao cho qua
A
có thể kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
4 2
1.
y x x
   

Đáp số:


0; 1 .
A


Bài 8: Cho hàm số
4 2
1.
y x mx m

   
Gọi
A
là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị hàm số,
tìm
m
để tiếp tuyến tại
A
song song với đường thẳng
2 .
y x


Đáp số:
1.
m
 

Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục

Bài 9: Cho hàm số
2 3
.
1
x
y

x



Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó vuông
góc với đường thẳng
2007 0.
x y
  

Đáp số:
3
y x
  
hoặc
1
y x
  

Bài 10: Cho hàm số
.
1
x
y
x


Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến và hai
đường tiệm cận tạo thành một tam giác cân.
Đáp số:

y x
 
hoặc
4
y x
  

Bài 11: Cho hàm số
2
.
2 3
x
y
x



Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt
trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt
,
A B
và tam giác
OAB
cân tại
.
O

Đáp số:
2
y x

  

Bài 12: Cho đồ thị hàm số
2
.
1
x
y
x


Tìm điểm
M
thuộc đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến của đồ thị tại
M
cắt
Ox,
Oy
tại
,
A B
và tam giác
OAB
có diện tích bằng
1
.
4

Đáp số:
 

1 2
1
; 2 , 1;1
2
M M
 
 
 
 

Bài 13: Cho hàm số
1
.
1
x
y
x



Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một
tiếp tuyến tới đồ thị hàm số.
Đáp số:




0;1 , 0; 1.
A A


Bài 14: Cho hàm số
2
1
.
2
x x
y
x
 


Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó
vuông góc với tiệm cận xiên.
Đáp số:
2 2 5
y x
   

Bài 15: Cho hàm số
2
1
.
1
x x
y
x
 



Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông
góc với đường thẳng
4 1
.
3 3
y x
 

Đáp số:
3 3
4 4
y x
 
hoặc
3 5
4 4
y x
 

Bài 16: Cho hàm số 1
2
m
y x
x
   

. Tìm
m
để đồ thị hàm số có cực đại tại điểm
A

sao cho tiếp
tuyến với đồ thị tại
A
cắt trục
Oy
tại
B
mà tam giác
OAB
vuông cân.
Đáp số:
1.
m


Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục

Bài 17: Cho hàm số
2
2 1
1
x x
y
x
 



. Tìm những điểm trên
Oy
sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới
đồ thì hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Đáp số:




1 2
0; 3 15 , 0; 3 15
A A   

Bài 18: Cho hàm số
2
.
1
x
y
x


Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ
Ox
y
để từ đó ta có thể kẻ
được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Đáp số:
A

thuộc đường tròn


S
tâm


1;2 ,
I bán kính
2
R

bỏ đi bốn giao điểm của hai tiệm cận và
đường tròn.
Bài 19: Cho đồ thị hàm số
3
1
.
x
y
x

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến này
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích
1
.
2
S


Đáp sô:
1
y x
 
hoặc
3 3
9 3
25 5
y x 

Bài 20: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 1
,
1
x
y
x



biết tiếp tuyến này cắt trục
,
Ox Oy

lần lượt tại
,
A B
sao cho
4 .
OA OB



Đáp số:
4 5 0
x y
  
hoặc
4 13 0.
x y
  

Bài 21: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x



(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm
I(1;2) đến tiếp tuyến bằng
2
. Đs: y =-x + 5 và y = -x + 1.