Các mối quan hệ thường dùng trong việc tính nguyên hàm và tích phân

www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
Facebook.com/mathvncom
1

CÁC MỐI QUAN HỆ THƯỜNG DÙNG
TRONG VIỆC TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Trần Tuấn Anh
Khi nhìn vào một bài giải cho bài toán tính nguyên hàm hay tích phân bằng phương pháp đặt ẩn
phụ (hay phương pháp đổi biến số)ï, bạn đọc thường có câu hỏi: tại sao lại chọn đặt ẩn phụ như vậy?
Làm sao chọn ẩn phụ thích hợp? Những kiến thức dưới đây sẽ giúp các bạn đònh hướng được phép đặt
ẩn phụ cho mình một cách nhanh chóng mà không phải mày mò làm giảm tốc độ tính nguyên hàm, tích
phân của các bạn.
Trước tiên các bạn cần lưu ý hai kết quả mà chúng ta thường dùng sau đây :
- ( 1 )
( ) '( )
df x f x dx
=
.
- ( 2 ) Nếu
( ) ( )
f u du F u C
= +
∫
và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
( ( )). '( ) ( ( )) ( ) ( ( ))
f u x u x du f u x du x F u x C
= = +
∫ ∫
Ví dụ:
2 2 2
cos(2 3 1) (2 3 1) sin(2 3 1)

x x d x x x x C
+ + + + = + + +
∫
.
(ta hiểu trong suy nghó “
2
2 3 1
x x
+ +
” là u )
Sau đây chúng ta tìm hiểu các mối quan hệ quan trọng giúp chúng ta tìm nhanh phép đặt ẩn phụ
và đònh hướng nhanh cách giải cho bài toán nguyên hàm, tích phân.
1. Quan hệ giữa
n
x
và
1
n
x
+
(
1
n
≠ −
)
Ta có:
1 1 1
1 1
( 1) ( )
1 ( 1)

n n n n n
dx n x dx x dx dx d ax b
n a n
+ + +
= + ⇔ = = +
+ +
, trong đó
0
a
≠
còn b tùy ý trên
ℝ
. Vậy ta có quan hệ giữa
n
x
và
1
n
x
+
(
1
n
≠ −
) như sau:
1
1
( )
( 1)
n n

x dx d ax b
a n
+
= +
+
www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
Facebook.com/mathvncom
2

Ví dụ 1. Tính:
2 3 9
1
(2 1)
I x x dx
= +
∫
.
Phân tích : Theo lối giải thông thường, các bạn sẽ khai triển biểu thức
3 9
(2 1)
x
+
, sau đó nhân với
2
x
để
đưa về nguyên hàm dễ tính hơn. Thế nhưng việc khai triển biểu thức
3 9
(2 1)
x

+
là không đơn giản? Do vậy,
cách này đã tỏ ra không hiệu quả! Nếu giải bài toán này bằng phương pháp đổi biến số, ta chọn ẩn phụ là
3
2 1
u x
= +
. Tại sao lại chọn được ẩn phu như vậy? Bây giờ các bạn để ý quan hệ giữa
2
x
và
3
x
như sau:
2 3
1
(2 1)
6
x dx d x
= +
, nên ta có
2 3 9 3 9 3
1
(2 1) (2 1) (2 1)
6
x x dx x d x
+ = + +
. Do đó, việc chúng ta
chọn ẩn phụ là
3

2 1
u x
= +
là hoàn toàn tự nhiên, không mang tính áp đặt.
Bài giải:
2 3 9 3 9 3
1
1
I x (2x 1) dx (2x 1) d(2x 1)
6
= + = + +
∫ ∫
.
Đặt
3 3
u 2x 1 du d(2x 1)
= + ⇒ = +
.
Ta có:
10 10
9
1
1 1 u u
I u du . C C
6 6 10 60
= = + = +
∫
.
Thay
3

u 2x 1
= +
ta được:
3 10
1
(2 1)
60
+
= +
x
I C
.
* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh
hơn như sau:
2 3 9 3 9 3
1
1
I x (2x 1) dx (2x 1) d(2x 1)
6
= + = + +
∫ ∫

3 10
(2x 1)
C
60
+
= +
. (ta hiểu trong suy nghó “
3

2x 1
+
” là “u”)
2. Quan hệ giữa
2
1
x
và
1
x
www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
Facebook.com/mathvncom
3

Ta có
'
2
1 1
x x
−
 
=
 
 
nên quan hệ cần xét giữa
1
x
và
2
1

x
là:
2
1 1
 



= − +





 
a
dx d b
a x
x
Ví dụ 2. Tính:
3
1
1
2
x
e
I dx
x
+
=

∫
.
Phân tích:Nếu chưa được biết đến sự quan hệ giữa
2
1
x
và
1
x
thì thật không dễ để chúng ta tìm ra ngay phép
đặt ẩn phụ! Các bạn để ý quan hệ giữa
2
1
x
và
1
x
:
2
1 1 3
1
3
dx d
x
x
 
−




= +





 
nên ta
có
3
1
3
1
2
1 3
1
3
x
x
e
dx e d
x
x
+
+
 


= − +







 
. Do đó, ta có thể chọn ẩn phụ là
3
1u
x
= +
.
Bài giải:
3
1
3
1
1
2
1 3
1
3
x
x
e
I dx e d
x
x
+
+

 


= = − +






 
∫ ∫
.
Đặt
3 3
u 1 du d(1 )
x x
= + ⇒ = +
.
Ta có:
u u
1
1 1
I e du e C
3 3
− −
= = +
∫
.
Thay

3
u 1
x
= +
ta được:
3
1
1
1
3
x
I e C
+
= − +
.
* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh
hơn như sau:
3
1
3 3
1 1
1
2
1 3 1
1
3 3
x
x x
e
I dx e d e C

x
x
+
+ +
 


= = − + = − +






 
∫ ∫
.
www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
Facebook.com/mathvncom
4

3. Quan hệ giữa
1
x
và
ln
x
Ta có
( )
'

1
ln x
x
=
nên quan hệ cần xét giữa
1
x
và
ln
x
là:
1 1
( ln )
= +
dx d a x b
x a
.
V
í dụ 3. Tính:
3 2
2
2 ln x 5 ln x
I dx
x ln x
+
=
∫
.
Phân tích :Các bạn để ý quan hệ giữa
1

x
và
ln
x
:
1
(ln )
dx d x
x
= nên ta có
3 2 3 2
2 ln 5 ln 2 ln 5 ln
(ln )
ln ln
x x x x
dx d x
x x x
+ +
=
. Do vậy, ta chọn ẩn phụ là
ln
u x
=
.
Bài giải:
3 2 3 2
2
2 ln x 5 ln x 2ln x 5 ln x
I dx d(ln x)
x ln x ln x

+ +
= =
∫ ∫
.
Đặt
u lnx du d(lnx)
= ⇒ =
.
Ta có:
( )
3 2 3 2
2
2
2u 5u 2u 5u
I du du 2u 5u du
u u u
 
+



= = + = +





 
∫ ∫ ∫

3 2
2u 5u
C
3 2
= + +
.
Thay
u ln x
=
ta được:
3 2
2
2(ln x) 5(ln x)
I C
3 2
= + +
.
* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh
hơn như sau:
3 2 3 2
2
2 ln x 5 ln x 2ln x 5 ln x
I dx d(ln x)
x ln x ln x
+ +
= =
∫ ∫
www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
Facebook.com/mathvncom
5

(
)
2
2(ln x) 5 ln x d(ln x)
= +
∫
3 2
2(ln x) 5(ln x)
C
3 2
= + +
.
4. Quan hệ giữa
x
e
và
x
ae b
+
Ta có
(
)
'
x x
ae b ae
+ =
nên quan hệ cần xét giữa
x
e

và
x
ae b
+
là:
1
( )
x x
e dx d ae b
a
= +
(
0
a
≠
)
Ví dụ 4. Tính:
1
3
2 1
x
x
e
I dx
e
=
+
∫
.
Phân tích:Các bạn để ý quan hệ giữa

x
e
và
2 1
x
e
+
:
1
(2 1)
2
x x
e dx d e
= +
nên ta có
3 3 3 1
. . (2 1)
2
2 1 2 1 2 1
x
x x
x x x
e
dx e dx d e
e e e
= = +
+ + +
3 1
. (2 1)
2

2 1
x
x
d e
e
= +
+
. Do vậy,
ta chọn ẩn phụ là
2 1
x
u e
= +
.
Bài giải:
x
x x
1
x x x
3e 3 3 1
I dx .e dx . d(2e 1)
2
2e 1 2e 1 2e 1
= = = +
+ + +
∫ ∫ ∫

x x
x x
3 1 3 1

. d(2e 1) d(2e 1)
2 2
2e 1 2e 1
= + = +
+ +
∫ ∫
.
Đặt
x x
u 2e 1 du d(2e 1)
= + ⇒ = +
.
Ta có:
1
3 1 3
I du ln | u | C
2 u 2
= = +
∫
.
www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
Facebook.com/mathvncom
6

Thay
x
u 2e 1
= +
ta được:
x

1
3
I ln(2e 1) C
2
= + +
. (ta không lấy dấu giá trò tuyệt đối vì
x
2e 1 0
+ >
)
* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh
hơn như sau:
x
x
1
x x
3e 3 1
I dx . d(2e 1)
2
2e 1 2e 1
= = +
+ +
∫ ∫
x
3
ln(2e 1) C
2
= + +
.
5. Quan hệ giữa sinx và cosx

Ta có
( )
'
sin cos
x x
=
và
( )
'
cos sin
x x
= −
nên quan hệ cần xét giữa
sin
x
và
cos
x
là:
1
cos ( sinx+b)
=xdx d a
a
1
s inx ( cos )
= − +
dx d a x b
a
Ví dụ 5. Tính:
3 2

1
cos sin x
=
∫
I x dx
.
Phân tích :
3 2 2 2 2 2
cos sin x= cos cos sin x= cos (1 sin x) sin x
−
x x x x
.
Các bạn để ý quan hệ giữa
sin
x
và
cos
x
:
cos (sin )
=
xdx d x
nên ta có
2 2 2 2
cos (1 sin x)sin x (1 sin x)sin x (sin )
− = −
x dx d x
. Do vậy, ta chọn ẩn phụ là
sin
u x

=
.
Bài giải :
3 2 2 2
1
I cos x sin xdx= cos x cos x sin xdx
=
∫ ∫
2 2
= cos x(1 sin x)sin xdx
−
∫
2 2
(1 sin x)sin xd(sin x)
= −
∫
.
Đặt
u sin x du d(sin x)
= ⇒ =
.
Ta có:
3 5
2 2 2 4
1
u u
I (1 u )u du (u u )du +C
3 5
= − = − = −
∫ ∫

.
www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
Facebook.com/mathvncom
7

Thay
sin
u x
=
ta được:
3 5
1
(sin x) (sin x)
I +C
3 5
= −
.
* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh
hơn như sau:
3 2 2 2
1
I cos x sin xdx= cos x(1 sin x)sin xdx
= −
∫ ∫
2 2 2 4
(1 sin x)sin xd(sin x) (sin x sin x)d(sin x)
= − = −
∫ ∫
3 5
sin x sin x

C
3 5
= − +
.
6. Quan hệ giữa sin
2
x, cos
2
x và sin2x
Ta có
(
)
'
2
sin 2sin cos sin 2
x x x x
= =
và
(
)
'
2
cos 2cos sin sin 2
x x x x
= − = −
nên quan hệ cần xét giữa
2 2
sin , cos
x x
và

sin 2
x
là:
2
1
sin 2 ( sin )
= +
xdx d a x b
a
2
1
sin 2 ( cos )
= − +
xdx d a x b
a
Ví dụ 6. Tính:
2
2 2
sin 2
2 sin 3cos
=
+
∫
x
I dx
x x
.
Giải:Ta biến đổi:
2 2 2 2 2 2
sin2 sin2 sin2

2sin 3 cos 2(sin cos ) cos 2 cos
= =
+ + + +
x x x
x x x x x x
.
Các bạn để ý quan hệ giữa
2
cos
x
và
sin 2
x
:
2
sin2x (2 cos )
= − +
dx d x
nên ta có
2
2 2
sin 2 1
(2 cos )
2 cos 2 cos
−
= +
+ +
x
dx d x
x x

. Do đó, ta có thể chọn ẩn phụ là
www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
Facebook.com/mathvncom
8

2
2 cos
u x
= + hoặc
2
2 cos
u x
= +
. Trong trường hợp này ta nên chọn
2
2 cos
u x
= +
để biểu thức
dưới dấu nguyên hàm không còn căn thức.
Bài giải:
2
2
2 2 2
sin 2 1
(2 cos )
2 sin 3 cos 2 cos
−
= = +
+ +

∫ ∫
x
I dx d x
x x x
.
Đặt
2 2 2 2 2
u 2 cos x u 2 cos x du d(2 cos x)
= + ⇒ = + ⇒ = +
.
Ta có:
2
2
1 2u
I du du 2 du 2u C
u u
−
= = − =− =− +
∫ ∫ ∫
.
Thay
2
u 2 cos x
= +
ta được:
2
2
I 2 2 cos x C
= − + +
.

* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh
hơn như sau:
2
2
2 2 2
sin2 1
(2 cos )
2 sin 3 cos 2 cos
−
= = +
+ +
∫ ∫
x
I dx d x
x x x
1
2 2 2
2
(2 cos x) d(2 cos x) 2 (2 cos x) C
−
= − + + = − + +
∫
.
7. Quan hệ giữa
2
1
os
c x
và
tan

x
,
2
1
sin
x
và
cotx

Ta có
( )
'
2
1
tanx
os
c x
=
và
( )
'
2
1
cot x
sin
x
−
=
nên quan hệ cần xét giữa
2

1
os
c x
và
tan
x
,
2
1
sin
x
và
cotx
là:
2
1 1
( tan x+b)
os
=dx d a
a
c x
2
1 1
( cot x+b)
sin
= −dx d a
a
x
www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam
Facebook.com/mathvncom

9

(ta hiểu công thức trên một cách đơn giản như sau: đưa
2
1
os
c x
vào trong vi phân thành
( tan x+b)
a
,
đưa
2
1
sin
x
vào trong vi phân thành
( cotx+b)
a
−
, với
0
a
≠
và
b
tùy ý trên
ℝ
)
Ví dụ 7.

Tính:
2
2
cot
sin x
 



=





 
∫
x
I dx
.
Phân tích:Ta biến đổi:
2
2
2
2 2
cot cot 1
cot .
sin x
sin x sin x
 




= =





 
x x
x
. Các bạn để ý quan hệ giữa
2
1
sin
x
và
cotx
:
2
1
(cot )
sin
= −
dx d x
x
nên ta có
2 2
2

1
cot . cot (cot )
sin x
= −
x dx xd x
. Do vậy, ta
có thể chọn ẩn phụ là
cot
u x
=
.
Bài giải:
2
2
2
2
2 2
cot cot 1
cot .
sin x
sin x sin x
x x
I dx dx x dx
 



= = =






 
∫ ∫ ∫
2
cot (cot )
xd x
= −
∫
.
Đặt
u cot x du d(cotx)
= ⇒ =
.
Ta có:
3
2
2
u
I u du C
3
= − = − +
∫
.
Thay
u cotx
=
ta được:
3

2
(cot x)
I C
3
= − +
.
* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh
hơn như sau:
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
Facebook.com/mathvncom
10

2
2 2
2
2
cot 1
cot . cot (cot )
sin x
sin x
x
I dx x dx xd x
 



= = = −






 
∫ ∫ ∫
3
(cot x)
C
3
= − +
.