Đề thi thử HSG môn Toán

Trường THPT Than Uyên
Tổ: Toán
Đề số 01
ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI MÔN
TOÁN NĂM 2012
Câu 1. Tìm tập tất cả các giá trị của a để tập xác định của hàm số:
2a x
f (x)
2a x
+
=
−

chứa tập giá trị của hàm số
2
1
g(x)
x 2x 4a 2
=
+ + −
.
Câu 2: Giải hệ phương trình sau
4 3 2 2
3 2
x x y x y 1
x y x xy 1

− + =

− + = −


Câu 3.Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn:
20013 20013 20013
x y z 3+ + =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
F x y z= + +
.
Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau dạng
1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a
sao cho
2 3 4
1
4 5 6 7
a a a a
a a a a
< < <


> > >

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2 2
m( x 2x 2 1) x 2x m
− + + − + =
có nghiệm
x 0;1 3
 
∈ +
 

Câu 6:Giải phương trình : cos2x + cos3x - sinx –cos4x = sin6x
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C) có phương trình
2 2
x (y 1) 1+ − =
. Chứng minh rằng với mỗi điểm M(m;3) trên đường thẳng y=3
luôn tìm được hai điểm T
1
và T
2
trên trục hoành, sao cho các đường thẳng MT
1
,
MT
2
là tiếp tuyến của (C). Khi đó hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác MT
1
T
2
.
Hết
Trường THPT Than Uyên
Tổ: Toán

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI MÔN
TOÁN NĂM 2012 SỐ 02
Câu 1: Giải hệ phương trình:
3
3
3

x 3x 3x 1 5 y 0
y 3y 3y 1 5 z 0
z 3z 3z 1 5 x 0

+ + + − − =


+ + + − − =


+ + + − − =


Câu 2: Chứng minh rằng với mọi tham số m hàm số:
3 2 2
y x (2m 1)x (m 2m 1)x 2013= + + + + − −
luôn có một cực đại và một cực
tiểu.
Câu 3: Giải phương trình lượng giác sau:
2
2sin x sin 2x 2sin x 2x(sinx cosx 1) 0− + − − + =
Câu 4: Tìm số hạng chứa x
7
trong khai triển thành đa thức biểu thức:

2 3 10
P (1 x x x )= + + +
Câu 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
2 2 2 2
x y x 8y 2xy− − =

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
yz x 1 xz y 2 xy z 3
f (x, y,z)
xyz
− + − + −
=
trên miền
{ }
D (x, y,z) : x 1,y 2,z 3= ≥ ≥ ≥
Câu 7.
Trong một lớp có 43 học sinh làm bài kiểm tra môn toán không có ai bị điểm
dưới 3, chỉ có 3 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6
học sinh có số điểm bằng nhau(điểm kiểm tra là các số tự nhiên từ 1 đến 10).
Câu 8. Cho tứ giác ABCD và một điểm O bên trong tứ giác. Gọi S là diện tích tứ
giác ABCD. Chứng minh rẳng:
2 2 2 2
OA OB OC OD 2S+ + + ≥
. Dấu đẳng thức
xảy ra khi nào?
Câu 9. Tìm m để bất phương trình
2
4 (4 x)(2 x) x 2x m 18− − + ≤ − + −
đúng
với mọi
[ ]
x 2;4∈ −
.
Câu 10. Tìm số dương a nhỏ nhất thỏa mãn:
2 2
1

cos a 2a sin( a ) 0
2
 
 
π + − − π =
 ÷
 
 
 
Hết
Trường THPT Than Uyên
Tổ: Toán
ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI MÔN
TOÁN NĂM 2012 SỐ 03
Câu 1:
1.Giải bất phương trình sau:
( )
2 4 2
6 x 3x 1 x x 1 0,x− + + + + ≤ ∈ R
2. Giải phương trình sau:
2
cos2x 2 sin x
4
1
x x
sin cos
2 2
π
 
− +

 ÷
 
=
 
−
 ÷
 
3. Giải hệ phương trình :
2 2
2
1
x y
5
57
4x 3x y(3x 1)
25

+ =




+ − = − +


Câu 2:
1.Chứng minh rằng
3
sinx
cos x, x 0;

x 2
π
   
> ∀ ∈
 ÷  ÷
   
2. Cho hai số thực x,y thỏa mãn:
x 0,y 1,x y 3≥ ≥ + =
.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất,
giá trị lớm nhất của biểu thức:
3 2 2
F x 2y 3x 4xy 5x= + + + −
3. Cho ba số dương thay đổi x,y,z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng
3 3
3
z x y
x y z
x y z
+ + ≥ + +
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tamm giấc ABC có diện tích bằng
3
2
. Biết
A(2;- 3), B(3; -2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d: 3x-y-8=0. Tính bán kính
vòng tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 4: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau được
thành lập từ các chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0,1 không đứng cạnh nhau.
Câu 5.
1.Cho n là một số nguyên dương. Biết rằng 2n+1 và 3n+1 là hai số chính phương.
Chứng minh rằng n chia hết cho 40.

2. Trên mặt phẳng cho 29 điểm sao cho từ ba điểm bất kỳ trong số chúng đều tìm
được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn
bán kính bằng 1 chứa ít nhất 14 điểm.
Hết
Trường THPT Than Uyên
Tổ: Toán
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN NĂM 2012
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1 (4đ). Cho hàm số
3 2
y x 3x 3m(m 2)x 1 (1)= − + + + +
, trong đó m là tham
số thực. Tìm tất cả các giá trị của m đề đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B
và độ dài AB=
2 5
Bài 2(6đ):
1. Giải phương trình sau:
2 2
3tan x 2 2cos x (2 3 2)sinx+ = +
2. Giải phương trình sau :
3 2 2
3
4 5 6 7 9 4x x x x x− − + = + −
3.Tìm m để bất phương trình
2
(1 2x)(3 x) m 2x 5x 3+ − > + − +
nghiệm
đúng với mọi
1

x ;3
2
−
 
∈
 
 
Bài 3(2đ):
Cho đường tròn
2 2
(C) :(x 1) (y 2) 13+ + − =
và đường thẳng d: x- 5y -2 =0.
Gọi A,B là tọa độ giao điểm của d và (C). Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang
vuông ABCD (AB//BC,
·
0
DAB 90=
), biết đỉnh C thuộc đường tròn (C) và đỉnh D
cách đường thẳng d một khoảng
2 26
.
Bài 4(4đ):
1.Cho n là một số nguyên dương lẻ không nhỏ hơn 3. Chứng minh rằng với
mọi số thực
a 0≠
, ta luôn có:
2 3 4 n 1 n 2 3 4 n 1 n
a a a a a a a a a a
1 a 1 a 1
2! 3! 4! (n 1)! n! 2! 3! 4! (n 1)! n!

− −
  
+ + + + + + + − + − + − + − <
 ÷ ÷
− −
  
2.Cho a,b,c >0 thỏa mãn điều kiện abc =1. Tìm GTNN của:
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
T
a b a c b c b a c a c b
= + +
+ + +
Bài 6(4đ):
1.Trên mặt phẳng cho 6 điểm phân biệt, tùy ý trong đó không có 3 điểm nào
thẳng hàng. Nối các điểm đó bởi các đoạn thẳng và tô chúng bởi hai màu xanh và
đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các cạnh cùng màu.
2.Chứng minh rằng
n 2 2n 1
11 12 133
+ +
+ M
với mọi
n ∈N
.
Hết
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trường THPT Than Uyên
Tổ: Toán
ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI MÔN

TOÁN NĂM 2012 SỐ 04
Bài số 1: a.Cho dãy số (x
n
) xác định bởi :
2
1 n 1 n n
1
x ,x x x , n 1
2
+
= = + ∀ ≥
Đặt
n
1 2 3 n
1 1 1 1
S .
x 1 x 1 x 1 x 1
= = + + +
+ + + +
Tính
n
limS
b. Cho dãy số (x
n
) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
i) x
1
=2
ii)
1 2 n

n
2
x 2x (n 1)x
x , n 1
n(n 1)
+ + + −
= ∀ >
−
Tính
n
limS
trong đó
3
n n
S (n 1) .x= +
c. Cho dãy số (u
n
),
n ∈N
được xác định như sau:
2
0 n 1 n n
u 2,u 5u 24u 96; n
+
= = + − ∀ ∈N
Xác định số hạng tổng quát của dãy (u
n
). Chứng minh rằng
n
n

u 2.5 , n≥ ∀ ∈N
Bài số 2: Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC có BC= a; AC=b; AB=c;
; ;α β γ
lần lượt là các góc tạo bởi các mặt phẳng (SBC),(SAC), (SAB) với đáy.
Biết. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm O bất kỳ trên mặt đáy
đến ba mặt bên của hình chóp là một hằng số.
Bài số 3: Cho một đa giác đều A
1
A
2
A
n

(n 3)≥
nội tiếp trong một đường tròn
tâm O, biết A
1 ,
A
2 ,
A
3,
A
4
của đa giác đều thỏa mãn đẳng thức
1 2 1 3 1 4
1 1 1
A A A A A A
= +
. Tìm số cạnh của đa giác đều đã cho.
Bài số 4 : Chứng minh rằng

0
0 0 0 0 0 0 2 0
1 1 1 cos1

sin1 sin 2 sin 2 sin3 sin89 sin90 sin 1
+ + + =