giải phương trình trên tập số phức

Lê Đức Tình-Hạ Long-QN
Chuyên đề2: Giải phơng trình trên tập số phức
A. Đề bài :
1. Giải các phơng trình sau:
a) iz+2- i = 0
b) (2+3i).z = z-1
c) (2-i).
z
- 4 = 0
d)
z
- 2 +3i = 0
2. Giải phơng trình tích :
a) ( (2-i).
z
+3+i).(iz+
1
2i
) = 0
b) (z-2i).(z+2i) = 0
3. Giải các phơng trình sau :
a) z
2
=z+1
b) z
2
+(1-3i).z-2(1+i) = 0
c) z
2
+4 = 0
d) z

2
+2z+5 = 0
4. Giải phơng trình :
z+
1
z
= k với k thứ tự bằng 1;
2
; 2i .
5. Giải các phơng trình :
a) z
3
+1 = 0
b) z
3
+i = 0
c) z
4
-1 = 0
d) z
4
+4 = 0
6. Tìm các số thực b, c để phơng trình ( ẩn z) :
z
2
+bz+c = 0
nhận số phức z
0
= 1+i làm nghiệm.
7. Tìm các giá trị thực a, b, c để phơng trình :

z
3
+az
2
+bz+c = 0
Nhận z
1
=1+i và z
2
=2 làm nghiệm.
8. Tìm các số thực a, b để có phân tích :
2z
3
-9z
2
+14z-5 = (2z-1)(z
2
-az+b)
Rồi giải phơng trình :
2z
3
-9z
2
+14z-5 = 0.
9. Tìm các số thực a, b để có phân tích :
z
4
-4z
2
-16z-16 =( z

2
-2z-4) (z
2
+az+b)
Rồi giải phơng trình:
z
4
-4z
2
-16z-16 = 0
10. Giải phơng trình :
z
4
-z
3
+
2
2
z
+z+1 = 0 bằng cách đặt ẩn phụ =z-
1
z
11. Giải các phơng trình sau :
(z
2
+3z+6)
2
+2z(z
2
+3z+6)-3z

2
= 0
12. Tìm số thực a, b để có phân tích :
f(z) =z
4
-4z
3
+7z
2
-16z+12 =(z
2
+4)(z
2
+az+b)
Từ đó giải phơng trình : f(z) = 0
13. Giải phơng trình :
z
4
-5z
3
+8z
2
-10z+12 = 0
14. Giải phơng trình :

z
-iz = 1-2i
15. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời :

1z

z i
-
-
= 1 và
3
1
z i
z i
-
=
+
16. Tìm số phức z thỏa mãn :

4
z i
z i
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
-
ố ứ
= 1

B.H ớng dẫn giải và đáp số ;
1. a) đs : z= 1+2i b) z=
1
10
-
(1-3i)
1c) Cách 1 : Gọi z=x+yi với x.y R.
z
=x-yi
(2-i) (x-yi) -4=0 (2x-y-4)+(-x-2y)i = 0
2 4
2 0
x y
x y
ỡ
ù
- =
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ

8
5
4
5
x
y

ỡ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
= -
ù
ù
ù
ợ
Vậy z =
8 4
5 5
i-
Cách 2 : sử dụng các kết quả : z
1
=z
2

1 2
z z=
và
1 2 1 2
. .z z z z=
, ta có :

(2-i)
z
-4=0 (2 ). 4i z- = (2 ).i z- =4 (2+i).z=4z=
4 8 4 8 4
2 5 5 5
i
i
i
-
= = -
+
1d)
z
-2+3i=0 z=
2 3i-
z =2+3i
2a)
( (2-i) .
z
+3+i).(iz+
1
2i
) = 0
(2 ). 3 0
1
0
2
i z i
iz
i

ộ
- + + =
ờ
ờ
ờ
+ =
ờ
ở

Để giải phơng trình : (2-i).
z
+3+i =0 ta sử dụng kết qủa :
1 2 1 2
z z z z+ = +
(2-i).
z
+3+i =0 (2+i).z+3-i = 0 z =
3
2
i
i
- +
+
z =-1+i
Phơng trình : iz+
1
2i
=0 -z+
1
2

=0 z =
1
2
đs : z
1
=2+3i , z
2
=
1
2
2b) đs: z= 2i
3. a) đs : z =
1
2

5
2
b)
D
=(1-3i)
2
+8(1+i)=2i =(1+i)
2
. một căn bậc hai của
D
bằng 1+i
phơng trình có hai nghiệm là z=
1 3 (1 )
2
i i- + +

hay
1
2
1
2
z i
z i
ộ
= - +
ờ
ờ
=
ờ
ở

c) z
2
+4 = 0 z
4
-4i
2
= 0 (z
2
-2i)(z
2
+2i) = 0
2
2
2
2

z i
z i
ộ
=
ờ
ờ
= -
ờ
ở
vậy z
1
=1+i, z
2
=-1-i, z
3
= 1-i, z
4
=-1+i
d) z
2
+2z+5 = 0 z
2
+2z+1=-4(z+1)
2
=4i
2
z
1
=- 1+2i, z
2

=- 1-2i
Có thể tính :
D
=1-5 =-4. =z+yi là một căn bậc hai của
D

2
=-4

2 2
4
2 0
x y
xy
ỡ
ù
- = -
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ù
ợ

2 2
2 2
4
( 4) 0

y x
x x
ỡ
ù
= +
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ

0
2
x
y
ỡ
ù
=
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
=2i
Vậy z
1

=-1+2i, z
2
= -1-2i
4. z+
1
z
= k z
2
-kx +1=0 (z-
2
k
)
2
=
2
4
4
k -
z=
2
k

2
ả

Với là một căn bậc hai của k
2
-4
2
=k

2
-4
Với k=1 thì
2
=-3=3i
2
=i
3
. Vậy z=
1
2

3
2
i
Với k=
2
thì
2
=-2 =2i
2
=i
2
. Vậy z =
2
2
(1i)
Với k=2i thì
2
=-8=8i

2
=2
2
i. Vậy z = i
2
i hay z = (1
2
)i
5. a) z
3
+1 = 0 (x+1)(z
2
-z+1) = 0 (z+1)[ (z-
1
2
)
2
+
3
4
] = 0
1
1 3
2 2
z
z i
ộ
= -
ờ
ờ

ờ
=
ờ
ở
b) đs : z
1
=i , z
2
=
3
2
-
1
2
i , z
3
=-
3
2
-
1
2
i
c) đs : z = 1 , z = i
d) đs : z
1,2
=1i , z
3,4
=-1i
6. Giải : vì z

0
=1+i là nghiệm của phơng trình , nên ta có :
(1+i)
2
+b(1+i) +c = 0 (b+c)+(2+b)i = 0
0
2 0
b c
b
ỡ
ù
+ =
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
b=-2; c=2
7. Xác định a, b , c từ hệ phơng trình:
3 2
(1 ) (1 ) (1 ) 0
8 4 2 0
i a i b i c
a b c
ỡ
ù
+ + + + + + =
ù
ù

ớ
ù
+ + + =
ù
ù
ợ

Trừ từng vế hai phơng trình, ta đợc: (1+i)[2i+(1+i)a+b]=8+4a+2b
(-3a-b-8)+(2a+b+2)i=0

3 8
2 2
a b
a b
ỡ
ù
+ = -
ù
ớ
ù
+ = -
ù
ợ

6
10
a
b
ỡ
ù

= -
ù
ớ
ù
=
ù
ợ

Thay các kết quả của a, b vào phơng trình 2 , ta đợc : c=-4
đs : a=-6 ; b=10 ; c= -4.
8. a) đs : a=-4; b=5
b) phơng trình :(2z-1)(z
2
-4z+5) = 0 có ba nghiệm là z=2i và z=
1
2
9. a) đs : a=2; b=4.
b) z
4
-4z
2
-16z-16=0 (z
2
-2z-4)(z
2
+2z+4)=0
2
2
( 1) 5 1 5
( 1) 3

1 3
z z
z
z i
ộ
ộ
- = =
ờ
ờ

ờ
ờ
+ = -
ờ
= -
ờ
ở
ở
10. z
4
-z
3
+
2
2
z
+z+1 = 0 (z
4
+1)-(z
3

-z)+
2
2
z
=0. Chia cả hai vế cho z
2
, ta đợc :
(z
2
+
2
1
z
) (z-
1
z
) +
1
2
=0
2
1
5
0
2
z
z
w
w w
ỡ

ù
ù
= -
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- + =
ù
ù
ù
ợ

1
2
1 3
2 2
1 3
2 2
i
i
w
w
ỡ
ù
ù
= +
ù

ù
ù
ớ
ù
ù
= -
ù
ù
ù
ợ
Phơng trình : z-
1
z
=
1
2
+
3
2
i cho nghiệm z
1
=1+i ; z
2
=-
1
2
(1-i)
Phơng trình : z-
1
z

=
1
2
-
3
2
i cho nghiêm z
3
=-
1
2
(1+i) ; z
4
= 1-i
11. (z
2
+3z+6)
2
+2z(z
2
+3z+6)-3z
2
= 0
Ta thấy z0 ( vì sao ?). Chia cả hai vế cho z
2
và đặt
2
2
3 6z z
t

z
+ +
=
,
Dẫn tới phơng trình : t
2
+2t-3 = 0 t=1 hoặc t=-3.
Với t=1 , ta có : z
2
+3z+6 = z z
2
+2z+6 = 0 z = -1
5
i
Với t=-3 , ta có : z
2
+3z+6 = -3z z
2
+6z+6 = 0 z = -3
3
12. đs : a = -4 ; b = 3.
Phơng trình : (z
2
-4z+3)(z
2
+4) = 0
2
1 2
2
3 4

4 3 0 1; 3
2; 2
4 0
z z z z
z i z i
z
ộ
ộ
- + = = =
ờ
ờ

ờ
ờ
= = -
+ =
ờ
ờ
ở
ở
13. z
4
-5z
3
+8z
2
-10z+12 = 0 (z
4
-5z
3

+6z
2
)+(2z
2
-10z+12) = 0
z
2
(z
2
-5z+6) +2(z
2
-5z+6) = 0 (z
2
-5z+6)(z
2
+2) = 0
Phơng trình có bốn nghiệm là : z
1
=2 ; z
2
=3; z
3
=1+i ; z
4
=-1-i
14.
z
-iz = 1-2i
z
= 1+(z-2)i

Z=x+yi , với x, y
ẻ
R .

z
= 1+(z-2)i