Bài giảng số 7. Các phương pháp giải hệ phương trình logarit thường gặp trong đề thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (362.6 KB, 8 trang )
Khóa học: Phương trình mũ, logarit ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
Bài giảng số 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG
I. Phương pháp:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép thế để nhận được từ hệ 1 phương trình theo ẩn x hoặc y (đôi khi có thể là theo cả
2 ẩn x, y)
Bước 3: Giải phương trình nhận được bằng các phương pháp đã biết đối với phương trình chứa căn thức
Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ phương trình.
II. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
3
3 4
1 3 (1)
log 1(2)
y
x
x
x
y x
Giải:
Điều kiện:
1 0
4 0 0 4
0
x
x x
x
Từ phương trình (2) ta được:
1 log
3
log
3
3
3 3
1 log 3 3
3
x
y
x
y x
x
(3)
Thế (3) vào (1) ta được:
2
2
3 3 4
1 1 1 1 4 1 4 1
2 0
2
4 2 3 0
3 0
4 2
x
x x x x x
x x
x
x
x x x y
x x
x x
Vậy hệ phương trình có 1 cặp nghiệm (3;0).
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
2 2
2 3
4 2
log 2 log 2 1
x y
x y x y
Giải:
Khóa học: Phương trình mũ, logarit ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
Điều kiện:
2 0
2 0
x y
x y
(*)
Từ phương trình thứ nhất của hệ lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được:
2 2
2 2 2 2
2 2
log 4 log 2 log 2 log 2 1
log 2 1 log 2
x y x y x y
x y x y
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
2 3 2 3 2
2
1 log 2 log 2.log 2 1 1 log 2 log 2 0
log 2 0 2 1
x y x y x y
x y x y
Vậy ta được hệ mới:
2 2
3
2 2
4 2
4
2 1 1
2 1
2
x
x y
x y
x y
x y
y
thoả mãn điều kiện (*)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm.
BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
I. Phương pháp:
Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để giải các hệ lôgarit là việc sử dụng các ẩn phụ. Tuỳ theo dạng của
hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp.
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức của hệ có nghĩa.
Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đã biết cách giải (hệ đối xứng loại I, loại II
và hệ đẳng cấp bậc hai)
Bước 3: Giải hệ nhận được
Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ ban đầu.
II. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
3 3
4 32
log 1 log
x y
y x
x y x y
Giải:
Khóa học: Phương trình mũ, logarit ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
Điều kiện:
0
0
; 0
x y
x y
x y
Biến đổi hệ phương trình về dạng:
2 2
2 2
3
2 5
2 5(1)
log 1
3(2)
x y
x y
y x
y x
x y
x y
Giải (1): Đặt
1
x y
t
y x t
. Khi đó (1) có dạng:
2
2
2
1
2 5 2 5 2 0
1
2
2
t
x y
t t t
y x
t
t
+ Với x=2y
2 2
1 2
(2) 4 3
1 2(1)
y x
y y
y x
+ Với y=2x
2 2
(2) 4 3
x y
vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 1 cặp nghiệm (2;1)
BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
I. Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cho 2 biểu thức của hệ có nghĩa
Bước 2: Từ hệ ban đầu chúng ta xác định được 1 phương trình hệ quả theo 1 ẩn hoặc theo cả 2 ẩn, giải
phương trình này bằng phương pháp hàm số đã biết.
Bước 3: Giải hệ mới nhận được.
II. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình:
2 3
2 3
log 3 1 log
log 3 1 log
x y
y x
Giải:
Điều kiện x; y>0. Biến đổi tương đương hệ về dạng:
Khóa học: Phương trình mũ, logarit ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
2 3 2 3
2 3 3 2
log 3 2 1 log log 3 2 1 log
log 3 2 1 log 2 1 log log 3
x y x y
y x x y
(I)
2 3 2 3
log 3 2log log 3 2 log
x x y y
(1)
Xét hàm số:
2 3
log 3 2log
f t t t
Miền xác định
0;D
.
Đạo hàm
1 2
0,
.ln 3
3 ln2
f t t D
t
t
hàm số luôn đồng biến.
Vậy phương trình (1) được viết dưới dạng:
f x f y x y
Khi đó hệ (I) trở thàmh:
2 3
log 3 2 1 log (2)
x y
x x
(II)
+ Giải (2):
2 1 log
log log 2.log
2 2
3
3 3 2
3 2 3 4.2 3 4.2
x
x x
x x x
log 2
log 4 1 log 4 log 4
2
3
3 3 3
3 4. 3 4. 3. 4
x x x x x x
(3)
Xét hàm số
1 log 4 log 4
3 3
3.g x x x
Miền xác định
0;D
Đạo hàm:
log 4 1 log 4
3 3
3 3
' 1 log 4 . 3log 4. 0
g x x x x D
hàm số luôn nghịch biến
Vậy phương trình (3) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Nhận xét rằng nếu x=1 là nghiệm của phương trình bới khi đó:
1 log 4 1 log 4
3 3
1 3.1 4 4 4
đúng
Khi đó hệ (II) trở thành:
1
1
x y
x y
x
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (1;1)
BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Khóa học: Phương trình mũ, logarit ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
I. Phương pháp:
Tính chất : Nếu
( )
f x
là hàm số đơn điệu trên miền D thì với mọi
,
x y D
mà
( ) ( )
f x f y
thì
.
x y
II. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
log log 1 (1)
1(2)
x y
e e y x xy
x y
Giải:
Điều kiện x; y>0
*) Giải (1) ta có nhận xét sau:
- Nếu
2 2
log log
x y x y
, khi đó:
1
1
0
0
VT
VP
(1) vô nghiệm
- Nếu
2 2
log log
x y x y
, khi đó:
1
1
0
0
VT
VP
(1) vô nghiệm
- Vậy x=y là nghiệm của (1)
Khi đó hệ có dạng:
2 2 2
1
1
1 2 1
2
2
x y
x y x y
x y
x
x y x
Vậy hệ có 1 cặp nghiệm
1 1
;
2 2
.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:
2
2
log 1
log 1 1
x y
x y x y
xy x y
Giải: Điều kiện:
0
0
1 0
1 0
0 2 1
x y
x y
xy
xy
x y
Từ phương trình thứ nhất của hệ với viếc sử dụng ẩn phụ t=x+y>0, ta được:
2
log 1
t t
Đặt
2
log 2
u
u t t
khi đó phương trình có dạng:
Khóa học: Phương trình mũ, logarit ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
2
2
0 log 0 1
2 1
1 log 1 2
Bernoulli
u
u t x y
u
u t x y
+ Với x+y=1 hệ có dạng:
3
1
1 1 0; 1
1 1 0 1; 0
log 1 0
x y
x y x y x y
xy xy x y
xy
+ Với x+y=2 hệ có dạng:
4
2
2 2
1 4 3
log 1 1
x y
x y x y
xy xy
xy
Khi đó x; y là nghiệm của phương trình:
2
2 3 0
t t
vô nghiệm
Vậy hệ có 2 cặp nghiệm (0;1) và (1;0)
LUYỆN TẬP: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGA
I. Hệ phương trình mũ.
1)
5
3
4
3 1
x
y
y x
x y
x y
2)
3 3
4 32
log 1 log
x y
y x
x y x y
3)
1
2
1
.9 9
3
3 2
4
x
y y
x y x
x y
4)
2
3
5
2 1
2 2 .2
3 3.3
x
y
y
x
y
x
y y
5)
2 2
1
lg lg 2
xy
x y
6)
2
2
3 2 77
3 2 7
x y
y
x
7)
2.log
2
3 4
log log
x
x y
y
y y
xy x
8)
1 1
3.2 2.3 6
2 3 19
x y
x y
9)
3
3
3
5
5 5.3
x y
x y
x y
x y
10)
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
Khóa học: Phương trình mũ, logarit ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
11)
4
4
4
4
.3 1
8 6 0
y x
x y
x y
x y
12)
lg lg
lg 4 lg3
3 4
4 3
x y
x y
13)
5
log
2
log 3
4
.
log 1
y x
x
y
y
y x x
y
14)
3 1 2 3
2
2 2 3.2
3 1 1
x y y x
x xy x
15)
2
1
2 14
8
log 2 log 1
3
y
x
x xy y
y x
16)
3 2 2 1 2 4
3 2 2 1 2 4
x y
y x
II.Hệ phương trình lôgarit.
1)
2 2
3 3
log log 2
16
x y y x xy
x y
2)
lg lg
lg 4 lg3
3 4
4 3
x y
x y
3)
2 2 2
7
log log 2 log 3
log 1
x y
x y
4)
2 log log 5
8
y x
x y
xy
5)
log log
4 4
8 8
4
log log 1
y x
x y
x y
6)
log log
4 4
8 8
4
log log 1
y x
x y
x y
7)
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log log 2 1 log 3
log 1 log 4 2 2 4 log 1
x y x x y
x
xy y y x
y
8)
2 4 4 2
4 2 2 4
log log log log
log log log log
x y
x x
9)
2
1
2 14
8
log 2 log 1
3
y
x
x xy y
y x
10)
log 3 2 2
log 3 2 2
x
y
x y
y x
11)
log 3 5 log 3 5 4
log 3 5 .log 3 5 4
x y
x y
x y y x
x y y x
Khóa học: Phương trình mũ, logarit ôn thi Đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
12)
2
3 3
3
2
1
log log 0
2
2 0
x y
x y y
13)
log log
3 3
3 3
2 27
log log 1
y x
x y
y x
14)
2
2 4
3
2 4
5.log log 8
5.log log 9
x y
x y
15)
2 2 2
2
lg lg lg
lg lg .lg 0
x y xy
x y x y
16)
2
1 2
1 2
2.log 2 2 log 2 1 6
log 5 log 4 1
x y
x y
xy x y x x
y x
17)
3
3 4
1 1 .3
log 1
y
x
x
x
x y
18)
log 2
log
2 2
3
3
4 2
3 3 12
xy
xy
x y x y
19)
3 3
4 32
log 1 log
y x
x y
x y x y
20)
3
2
log 3
2 12 .3 81
x
x y
y y y
21)
2
1
2
log 4
log 2
xy
x
y
22)
1
2
2 2
2
2
3
2 2
2
2 2 4 1 0
x
y
x
xy
x y x x y x
