Bài toán cực trị của hàm số và các dạng bài tập

Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số


y f x
 xác định trên
.
D


o
x x

gọi là điểm cực đại của hàm số nếu




, , ,
o
a b x a b D
  
và





,
o
f x f x







\, ,
o o o
x a b x f x
  gọi là giá trị cực đại của hàm số.

o
x x

gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu




, , ,
o
a b x a b D
  

và




,
o
f x f x







\, ,
o o o
x a b x f x
  gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
2. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính đạo hàm


'
f x
. Tìm
x
mà tại đó



' 0
o
f x

hoặc tại đó mà


f x
liên tục nhưng không có đạo
hàm.
+ Lập bảng biến thiên.
+ Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu.
Quy tắc 2
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính đạo hàm


'
f x
. Tìm các giá trị
, 1,2
i
x i  để


' 0.
f x


+ Tính


''
f x
và


"
i
f x
.
+ Dựa vào dấu của


"
f x
suy ra cực trị.
Nếu


" 0
i i
f x x x
  
là điểm cực tiểu.
Nếu



" 0
i i
f x x x
  
là điểm cực đại.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
 Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Cách 1: Dùng bảng biến thiên
Cách 2: Dùng y’’
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số


sin 2 os2 .
f x x c x
 
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có:
Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần




 
' 2cos2 2sin 2
" 4sin2 4cos2

f x x x
f x x x
 
  

 
' 0 2cos2 2sin 2 0 , ( )
8 2
 
       
k
f x x x x k Z



Vậy hàm số đạt cực đại tại
2 , 2
8
C D
x k y

    , hàm số đạt cực tiểu tại
2 , 2.
8
CT
x k y

    
 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm
0

x

Phương pháp: Dùng bảng biến thiên hoặc dùng điều kiện của y’’
Ví dụ 2: Tìm giá trị của để hàm số




3 2 2
3 1 2
f x x mx m x
    
đạt cực đại tại
2.
x


Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên
.


Ta có:
2 2
' 3 3 1
y x mx m
   

2
2 2

2
3 6 3
3
' 0 3 3 1 0
3 6 3
3
m m
x
y x mx m
m m
x

 



      

 




Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:
x




2
3 6 3
3
m m
 


2
3 6 3
3
m m
 




f’(x)




0



0







f x






CD





CT

Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Hàm số đạt cực đại tại
2
3 6 3
2 2 11
3
m m
x m
 
    

Vậy với
11
m

thì hàm số đạt cực đại tại
2.
x


 Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điêm cực trị thỏa mãn điều kiện của đẳng thức
cho trước.
Phương pháp: Dùng định lý viet
Ví dụ 3: Tìm
m

để hàm số




3 2
3 4 1
y x m x m x m
     
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2 .
x x
  
Lời giải
Tập xác định
.
D





 
2
2

' 3 2 3 4 1
' 0 3 2 3 4 1 0
y x m x m
y x m x m
    
      

Để hàm số đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
  
thì


1
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
2
x x
  
.







1 2 1 2 1 2
2 2 0 2 4 0
x x x x x x
        

Áp dụng định lý Viet ta có:


4 3
4 1 1
4 0 8 1 0
3 3 8
m
m
m m


       

Vậy
1
8
m


thì hàm số đã cho đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
  
.
 Dạng 4: Bài toán cực trị liên quan đến góc, khoảng cách và tam giác
Ví dụ 4: Cho hàm số
4 2
2 1
y x mx
  
. Tìm giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số có ba điểm cưc trị và đường
tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng
1.

Lời giải
Ta có:


3 2
' 4 4 4
y x mx x x m
   

2
0
' 0
x
y
x m


 

 


Hàm số có ba cực trị
'
y

đổi dấu ba lần trên
' 0
D y
 
có ba nghiệm phân biệt
0
m
 
0.
m


Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

 




2 2
0;1 , ;1 , ;1
A B m m C m m
    

Theo tính chất của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, ta có tam giác
ABC
cân tại
.
A
Gọi
D
là trung điểm của
cạnh
BC
thì Xét
ADC

vuông tại
D
, ta có sin
AD
C
AC


Gọi
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
,
Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác
ABC
, ta có:
A

2
.
2 2 2
sin
AB AB AC AC
R
C AD AD
    

4 2 3
2 2 1 0
m m m m m
       

 

 
2
1
1 1 0
1 5
2
m
m m m
m
 


     






B D C

Kết hợp điều kiện
0
m

ta được
1 5
1, .
2
m m


  
Ví dụ 5: Cho hàm số


2
1 2
.
x m x m
y
x m
   


Tìm
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu và giá trị cực trị cùng
dấu.
Lời giải
Tập xác định
\{ }
D m



 
2
2
2
'

2
x mx
y
x m
 







2 2
0 2 2 0'
 .
y g x x mx m x m
       
Hàm số có cực đại, cực tiểu
'
y

đổi dấu 2 lần trên
D
.
 
2
2
Δ 0
1
2 1 0

0
1
2 2 0
g
m
m
g m
m
m

 


 

  
 



  

 

Khi đó tọa độ điểm cực trị thỏa mãn hệ
 
 


 

       
 
 
 
 
'
'
'
2
. . '
'
1
0
u x
u x
y
y
u x u x
v x
y x mv x
v x v x
u x v x u x v x
y






      

 
 





Do đó
2 1; 2 1
CĐ CĐ CT CT
y x m y x m
     

C
Đ
y
và
CT
y
trái dấu
2
. 0 6 9 0 3
CĐ CT
y y m m m
       

Vậy
m
thỏa mãn yêu cầu của đề bài
1

m
  
hoặc
1
m

và
3
m

.
Ví dụ 6: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
3
y x x m x m
   
có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
2 5 0
x y
  
.
Lời giải
Hàm số xác định trên
.


Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Ta có
2 2
' 3 6
y x x m
  

Để hàm số có hai điểm cực trị thì
'
y
phải đổi dấu hai lần
' 0
y
 
có hai nghiệm phân biệt
2 2
' 0 9 3 0 3 3 3
m m m            .
Thực hiện phép chia


f x
cho


'
f x
ta có
     
 

2
2
1 2
1 ' 3
3 3 3
m
f x x f x m x m
     

Với
3 3
m   thì


' 0
f x

có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
và hàm số


f x
đạt cực trị tại
1 2
, .
x x

Do


 
1
2
0
0
f x
f x







nên
 
 
 
 
2
2
1 1 1
2
2
2 2 2
2
3

3 3
2
3
3 3
m
y f x m x m
m
y f x m x m

    




    



Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
 
 
2
2
2
: 3 .
3 3
m
d y m x m
   

Gọi




1 1 2 2
, , ,
A x y B x y
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho khi đó trung điểm
I
của
AB
có tọa độ là
2
1 2 1 2
( ; ) (1; 2)
2 2
x x y y
I m m
 
  
.
Các điểm cực trị




1 1 2 2
, , ,
A x y B x y

đối xứng với nhau qua đường thẳng
 
1 5
:
2 2
y x
  





d
  
và
trung điểm
I
của
AB
phải thuộc


d

 
 
 
2
2
2

2 1
3 . 1;
0
3 2
0.
1 0
2 1 5
3 .1 .1
3 3 2 2
m
m
m
m m
m
m m

  



 
   
 
 



    



C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1.Tìm cực trị của các hàm số sau:
a.
2
2 3 1
y x x
   
Đáp số:
2 2 13
; 5 , ;
5 5 5
CT CD
   

   
   

b.
4
48
x
y
x

 Đáp số:





2;32 , 2; 32
CT CD  
c.
4 2
12 3
xy x

Đáp số:




 
6; 33 ; 6; 33 , 0;3
CT CD  

d.
2
sin 3 cos , [0; ]
y x x x

   Đáp số:
5 7
;
6 4
CD

 
 
 

Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a.
1
cos
2
os2
y x c
x
  Đáp số:
2 3 2 3
2 ; ; 2 ;
3 4 3 4
CT k k
 
   
      
   
   

 
3 1
2 ; ; 2 1 ;
2 2
CD k k

   
   
   
   

b.
2 3
3sinx cos
2
x
y x

   Đáp số:
3
2 ; 3 2
2 2 2
CT k k
 
 
 
     
 
 

3
2 ; 3 2
6 2 6
CD k k
 
 

 
   
 
 

Bài 3: Tìm các hệ số
, ,
a b c
sao cho hàm số
3 2
y x ax bx c
   
đạt cực tiểu tại điểm


1, 1 3
x f
 
và đồ thị
hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là
2.
Đáp số:
3; 9; 2
a b c
   

Bài 4: Tìm các hệ số
, ,
a b c
sao cho hàm số

3 2
y x ax bx c
   
đạt cực trị bằng 0 tại điểm
2
x
 
và đồ thị
hàm số đi qua điểm


1;0
A . Đáp số:
3; 0; 4
a b c
   

Bài 5: Tìm m để hàm
m
x
mxx
y



4
2

đạt cực tiểu tại
0

x 1

. Đáp số:
1
m


Bài 6: Tìm m để hàm số
a. đạt cực đại tại . Đáp số:
2
m


b. đạt cực tiểu tại . Đáp số:
1
m
 

Bài 7: Tìm m để các hàm số sau có cực trị
a.




3 2 2 2
3 3 1 1
y x mx m x m
     
có cực trị. Đáp số: 22  m
b.

1
mx
5mxx
y
2




có cực trị. Đáp số:
2
1
2
1
 m
Bài 8: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trước.
a.


4 2
2 1 5
y x m x m
    
có 3 cực trị. Đáp số: 1

m
b.
3
1
3

y x x m
  

có hai cực trị trái dấu. Đáp số:
3
2
3
2
 m
Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

c.




3 2 2 2
3 1 3 7 1 1
y x m x m m x m
        

đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ
hơn 1. Đáp số: 1

m
Bài 9: Tìm m để đồ thị hàm số



3 2 2
3 2 3 4
y x mx m m x
     
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của Oy

Đáp số: 13



m
Bài 10: Tìm m để hàm số
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2 2
y x m x m m x m
       
có hai điểm cực trị
1 2
,
x x
thoả mãn điều
kiện
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x

  
. Đáp số:


1;5
m

Bài 11: Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2 2
y x 3x m x m
   
có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
x 2y 5 0
  
Đáp số:
0
m


Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
1
y x (m 2)x (5m 4)x m 1
3
      

đạt cực trị tại
1 2

x , x
sao cho
1 2
x 1 x
  
. Đáp số:
3
m
 

Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
1
y x mx x m 1
3
    

có hai điểm cực trị
1 1 2 2
(x , y ), (x , y )
sao cho khoảng
cách giữa chúng nhỏ nhất. Đáp số: 0
3
132
min  md
Bài 14: Cho hàm số


3 2 2 3
3 3( 1) 1

y x mx m x m m      . Tìm m để hàm số


1
có cực trị đồng thời
khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ
O
bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của
đồ thị hàm số đến gốc tọa độ
O
. Đáp số:
223;223  mm

Bài 15: Cho hàm số
4 2 2
2( 2) 5 5
y x m x m m
     
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành
tam giác vuông cân. Đáp số:
2
9
1
3
m

Bài 16: Cho hàm số
3 2
3
y x x m
  
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và sao cho góc
120
o
AOB  . Đáp số:
4
3
2
m

Bài 17: Tìm
m
để hàm số






3 2 2
3 1 2 3 2 1
       
y x m x m m x m m có đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị tạo với đường thẳng

1
5
4
y x
  
một góc
45 .
o
Đáp số:
3 15
2
m


Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần

Bài 18: Cho hàm số


2
2 2 4
2
x m x m
y
x
   



. Chứng minh rằng với mọi
m
hàm số luôn có cực trị và khoảng
cách giữa hai điểm cực trị không phụ thuộc
m
. Tính độ dài khoảng cách đó. Đáp số:
4 5

Bài 19: Tìm
m
để hàm số


3 2
2 1 1
y mx m x x
    
đạt cực đại tại
1
x
, đạt cực tiểu tại
2
x
và
2 1
16
.
9
x x 

Đáp số:
3
.
7
m


Bài 20: Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2
3 5
y x mx x
    
có hai điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị đó vuông góc với đường thẳng
9 14 1 0.
x y
  
Đáp số:
4
m
 

Bài 21: Cho hàm số
4 2 2
2 1 1
( ) .
y x m x m

    
Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác có diện
tích lớn nhất. Đáp số: m = 0.