Các dạng bài tập rút gọn biểu thức pps

CÁC DẠNG BÀI TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC
ÔN THI HỌC KỲ LỚP 9
Bài 1: Cho biểu thức
4x
4 -x
.
2x
x
2x
x
P








+
+
−
=
a. Rút gọn P
b. Tìm giá trị của x để cho P > 3
Bài 2: Cho biểu thức
1x
2x
.
2x
1x

2x
x x
P
+
−








+
+
+
−
+
=
a. Rút gọn P
b. Tìm x? để cho P
2≥
c. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 3: Cho biểu thức
14x
1x
.
1-x
2xx
1x

1x
P
−
−








−−
+
−
+
=
a. Rút gọn P
b. Chứng minh rằng
4
1
x 1,x 0,x ≠≠>∀
thì giá trị của P luôn dương và
không nguyên.
c. Tính giá trị của P với
229368-35 x −++=
HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ
Bài 1:
a. Đk:
4x 0,x ≠>

P
x=
b.
9 x >
Bài 2
a. Đk:
4x 0,x ≠≥
P
( )
2x
4
- 1x
+
+=
b. Dấu “=’’ không xảy ra, P > 2 khi và chỉ khi x
>
4
c. Với x = 0 thì P nhận giá trị nguyên.
THƯ VIỆN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1
Bài 3
a. Đk:
4
1
x 1,x 0,x ≠≠≥
P
1x2
1x

+

+
=
b. Biến đổi P về dạng P
2x4
1
2
1

+
+=
⇒

4
1
x 1,x 0,x ≠≠>∀
thì
1 P0 <<
hay giá trị của P luôn dương và
không nguyên (đpcm)
c.
2293)3-2(4 229368-35 x
2
−++=−++=

( )
122122 22924
2
=−+=−+=
Vì x
∉= 1

TXĐ nên giá trị của P không xác định.
Lưu ý: Học sinh thường hay nhầm lẫn cách giải giữa 2 dạng sau đây:
Dạng 1: Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Ở dạng này biểu thức sau khi rút gọn, biến đổi thường có dạng P
Q(x)
α
=
(trong đó
α
là hằng số, Q(x) là biểu thức chứa biến x).
Các bước giải bài toán:
+ Tìm các ước của
α
+ Giải các phương trình Q(x) = t (với t là các ước của
α
)
+ So sánh với TXĐ, rồi kết luận.
Dạng 2: Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
Ở dạng này biểu thức sau khi rút gọn, biến đổi thường có dạng P
Q(x)
S(x)
=
(trong đó S(x) và Q(x) đều là các biểu thức chứa biến x).
Các bước giải bài toán:
+ Chuyển vế và biến đổi thành phương trình bậc 2 với ẩn x:
P.Q(x) – S(x) = 0 (1)
+ Tính
∆
, sau đó tìm P nguyên trong bất phương trình
0≥∆

+ Cuối cùng thay P vào phương trình (1) để tìm x, so sánh với
TXĐ rồi kết luận.
Trên đây là phương pháp giải thông thường, trong 1 số trường hợp đặc
biệt thì ta lại có cách giải khác nhanh hơn (ví dụ câu b bài 3 ở trên).
Xem xét các ví dụ sau:
CÁC DẠNG BÀI TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC
2
Ví dụ 1: Cho biểu thức P
x
xx
.
2x-x
2x
1xx
1x +








−
−
+
+
+
=
a. Rút gọn P

b. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
c. Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ
a. Đk:
4x 0,x ≠>
P
1x -x
2 x
+
+
=
b. Ta có P
1x-x
1x
1
1x -x
2 x
+
+
+=
+
+
=
Để P nguyên tức là









+
+
+
1x-x
1x
1
nguyên, hay là








+
+
1x-x
1x
nguyên.
Muốn









+
+
1x-x
1x
nguyên thì ta phải có
( ) ( )
1x-x1x +≥+
Giải bpt trên với đk
4x 0,x ≠>
ta được:
4x0 <<
.
Vì x nguyên nên x sẽ nhận giá trị là x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = 3
Chọn giá trị x = 1 thì P = 2 (thoả mãn)
c. Ta có P
1 x -x
2 x
+
+
=

( )
2 x 1x-x P +=+↔

( )
02 - P x P-x 1 - P =+↔
(1)
• Với
1 P =

thì (1) trở thành
01x- =−
(vô lý)
• Với
1 P ≠
thì (1) trở thành phương trình bậc 2 với ẩn là
x
Ta có
8P12-3P
2
−+=∆

08-P12P30Δ
2
≥+−↔≥
3
326
P
3
32-6 +
≤≤↔
Vì P nguyên nên P nhận 2 giá trị là
2 P
=
và
3 P
=
+ Với
2 P
=

thì
(1)
( )
02xx0x2 -x =−↔=↔






=
=
↔
=
=
↔ )(
4x
0x
2x
0x
lo¹i
+ Với
3 P =
thì
(1)
( )( )
01x21x01x3 -x 2 =−−↔=+↔




=
=
↔ )(
1/4x
1x
m·n tho¶
THƯ VIỆN TÀI LIỆU THAM KHẢO
3
Ví dụ 2: Cho biểu thức P
x2
x21
.
1x
4x4
x2-1
2x3
−
−








+
−
+
−

=
a. Rút gọn P
b. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
c. Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ
a. Đk:
4x ,
4
1
x 0,x ≠≠≥
1x
3x5
P
+
−
=
b. Biến đổi P về dạng
1x
8
- 5 P
+
=
Với
49x 9,x 1,x 0,x ====
thì giá trị của P lần lượt là
3,- P =

1, P =
3, P =
và

4. P =
Vậy với các giá trị nguyên của x là
49 9, 1, 0,x =
thì P nhận giá trị
nguyên.
c. Ta có
1x
3x5
P
+
−
=
( )
351x P −=+↔ x

( )
3 PxP5 +=−↔
(2)
• Với
5 P =
thì (2) trở thành 0 = 8 (vô lý)
• Với
5 P ≠
thì phương trình (2) có nghiệm là
P- 5
3 P
x
+
=
Do

0x ≥
nên suy ra
( )( )
5P3- 0 P53 P 0
P- 5
3 P
<≤↔≥−+↔≥
+
Theo câu b. thì với
3,- P =

1, P =

3, P =
và
4 P
=
đều thoả mãn. Còn với
2,- P =

1,- P =

0, P =

2 P
=
thì giá trị của x lần lượt là
,
49
1

x =
,
9
1
x =
,
25
9
x =
và
9
25
x =
đều thoả mãn TXĐ.
Vậy với các giá trị của x là
49 9, ,
9
25
1, ,
25
9
,
9
1
,
49
1
0, x =
thì P nhận
giá trị nguyên.

Ta thấy phương pháp giải của dạng 2 còn được áp dụng vào các bài toán
tìm max, min của biểu thức. Ở ví dụ 2 thì min
3- P =
khi
0. x =
CÁC DẠNG BÀI TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC
4