Các bài toán thiết lập phương trình mặt phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (438.68 KB, 9 trang )
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 02. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
I. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm
0 0 0 0
; ;
M x y z
và có VTPT
n
(A; B; C) có phương trình:
(
0 0 0
): 0
P A x x B y y C z z
II. Các trường hợp riêng
Nếu D = 0, mặt phẳng (P) đi qua gôc tọa độ.
Nếu
0, 0, 0
A B C
, mặt phẳng (P):
0
By Cz D
chứa hoặc song song với trục Ox
Tương tự: mp (P):
Ax 0
Cz D
chứa hoặc song song với trục Oy
mp (P):
Ax 0
By D
chứa hoặc song song với trục Oz
Nếu
0, 0, 0
A B C
, mặt phẳng (P):
0
Cz D
chứa hoặc song song với Ox và Oy
nên nó song song hoặc trùng với mp (xOy)
Tương tự: mp (P):
Ax 0
D
song song hoặc trùng với mp (yOz)
mp (P):
0
By D
song song hoặc trùng với mp (xOz)
Đặc biệt: Các phương trình x = 0, y = 0, z = 0 theo thứ tự là phương trình của các mp tọa
độ yOz, xOz, xOy
Nếu
0, 0, 0
A B C
thì bằng cách đặt:
, , ( ): 1
D D D x y z
a b c P
A B C a b c
(1)
Phương trình (1) gọi là phương trình đoạn chắn của (P). Mặt phẳng đó cắt các trục Ox, Oy,
Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0 ), B (0; b; 0), C(0; 0; c)
Vậy ta có :
aA( ;0;0)
( ): (0; ;0) ( ): 1
(0;0; )
qu a
x y z
P quaB b P
a b c
quaC c
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
0 0 0
; ;
M x y z
và có vectơ
pháp tuyến
; ;
n a b c
Phương pháp:
Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến
n
(nếu chưa cho sẵn).
Bước 2: Sử dụng công thức
0 0 0
0
a x x b y y c z z
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua điểm A ( 3; 4; -1) và có VTPT
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
n
(2; -3; 4)
Bài giải:
Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A ( 3; 4; -1) và có VTPT
n
(2; -3; 4) là:
2 3 3 4 4 1 0
x y z
2 3 4 10 0
x y z
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A ( 2; 3; 4) và song song với mặt phẳng (Q):
2 3 6 0
x y z
Bài giải:
(P) // (Q)
( )
P
có VTPT là
1;2;3
Q
n
Phương trình mặt phẳng (P) qua A ( 2; 3; 4) nhận
1;2;3
Q
n
là VTPT là:
1 2 2 3 3 4 0
x y z
2 3 20 0
x y z
Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tọa độ điểm I là trung điểm của ABtheo công thức
, , .
2 2 2
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x y z
Bước 2: Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I nhận
AB
làm vectơ pháp tuyến.
Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của AB với A(-2; 1; 4), B(1; 3; -3)
Bài giải:
Ta có:
(3;2; 7)
AB
Gọi I là trung điểm của AB
tọa độ điểm I là:
1
2
2
2
2
1
2
2
A B
I
I
A B
I I
A B
I
I
x x
x
x
y y
y y
z z
z
z
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB qua I nhận
(3;2; 7)
AB
là VTPT là:
1 1
3 2 2 7 0
2 2
x y z
3 2 7 1 0
x y z
Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm A và có cặp vectơ chỉ phương
,
u v
Phương pháp:
Bước 1: Tính vectơ
; .
n u v
Bước 2: Mặt phẳng
đi qua điểm A nhận
;
n u v
làm vectơ pháp tuyến.
Ví dụ 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; -1; 5) và B (0; 0; 1) và song song với trục
Oy
Bài giải:
Ta có:
( 1;1; 4)
AB
, trục Oy có VTCP
(0;1;0)
j
Vì mp (P) qua hai điểm A, B và song song với trục Oy nên (P) có cặp VTCP là
( 1;1; 4)
AB
và
(0;1;0)
j
Gọi
n
là VTPT của mp (P). Khi đó
; 4;0; 1
n AB
n AB j
n j
Phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 5) nhận
4;0; 1
n
là VTPT là:
4 1 0 1 1 5 0
x y z
4 1 0
x z
Vi dụ 5: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A ( 2; -2; -4 ) và chứa trục Ox
Bài giải:
Vì mặt phẳng (P) qua A ( 2; -2; -4) và chứa trục Ox nên mp(P) có cặp VTCP là
2; 2; 4
OA
và
1;0;0
i
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Gọi
n
là VTPT của mp (P). Khi đó
; 0; 4;2
n OA
n OA i
n i
Chọn
0;2; 1
n
. Phương trình mặt phẳng (P) qua A(2; -2; -4) nhận
0;2; 1
n
là VTPT là:
0 2 2 2 1 4 0
x y z
2y – z = 0
Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
Phương pháp:
Bước 1: Tính
, .
AB AC
Từ đó tính
; .
n AB AC
Bước 2: Mặt phẳng
ABC
đi qua A nhận
;
n AB AC
làm vectơ pháp tuyến.
Ví dụ 6: Viết phương trình mp (P) qua ba điểm
3; 1;5 , 4;2; 1 , 1; 2;3 .
A B C
Bài giải:
Ta có:
(1;3; 6), 2; 1; 2
AB AC
Gọi
n
là VTPT của mp (P)
; 12;14;5
n AB AC
Phương trình mp (P) qua A (3; -1; 5) nhận
n
là VTPT là:
12 3 14 1 5 5 0
x x x
12 14 5 25 0.
x y z
Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; -2; 3 ). Lập phương trình mp (P) đi qua các hình chiếu
của điểm M trên các trục tọa độ.
Bài giải:
Các hình chiếu vuông góc của điểm M trên các trục tọa độ là:
1 2 3
1;0;0 , 0; 2;0 , 0;0;3
M M M
Khi đó, phương trình mp (P) là:
1 6 3 2 0
1 2 3
x y z
x y z
Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng
,
P Q
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Phương pháp:
Bước 1: Vì
vuông góc với hai mp
,
P Q
nên có cặp VTCP là
1 2
;
n n
với
1 2
;
n n
lần lượt là VTPT của
(P) và (Q)
Bước 2: áp dụng loại 3
Ví dụ 8: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A( 3; 2; 3 ) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x +
y +2z – 5 = 0 và (R): x + 2y + 3z – 2 = 0
HD: Gọi
1 2
;
n n
lần lượt là VTPT của (Q) và (R)
(P) qua A và có cặp VTCP là
1 2
;
n n
Áp dụng loại 3 Đs: x + 4y – 3z – 2 = 0
Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)
Phương pháp:
Bước 1: Vì mặt phẳng
đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) nên
có cặp vectơ
chỉ phương là
, .
P
AB n
Bước 2: Áp dụng loại 3.
Ví dụ 9: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A (-2; 0; 0 ), B (4; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng
(Q): 2x + 2y + z – 5= 0
Bài giải:
Gọi
n
,
Q
n
lần lượt là VTCP của (P) và (Q), ta có
Q
n
( 2; 2; 1)
; 2; 2;8
Q
Q
n AB
n AB n
n n
Chọn
1;1; 4
n
Phương trình mặt phẳng (P) qua A ( -2; 0; 0) và nhận
1;1; 4
n
là VTPT là:
1 2 1 0 4 0 0
x y z
4 2 0
x y z
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Ví dụ 10: Hãy viết phương trình mặt phẳng qua
2; 1;2 ,
M song song với Oy và vuông góc với mặt
phẳng
:2 3 4 0.
P x y z
Bài giải:
Mặt phẳng (P) có VTPT
2; 1;3
p
n
, trục Oy có VTCP
0;1;0
j
Vì mp (P) song song với Oy và vuông góc với mp(P) nên (P) nhận
2; 1;3
p
n
và
0;1;0
j
là cặp
VTPT
Gọi
n
là VTPT của mp (P)
; 3;0;2
P
n n j
Phương trình mặt phẳng (P) qua M ( 2; -1; 2 ) nhận
3;0;2
n
là VTPT là:
3 2 0 1 2 2 0
x y z
3 2 2 0
x z
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp:
Chọn hai điểm A, B phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng
A, B cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng
này.
Ví dụ 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình
:2x y z 1 0
và
: 3 2 0
x y z
và đi qua điểm
1;2;1 .
M
Bài giải:
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm và
n
là VTPT của (P)
Chọn
1;0;1 , 1; 3; 6
A B
cùng thuộc vào
và
,
A B
cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng
này.
Ta có:
2; 3; 7
AB
,
2;2;0
AM
Vì (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên (P) chứa hai điểm A và B nên (P) nhận
AB
và
AM
là cặp VTCP
;
n AM AB
=
14; 14;10
Chọn
n
7; 7;5
. Vậy phương trình (P) qua
1;2;1 .
M nhận
n
7; 7;5
là VTPT là:
7 1 7 2 5 1 0
x y z
7 7 5 2 0
x y z
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Dạng 8: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Phương pháp:
Với hai mặt phẳng
1 2
( ),
P P
có phương trình:
1
( )
P
:
1 1 1
0
A x B y C z
, điều kiện
2 2 2
1 1 1
0
A B C
2
P
:
2 2 2
0
A x B y C z
, điều kiện
2 2 2
2 2 2
0
A B C
Khi đó:
1 1 1 1 2 2 2 2
; ; , ; ;
n A B C n A B C
lần lượt là VTPT của
1
( )
P
và
2
P
, do đó:
a. Nếu
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
thì
1
( )
P
2
P
b. Nếu
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
thì
1
( )
P
//
2
P
c. Nếu
1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C
thì
1 2
P P d
Ví dụ 12: Tìm a và b để các mặt phẳng sau đây song song với nhau
a)
:2 2 3 0, : 2 4 7 0.
x ay z bx y z
b)
:2 2 0, : 2 8 0.
x y az x by z
Bài giải:
a)
2 2 3
( ) / /( ) 1, 4
2 4 7
a
a b
b
b)
2 1 2 1
( ) / /( ) 4,
1 2 8 2
a
a b
b
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Lập phương trình các mặt phẳng đi qua điểm A (2; -2; -4 ) và song song với các mặt phẳng tọa đ
ộ
Đs: z + 4 = 0; x – 2 = 0; y + 2 = 0
Bài 2:Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
2; 3;4
M và thoả mãn điều kiện sau:
a) Có vectơ pháp tuyến
2;3;1 .
n
Đs:
2 3 9 0.
x y z
b) Vuông góc với trục Oy. Đs:
3 0.
y
c) Vuông góc với NP với
0;2; 3 , 2; 1;3 .
N P Đs:
2 3 6 37 0.
x y z
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
d) Song song với mặt phẳng
:2 3 4 0.
P x y z
Đs:
2 3 19 0.
x y z
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB trong các trường hợp sau
a)
2;3; 4 , 4; 1;0 .
A B Đs:
2 2 3 0.
x y z
b)
1;2;3 , 0;3; 1 .
A B
Đs:
4 2 0.
x y z
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và có cặp vectơ chỉ phương
,
u v
trong các trường hợp:
a)
1; 2;1 , 1;0;1 , 2;1;0 .
A u v
Đs:
2 4 0.
x y z
b)
2;3; 2 , 2;4;3 , 2; 4; 5 .
A u v
Đs:
2 1 0.
x y
Bài 5:Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
, ,
A B C
trong các trường hợp:
a)
1;2;3 , 2; 4;3 , 4;5;6 .
A B C Đs:
6 3 13 39 0.
x y z
b)
2;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;3 .
A B C Đs:
3 6 2 6 0.
x y z
Bài 6:Cho điểm
2;3;4 .
A Hãy viết phương trình các mặt phẳng qua các hình chiếu của Atrên:
a) Các trục tọa độ Đs:
6 4 3 12 0.
x y z
b) Các mặt tọa độ Đs:
6 4 3 24 0.
x y z
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể
tích tứ diện OABC nhỏ nhất: Đs:
3
x y z
Bài 7: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G (-1; -3; 2) và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao
cho G là trọng tâm tam giác ABC Đs:
6 2 3 18 0
x y z
Bài 8: Lập phương trình mp (P) đi qua
1 1
1; ;
2 4
M
và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho tứ diện
OABC có thể tích nhỏ nhất. Đs:
2 4 3 0
x y z
Bài 9: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua H và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực
tâm
ABC
. Đs:
2 6 0
x y z
Bài 10:Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm A, vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) trong
những trường hợp:
a)
1; 2;5 , : 2 3 1 0, :2 3 1 0.
A P x y z Q x y z
Đs:
2 0.
x y z
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
b)
1;0; 2 , : 2 2 0, : 3 0.
A P x y z Q x y z
Đs:
2 3 4 0.
x y z
Bài 11:Viết phương trình mặt phẳng đi qua
a) Đi qua điểm
2;1; 1
A
và qua giao tuyến của hai mặt phẳng
: 4 0,
x y z
:3 1 0.
x y z
Đs:
15 7 7 16 0.
x y z
b) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng
: 2 4 0, : 3 0
y z x y z
và song song với mặt
phẳng
: 2 0.
x y z
Đs: Không có
c) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng
:3 2 0, : 4 5 0
x y z x y
và vuông góc với mặt
phẳng
:2 7 0.
x z
Đs:
22 2 21 0.
x y z
Bài 12:Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình
:2x y z 1 0
và
: 3 2 0
x y z
và song song với trục Oy. ĐS:
7x 2z 5 0
Bài 13: Tìm các giá trị a và b để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng:
:3 7 3 0, : 9 2 5 0, :5 4 0.
x y z x y z x ay z b
ĐS:
5x 8y 2z 7 0
Bài 14: Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt phẳng
:2 3 6 0
x my z m
và
: 3 2 5 1 10 0.
m x y m z
ĐS:
1
m
thì
/ /
,
1
m
thì
.
Bài 15: Cho hai mp (P) và (Q) lần lượt có phương trình là:
(P):
2 10 1 0
x my z m
và (Q):
2 3 1 10 0
x y m z
Với giá trị nào của
m
thì
a. Hai mặt phẳng đó song song? Đs: không tồn tại
m
b. Hai mặt phắng đó trùng nhau? Đs: không tồn tại
m
c. Hai mặt phẳng đó cắt nhau? Đs: với
m
d. Hai mặt phẳng đó vuông góc? Đs:
3
13
m
