SKKN Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Lời nói đầu
Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình” ở chơng trình
đại số các lớp 8 và 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó
đối với học sinh. Do đặc trng của loại này thờng là loại toán có đề bài bằng
lời văn và thờng đợc xen trộn nhièu dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thờng,
ngôn ngữ toán học, vật lý).
Hầu hết các bài toán có các dự kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dới dạng
lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm đợc sự liên quan giữa
các đại lợng dẫn đến việc lập phơng trình hoặc hệ phơng trình mà thực chất
các vấn đề khoa học giải toán là giải phơng trình.
Trong phân phối chơng trình toán ở trờng trung học cơ sở thì đến
lớp 8 học sinh mới đợc học về khái niệm phơng trình và các phép biến
đổi tơng đơng các phơng trình. Nhng việc giải phơng trình đã có trong
chơng trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tuỳ theo từng đối tợng
học sinh.
Ở lớp 1, 2 phơng trình đợc cho dới dạng: Điền số thích hợp vào ô
trống:

- 2 = 5
Ở lớp 3 đợc nâng dần dới dạng: x + 3 – 2 = 10
Ở lớp 4, 5, 6 cho dới dạng phức tạp hơn nh:
x : 3 = 4 : 2
x . 3 + 5 = 11; (x – 15). 7 = 21
Ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ nh trên bài toán còn cho dới
dạng lời văn có các dữ kiện kèm theo.
Vì vậy muốn giải đợc loại toán này học sinh phải suy nghĩa để thiết
lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình (hệ phơng trình).
Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều đợc
gắn liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thờng là
những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thờng
mắc sai lầm là thoát ly thực tế Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại

làm loại toán này. Mặt khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng
lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ
tinh thần của sách giáo khoa mà cha biết phân loại toán, cha khái quát đợc
cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu
trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn
đến lúng túng trong việc giải loại toán này.
Chính vì vậy, muốn giải bài toán bằng các lập phơng trình hay hệ ph-
ơng trình thì điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ cho
trong bài thành những quan hệ toán học. Do vậy, nhiệm vụ của ngời thầy
giáo không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là ngời thầy
phải dạy cho học sinh cách giải bài tập. Do đó khi hớng dẫn cho học sinh
giải loại toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lợng (tăng, giảm,
thêm, bớt ) làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lợng, dẫn đến lập đợc
phơng trình dễ dàng. Đây là bớc quan trọng và khó khăn đối với học sinh.
Trong thời gian giảng dạy ở trờng trung học cơ sở, qua học hỏi kinh
nghiệm của các thầy giáo lớp trớc và các đồng nghiệp trong nhóm là đề tài
này. Đợc sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo Trịnh Khang Thành, tôi mạnh
dạn viết đề tài này với mong muốn đợc trao đổi cùng với đồng nghiệp
những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về dạng toán “Giải bài toán
bằng cách lập phơng trình”.
NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI GỒM:
Ch ơng I: Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu về giải một bài toán.
Ch ơng II: Phân loại các bài toán và các giai đoạn giải bài toán
bằng cách lập phơng trình.
Ch ơng III: Những loại toán và hớng dẫn học sinh giải.
Ch ơng IV: Phần thực nghiệm.
Do trình độ có hạn nên đề tài này không tránh đợc những sai sót rất
mong các thầy giáo lợng thứ và chỉ bảo để bản thân tôi rút đợc kinh nghiệm
trong giảng dạy và áp dụng.
ngày … tháng …năm 200…

TÁC GIẢ
CHƠNG I
PHƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ YÊU CẦU GIẢI MỘT BÀI TOÁN
I. PHƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Dựa vào phân phối chơng trình chung của Bộ giáo dụ - đào tạo ban
hành về chơng trình toán bậc THCS ở lớp 8 có tất cả 25 tiết nghiên cứu về
phơng trình bậc nhất một ẩn và giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Ở
lớp 9 có 36 tiết nghiên cứu về phơng trình bậc hai một ẩn. Trong chơng trình
sách giáo khoa ở cả hai lớp trên có 74 bài tập.
Một trong các phơng pháp hớng dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa
vào quy tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Nội dung quy
tắc gồm các bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình (gồm các công việc)
- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn.
- Dùng ẩn số và các số đã biết, đã cho trong bài toán để biểu thị số
liệu khác nhau có liên quan, diễn giải các bộ phận hình thành phơng trình
(hệ phơng trình).
Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình)
Tuỳ thuộc vào từng dạng phơng trình mà chọn cách giải cho thích hợp
và ngắn gọn.
Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời.
- Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không?
sau đó trả lời kết quả (có kèm theo đơn vị).
Mặc dù đã có quy tắc trên xong ngời giáo viên trong quá trình hớng
dẫn giải loại toán này cần cho học sinh vận dùng theo sát yêu cầu về giải
một bài toán nói chung.
II. YÊU CẦU VỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN.
1. Yêu cầu 1:
Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho

học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không sai sót về kiến thức, ph-
ơng pháp suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn. Phải rèn
cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn số và xem xét đối chiếu kết
quả với điều kiện của ẩn đã hợp lý cha.
Ví dụ 1: (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 1995 – 1996)
Tỷ số giữa tuổi em và tuổi anh bằng 0,5. Sau 3 năm nữa tỷ số sẽ tăng
thêm 0,1. Hỏi tuổi anh và em hiện nay?
Nếu gọi tuổi em là x(x > 0, x ∈ N). Nếu tuổi em là x thì tuổi anh là 2x
(phân tích).
Theo bài ra ta có phơng trình:
6,01,05,0
32
3
=+=
+
+
x
x
<=> x + 3 = 0,6 (2x + 3)
<=> x = 6 (thoả mãn điều kiện đã đặt)
=> Tuổi em hiện nay là 6, tuổi anh là 12.
2. Yêu cầu 2:
Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình thực
hiện từng bớc có logic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt
phải chú ý đến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn khéo
léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật đợc ý phải tìm. Nhờ
mối tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc phơng trình (hệ
phơng trình) từ đó tìm đợc giá trị của ẩn số. Muốn vậy giáo viên cần làm
cho học sinh hiểu đợc đâu là ẩn số? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? điều
kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? Từ đó mà xác định đợc hớng đi, xây

dựng đợc cách giải.
Ví dụ 2: (Toán phát triển đại số 9 – 1996 – Nguyễn Ngọc Đạm – Tr-
ơng Công Thành – NXB Giáo dục).
Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu
vi của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m
2
.
Hớng dẫn: Ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật, học sinh th-
ờng có xu thế bài toán hỏi gì thứ gọi đó là ẩn số. Nếu gọi chu vi của hình
chữ nhật là ẩn số thì bài toán đi vào bế tắc khó có lời giải. Giáo viên cần h-
ớng dẫn học sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề.
Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần gì? => (cạnh hình chữ nhật). Từ đó
gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (x> 0). Từ đó ta có phơng trình.
x(x + 4) = 1200 <=> x
2
+ 4x + 1200 = 0
Giải phơng trình ta có: x
1
= 30
x
2
= -34
Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x
2
chỉ lấy x
1
= 30
=> chiều dài là 30 + 4 = 34 và chu vi là: 2(30 + 34) = 128m
(ở bài toán này nghiệm x
2

= - 34 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài
hình chữ nhật, học sinh dễ mắc sai sót coi đó cũng là kết quả của bài toán.
3. Yêu cầu 3:
Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Hớng dẫn học sinh
không đợc bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhng cũng không thiếu.
Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đã đầy đủ cha? Kết quả của bài
toán đã là đại diện phù hợp với mọi cái nói chung. Nếu thay đổii điều kiện
bài toán rơi vào trờng hợp đặc biệt thì kết quả vẫn luôn luôn đúng.
Ví dụ 3: (Bài ôn luyện toán 9 – NXB Hà Nội)
Một tam giác có chiều cao bằng ắ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm
3dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm
2
. Tính
chiều cao và cạnh đáy.
Lu ý học sinh: Dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy của tam giác thì
diện tích (S) của nó luôn đợc tính theo công thức:
S =
2
1
(cạnh đáy . chiều cao)
Từ đó gọi chiều dài cạnh đáy (lúc đầu) là x(x > 0, dm) thì chiều cao sẽ
là
4
3
x (lúc đầu).
=> S∆ lúc đầu là
2
1
x .
4

3
x
=> S∆ sau là:
2
1
(x-2) . (
4
3
x + 3)
Theo bài ra ta có phơng trình:






+−
3
4
3
).2(
2
1
xx
Giải phơng trình ta tóm đợc: x = 20 thoả mãn điều kiện => chiều cao
của tam giác là
4
3
x 20 = 15dm
4. Yêu cầu 4:

Lời giải bài toán phải đơn giản
Bài giải phải đảm bảo đợc 3 yêu cầu trên. Không sai sót, có lập luận,
mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ học sinh, đại đa số học
sinh hiểu và làm đợc.
Ví dụ 4: (Bài toán cổ)
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có mấy gà, mấy chó?
Với bài toán này nếu giải nh sau:
Gọi số gà là x(x>0), x ∈ N) thì số chó là 36x – x.
Gà có 2 chân => Số chân gàn là 2x chân
Chó có 4 chân => Số chân chó là 4(36 – x) chân
Theo bài ra ta có phơng trình: 2x + 4(36 – x) = 100
Giải ra ta có: x = 22 => gà = 22 con => số chó có là 36 – 22 = 14 con
Thì bài toán ngắn gọn dễ hiểu. Nhng học sinh giải theo cách dùng 2
ẩn (x, y) hoặc gọi số chân gàn là x => số chân chó là 100 – x.
=> Phơng trình:
36
4
100
2
=
−
+
xx
Kết quả cũng là gàn 22 con, chó 14 con nhng đã vô tình biến bài giải
khó hiểu hơn hay không hợp với trình độ của học sinh.
5. Yêu cầu 5:
Lời giải phải trình bày khoa học.

Đó là lu ý đến mối liên hệ giữa các bớc giải trong bài toán phải logic,
chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy ra từ các bớc trớc nó, đã đợc kiểm
nghiệm, chứng minh là đúng, hoặc những điều đã biết từ trớc.
Ví dụ 5: (Toán phát triển đại 9 – Nguyễn Ngọc Đạm – Trơng Công
Thành – NXB Giáo dục 1996).
Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền
thành 2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
Theo hình vẽ ta có:
h
c’
b
'
’
H
CB
A
Bài toán yêu cầu tìm độ dài BC khi đã biết AH.
Trớc khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức
h
2
=b’.c’ <=> AH
2
= BH . HC.
Để từ đó: Gọi BH có độ dài là x(x > 0) => HC có độ dài là x + 5, 6.
Theo công thức (đã biết ở phần hình học) ta có phơng trình:
x (x + 5, 6) = (9,6)
2
Giải phơng trình ta có x = 7, 2 = 20m
6. Yêu cầu 6:
Lời giải bài toán phải rõ ràng đầy đủ (có thể nên thử lại).

Lu ý đến việc giải các bớc lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau,
phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có
thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài
toán, tránh bỏ sót, nhất là đối với phơng trình bậc 2, hệ phơng trình.
Ví dụ 6: (Toán phát triển đại 9 – Nguyễn Ngọc Đạm – Trơng Công
Thành – NXB Giáo dục 1996).
Độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông là 25, còn tổng độ dài hai
cạnh góc vuông là 35. Tìm độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác?
Hớng dẫn: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x, y (x,y > 0).
Ta có hệ phơng trình: x + y = 35 (1)
x
2
+ y
2
= 25
2
= 625 (2)
Rút y từ phơng trình (1) thay vào phơng trình (2) ta có phơng trình:
x
2
- 35x + 330 = 0.
Giải phơng trình bậc 2 này ta tìm đợc x
1
= 20; x
2
= 15
Đến đây học sinh hay hoang mang và ra hái kết quả (thực chất trong
bài toán tam giác vuông này là 1) không biết lấy kết quả nào?
Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với
điều kiện đầu bài nếu đảm bảo thì các nghiệm đều hợp lý. Một bài toán

không nhất thiết chỉ có duy nhất một kết quả và đợc kiểm chứng lại bằng
việc thử lại tất cả các kết quả đó với yêu cầu của bài toán.
CHƠNG II: PHÂN LOẠI BÀI TOÁN
GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƠNG TRÌNH VÀ CÁC GIAI
ĐOẠN GIẢI MỘT BÀI TOÁN
I. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PH-
ƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƠNG TRÌNH.
Trong 74 bài tập ở lớp 8 và lớp 9 giải bài toán bằng cách lập phơng
trình và hệ phơng trình có thể phân loại nh sau:
1. Loại toán về chuyển động
2. Loại toán có liên quan đến số học.
3. Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm).
4. Loại toán về công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị).
5. Loại toán về tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỷ số
của chúng).
6. Loại toán có liên quan hình học.
7. Loại toán có chứa tham số.
8. Loại toán có nội dung vật lý, hoá học.
II. CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PH-
ƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƠNG TRÌNH.
1. Phần giai đoạn:
- Với bài toán bậc nhất một ẩn số: Là dạng bài toán sau khi xây dung
phơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng.
ax + b = 0 (a ≠ 0)
- Với bài toán giải bằng phơng trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây
dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng đa về dạng:
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Với bài toán: Giải bài toán bằng hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn là dạng

sau khi xây dựng biến đổi tơng đơng về dạng nguyên (nh mẫu số) có dạng:
ax + by = c
a’x + b’y = c’
Trong đó a, b, a’, b’ không đồng thời bằng 0.
Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải một bài toán và 3 bớc trong quy tắc giải
bài toán bằng cách lập phơng trình (hệ phơng trình) nh phần I đã trình bày
thì giải bài toán loại này có thể chia thành 7 giai đoạn cụ thể rõ hơn 3 bớc
trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình ( hệ phơng trình).
* Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết kết luận của bài
toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? cần tìm gì? (có thể
mô tả bằng hình vẽ đợc không?)
* Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phơng trình. Tức là
chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện thế nào của ẩn cho thoả mãn.
* Giai đoạn 3: Lập phơng trình, dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và
các đại lợng đã biết, đa vào các công thức, tính chất để xây dựng phơng
trình, biến đổi tơng đơng để đa phơng trình đã xây dựng về phơng trình ở
dạng đã biết, đã giải đợc.
* Giai đoạn 4: Giải phơng trình (bớc 2). Vận dụng các kỹ năng giải
phơng trình đã biết để tìm nghiệm của phơng trình.
* Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phơng trình để xác định lời
giải của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không?
* Giai đoạn 6: Trả lời bài toán, kết luận nghiệm của bài toán xem có
mấy nghiệm, sau khi đã thử lại.
* Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thờng mở rộng
cho học sinh tơng đối khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh
biến đổi bài toán đã cho thành bài toán khác, ta có thể:
- Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiết).
- Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khác (ẩn số và giả thiết)
nhằm phát triển t duy toán học cho học sinh.
- Giải bài toán bằng cách khác tìm cách giải hay nhất.

2. Ví dụ minh hoạ cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập
phơng trình.
Ví dụ 1: (Đại số lớp 8 – Nguyễn Duy Thuận – NXB Giáo dục 1995)
Nhà bác Điền thu hoạch đợc 480 kg cà chua và khoai tay khối lợng
khoai gấp 3 lần khối lợng cà chua. Tính khối lợng mỗi loại.
Hớng dẫn giải:
* Giai đoạn 1:
Giả thiết Khoai + cà chua = 480
Khoai = 3 lần cà chua
* Giai đoạn 2: Thờng là điều cha biết đợc gọi là ẩn số. ở bài này cả số
lợng cà chua và số lợng khoai đều cha biết nên có thể coi một trong hai loại
(hoặc cả 2 loại).
Cụ thể: Gọi số lợng khoai là x(x > 0kg) thì số lợng cà chua là 480 – x
(hoặc số lợng cà chua là y) => x + y = 480
* Giai đoạn 3: Lập phơng trình
Vì số lợng khoai bằng 3 lần số lợng cà chua. Do đó mối quan hệ sẽ là
khoai = 3. cà chua. Ta có phơng trình:
x = 3(480 – x) (*)
hoặc x = 3y
x + y = 489 (**)
* Giai đoạn 4: Giải phơng trình:
Tiếp theo cách lập phơng trình dẫn đến giải phơng trình bậc nhất (*)
hay hệ phơng trình (**).
Giải (*) ta đợc x = 360kg
Giải (**) ta cũng đợc x = 360kg, y = 120kg bằng cách thay x = 3y vào
x + y = 480.
* Giai đoạn 5: Đối chiếu nghiệm đã giải với điều kiện đã ra xem mức
độ thoả mãn hay không thoả mãn. ở đây x = 360 > 0 nên thoả mãn.
Từ đó => số cà chua: 480 – 360 = 120kg.
Thử lại: Số khoai : 360kg

Số cà chua : 120kg => Khoai = 3 cà chua (đúng)
* Giai đoạn 6: Trả loài và đáp số.
Vậy số lợng khoai đã thu là 360kg.
Số lợng cà chua đã thu là 120kg.
* Giai đoạn 7: Nên cho học sinh nhiều cách giải khác nhau do việc
chọn ẩn số khác nhau đã đến xây dựng phơng trình khác nhau, từ đó tìm
cách giải hay nhất, ngắn gọn nhất. Nh đã trình bày ở trên, từ việc đặt ẩn số
khác nhau đến xây dựng phơng trình khi là phơng trình bậc nhất một ẩn, khi
là hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn. Nhng có thể lu ý cho học sinh tốt nhất là
đa về phơng trình đơn giản nhất, dễ giải nhất.
- Có thể từ bài toán này xây dựng hoặc giải các bài toán tơng tự.
Ví dụ:
+ Thay lời văn và tình tiết bài toán: giữ nguyên số liệu, ta có bài toán
mới “Một phân số có tổng tử và mẫu số là 480. Biết rằng mẫu gấp 3 lần tử.
Tìm phân số đó”.
+ Thay số liệu giữ nguyên lời văn.
+ Thay kết luận thành giả thiết và ngợc lại ta có bài toán “Tuổi cha gấp 3
lần tuổi con, biết rằng tuổi của con là 12. Tìm tổng số tuổi cua cha và con.
Bằng cách đó có thể xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các
dạng bài toán tơng tự và cách giải tơng tự. Đến khi gặp bài toán học sinh sẽ
nhanh chóng tìm ra cách giải.
Chơng III: Những loại toán và hớng dẫn học sinh giải
Phân loại dạng toán
I. Dạng toán chuyển động:
Bài toán 1: (Sách ôn thi tốt nghiệm – NXB Giáo dụ 1990)
Nhà Nam và Lan cùng nằm trên đờng quốc lộ và ở cách nhau 7m.
Nếu Nam và Lan đi xe đạp cùng lúc và ngợc chiều nhau thì sau 1/4 giờ họ
gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ngời? Biết rằng vận tốc của Lan bằng 3/4
vận tốc của Nam.
Hớng dẫn học sinh: Đây là bài toán chuyển động ngợc chiều khi 2 ng-

ời gặp nhau tại M tức là 2 ngời đã đi hết quãng đờng AB = 7m. Mà vận tốc
của Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam, nh vậy có mối quan hệ nh thế nào với cả
2 ngời trong khi thời gian đi của cả 2 ngời nh nhau => học sinh sẽ hiểu đề
bài và tự đặt đợc ẩn số và lập phơng trình về mối tơng quan giữa ẩn số và
một đại lợng khác.
A M B
* Lời giải:
Cách 1: Gọi vận tốc của Nam là x(x > 0,km/h) thì vận tốc của Lan là
3/4x. Nh vậy Au 1/4h Nam đi đợc quãng đờng là 1/4x. Sau 1/4h Lan đi đợc
quãng đờng là 3/4x . 1/4h cả 2 ngời đi đợc quãng đờng AB. Vậy ta có phơng
trình:
7
4
1
.
4
3
4
1
=+
xx
(1)
<=>
7
16
3
4
1
=+
xx

<=> 7x = 7 . 16 <=> x = 16
x thoả mãn điều kiện của bài toán và phơng trình (1)
Cách 2: Gọi quãng đờng của Nam đi sau 1/4h là x(km, 0< x < 7).
Quãng đờng của Lan đi sau 1/4h là y(km, 0 < y < 7).
Theo bài ra ta có: x + y = 7 (1)
Vận tốc của Nam sẽ là: x : 1/4 = 4x
Vận tốc của Lan sẽ là: y : 1/4 = 4y
Theo bài ra ta có:
3
1
4
4
=
y
x
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình: x + y = 7 (1)
3
4
=
y
x
(2)
Giải hệ phơng trình ta tìm đợc x = 4, y = 3 thoả mãn điều kiện và ph-
ơng trình (1).
Vận tốc của Nam là:
hkm /16
4
1
:4

=
hkm/12
4
1
:3 =
Bài toán 2: (Đại số 9 – Ngô Hữu Dũng)
Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km cả đi lẫn về mất
8h20’. Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng. Biết rằng vận tốc của
dòng nớc là 4km/h.
* Hớng dẫn học sinh: Trong bài này cần lu ý học sinh xác định vận
tốc thực của tàu thuỷ khi ngợc dòng và xuôi dòng khác nhau.
- Khi tàu xuôi dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực + vận tốc dòng
nớc.
- Khi tàu ngợc dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực – vận tốc dòng
nớc.
* Lời giải:
Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng và x(x > 4, km/h). Do vậy
khi xuôi dòng vận tốc của tàu là x + 4, khi ngợc dòng vận tốc của tàu là x –
4. Thời gian tàu đi từ A -> B xuôi dòng là 80/x+ 4
Thời gian tàu đi từ B -> A ngợc dòng là 80/x – 4.
Thời gian tàu xuôi (đi) và ngợc (về) mất 8h20’
hh
3
25
3
1
.8 ==
. Vậy ta
có phơng trình:
3

25
4
80
4
80
=
−
+
+
xx
<=> 5x
2
– 96x – 80 = 0
Giải phơng trình bậc 2 ta có: ∆’ = 2 . 704 = (52)
2
=>
25'
=∆
=> x
1
= 20, x
2
= - 0,8 (loại)
Vậy x = 20 thoả mãn đề bài và phơng trình. Vậy vận tốc của tàu thuỷ
khi yên lặng là 20km/h.
Tóm lại: Với 3 lời giải trên giáo viên đã hình thành cho học sinh làm
quen với việc giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình. ở
đây mới cố gắng nêu 2 cách giải đại diện cho các dạng phơng trình bậc nhất,
phơng trình bậc 2 và hệ phơng trình.
+ Trong dạng toán chuyển động, học sinh cần nhớ và nắm chắc các

đại cơng quãng đờng, vận tốc và thời gian liên quan với công thức S = vt.
Do đó khi giải nên chọn 1 trong 3 đại lợng trên là ẩn số và điều kiện luôn
luôn dơng. Sau đó áp dụng công thức S = vt hoặc điều kiện của bài toán để
xây dựng phơng trình (hệ phơng trình).
+ Cần lu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chai ra nhiều
dạng nhỏ và cần lu ý.
- Nếu chuyển động trên cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian
có tỷ lệ nghịch với nhau.
- Nếu thời gian chuyển động đến chậm hơn dự định (bài 9 – sách đại
8 – Nguyễn Duy Thuận) thì cách lập phơng trình nh sau:
Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu + thời gian đến chậm = Thời
gian của chuyển động sau khi giảm vận tốc + thời gian chuyển động đi với
vận tốc ban đầu.
- Nếu thời gian của chuyển động đến nhanh hơn dự định (bài 2 sách
đã dẫn) thì cách lập phơng trình làm ngợc lại phần trên.
+ Nếu chuyển động trên đoạn đờng không đổi từ A => B rồi từ B =>
A biết tổng thời gian thực tế của chuyển động (ví dụ chơng 3) thì cách lập
phơng trình nh bài toán đã trình bày. Nghĩa là tổng thời gian của chuyển
động về.
+ Nếu hai chuyển động ngợc chiều nhau (Ví dụ 1 chơng 3) sau một
thời gian hai chuyển động nhau thì có thể lập phơng trình S = S
1
+ S
2
+
II. Dạng toán có liên quan số học:
Bài 1: (Bài 1 – trang 80 – sách đại 8 – Nguyễn Duy Thuận – NXB
Giáo dục 1995).
Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3. Nếu tăng cả tử và
mẫu thêm 2 đơn vị thì đợc phân số 1/2 . Tìm phân số đã cho?

+ Hớng dẫn học sinh:
- Để tìm một phân số tức là ta phải tìm những thành phần nào? (tử,
mẫu?)
- Biết tử số ta có thể tìm đợc mẫu số không? và ngợc lại.
- Sau khi tăng cả tử và mẫu 2 đơn vị ta có phân số mới nào?
+ Lời giải: ở đây nh đã trình bày ở phần trên, ta thấy rằng các thành
phần của tử số và mẫu số của phân số đã cho đều cha biết. Nghĩa là tơng đ-
ơng nhau về giá trị ẩn số. Nh vậy ta có thể gọi bất kỳ tử số hay mẫu số là ẩn
số cách chọn ẩn nào sẽ dẫn đến cách giải khác. Ngoài ra nếu gọi cả 2 thành
phần trên là ẩn số sẽ dẫn đến cách giải bài toán bằng cách lập hệ phơng
trình. Nhng ta sẽ chọn cách giải đơn giản nhất. Muốn vậy cần đặt ẩn đơn
giản nhất. ở đây là phân số nên thờng tử số nhỏ hơn mẫu số (bài toán cũng
đã cho). Vậy ta nên chọn tử là ẩn số.
Thật vậy: Gọi tử số của phân số đã cho là x(x ≠ 0) thì mẫu số của
phân số là x + 3.
Sau khi tăng tử số sẽ là: x + 2
Sau khi tăng mẫu số sẽ là: x + S + 2 = x + 5
Theo bài ra ta có phơng trình
2
1
5
2
=
+
+
x
x
(1) (ĐK x ≠ - 5)
=> 2(x + 2) = x + 5 => x = 1
Thoả mãn điều kiện của bài và của phơng trình (1)

Vậy phân số đã cho là:
4
1
31
1
=
+
Bài 2: (Bài 2 – sách đại 9 – Ngô Hữu Dũng – NXB Giáo dục 1995)
Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số lớn cho 5 và số nhỏ cho
7 thì đợc thơng thứ nhất hơn thơng thứ 2 là 4 đơn vị. Tìm 2 số đó.
+ Hớng dẫn học sinh:
Với loại toán này học sinh lúng túng cách biểu diễn thơng. Nhiều em
coi thơng thứ nhất là thơng của số nhỏ và 7, thơng thứ 2 là thơng của số lớn
và 5, dẫn đến kết quả sai.
+ Lời giải: Theo 4 cách ở bảng sau:
Cách Quá trình Số lớn Số nhỏ Phơng trình xây dựng
1
Cha tính thơng
Tính thơng
x
5
x
x – 12
7
12
−
x
4
7
12

5
=
−
−
xx
(*)
2
Cha tính thơng
Tính thơng
x + 12
7
x
x
4
75
12
=−
− xx
3
Cha tính thơng
Tính thơng
x
5
x
y
5
y
x – y = 12 (1)
4
55

=−
yx
(2)
4
Cha tính thơng
Tính thơng
y
5
y
x
5
x
y – x = 12 (1)
4
75
=−
xy
(2)
Từ 4 cách chọn ẩn khác nhau ta dẫn đến xây dựng 4 phơng trình (hay
hệ phơng trình) khác nhau và có 4 cách giải khác nhau nhng vẫn cùng một
kết quả. Giải phơng trình.
Ta đợc: => 7x – 5x + 60 = 140
=> 2x + 60 = 140
=> x = 40 thoả mãn điều kiện bài toán
Vậy số lớn là 40 số nhỏ là 40 – 12 = 28
Bài 3: (Bài 2 – sách đại 9 – Ngô Hữu Dũng – NXB Giáo dục 1989)
Tìm 2 số biết tổng là 17 và tổng các bình phơng của chúng là 157.
* Hớng dẫn học sinh:
Đây là bài toán đa về phơng trình bậc 2. Cũng có thể có 2 cách giải
theo đặt ẩn khác nhau:

* Lời giải: Theo bảng sau:
Cách Quá trình Số thứ
nhất
Số thứ
hai
Phơng trình xây dựng
1
Cha bình phơng
Bình phơng
x(x ≠ 0)
x
2
7
(17 – x)
2
x
2
+ (17 – x)
2
= 157 (∀)
2
Cha bình phơng
Bình phơng
x(x ≠ 0)
x
2
y(y ≠ 0)
y
2
x + y = 17

x
2
+ y
2
= 157
Giải phơng trình (*) ta có <=> 2x
2
– 34 + 132 = 0
<=> x
2
– 17x + 66 = 0
∆ = 25,
∆
= 5 => x
1
= 11; x
2
= 6
Cả 2 nghiệm x
1
, x
2
đều thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy số thứ nhất
phải tìm là 11, số thứ hai là 6.
Chú ý: Với dạng toán có liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu
mối quan hệ giữa các đại lợng đặc biệt giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng
trăm biểu diễn dới dạng chính tắc của nó.
cbaabc
baab
++=

+=
10100
1
Khi đổi chỗ vị trí các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn
tơng tự nh vậy. Dựa vào đó đặt điều kiện cho ẩn số phải phù hợp.
III. Dạng toán về năng suất lao động:
(Tỷ số phần trăm)
Ví dụ 1: (Ôn thi tốt nghiệp THCS NXB Giáo dục 1990)
Trong 2 tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy, trong tháng sau
tổ 1 vợt mức 10%, tổ 2 vợt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất đợc 448 chi tiết
máy. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.
* Hớng dẫn học sinh:
- Đã biết năng suất chung của 2 tổ trong tháng đầu đợc 400 chi tiết
máy. Nếu biết 1 trong 2 tổ sẽ tính đợc đợc tổ kia (chọn ẩn).
- Giả sử đã biết năng suất của tháng đầu có thể tính đợc tổng chi tiết
máy sản xuất trong tháng sau.
- Tính năng suất của từng tổ tháng sau để xây dựng phát triển.
* Lời giải:
Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu (x ∈ Z
+
,
x < 400, x > 0). Nh vậy tổ 2 sản xuất đợc 400 – x chi tiết máy.
Tháng sau tổ 1 đã làm đợc
x
100
10
chi tiết máy.
Tổ 2 đã làm đợc (400 – x).
100
15

chi tiết máy
Do đó cả 2 tổ đã vợt 48 chi tiết máy.
Theo bài ra ta có phơng trình:
48
100
15
).400(
100
10
.
=−+
xx
<=> 10x + 6000 – 15x = 4800
<=> 5x = 1200 <=> x = 240
Thoả mãn điều kiện đề ra. Vậy tháng dần tổ 1 sản xuất đợc 240 chi
tiết máy, tổ sản xuất 400 – 240 = 160 chi tiết máy.
Cách 2: Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất đợc trong tháng đầu là
x(x∈Z, 0 < x < 400)
Số chi tiết máy tổ 2 sản xuất trong tháng đầu là y(y ∈ Z, 0 < y < 400).
Do đó ta có x + y = 400 (1)
Trong tháng sau tổ 1 làm đợc
100
10
x
chi tiết máy.
Tổ 2 làm đợc
100
15
y
chi tiết máy.

Do đó ta có phơng trình:
48
100
15
100
10
=+ yx
(2)
Từ đó ta có hệ phơng trình: x + y = 400 (1)
48
100
15
100
10
=+
yx
(2)
Giải hệ phơng trình ta có: x = 240; y = 160
Thoả mãn điều kiện đề bài => kết luận
Ví dụ 2: (Bài 2 - Đại 9 – Ngô Hữu Dũng – Trần Kiều – NXB Giáo
dục 1996).
Dân số của thành phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 2.000.000 lên
2.048.288 ngời. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần
trăm.
* Hớng dẫn học sinh:
Đã biết số ngời của năm đầu và 2 năm sau, học sinh dễ nhầm lẫn lấy
số sau trừ đi số trớc, sau đó chia cho 2 năm lấy trung bình từ đó tính phần
trăm dẫn đến kết quả sai.
* Lời giải:
Gọi số phần trăm dân số tăng mỗi năm của Hà Nội và x% (x > 0).

Dân số năm đầu của Hà Nội tăng là: 2.000.000.
x
x
000.20
100
=
Sau năm đầu dân số Hà Nội là:
2.000.000 + 20.000x = 20.000 (x + 100)
Năm thứ hai dân số Hà Nội tăng là:
20.000 (x + 100).
)100(200
100
+= x
x
Theo bài ra ta có phơng trình:
20.000 (x + 100) + 200(x + 100) = 2.048.288
<=> x
2
+ 200x – 241,44 = 0
Giải phơng trình bậc 2 ta đợc x
1
= 1,2; x
2
= -201,2 (loại)
Vậy số phần trăm tăng dân số trung bình của Hà Nội 1,2%.
Tóm lại: Với dạng toán liên quan đến tỷ số phần trăm học sinh thờng
ngại và khó giải, giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rõ bản chất
của logic và nội dung bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phơng
trình và giải nh các dạng toán khác.
IV. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.

(Toán qui về đơn vị)
Bài 1: (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THCS, Sở GD ĐT Hải Hng 1996)
Hai máy xúc đất, nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong công việc
đợc giao. Nếu làm riêng thì máy 1 phải làm lâu hơn máy 2 là 5 ngày. Hỏi
mỗi máy nếu làm riêng thì mất bao nhiêu ngày sẽ hoàn thành công việc đã
đợc giao.
* Lời giải:
Gọi x là số ngày mà máy 1 phải làm một mình để hoàn thành công
trình (x > 5).
Máy 2 làm riêng mất số ngày là x – 5.
Mỗi ngày máy 1 làm đợc
x
1
công việc, máy 2 làm
5
1
−
x
công việc.
Cả 2 máy trong một ngày đợc
6
1
công việc.
Theo bài ra ta có cách giải sau:
Cách Quá trình Máy 1 Máy 2
Phơng trình xây
dựng
1
Làm riêng xong công việc
Phần công việc trong

1ngày
x( x > 5)
x
1
x – 5
5
1
−
x
6
1
5
11
=
−
+
xx
(*)
2
Làm riêng xong công việc
Phần công việc trong
1ngày
x( x > 5)
x
1
y( y > 5)
y
1
x – y = 5

6
111
=+
yx
Giải phơng trình (*) ta có x
2
– 17x + 30 = 0
<=> x
1
= 15, x
2
= 2 (loại)
Vậy máy 1 làm riêng mất 15 ngày, máy 2 làm riêng mất:
15 – 5 = 10 ngày
Bài 2: (Ôn luyện thi tốt nghiệp THCS – Sở GD-ĐT Hải Hng 1996)
Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể không có nớc trong 12 giờ thì đầy bể.
Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 6 giờ thì đầy
5
2
bể. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể.
* Lời giải:
Gọi x là thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể (x > 0)
y là thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể (y >0)
Sau mỗi giờ vòi 1 chảy là
x
1
vòi 2 chảy là
y
1
=>

x
1
+
y
1
=
12
1
(1)
Trong 4h vòi 1 chảy
x
1
, vòi 2 chảy
5
2646
=+=>
yxy
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
x
1
+
y
1
=
12
1
5
264
=+

yx
Giải hệ phơng trình ta đợc x = 20, y = 30 thoả mãn điều kiện đã nêu.
Vậy vòi 1 chảy riêng hết 20h, vòi 2 chảy riêng hết 30h.
ở bài toán này mấu chốt là cho học sinh hiểu đầu bài biết đặt đúng ẩn,
từ đó tính thời gian của 1h và lập đợc phơng trình.
V. Dạng toán về tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng hiệu, tỷ
số của chúng).
Bài 1: (Bài 5 sách đại số 8 – Nguyễn Duy Thuận – NXB giáo dục
1995)
HTX Hồng Châu có 2 kho thóc. Kho thứ nhất nhiều hơn kho thứ hai
100 tấn. Nừu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ 2 60 tấn thì lúc đó số thóc
ở kho thứ nhất
13
12
số thóc ở kho thứ hai. Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu.
* Lời giải: Hớng dẫn học sinh theo bảng sau:
Cách Quá trình Kho 1 Kho 2 Phơng trình xây dựng
1
Cha chuyển
Đã chuyển
x + 100
x + 40
x(x > 0)
x + 60
x + 40 =
13
12
(x + 60) (*)
2
Cha chuyển

Đã chuyển
x(x > 0)
x - 60
y (y > 0)
y + 60
x – y = 100
x – 60 =
13
12
(y + 60)
Giải phơng trình (*) ta có x = 200 thoả mãn.
Vởy kho 2 lúc đầu có 200 tấn thóc.
Kho 1 lúc đầu có 300 tấn thóc.
Bài 2: (Bài 5 – Sách đại số 9 – Ngô Hữu Dũng – Trần Kiều – NXB
Giáo dục – 1996)
Một đội xe cần phải chuyên chở 120 tấn hàng khi làm việc cho 2 xe
phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi đội xe có
bao nhiêu xe.
* Lời giải:
Gọi x là số xe của đội lúc đầu ( x ∈ z
+
). Theo dự định mỗi xe phải chở
x
120
tấn hàng. Nhng khi làm việc chỉ có (x – 2) xe chở. Thực tế mỗi xe phải
chở
2
120
−
x

tấn hàng.
Theo bài ra ta có phơng trình:
2
120
−
x
-
x
120
= 16 <=> x
2
– 2x – 15 = 0
Giải ra ta đợc x
1
= 15, x
2
= - 3 (loại)
Vậy đội có 5 xe ô tô lúc đầu.
VI. Dạng toán có liên quan hình học
Bài 1: (Bài 2 – Sách đại số – Ngô Hữu Dũng – Trần Kiều – NXB
Giáo dục 1996)
Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Ngời ta làm một lối đi
xung quanh vờn (thuộc đất của vờn) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng
trọt là 4256m
2
. Tính kích thớc của vờn?
* Hớng dẫn học sinh: