Căn bậc hai của số phức và giải phương trình trên tập số phức

Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 03: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Căn bậc hai của số phức
a. Định nghĩa: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z
2
= w được gọi là một căn bậc hai của w. Nói
cách khác, mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình:
z
2
– w = 0 (với ẩn z )
Chú ý: Để tìm căn bậc hai của số phức w, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu w là số thực ( tức là w = a):
 Với a > 0 thì w có hai căn bậc hai là
a

 Với a < 0 thì w có hai căn bậc hai là
i a
 

Trường hợp 2: Nếu w = a + bi


, , 0
a b R b
 
thì z = x +yi



,
x y R
 là căn bậc hai của w
 
 
2 2
2
2 2 2
w 2
2
x y a
z x yi a bi x y xyi a bi
xy b

 
           




Ghi nhớ:
 w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0
 w
0

có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau ( khác 0)
Đặc biệt:
 Số thực dương a có hai căn bậc hai là

a

 Số thực âm a có hai căn bậc hai là
i a
 

2. Phương trình bậc hai
Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0, với a, b, c là những số phức và
0
a


Xét biệt thức
2
4 ,
b ac
   ta có các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu
0
 
thì phương trình có hai nghiệm:
1;2
2
b
z
a

 

 , trong đó

là
một căn bậc hai của


Đặc biệt:
 Nếu

là số thực dương thì phương trình có hai nghiệm:
1;2
2
b
z
a
  

 Nếu

là số thực âm thì phương trình có hai nghiệm:
1;2
2
b i
z
a
  

Trường hợp 2: Nếu

= 0 thì phương trình có nghiệm kép:

1 2
2
b
z z
a
  
Chú ý:
1. Mọi phương trình bậc hai ( với hệ số phức) có hai nghiệm phức ( có thể trùng nhau)
Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

2. Mọi phương trình bậc n:
1
0 1 1
0
n n
n n
a z a z a z a


    
, trong đó
0 1
, , ,
n
a a a
là
n + 1 số phức cho trước,

0
0
a

và n là một số nguyên dương luôn có n nghiệm
phức ( không nhất thiết phân biệt )


B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Căn bậc hai của số phức
Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần căn bậc hai của số phức và lưu ý tới các trường đặc biệt
Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a) z = i; b) z =
1 4 3
i

Bài giải:
a. Giả sử số


,
z x yi x y R
   là căn bậc hai của i, tức là ta có:
 
2
2 2
2
i x yi x y xyi
    
2 2

2
0
2
2 1
2 1
2
2
x y
x y
x y
xy
xy
x y

 

 

 


  
 




  



Vậy số i có hai căn bậc hai là
 
2
1
2
i
 

b. Giả sử số


,
z x yi x y R
   là căn bậc hai của
1 4 3
i
 , tức là ta có:
 
2 2
2
2 2
2
2
2 3
1
1 4 3 2
2 3
2 4 3
1

y
x
x y
i x yi x y xyi
xy
x
x

 


 
 
       
 
 
 



  
 
 

 


4 2 2
2
2 3 2 3

3
2
12 0 4
3
x
y
y y
x x
x
x x x
y
 




 
 

   

  
 
 

 


 


   
 







Vậy số
1 4 3
i
 có hai căn bậc hai là


2 3
i 

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì
w
z 
Bài giải:
Giả sử


,
z x yi x y R
   . Theo giả thiết có:
Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

 
 
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
w 2 w 4
x yi x y xyi a b a b a b
          


2 2
w
a b z
   

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai của số phức:
Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần phương trình bậc hai
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a.
1
1
z
z
 
b.
3
1 0

z
 
c.
4
4 0
z
 

Bài giải:
a. Ta có:
2
1
1 1 0
z z z
z
     

2
1 4 3 3 3
i i
        
Vậy nghiệm của phương trình là:
1;2
1 3
2
i
z


b. Ta có:

 
 
3 2
2
1
1 0
1 0 1 1 0
1 3
1 0
2
z
z
z z z z
i
z z
z
 

 


        



  





c. Ta có:
  
2
4 2 2
2
2 0 2
4 0 2 2
2 0
2
z z
z z z
z
z i


   
      


 
 




Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a. z
4
+ 4 = 0 b.

   
2
3 6 3 13 0
z i z i
      
c.
2
3 3
3 4 0
2 2
iz iz
z i z i
 
 
  
 
 
 

Bài giải:
a. Ta có:
2
4 4
2
2
4 0 4
2
z i
z z
z i



     

 


 Giả sử


,
z x yi x y R
   là căn bậc hai của 2i, tức là ta có:
 
2 2
2
2 2
1
0
2 2
1 1
2 2
x y x y
x y
i x yi x y xyi
xy x y
xy
   

 

 
       
 

   

 



phương trình z
2
= 2i có hai nghiệm là:


1;2
1
z i
  

 Giả sử


,
z x yi x y R
   là căn bậc hai của - 2i, tức là ta có:
Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

 
2 2
2
2 2
1
0
2 2
1 1
2 2
x y x y
x y
i x yi x y xyi
xy x y
xy
    

 
 
        
 

     

 



phương trình z
2

= - 2i có hai nghiệm là:


3;4
1
z i
  

Vậy phương trình có 4 nghiệm:


1;2
1
z i
  
,


3;4
1
z i
  

b. Đặt
3
t z i
  
. Khi đó phương trình có dạng:
2
3 2 3 3 2

6 13 0
3 2 3 3 2 3
t i z i i z i
t t
t i z i i z i
       
  
     
  
      
  

Vậy phương trình có hai nghiệm:
, 3
z i z i
  

c. Đặt
3
2
iz
t
z i



. Khi đó phương trình có dạng:
2
1
3 4 0

4
t
t t
t
 

   




Khi đó:
 Với t = - 1, ta có:
 
3 3 2 1 5
1 1 3 2
2 1 2
iz i i
i z i z
z i i
    
         
 

 Với t = 4, ta có:
 
3 3 8 4 35
4 4 3 8
2 4 17
iz i i

i z i z
z i i
  
       
 

Vậy phương trình có hai nghiệm
1 5 4 35
,
2 17
i i
z z
  
 
Ví dụ 3:
a. Giải phương trình:




2 2
2 1 0
z i z iz
   
(1)
b. Tìm số phức B để phương trình bậc hai
2
3 0
z Bz i
  

có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8
Bài giải:
a. Phương trình (1)

 
 
2
2
2
2
2
0
1
2
2 1 0
0
z i
z i
z i
z iz
z i
z i


 

 
  

 




  
 







b. Giả sử hai nghiệm của phương trình là z
1
, z
2
, suy ra:
 
1 2
2
2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2
. 3 2 6
8
z z B
z z i z z z z B i
z z


  

     


 

 
2
2
8 6 3
B i i
    


3
B i
   

Ví dụ 4: Giải phương trình







4 3 2
4 6 10 15 8 6 10 4 0
z i z i z i z

       

Bài giải:
Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Nhận xét rằng z = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho
2
0
z

, ta được:

     
2
2
1 4
4 6 10 15 8 6 10 0
z i z i i
z z
       


 
2
2
1 1
4 6 10 15 8 0

z i z i
z z
   
      
   
   

Đặt
2 2
2
1 1
2
t z z t
z z
     
. Khi đó, phương trình có dạng:




2
6 10 15 8 0 4 6 10 15 0
i t i t i t i
        

Ta có:
   
2 2
' 3 5 4.15 16 30 3 5
i i i i

        
1
2
3
2
5
2
t
i
t










Với
1
2
1
2
2
3 1 3
2 3 2 0
1
2 2

2
z
t z z z
z
z



        

 


Với
2
2
5 1 5
2 5 2 0
2 2
i i
t z z iz
z
       
3
4
2
2
z i
i
z









Vậy phương trình có 4 nghiệm:
1 2 3 4
1
2, , 2 ,
2 2
i
z z z i z
    

Chú ý:
1. Để giải phương trình phản hồi quy dạng:


4 3 2
0 0
az bz cz bz a a
     
(1) ta thực hiện theo các
bước:
Bước 1: Nhận xét rằng z = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình
cho
2

0
z

, ta được:
2
2
1 1
0
a z b z c
z z
   
    
   
   
(2)
Bước 2: Đặt
2 2
2
1 1
2
t z z t
z z
     
. Khi đó phương trình (2) có dạng:
2
2 0
at bt c a
   
(3)
Bước 3: Giải phương trình (3) để tìm t, từ đó suy ra giá trị của z

2. Để giải phương trình trùng phương dạng:
4 2
0
az bz c
  
được giải bằng việc đặt ẩn phụ
2
t z


Ví dụ 5: Giải phương trình:






1 2 3 10
z z z z
   
(1)
Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Bài giải:







2 2
1 2 2 3 10
z z z z
    

Đặt
2
2
t z z
 
. Khi đó phương trình có dạng:
 
2
2
3 10 3 10 0
5
t
t t t t
t
 

      




Với t = - 2, ta được:

2 2
1;2
2 2 2 2 0 1
z z z z z i
          

Với t = 5, ta được:
2 2
3;4
2 5 2 5 0 1 6
z z z z z         
Chú ý:
Để giải phương trình với hệ số thực dạng:








z a z b z c z d m
    
(1)
với
a b c d
  
ta thực hiện các bước:
Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng:





2 2
z a b z ab z c d z cd m
   
      
   
(2)
Bước 2: Đặt


2
t z a b z ab
   


2
z c d z cd t ab cd
      

Khi đó phương trình (2) có dạng:




2
0
t t ab cd m t ab cd t m
       

(3)
Bước 3: Giải phương trình (3) để tìm t, từ đó suy ra giá trị của z
 Mở rộng dạng phương trình trên với nghiệm phức và hệ số là những số phức
Ví dụ 6: Giải phương trình:
   
4 4
4 6 82
z z
   

Bài giải:
Đặt
4 6
5
2
t z z

   

4 1
6 1
z t
z t
  



  

. Khi đó phương trình được chuyển về dạng:

   
4 4
4 2 4 2
1 1 82 2 12 2 82 6 40 0
t t t t t t
           

2
2
2
4
10
10
t
t
t i
t
 



 


 
 


Với
2 3

t z
   

Với
2 7
t z
    

Với
10 5 10
t i z i     
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
1 2 3;4
3, 7, 5 10
z z z i      
Chú ý: Chúng ta đã biết cách giải phương trình với hệ số thực dạng:

   
2 2
z a z b c
   
ta thực hiện theo các bước:
Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Bước 1:
2
2

2
a b
x a t
a b
t x
a b
x b t


  



  



  


.
Khi đó phương trình có dạng:
2 2
4 2
2 12 2
2 2
a b a b
t t c
 
   

  
   
   
(2)
Bước 2: Đặt
2
u t

, phương trình có dạng:
2 2
2
2 12 2
2 2
a b a b
u u c
 
   
  
   
   
(3)
Bước 3: Giải phương trình (3) để tìm t, suy ra giá trị của z
 Mở rộng dạng phương trình trên với nghiệm phức và hệ số là những số phức

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
2i; -9; 1+ i
ĐS:



1 ,
i
 

3
i

,
1 2 2 2
2
2 2 2
i
 
 
 

Bài 2: Tính căn bậc hai của số phức
a. z = 5 + 12i b.
1 3
i

ĐS: a.
3 2
i
 
b.
3 1
2 2 2
i


Bài 3: Tính căn bậc ba của số phức
2
( 3 )
z i
 

Bài 4: Giải phương trình:
1)


2
3 3 0
i z iz i
    
ĐS:
 
1;2
39
2 3
i
z
i




2)
2
2 1 0
z iz

  
ĐS:
1;2
2
z i i
 
3)


2
3 2 6 0
z i z i
   
ĐS:
3 2
i



4)
4 2
1 0
z z
  
ĐS:
1;2 3;4
3 3
;
2 2
i i

z z
 
   
5)
4
1
1
2
z
z i

 

 

 

HD: Chia làm 2 trường hợp:
Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

TH1:
4
0
1
2 4
2
5 5

z
z
i
z i
z i




  


 


TH2:
4
1
1
1
1 1
2
3 3
z i
z
z i
z i
  




  


 


6)


3 2
3 2 2 2 0
z i z z i
    
ĐS:


1 2 1 2
i  

Bài 5: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức

_ _
3(2 ) 19 3
z z z z i
    
ĐS:
4
5
z i

z i
 


 


Bài 6: Giải phương trình:


2
3 1 5 0
z i z i
   
trên tập hợp các số phức
ĐS:
1 2
2
z i
z i
  


  
