Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (330.34 KB, 20 trang )
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 04: CÁC DẠNG TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian Oxyz đường thẳng (d) đi qua điểm M
; ;
o o o
x y z
và có VTCP
; ;
u a b c
có phương trình:
(d): ,
o
o
o
x x at
y y bt t R
z z ct
(1)
Phương trình (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số cho bởi (1) suy ra:
o o o
x x y y z z
a b c
(2)
Phương trình (2) với điều kiện
0, 0, 0
a b c
gọi là phương trình chính tắc của đường
thẳng
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Với hai đường thẳng
1 2
( ),( )
d d
có phương trình:
1 1 1
1
1 1 1
:
x x y y z z
d
a b c
1
d
có VTCP
1 1 1 1
; ;
u a b c
và đi qua
1 1 1 1
; ;
M x y z
2 2 2
2
2 2 2
:
x x y y z z
d
a b c
2
d
có VTCP
2 2 2 2
; ;
u a b c
và đi qua
2 2 2 2
; ;
M x y z
Xét vị trí tương đối của
1 2
( ),( )
d d
ta sử dụng các kết quả sau:
1
d
và
2
d
đồng phẳng
1 2 1 2
; . 0
u u M M
1
d
và
2
d
cắt nhau
1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
; . 0
: : : :
u u M M
a b c a b c
1
d
và
2
d
song song với nhau
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
: : : : : :
a b c a b c x x y y z z
1
d
và
2
d
trùng nhau
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
: : : : : :
a b c a b c x x y y z z
1
d
và
2
d
chéo nhau
1 2 1 2
; . 0
u u M M
B: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian
Bài toán 1:Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M
; ;
o o o
x y z
và có VTCP
; ;
u a b c
Phương pháp:
Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương
u
( nếu chưa có sẵn)
Bước 2:
Phương trình tham số là: ,
o
o
o
x x at
y y bt t R
z z ct
Hoặc phương trình chính tắc là:
o o o
x x y y z z
a b c
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d), biết đường thẳng (d) đi qua điểm
1;2;3
A và có VTCP
2; 1;0
u
Bài giải:
Đường thẳng (d) qua
1;2;3
A nhận
2; 1;0
u
là VTCP nên có phương trình tham số là
(d):
1 2
2 ,
3
x t
y t t R
z
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B
Phương pháp:
Bước 1: Tìm VTCP
u AB
Bước 2: Viết phương trình đường thẳng qua A ( hoặc B ) có VTCP
AB
( dạng tham số hoặc
chính tắc)
Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d), biết (d) đi qua hai điểm
2;1; 3 , 3; 1;5
A B
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bài giải:
Ta có:
1; 2;8
AB
(d) qua hai điểm A và B nên nhận
AB
là VTCP
Đường thẳng (d) qua A (2; 1; -3) nhận
1; 2;8
AB
là VTCP nên có phương trình chính tắc là:
(d):
2 1 3
1 2 8
x y z
Bài toán 3:Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua một điểm và vuông góc với một mặt
phẳng
Phương pháp:
Bước 1: Tìm VTPT
n
của mặt phẳng đã cho
Bước 2: (d) có VTCP
u n
Bước 3: Áp dụng bài toán 1
Ví dụ 3: Cho ba điểm
1;0;2 , 0;3;2 , 1;4; 1
A B C
. Lập phương trình đường thẳng (d) vuông
góc với mặt phẳng
ABC
tại
A
Bài giải:
Ta có:
1;3;0 , 0;4; 3
AB AC
Gọi
n
là VTPT của (ABC). Khi đó
3
;
4
n AB AC
0
3
;
0
3
1
0
;
1
0
3
4
9; 3; 4
Vì đường thẳng (d) vuông góc với mp (ABC) nên (d) nhận VTPT
n
của (ABC) là VTCP
Đường thẳng (d) qua A (1; 0; 2) nhận
n
9; 3; 4
là VTCP nên có PTTS là:
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
(d):
1 9
0 3 ,
2 4
x t
y t t R
z t
Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và song song với đường
thẳng (d’)( hoặc song song với hai mặt phẳng cắt nhau)
Phương pháp:
Bước 1: Tìm VTCP
'
u
của (d’)
Bước 2: VTCP của (d) là
'
u u
Bước 3: Áp dụng loại 1
Ví dụ 4: Cho ba điểm
1;0;2 , 3; 1;0 , 1;1; 2
A B C
. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua
A và song song với đường thẳng BC
Bài giải:
Đường thẳng BC có VTCP là
4;2; 2
BC
Đường thẳng (d) song song với BC nên nhận
BC
là VTCP
Đường thẳng (d) qua A (1; 0; 2), nhận
4;2; 2
BC
là VTCP nên có PTCT là:
(d):
1 2
4 2 2
x y z
Ví dụ 5: Lập phương trình đường thẳng
đi qua điểm
1;1;1
I và song song với hai mặt
phẳng
:2 3 1 0, : 0
x y z x y z
Bài giải:
Gọi
,
n n
lần lượt là VTPT của mặt phẳng
và
2; 1;3 , 1;1;1
n n
Gọi
u
là VTCP của đường thẳng
Vì
song song với
và
nên
1
;
1
u n
u n n
u n
3
1
;
3
1
2
1
;
2
1
1
1
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
4;1;3
Đường thẳng
qua
1;1;1
I , có
4;1;3
u
là VTCP nên có PTTS là:
:
1 4
1 ,
1 3
x t
y t t R
z t
Bài toán 5: Lập phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
A
và vuông góc với hai đường
thẳng
1 2
,
d d
( không song song và không trùng nhau )
Phương pháp:
Bước 1: Tìm VTCP
1 2
,
u u
của
1 2
,
d d
Bước 2: Tìm VTCP của đường thẳng (d):
1 2
;
u u u
Bước 3: Áp dụng loại 1
Ví dụ 6: Viết phương trình chính tắc của (d) đi qua
1;1;5
M và vuông góc với cả hai đường
thẳng
1
1
: 2 2 ,
3
x t
d y t t R
z t
và
2
1 1
:
2 3 5
x y z
d
Bài giải:
Gọi
u
,
1 2
,
u u
lần lượt là VTCP của
d
,
1 2
,
d d
1 2
1;2;1 , 2;3;5
u u
Vì (d) vuông góc với hai đường thẳng
1 2
,
d d
nên :
1
1 2
2
2
;
3
u u
u u u
u u
1
5
;
1
5
1
2
;
1
2
2
3
7; 7;7
Chọn
u
1; 1;1
Đường thẳng (d) qua
1;1;5
M , có VTCP
u
1; 1;1
nên có PTCT là:
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
(d):
1 1 5
1 1 1
x y z
Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng
1 2
( ),( )
d d
cho trước
Phương pháp:
Bước 1: Chuyển
1 2
( ),( )
d d
về dạng tham số
Bước 2: Gọi (d) cắt
1 2
( ),( )
d d
lần lượt tại B, C. Khi đó tọa độ của B và Ctheo thứ tự thỏa mãn các
phương trình của
1 2
( ),( )
d d
Bước 3: A, B, C thẳng hàng
AB kAC
. Từ đó tìm được tọa độ của B (hoặc C)
Bước 4: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có VTCP là
AB
( hoặc
AC
)
Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng sau:
1 2
1 3 2 2 1 1
, :
1 2 1 3 1 2
x y z x y z
d d
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A (3; -1; 4) và cắt hai đường thẳng
1 2
( ),( )
d d
Bài giải:
Phương trình tham số của
1
( )
d
là:
1
3 2 ,
2
x t
y t t R
z t
Phương trình tham số của
2
( )
d
là:
2 3 '
1 ' , '
1 2 '
x t
y t t R
z t
Giả sử (d) cắt
1 2
( ),( )
d d
lần lượt tại B và C
1 2
( ), ( )
B d C d
1 ;3 2 ; 2 , 2 3 ';1 ';1 2 '
B t t t C t t t
Vì (d) qua A và cắt
1 2
( ),( )
d d
lần lượt tại B và C nên ba điểm A, B, C thẳng hàng
AB kAC
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Ta có:
2;4 2 ; 6
AB t t t
,
3 ' 1;2 '; 3 2 '
AC t t t
2 3 ' 1
2 4 2 '
6 3 2 '
t k t
AB k AC t k t
t k t
' 0
2
t t
k
1;2; 3
AC
Đường thẳng (d) qua A (3; -1; 4) nhận
1;2; 3
AC
là VTCP nên có PTTS là
3
: 1 2 ,
4 3
x t
d y t t R
z t
Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng (d) và song song với đường thẳng
1
d
( hoặc
vuông góc với mặt phẳng (P)), cắt hai đường thẳng
2 3
( ),( )
d d
chéo nhau cho trước
Phương pháp:
Bước 1: Tìm VTCP
1
u
của
1
d
Bước 2: Lập phương trình mp (P) chứa
2
d
và song song với
1
d
Bước 3: Xác định giao điểm A của
3
d
và (P)
Bước 4: Lập phương trình đường thẳng (d) qua A có VTCP
1
u
Ví dụ 8: Lập phương trình đường thẳng
song song với
1
1
: 2 4
1
x
d y t
z t
và cắt cả hai đường thẳng
2 3
1 ' 4 5 ''
: 2 4 ', : 7 9 ''
2 3 ' ''
x t x t
d y t d y t
z t z t
Bài giải:
Gọi VTCP của
1 2
( ),( )
d d
lần lượt là
1 2
,
u u
1 2
0;4; 1 , 1;4;3
u u
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Gọi (P) là mặt phẳng chứa
2
d
và song song với
1
d
và
n
là VTPT của (P)
1
1 2
2
; 16; 1; 4
n u
n u u
n u
Mặt phẳng (P) chứa
2
d
nên điểm M (1; -2; 2)
( )
P
Vậy mặt phẳng (P) qua M (1; -2; 2) và có VTPT
16; 1; 4
n
nên có phương trình là:
16 1 1 2 4 2 0
x y z
16 4 10 0
x y z
Gọi A là giao điểm của
3
d
và (P)
A là nghiệm của hệ phương trình
4 5 ''
7 9 ''
16 4 5 '' 7 9 '' 4 '' 10 0
''
16 4 10 0
x t
y t
t t t
z t
x y z
67 '' 67
t
'' 1
t
1;2;1
A
Đường thẳng (d) qua
1;2;1
A có VTCP
1
0;4; 1
u
nên có PTTS là:
1
: 2 4
1
x
d y t
z t
Bài toán 8: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A, vuông góc với
1
d
và cắt
2
d
chéo nhau cho trước
Phương pháp:
Bước 1: Lập phương trình mp (P) qua A và vuông góc với
1
d
Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm B của
2
d
và (P)
- Nếu không tồn tại giao điểm. Kết luận vô nghiệm
- Nếu có vô số giao điểm . Kết luận có vô số đường thẳng trong (P) đi qua A và cắt
2
d
- Nếu có nghiệm duy nhất thực hiện bước ba
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có VTCP
AB
Ví dụ 9: Lập phương trình đường thẳng
đi qua A (0; 1; 1) vuông góc với
1
1 2
3 1 1
x y z
d
và cắt
2
1
: 1
2
x
d y t
z t
Bài giải:
1
d
có VTCP là
1
3;1;1
u
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với
1
d
nên (P) nhận VTCP của
1
d
là VTPT
Vậy phương trình mặt phẳng (P) qua A (0; 1; 1) có VTPT
1
3;1;1
u
là:
(P):
3 2 0
x y z
Gọi B là giao điểm của
2
d
và (P) . Khi đó B là nghiệm của hệ phương trình
1
1
2
3 2 0
x
y t
z t
x y z
3 1 2 2 0
t t
2 2 1
t t
Vậy
1;2;3
B
1;1;2
AB
Đường thẳng
qua A (0; 1; 1) và có VTCP
1;1;2
AB
có PTCT là:
1 1
1 1 2
x y z
Bài toán 9: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A vuông góc và cắt đường
thẳng
cho trước
Phương pháp:
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bước 1: Nhận xét rằng đường thẳng (d) cần tìm sẽ đi qua hình chiếu vuông góc H của A trên
Bước 2: Xác định tọa độ H bằng cách:
- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với
-
( )
H P
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có VTCP là
AH
Ví dụ 10: Cho điểm
1;2; 1
M
và đường thẳng (d):
2
1
x
y t
z t
a. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng (d). Từ đó suy ra tọa độ
điểm M’ đối xứng với M qua (d)
b. Lập phương trình đường thẳng đi qua M vuông góc với (d) và cắt (d)
Bài giải:
a. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng (d). Khi đó (P) nhận VTCP
0;1; 1
u
của (d) là VTPT
Vậy mặt phẳng (P) qua
1;2; 1
M
có VTPT
0;1; 1
u
có phương trình là:
3 0
y z
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng (d). Khi đó H là giao điểm của
(d) và (P)
Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:
2
2 4 2
1
3 0
x
y t
t t
z t
y z
2;2; 1
H
Vì M’ đối xứng với M qua (d) nên H là trung điểm của MM’
'
' '
'
' '
' '
'
2
2 3
2 2
2
2 1
2
M M
H
M H M M
M M
H M H M M
M H M M
M M
H
x x
x
x x x x
y y
y y y y y
z z z z
z z
z
. Vậy
' 3;2; 1
M
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
b. Phương tình đường thẳng
qua
1;2; 1
M
có VTCP
1;0;0
MH
nên có PTTS là:
1
: 2
1
x t
y
z
,
t R
Bài toán 10: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) trên một mặt
phẳng
1. Trên các mặt phẳng tọa độ
Phương pháp:
Bước 1: Chuyển (d) về dạng tham số ,
o
o
o
x x at
y y bt t R
z z ct
Bước 2: Khi đó:
Hình chiếu vuông góc của (d) lên (Oxy) có phương trình ,
0
o
o
x x at
y y bt t R
z
Hình chiếu vuông góc của (d) lên (Oyz) có phương trình
0
,
o
o
x
y y bt t R
z z ct
Hình chiếu vuông góc của (d) lên (Oxz) có phương trình 0 ,
o
o
x x at
y t R
z z ct
2. Trên mặt (P) bất kì
Phương pháp:
Bước 1: Lấy điểm
A d
.Từ đó xác định tọa độ điểm H là hình chiếu của Atrên (P)
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bước 2: Phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (P) là đường thẳng qua H và song
song với (d)
Ví dụ 11: Lập phương trình đường thẳng
là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
4
: 4 3
1 2
x t
d y t
z t
trên mặt phẳng (P): x – y + 3z + 8 = 0
Bài giải:
Gọi VTCP của (d) là
4;3; 2
u
điểm
0;4; 1 ( )
A d
Đường thẳng qua A và vuông góc với (P) nên nhận VTPT
1; 1;3
n
của mp (P) là VTCP
Phương trình đường thẳng qua
0;4; 1
A
nhận
1; 1;3
n
là VTCP nên có PTTS là:
4
1 3
x t
y t
z t
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Khi đó tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:
4
4 3 9 8 0
1 3
x – y 3z 8 0
x t
y t
t t t
z t
10
11 10
11
t t
10 54 41
; ;
11 11 11
H
Phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên mp (P) là đường thẳng qua A và song song với
(d) nên có VTCP là
4;3; 2
u
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Vậy phương trình cần tìm là:
10
4
11
54
: 3
11
41
2
11
x t
y t
z t
Bài toán 11: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng
1
d
và
2
d
Phương pháp:
Bước 1: Giả sử A, B theo thứ tự là chân đường vuông góc chung trên
1
d
và
2
d
Bước 2: Chuyển phương trình
1
d
và
2
d
về dạng tham số, suy ra tọa độ của A, B theo phương
trình tham số của
1
d
và
2
d
Bước 3: Từ điều kiện:
1
1 1
2
2 2
. 0
,
. 0
d d
AB u ABu
t u
d d
AB u ABu
tọa độ A, B
Bước 4: Viết phương trình đường vuông góc chung của
1
d
và
2
d
qua A và có VTCP là
AB
Ví dụ 12: Trong Oxyz cho hai đường thẳng
1
1
: 0
5
x t
d y
z t
và
2
0
: 4 2 '
5 3 '
x
d y t
z t
a. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
b. Lập phương trình đường vuông góc chung
của
1
d
và
2
d
Bài giải:
a. Gọi VTCP của
1
d
và
2
d
lần lượt là
1 2
1;0;1 , 0; 2;3
u u
Lấy
1 1 2 2
1;0; 5 , 0;4;5
M d M d
Ta có:
1 2
; 2; 3; 2
u u
,
1 2
1;4;10
M M
Xét:
1 2 1 2
; . 2 12 20 34 0
u u M M
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Vậy hai đường thẳng
1
d
và
2
d
chéo nhau
b. Giả sử A, B theo thứ tự là chân đường vuông góc chung trên
1
d
và
2
d
1 ;0; 5 , 0;4 2 ';5 3 '
A t t B t t
1 ;4 2 ';10 3 '
AB t t t t
Vì
1
1 1
2
2 2
. 0
. 0
d d
AB u AB u
d d
AB u AB u
1 10 3 ' 0 3 ' 2 9 0 ' 1
8 4 ' 30 9 ' 3 0 13 ' 3 22 0 3
t t t t t t
t t t t t t
4;0; 2 , 0;6;2
A B
Đường thẳng
qua A (4; 0; -2) và có VTCP là
AB
=(-4; 6; 4) có phương trình là:
4 2
4 6 4
x y z
Dạng 2: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Phương pháp: Với hai đường thẳng
1 2
( ),( )
d d
có phương trình:
1 1 1
1
1 1 1
:
x x y y z z
d
a b c
1
d
có VTCP
1 1 1 1
; ;
u a b c
và đi qua
1 1 1 1
; ;
M x y z
2 2 2
2
2 2 2
:
x x y y z z
d
a b c
2
d
có VTCP
2 2 2 2
; ;
u a b c
và đi qua
2 2 2 2
; ;
M x y z
Xét vị trí tương đối của
1 2
( ),( )
d d
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Thực hiện:
- Với đường thẳng
1
d
chỉ ra VTCP
1
u
và điểm
1 1
M d
- Với đường thẳng
2
d
chỉ ra VTCP
2
u
và điểm
2 2
M d
Bước 2: Kiểm tra:
- Nếu
1
u
,
2
u
,
1 2
M M
cùng phương thì kết luận
1 2
( ),( )
d d
trùng nhau
- Nếu
1
u
,
2
u
cùng phương và không cùng phương với
1 2
M M
thì kết luận
1 2
( ),( )
d d
song song
với nhau
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
- Nếu
1
u
,
2
u
không cùng phương , thực hiện bước 3
Bước 3: xét:
1 2 1 2
; .
u u M M
. Khi đó:
- Nếu
1 2 1 2
; . 0
u u M M
thì kết luận
1 2
( ),( )
d d
cắt nhau
- Nếu
1 2 1 2
; . 0
u u M M
thì kết luận
1 2
( ),( )
d d
chéo nhau
Ví dụ 13: Cho hai đường thẳng
1
2 1
: 2
3 3
x t
d y t
z t
và
2
2
: 3 2
3 1
x u
d y u
z u
Chứng mình hai đường thẳng đó chéo nhau
Bài giải:
1
d
có VTCP
1
2;1;3
u
và điểm
1 1
1;2; 3
M d
2
d
có VTCP
2
1;2;3
u
và điểm
2 2
2; 3;1
M d
Ta có:
1 2 1 2
; . 3; 3;3 1; 5;4 24 0
u u M M
Vậy
1 2
( ),( )
d d
chéo nhau
Dạng 3: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp:
Bước 1: Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (P)
Bước 2: Biện luận:
- Nếu hệ vô nghiệm, khi đó
( ) ( ) / /( )
d P d P
- Nếu hệ có nghiệm duy nhất, khi đó
( )
d P A
, với A là nghiệm của hệ
- Nếu hệ có vô số nghiệm, khi đó
( )
d P
Ví dụ 14: Biện luận theo m vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) biết:
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
2
: 2 1 3 0
P m x y z m
và (d):
2
1 2 ,
2 3
x t
y t t R
z t
Bài giải:
Thay x, y, z từ phương trình của (d) vào phương trình của (P) ta được:
2
2 2 1 2 2 3 1 3 0
m t t t m
2 2
1 2 3 5
m t m m
(1)
a. Nếu
2
1 0 1
m m
Với m = 1, ta có
1 0 0
t
. Vậy phương trình nghiệm đúng với
t R d P
Với m = - 1 , ta có
1 0 6
t
. Vậy phương trình vô nghiệm
/ /
d P
b. Nếu
2
1 0 1
m m
. Khi đó
2 5
1
1
m
t
m
Vậy (d) cắt (P) tai điểm duy nhất
3 3 9 7 17
; ;
1 1 1
m m
A
m m m
KL: Vậy với
1
m
thì (d) cắt (P) tại
3 3 9 7 17
; ;
1 1 1
m m
A
m m m
Với m = 1 thì
d P
Với m = -1 thì
/ /
d P
Dạng 4: Chuyển dạng phương trình đường thẳng
1. Với (d) cho dưới dạng tham số ,
o
o
o
x x at
y y bt t R
z z ct
(1)
a. Bằng cách khử t từ (1) ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng (d), cụ
thể:
0 0
0 0
1
bx bx ay ay
cx cx az az
Đó là phương trình tổng quát của (d)
b. Bằng cách rút t từ hệ ta nhận được phương trình chính tắc của (d), cụ thể:
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
0
0
0
1
o o o
x x
t
a
y y x x y y z z
t
b a b c
z z
t
c
Đó chính là phương trình chính tắc của (d)
2. Với (d) cho dưới dạng chính tắc ( ):
o o o
x x y y z z
d
a b c
(1)
a. Quy đồng, khử mẫu ta nhận được phương trình tổng quát của (d)
0 0
0 0
1
bx bx ay ay
cx cx az az
Đó là phương trình tổng quát của (d)
b. Bằng cách đặt
o o o
x x y y z z
a b c
=t ta được phương trình tham số
0
0
0
1
x x
t
a
y y
t
b
z z
t
c
(d): ,
o
o
o
x x at
y y bt t R
z z ct
Đó là phương trình tham số của (d)
3. Với (d) cho dưới dạng tổng quát (d):
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
Bước 1: Gọi
u
là VTCP của (d)
1 2
;
u n n
Bước 2: Tìm điểm
0 0 0
; ; ( )
M x y z d
Bước 3: Vậy ta có (d) qua M và có VTCP
u
. Từ đó có PTTS và PTCT của (d)
B: BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(2; 2; 2), C(4; 1; 1) và D(4; 1; 4)
a. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
b. Viết phương trình tham số đường cao tứ diện ABCD hạ từ D
c. Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC)
ĐS: a.
; . 0
AB AC AD
b.
4
1 ,
4
x t
y t t R
z t
c.
3;0;3
H
Bài 2:Cho điểm M(1; -1; 2) và hai mặt phẳng
1 2
,
P P
có phương trình
1 2
: 2 2 4 0, : 2 2 0
P x y z P x y z
a. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng
1 2
,
P P
ĐS:
1 6
: 1 4 ,
2
x t
d y t t R
z t
b. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên các mặt phẳng tọa độ
ĐS:
Ox Ox
11 6 0 11 6
: 7 4 , : 7 4 , : 0
0
y Oyz z
x t x x t
d y t d y t d y
z z t z t
Bài 3:Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng
1 2 3
: .
2 3 1
x y z
d
lên mặt phẳng (P): x
+ y +z -7 = 0. ĐS:
8
2
3
1
3
3
14
3
x t
y t
z t
Bài 4: Tìm hình chiếu H của điểm A(1; 0; -4) lên đường thẳng
1 4
:
1 2 1
x y z
d
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
ĐS:
1 8 2
; ;
3 3 3
H
Bài 5: Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A(3; -3; 4) qua mặt phẳng
:2 2 7 0
P x y z
ĐS: A’=(-1; 1; 2)
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
:3 3 4 0
P x y z
và cắt hai
đường thẳng
1 2
1 3 2 2 1 1
: , :
1 2 1 3 1 2
x y z x y z
d d
ĐS:
2 3
: 5 3
1 4
x t
d y t
z t
Bài 7: Cho M(2; 2; 1) và hai đường thẳng
1 2
,
d d
có phương trình
1 2
1 2 3 2
: , :
2 1 2 1 2 3
x y z x y z
d d
a. Chứng minh hai đường thẳng
1 2
,
d d
chéo nhauĐS:
1 2 1 2
; . 11 0
u u M M
b. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với
1
d
và cắt
2
d
ĐS:
2
2
1
x t
y
z t
Bài 8: Cho mp (P): x + 2y + 3z – 4 = 0 và đường thẳng (d):
t1z
2y
t1x
a. Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và mp (P). ĐS: A(0; 2; 0)
b. Viết phương trình đường thẳng () nằm trong (P) qua A và vuông góc với (d).
ĐS:
2
:
1 2 1
x y z
Bài 9: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) biết:
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a.
1 3
: 1 2 ,
1 4
x t
d y t t R
z t
và
( ) :2 4 0
P x y z
ĐS:
d P
b.
2 4 2
( ):
1 3 1
x y z
d
và
( ):2 2 5 0
P x y z
ĐS:
, 1;1;1
d P A A
Bài 10: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình:
2 3 4
: 2 3 5 0, :
1 2 3
x y z
P mx y z d
Tìm giá trị của m để
a. (d) // (P) ĐS: m = -13
b.
d P
ĐS: m = 1
