Mô hình hóa và mô phỏng ứng dụng xử cơ học của ống và tấm mỏng có kích cơ nano mét

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI



Nguyễn Danh Trường



MÔ HÌNH HÓA VÀ MÔ PHỎNG ỨNG XỬ CƠ HỌC
CỦA ỐNG VÀ TẤM MỎNG CÓ KÍCH CỠ NANO MÉT


Chuyên ngành : Cơ kỹ thuật
Mã số : 62520101


TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC







Hà Nội - 2015
Công trình được hoàn thành tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Minh Quý


Phản biện 1: …………………………………………………

Phản biện 2: …………………………………………………

Phản biện 3: …………………………………………………




Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường
họp tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Vào hồi …… giờ, ngày … tháng … năm ………











Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội.
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam.
1

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài:
Nghiên cứu về vật liệu nano là một trong những lĩnh vực nghiên cứu sôi động nhất trong
khoảng hai thập niên trở lại đây. Điểm nhấn quan trọng là vào năm 1991, khi Sumio Iijima
trình bày công trình khoa học của ông về quá trình tổng hợp tạo ra ống cácbon nano đa lớp
(MWCNTs) đầu tiên (
Iijima 1991
). Đến năm 1993, ông và cộng sự công bố tiếp việc tổng hợp
được ống cácbon nano đơn lớp (SWCNT). Kể từ đó tới nay, hàng loạt các nghiên cứu về ống
cácbon nano (CNT) được thực hiện cho thấy những đặc tính rất ưu việt, hứa hẹn CNT sẽ có
nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Như làm chất gia cường cho vật
liệu composite, linh kiện điện tử, pin Lithium ion, siêu tụ điện, bộ cảm ứng ánh sáng, nhiệt,
sóng điện từ hoặc nhận biết những hóa chất độc hại với độ nhạy rất cao. Những ứng dụng
thú vị vừa nêu mới chỉ dừng ở quy mô phòng thí nghiệm, để có thể sản xuất đại trà đòi hỏi
nhiều nghiên cứu hơn nữa.
Ngoài CNT, cho đến nay, các nhà khoa học đã phát hiện có thêm nhiều loại vật liệu nano
dạng tấm và ống có cấu trúc dạng lục giác tương tự, như: graphene, boron nitride (BN),
silicon carbide (SiC), silicene (Si), Sau khi được phát hiện, việc tìm hiểu, dự đoán ứng xử
cơ học của các vật liệu trên là rất cần thiết trước khi sản xuất, ứng dụng chúng. Do đó,
nghiên cứu sinh đã chọn đề tài cho luận án tiến sĩ của mình là: “
Mô hình hóa và mô phỏng
ứng xử cơ học của ống và tấm mỏng có kích cỡ nano mét
”.
Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Mô hình hóa và mô phỏng số tìm ứng xử cơ học như mô đun đàn hồi, mô đun đàn hồi
trượt, hệ số Poisson, đường cong ứng suất biến dạng, của các ống và tấm vật liệu nano đơn
lớp có cấu trúc dạng lưới lục giác thông qua mô phỏng các thí nghiệm kéo, trượt và uốn. Một
số vật liệu nano được chọn để mô phỏng là: graphene, BN, SiC, BSb, Si.
Bên cạnh mô hình lý tưởng, luận án cũng xét tới khuyết tật mất hai nguyên tử liền kề và

khuyết tật Stone-Wales xảy ra riêng lẻ tại trung tâm của tấm hoặc ống.
Phương pháp nghiên cứu:
Cho tới nay, việc tiến hành thực nghiệm trên các vật liệu nano là rất khó khăn và phức
tạp. Do đó phương pháp mô phỏng số trên máy tính ngày càng được coi trọng. Mô hình hóa
và mô phỏng số các loại vật liệu nano hiện nay thường dùng các phương pháp trong cơ học
lượng tử cho kết quả chính xác cao như lý thuyết hàm mật độ (DFT) hay mô phỏng ở cấp độ
nguyên tử như là phương pháp động lực phân tử (MD). Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu
hạn nguyên tử (AFEM) được đề xuất khoảng chục năm trở lại đây cũng cho thấy nhiều ưu
điểm đáng chú ý. Trong luận án này, nghiên cứu sinh cùng thầy hướng dẫn đã phát triển
phương pháp AFEM để mô phỏng ứng xử cơ học của các vật liệu nano. Kết quả thu được sẽ
được kiểm chứng bằng cách so sánh với các phương pháp MD, DFT và nhiều phương pháp
tin cậy khác. Quá trình xây dựng mô hình cũng như mô phỏng số tính toán kết quả được
nghiên cứu sinh lập trình trên phần mềm Matlab.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:
Ở kích thước cỡ nano mét, việc tiến hành thực nghiệm trên các vật liệu nano nêu trên là
rất khó khăn. Thậm chí có những vật liệu mới được phát hiện tồn tại trên lý thuyết, chưa
chế tạo được trên thực tế thì việc thực nghiệm là không thể. Do đó việc sử dụng phương
pháp mô hình hóa và mô phỏng giúp ta chuẩn đoán chính xác và nhanh chóng đặc tính của
vật liệu nano trước khi triển khai sản xuất chúng. Nó giúp tiết kiệm chi phí cho quá trình
thiết kế, sản xuất thử và sản xuất hàng loạt các vật liệu này.
Bố cục của luận án:
Luận án bao gồm phần mở đầu, 4 chương, kết luận và hướng phát triển của luận án, tài liệu
tham khảo và phụ lục.
2

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN
1.1 Vật liệu nano cấu trúc dạng lục giác
Năm 1991, Sumio Iijima phát hiện ra ống cácbon nano đa lớp (MWCNTs) trong khi đang
tiến hành khảo sát fullerene C
60

(
Iijima 1991
). Đến năm 1993 Iijima và cộng sự tiếp tục báo
cáo việc tổng hợp được ống cácbon nano đơn lớp (SWCNT) với đường kính 1nm.
Năm 2004, graphene, tấm graphite đơn lớp đầu tiên được bóc tách bởi hai nhà khoa học
Kostya Novoselov và Andre Geim. Đến 2010 họ đã được trao giải Nobel Vật lý cho những
đóng góp của họ trong việc tạo ra và tiến hành thực nghiệm trên tấm graphene.
Ngoài graphene và CNT, cho đến nay đã có thêm nhiều vật liệu nano có cấu trúc dạng lục
giác tương tự đã được dự đoán tồn tại trên lý thuyết. Trong đó có tấm và ống BN đã được
tổng hợp trên thực tế. Mới đây, năm 2012 tấm SiC với độ dày 0,5–1,5 nm cũng được tạo ra ở
quy mô phòng thí nghiệm. Bên cạnh đó Si cũng được dự đoán tồn tại trên lý thuyết ở dạng
cấu trúc low-buckled (các nguyên tử Si nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau). Si ở
dạng tấm và dạng dải hẹp đã được tổng hợp trên nền bạc vào năm 2010 và năm 2012, trên
nền Zirconium diboride (ZrB
2
) năm 2012, trên nền Iridium (Ir) năm 2013.
Sau khi được phát hiện, các vật liệu trên cần được tìm hiểu, dự đoán các đặc trưng cơ, lý,
hóa để phục vụ cho sản xuất và ứng dụng chúng.
1.2 Một số phương pháp mô phỏng vật liệu nano
Những phương pháp thường được dùng để mô phỏng, tính toán đặc trưng của các vật liệu
nano có thể được phân chia làm hai nhóm: nhóm tính toán ở cấp độ electron và nhóm tính
toán ở cấp độ nguyên tử. Trong đó, ở cấp độ electron thì có phương pháp lý thuyết hàm mật
độ (DFT), ở cấp độ nguyên tử thì có phương pháp mô phỏng động lực phân tử (MD) là hai
phương pháp chuẩn mực được sử dụng nhiều trong các nghiên cứu lý thuyết hoá học, vật lý
và khoa học vật liệu. Nhiều nghiên cứu, phương pháp ra đời sau này thường lấy DFT và MD
làm chuẩn so sánh. Và ở luận án này, tác giả đã phát triển phương pháp phần tử hữu hạn
nguyên tử (AFEM) để sử dụng trong nghiên cứu. Kết quả thu được từ AFEM được so sánh
chủ yếu với kết quả từ DFT, MD để đánh giá độ tin cậy của phương pháp cũng như mô hình.
AFEM đã được phát triển để phân tích các vật liệu cấu trúc nano một cách hiệu quả (
Liu

và cs 2004, Nasdala và cs 2005, Wang và cs 2006, Wackerfuß 2009, Nasdala và cs 2010
). Trong AFEM, nguyên
tử được coi như là nút và các chuyển vị của nó được xem như là các chuyển vị nút. Mỗi phần
tử trong AFEM được xây dựng để mô tả cho hàm thế năng. Ma trận độ cứng của các phần tử
đó được thiết lập dựa trên hàm thế năng của chúng. Cũng giống như trong FEM, ma trận độ
cứng tổng thể trong AFEM được ghép nối từ các ma trận độ cứng phần tử. Mỗi liên hệ giữa
chuyển vị nút (chuyển vị của các nguyên tử) và ngoại lực tác dụng cũng được mô tả bởi một
hệ phương trình. Về cơ bản, AFEM là sự kết hợp của phương pháp mô phỏng cấp độ nguyên
tử và phương pháp phần tử hữu hạn. AFEM cho ta kết quả chính xác như các phương pháp
mô phỏng ở thang nguyên tử như MD đồng thời lại cho ra tốc độ hội tụ nhanh hơn do AFEM
sử dụng cả đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của hàm thế khi tính toán cực tiểu hóa
năng lượng tìm vị trí cân bằng của hệ, trong khi MD chỉ sử dụng đạo hàm bậc nhất. Tác giả
cùng người hướng dẫn nhận định đây là phương pháp mới, còn nhiều điều có thể phát triển
để áp dụng mô phỏng cho các vật liệu nano mới tìm ra. Do đó, AFEM được tác giả sử dụng
để mô hình hóa và mô phỏng các vật liệu nano trong luận án này.
CHƯƠNG 2 CẤU TRÚC NGUYÊN TỬ VÀ THẾ NĂNG TƯƠNG TÁC
2.1
Cấu trúc hình học tấm và ống vật liệu nano dạng lục giác
Tấm graphene cũng như các tấm vật liệu nano có cấu trúc dạng lục giác khác chứa các
nguyên tử nằm tại đỉnh của các hình lục giác xếp khít với nhau tạo nên dạng lưới như hình
tổ ong (hình 2.1). Có hai dạng tấm là tấm phẳng (các nguyên tử cùng nằm trên một mặt
phẳng, hình 2.1a) và tấm low-buckled (các nguyên tử nằm trên hai mặt phẳng song song với
3

nhau, hình 2.1b). Như vậy kích thước hình học một tấm vật liệu nano dạng lục giác được xác
định bởi hai thông số độc lập là chiều dài liên kết ban đầu
o
l
và khoảng
ow-

L buckled

. Từ đó
rút ra được các thông số góc liên kết
θ
và độ dài véc tơ đơn vị
1 2
,a a
 
như sau:


 
2 2
1 2 ow-
3
o L buckled
a a a l    
 

(2.1)
2 2
ow-
2
3
arccos
2
L buckled o
o
l

l

 
 

 
 

(2.2)
Tấm phẳng có
ow-
0
L buckled
 
, nên theo công
thức (2.2), góc liên kết
θ
luôn bằng 120
o
. Còn
góc liên kết của tấm low-buckled sẽ luôn nhỏ
hơn 120
o
.
Năm 1995, Dresselhaus và cộng sự đưa ra
một hệ thống các tham số biểu diễn hình học
để mô tả cấu trúc tấm graphene trước khi
được cuộn thành ống SWCNT và sau này
được dùng cho các vật liệu nano cấu trúc lưới
lục giác khác (hình 2.2). Khi đó, một ống

nano xem như được tạo thành bằng cách
cuộn một tấm vật liệu nano theo phương véc
tơ
h
C

như sau:
1 2
h
C OA na ma
  
 
 

(2.3)
Trong đó cặp chỉ số
 
,n m
là số bước
dọc theo liên kết dích dắc của lưới lục giác
và
1 2
,a a
 

là các véc tơ đơn vị. Véctơ
h
C

xác

định độ xoắn của ống. Khi
h
C

trùng với
phương zigzag ta có ống dạng zigzag
 
,0n
,
h
C

trùng với phương armchair ta có ống
dạng armchair
 
,n n
, còn lại là các ống
dạng chiral.
Xét về phương diện toán học, một tấm
vật liệu nano gồm
N
nguyên tử có (x
i
, y
i
, z
i
)
là tọa độ của nguyên tử thứ
i

, trong đó
phương trục z vuông góc với mặt phẳng
tấm. Vị trí của nguyên tử
i
sau khi cuộn
tấm thành ống là
 
, ,
i i i
X Y Z
sẽ được xác
định như sau:
Khi
h
C

trùng với phương zigzag (phương x)
 
 
sin /
cos / 1
i i
i i
i i
X R x R
Y y
Z R x R








 
 

 


(2.4)


Hình 2.1
Hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh
của tấm vật liệu nano cấu trúc lục giác: a) tấm
phẳng với góc liên kết luôn là
θ
=120
o
; b) tấm
low-buckled với góc liên kết
θ<
120
o
.
Hình 2.2
Thông số hình học tấm vật liệu nano
cấu trúc hình lục giác.
(n,0) Zigzag tube

(n,n) Armchair tube
a
1

a
2

ma
2

n
a
1

C
h

Armchair
Zigzag

φ

x
y

x
, Zigzag
y,
Armchair
Hình chiếu bằng Hình chiếu cạnh

(a)

l
o

120
o

a
2

a
1

θ
o
(b)
l
o

∆
Low-buckled

a
2

a
1

4

Khi
h
C

trùng với phương armchair (phương y):


 
 
sin /
cos / 1
i i
i i
i i
X x
Y R y R
Z R y R







 
 

 


(2.5)
Trong đó,
R
là bán kính ống:
 
2 2
2 2
h
C
a
R n mn m
 
   

. (2.6)
Như vậy, một ống nano được xác định về kích
thước khi biết các thông số là cặp chỉ số
 
,n m

và chiều dài ống L.
Bên cạnh cấu trúc lục giác lý tưởng như
trên, tấm và ống vật liệu sau khi tổng hợp
được cũng thường xuất hiện các khuyết tật là
khuyết tật Stone-Wales (SW) (có hai loại: SW1
hình 2.5.a và SW2 hình 2.5.b) và khuyết tật
mất đi hai nguyên tử liền kề (hình 2.5.c).
Những khuyết tật này ảnh hưởng đáng kể tới
các đặc trưng cơ học của các vật liệu nano.

Hình 2.5
Mô hình tấm vật liệu có cấu trúc lưới
lục giác cấu tạo từ 2 loại nguyên tử. (a) khuyết
tật SW1 (một liên kết song song phương
amchair quay 90
o
); b) khuyết tật SW2 (một
liên kết nghiêng 60
o
so với phương armchair
quay 90
o
); (c) khuyết tật mất đi 2 nguyên tử liền kề.
2.2 Thế năng tương tác giữa các nguyên tử
Trong luận án này, hàm thế điều hòa và hàm thế Tersoff được chọn cho mô phỏng tương
tác giữa các nguyên tử.
Ở biến dạng bé, thế năng biến dạng dài và biến dạng góc giữa các nguyên tử có thể được
biểu diễn bởi dạng hàm điều hòa như sau:
 
2
1
2
ij r ij o
E k l l
 
(2.8)
 
2
1
2

ijk ijk o
E k

 
 
(2.12)
ij
l

là khoảng cách giữa hai nguyên tử
,i j
.
ij o
l l

là khoảng cách giữa hai nguyên tử
,i j

khi hệ ở trạng thái cân bằng.
ijk


là góc có đỉnh là nguyên tử
j
tạo bởi hai liên kết thẳng
ji
và
jk
.
ijk o

 

khi hệ ở vị trí cân bằng. Hàm thế điều hòa chỉ phù hợp cho biến dạng bé.
Hàm thế Tersoff được đề xuất lần đầu để mô tả năng lượng tương tác giữa các nguyên tố
Si, Ge và C (
Tersoff 1989
). Và sau này được đề xuất cho các nguyên tố khác như: Al, B, N,
Ga, Hàm Tersoff có dạng như sau:
1
2
ij ij
i j j i
E V V
 
 
 
(2.14a)
Trong đó:
     
ij C ij R ij ij A ij
V f r f r b f r
 
 
 

(2.14b)
y, Armchair
(b)

(a)

(c)

x
, Zigzag
5


 
1, ;
1 1
cos . , ;
2 2
0,
ij ij
ij ij
C ij ij ij ij
ij ij
ij ij
r R
r R
f r R r S
S R
r S




 



   
 

 


 




(2.14c)
 
 
 
 
exp ; exp
I II
R ij ij ij ij A ij ij ij ij
f r A r f r B r
 
    
, (2.14d)
 
 
   
 
2 2
1 2

2
2
2
,
1 ; ; 1
cos
i
i i
n
n n
i i
ij ij i ij ij C ik ik ijk ijk
k i j
i
i i ijk
c c
b f r g g
d
d h
      



     
 

,
   
/ 2; / 2; ; ; ;
I I I II II II

ij i j ij i j ij i j ij i j ij i j ij i j
A A A B B B R R R S S S
     
       

Bằng việc đặt:
 
2
0
ijijij
RSR 
;
 
2
ijijij
RSD 
. (2.15)
một số tài liệu viết lại hàm ngắt ở phương trình (2.14c) ở dạng sau:
 
0
0
0 0
0
1, ;
1 1
sin . , ;
2 2 2
0,
ij ij ij
ij ij

C ij ij ij ij ij ij
ij
ij ij ij
r R D
r R
f r R D r R D
D
r R D


 

 

     
 

 

 

 


(2.16)
CHƯƠNG 3 MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN NGUYÊN TỬ
3.1 Cở sở lý thuyết phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử
3.1.1
Thiết lập và giải phương trình trong AFEM
Xét một hệ

N
nguyên tử. Gọi
 
,
o
i i
r r
tương ứng là véc tơ vị trí của nguyên tử
i
ban đầu và
sau khi chuyển vị.
,
i i
u f
tương ứng là điều kiện biên chuyển vị và ngoại lực tác dụng lên
nguyên tử
i
. Ta có tổng năng lượng của hệ là (
Wackerfuß 2009
):
   
1
.
N
T i i
i
E E

 


r r f r
(3.1)
Trong đó:
 
1 2
, , ,
T
N
r r r r

là véc tơ vị trí của hệ và
 
E E
r
là nội năng hay thế năng
tương tác của hệ có
N
nguyên tử.
Khi hệ ở trạng thái cân bằng, năng lượng đạt giá trị cực tiểu nên đạo hàm bậc nhất của
tổng năng lượng của hệ khi đó phải bằng không. Ta có:
0
T
E



r
(3.2)
Khai triển chuỗi Taylor hàm năng lượng
T

E
quanh vị trí cân bằng ban đầu
 
o
r
ta có (
Liu
và cs 2004
):
 
 
 
 
 
2
1
. . ,
2
o
o
o
T
T T
T T
E E
E E


 
   

  
r r
r r
r r u u u
r r r

(3.3)
Trong đó
 
o
 
u r r
là chuyển vị đủ nhỏ quanh vị trí cân bằng
 
o
r
.
u
càng nhỏ khai triển
gần đúng (3.3) sẽ càng chính xác. Thế (3.3) vào (3.2) và bỏ qua vô cùng bé bậc cao ta có:
 
 
2
. 0
o
o
T T T
E E E



  
  
   
r r
r r
u
r r r r
(3.4)
Biến đổi phương trình (3.4) ta được:
Ku P
, (3.5)
Trong đó:
 
 
o
o
T
E E


 
   
 
r r
r r
P f
r r
(3.6)
6

là lực của hệ ở trạng thái chưa cân bằng. P sẽ tiến tới 0 khi hệ tiến tới vị trí cân bằng mới.
 
 
2 2
o
o
T
E E

 
 
   
r r
r r
K
r r r r
(3.7)
là ma trận độ cứng của hệ ở trạng thái cân bằng ban đầu.
Trường hợp hệ tuyến tính dấu bằng ở biểu thức (3.3) và (3.4) sẽ xảy ra, dẫn tới phương
trình (3.5) chỉ cần giải một lần cho ra ứng xử của hệ ngay tại gốc cân bằng ban đầu. Trường
hợp hệ phi tuyến, phương trình (3.5) cần được giải lặp lại cho đến khi lực của hệ ở trạng
thái không cân bằng hoặc chuyển vị của hệ ở bước lặp sau đó tiến tới không. Trong thực
hành người ta thường tính lặp cho tới khi chúng nhỏ thua một số dương
δ
bé cho trước
 
0


, tức là:

 
k


u
, (3.8)
hoặc
 
k


P
. (3.9)
Ở bước lặp thứ
k
sẽ tính ra được
 
k
u
. Sau đó véc tơ vị trí của hệ ở bước
1k 
sẽ được
tính từ bước thứ
k
trước đó như sau:
     
1
k k k

 

r r u
(3.10)
 
1
k

r
sẽ được dùng để tính
   
1 1
,
k k
 
P K
thông qua biểu thức (3.6) và (3.7). Sau đó
   
1 1
,
k k
 
P K

sẽ được thế vào (3.5) để giải ra
 
1
k

u
. Vòng lặp cứ thế lặp lại cho đến khi một
trong hai điều kiện (3.8) hoặc (3.9) thỏa mãn.

Mặt khác, nếu ở phương trình (3.5) ta đặt vào một điều kiện biên chuyển vị
u
đủ nhỏ
(càng nhỏ càng chính xác) để thỏa mãn ngay hoặc chỉ sau một bước lặp là thỏa mãn điều
kiện (3.8) thì ta sẽ thu được kết quả gần đúng đủ chính xác từ phương trình (3.5) ngay sau
một bước lặp đầu tiên. Điều này tiết kiệm được thời gian tính toán rất nhiều vì không phải
tính lặp lại nhiều lần. Toàn bộ quá trình tính toán thiết lập và giải phương trình đặc trưng
nêu trên được tác giả lập trình trên phần mềm Matlab.
3.2 Mô hình phần tử hữu hạn nguyên tử với hàm thế điều hòa
3.2.1
Thiết lập ma trận độ cứng phần tử
Bỏ qua các thành phần thế năng tương tác đến từ biến dạng xoắn, đảo liên kết, lực van
der Waals và tương tác điện từ, thế năng của hệ nguyên tử có thể được biểu diễn như sau:
r
E E E

 
(3.12c)
Trong đó
r
E
là thế năng biến dạng dài

và
E

là thế năng biến dạng góc. Ở biến dạng nhỏ,
chúng thường được mô tả bằng các hàm điều hòa như sau:

 




M
e
e
ij
e
rr
lCE
1
2
2
1

, (3.13)
 



N
e
e
ijk
e
ijk
CE
1
2
2

1


. (3.14)
Trong đó,
e
ij
l

là biến dạng dài của liên kết thẳng thứ
e
giữa hai nguyên tử
i
và
j
,
e
ijk


là
biến dạng góc giữa hai liên kết thẳng
ji
và
jk
(hình 3.8).
M
và
N
tương ứng là tổng số biến

dạng dài và biến dạng góc.
e
r
C
và
e
ijk
C
là các hằng số lực tương ứng cho biến dạng dài và biến
dạng góc. Với những tấm vật liệu cấu tạo bởi hai loại nguyên tử sẽ có hai giá trị
e
ijk
C
tương
ứng phụ thuộc vào kiểu nguyên tử ở đỉnh của góc có biến dạng. Trong hình 3.8b, nguyên tử
i
và
k
là cùng loại.
7

Hình 3.8
Mô hình hai kiểu
phần tử: a) phần tử biến
dạng dài
ij
l
và biến dạng
dài
ij

l

; b) phần tử biến
dạng góc
ijk

và biến dạng
góc
ijk

.
Khi đó thế năng biến dạng của một phần tử hai nút là:
 
2
1
2
e e e
r r ji
E C l


. (3.15)
Khoảng cách giữa hai nguyên tử
e
ji
l
có thể được biểu diễn thông qua tọa độ
 
, ,
i i i

x y z
của
nguyên tử
i
và tọa độ
 
, ,
j j j
x y z
của nguyên tử
j
như sau:
 
     
2
2 2 2
e
ji i j i j i j
l x x y y z z
     
. (3.16)
Vi phân hai vế phương trình (3.16), ta có:
        
e e
ji ji i j i j i j i j i j i j
l l x x x x y y y y z z z z
      
        
. (3.17)
Đặt

1 2 3
, ,
i i i
x q y q z q
  
  
và
4 5 6
, ,
j j j
x q y q z q
  
  
là các chuyển vị của nguyên tử
i
và
j
theo các trục
,x y
và
z
tương ứng. Phương trình (3.17) trở thành:
     
1 4 2 5 3 6
1
e
ji ij ij ij
e
ji
l x q q y q q z q q

l

 
     
 
. (3.18)
Trong đó:
, ,
ij i j ij i j ij i j
x x x y y y z z z     
. (3.19)
Ở trạng thái cân bằng ban đầu, ta có
0
e
ji
l l
. Thay phương trình (3.18) vào phương trình
(3.15) ta có:
 
     
2
1 4 2 5 3 6
2
0
2
e
e
r
r ij ij ij
C

E x q q y q q z q q
l
 
     
 
. (3.20)
Đạo hàm bậc hai hàm thế năng được xác định từ phương trình (3.20) theo chuyển vị nút
cho ta được ma trận độ cứng của phần tử hai nút (
Zienkiewicz và cs 2005
):
2
, , 1,2 6.
e
r
r
mp
m p
E
k m p
q q

 
 
(3.21)
Lập luận tương tự, thế năng của một phần tử ba nút (hình 3.8b) có dạng:
 
2
1
2
e e e

ijk ijk
E C



. (3.22)
Trong đó góc
e
ijk

giữa hai véc tơ
ji
l
(véc tơ nối nguyên tử
j
tới
i
) và
jk
l
(véc tơ nối
nguyên tử
j
tới
k
) có thể được tính từ biểu thức sau:
. cos
e
ji jk ijk ij kj ij kj ij kj
l l x x y y z z


  
, (3.23)
với
, ,
ij ij ij
x y z
và
, ,
kj kj kj
x y z
có ký hiệu tương tự như (3.19).
Vi phân hai vế của phương trình (3.23) và biến đổi ta có:
sin cos
ji jk ij kj ij kj ij kj ij kj ij kj ij kj
e e e
ijk ijk ijk
ji jk ji jk ji jk ji jk ji jk ji jk ji jk
l l x x y y z z x x y y z z
l l l l l l l l l l l l l l
       
  
     
       
     
     
     
(3.24)
Chú ý rằng:
1 4 2 5 3 6 7 4 8 5 9 6

; ; ; ; ;
ij ij ij kj kj kj
x q q y q q z q q x q q y q q z q q
     
           
. (3.25)

ij
l

k
j
i

j
i
a) (b)
ij
l

ijk

ijk


8

Trong đó
7 8
,q q

và
9
q
là chuyển vị của nguyên tử
k
theo phương
,x y
và
z
tương ứng.
Đối với cấu trúc tấm hình lục giác ở điều kiện cân bằng ban đầu, chưa có biến dạng, ta có
ji jk o
l l l 
và
0
0
120
e
ijk
 
 
.
Chú ý đến phương trình (3.18) và thay (3.25) vào phương trình (3.24) ta có:
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
0 1 4 0 2 5 0 3 6
2
0 0
0 4 7 0 5 8 0 6 9
cos cos cos
1
sin
cos cos cos
ij jk ij jk ij jk
e
ijk
jk ij jk ij jk ij
x x q q y y q q z z q q
l
x x q q y y q q z z q q
  


  
 
       
 

 
        

 


(3.26)
Thay phương trình (3.26) vào phương trình (3.22) ta có:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
0 1 4 0 2 5 0 3 6
2
2
0 4 7 0 5 8 0 6 9
0 0
cos cos cos
cos cos cos
2 sin
e
ij jk ij jk ij jk
ijk

e
jk ij jk ij jk ij
x x q q y y q q z z q q
C
E
x x q q y y q q z z q q
l

  
  

 
       
 

 
        
 

(3.27)
Ma trận độ cứng

k
của phần tử ba nút biến dạng góc được xác định như sau:
2
, , 1,2 9.
e
mp
m p
E

k m p
q q



 
 

(3.28)
Như vậy, ma trận của phần tử hai nút và ba nút là
r
k
và

k

đã hoàn toàn xác định và
được đưa ra ở dạng hiển qua các biểu thức (3.21) và (3.28). Chúng chỉ phụ thuộc vào tọa độ
của các nguyên tử ở vị trí cân bằng ban đầu.
3.2.2
Thông số hàm thế điều hòa
Bảng 3.1
Các hằng số lực và chiều dài liên kết ban đầu của graphene, BN, SiC và BSb ở
nhiệt độ 0K.
Vật liệu
Nguyên
tử 1
Nguyên
tử 2
e

r
C

kcal/(mol.Å
2
)

e
C
121

kcal/(mol.rad
2
)

e
C
212

kcal/(mol.rad
2
)

l
0

(Å)
Graphene
C
C

1051
195
195
1,42
BN
B
N
856
95
191
1,45
SiC
Si
C
447
155
105
1,77
BSb
B
Sb
331
52
123
2,12
Trong đó chiều dài liên kết ban đầu được lấy từ tài liệu tham khảo (
Sahin và cs 2009
); các
hằng số lực của mô hình vật liệu graphene được tham khảo từ (
Berinskii và cs 2013

), của vật liệu
BN tham khảo từ (
Jiang và cs 2011
), và của vật liệu BSb tham khảo từ (
Rappe và cs 1992
); hằng số
lực biến dạng góc trong mô hình vật liệu SiC được tham khảo từ tài liệu (
Rappe và cs 1992
) còn
hằng số lực biến dạng dài của SiC được triển khai từ hàm thế năng Tersoff (
Erhart và cs 2005
).
3.2.3
Kích thước tấm nano
Mô hình tấm vật liệu được xây dựng trong luận án có dạng hình vuông gồm 4032 nguyên
tử. Chiều dài liên kết ban đầu của các vật liệu được đưa ra trong bảng 3.1.
Mô hình ống được xây dựng bằng cách cuộn từ tấm tương ứng, với chiều dài ống sẽ được
thiết lập tùy vào trường hợp cụ thể khi mô phỏng.
3.3 Mô hình phần tử hữu hạn nguyên tử với hàm thế Tersoff
3.3.1
Phần tử và thông số hàm thế Tersoff
Hai kiểu phần tử được xây dựng như trong hình 3.9 để mô tả từng thành phần tương ứng
trong hàm thế Tersoff.


9


Hình 3.9
Mô hình hai kiểu phần tử mô

tả hàm thế Tersoff: (a) phần tử
ba nút; (b) phần tử bốn nút.



Bảng 3.3 Bảng thông số hàm thế Tersoff cho các vật liệu graphene, BN, SiC, Si.
Vật liệu
Thông số
Graphene
Tham khảo của
(
Lindsay và cs 2010
)

BN
Tham khảo của
(
Sevik và cs 2011
)
SiC
Tham khảo của
(
Erhart và cs 2005
)
Si
Tham khảo của
(
Tersoff 1989
)
A (eV)

1393,6
1380
1779
1830
I

(Å
-1
) 3,4879 3,568 3,2656 2,4799
B (eV)

430
340
225,1895
471,18
II

(Å
-1
) 2,2119 2,199 1,7681 1,7322


1,0
1,0
1,0
1,0
β

1,0

1,0
1,0
1,0
n

0,72751
0,72751
1,0
0,78734


1,25724.10
-7

1,25724.10
-7

0,011877
1,1.10
-6

c
38049
25000
273987
1,0039.10
5

d
4,3484

4,3484
180,314
16,217
h
-0,93
-0,89
-0,68
-0,59825
3.3.2
Loại bỏ hàm ngắt

(a) (b)
Hình 3.10
Mô phỏng tương tác của liên kết B-N: a) năng lượng tương tác; b) lực chống lại biến
dạng kéo khi sử dụng (nét liền) và không sử dụng (nét đứt) hàm ngắt.
Để giảm tải khối lượng tính toán, hàm ngắt có dạng như phương trình (2.14c) được sử
dụng nhiều trong mô phỏng MD với mục đích hạn chế số cặp liên kết. Quan sát hình 3.10 ta
thấy, trường hợp sử dụng hàm ngắt khi biến dạng dài của liên kết giữa hai nguyên tử B và N
đạt ~32% so với ban đầu thì lực liên kết có xu hướng tăng đột ngột và đạt đỉnh lớn nhất ở
~35%. Sự thay đổi lạ này của lực liên kết cũng được nhắc tới trong nghiên cứu của
Belytschko và cộng sự
(
Belytschko và cs 2002
)
ở liên kết C-C. Vì hiện tượng này mà một số
nghiên cứu sử dụng mô phỏng MD với hàm thế Tersoff sử dụng hàm ngắt đã tính toán giá trị
0
10
20
30

40
50
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Lực kéo, eV/Å
Biến dạng
Sử dụng hàm ngắt
Gỡ bỏ hàm ngắt
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Năng lượng, eV
Biến dạng
Sự dụng hàm ngắt
Gỡ bỏ hàm ngắt
i
j
k
a) b)

k
j
i
l
10

ứng suất, biến dạng phá hủy của BN khá lớn và không hợp lý
(
Mortazavi và cs 2012, Zhao và cs
2013, Han và cs 2014
).
Để tránh điều này, một số nghiên cứu đã coi
R
ij
=
S
ij
trong phương trình
(2.14c). Tuy nhiên, nghiên cứu Belytschko
(
Belytschko và cs 2002
)
cho thấy việc dùng hàm ngắt
vẫn ảnh hưởng tới ứng xử phá hủy của vật liệu cho dù giá trị hàm ngắt đã lấy thay đổi ở biến
dạng 100%. Để loại bỏ hoàn toàn ảnh hưởng của hàm ngắt tới ứng xử phá hủy của vật liệu,
luận án này đã gỡ bỏ hàm ngắt
 
C ij
f r
khi sử dụng hàm thế Tersoff.
3.3.3
Kích thước tấm nano
Thông số chiều dài liên kết ban đầu l
o
trong tấm phẳng được tham khảo từ nghiên cứu
(

Le Minh Quy 2014
) bằng cách cân bằng hệ ở 0K sử dụng mô phỏng MD.
Bảng 3.4
Thông số kích thước tấm graphene, BN và SiC gồm 4032 nguyên tử.
Tấm vật liệu
nano
Chiều dài theo
phương zigzag
Chiều dài theo
phương armchair

Chiều dài liên kết ban đầu
Luận án
Tài liệu (
Sahin và cs 2009
)
Graphene
103,38
101,79
1,441
1,42
BN
103,60
102,17
1,444
1,45
SiC
130,46
128,79
1,816

1,77
Thông số tấm low-buckled Si được liệt kê trong bảng 3.5. Trong đó góc liên kết

0
=116,4
o
được tham khảo từ tài liệu (
Sahin và cs 2009
). Sau đó sử dụng cực tiểu hóa năng
lượng liên kết của một liên kết bằng cách giữ góc

0
=116,4
o
không đổi ta thu được chiều dài
liên kết l
o
=2,313 Å theo hàm thế Tersoff.
Bảng 3.5
Thông số kích thước tấm Si.
Nguồn trích dẫn

0
, (
o
)
a
, Å
l
0

, Å

0
, Å
AFEM, luận án
116,4
3,932
2,313
0,4444
DFT (
Sahin và cs 2009
)
116,4
3,83
2,25
0,44
DFT (
Qin và cs 2012
)
-
3,83
2,25
0,42
DFT (
Zhao 2012
)
116,25
-
2,28
0,45

DFT (
Peng và cs 2013
)
116,134
3,865
2,277
0,454
MD với hàm thế MEAM (
Pei và cs 2014
)
-
4,05
2,5
0,85
MD với hàm thế Reax (
Roman và cs 2014
)
-
3,76
2,11
0,69
Mô hình các tấm và ống vật liệu BN, SiC, Si chứa các khuyết tật hay gặp trong vật liệu
nano dạng lưới lục giác như khuyết tật Stone-Wales (SW) và khuyết tật mất đi hai nguyên tử
liền kề cũng được xây dựng khi cần, để khảo sát ảnh hưởng của chúng tới các đặc trưng cơ
học, ứng xử phá hủy của các vật liệu.
CHƯƠNG 4 KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN
4.1 Giới thiệu
Trong luận án này, mô đun đàn hồi hai chiều
s
Y

(
N/m
), mô đun đàn hồi trượt hai chiều
s
G
(N/m
) và ứng suất hai chiều
t

(
N/m
) được tính toán chủ yếu. Khi cần thiết tính mô đun
đàn hồi
/
s
Y Y t

và mô đun đàn hồi trượt
/
s
G G t

để so sánh, độ dày tấm được lấy
t
=0,335nm.

4.2 Kết quả và bàn luận của mô hình sử dụng hàm thế điều hòa
4.2.1
Kéo và trượt thuần túy tấm graphene, BN, SiC và BSb
Trong mục này, bài toán kéo đơn trục theo hai phương armchair, zigzag và bài toán trượt

thuần túy được mô phỏng tìm đặc trưng đàn hồi của bốn tấm vật liệu: graphene, BN, SiC,
BSb. Kết quả được đưa ra trong bảng 4.1 cho thấy rằng, sử dụng cùng một hàm thế, mô đun
đàn hồi và mô đun đàn hồi trượt tính bởi phương pháp AFEM sai lệch <5% so với kết quả
tính bởi phương pháp MD lấy từ nghiên cứu (
Le Minh Quy và cs 2015
). Điều này cho thấy tính
đúng đắn của phương pháp AFEM được đề xuất trong nghiên cứu này.
11

Bảng 4.1
Đặc trưng đàn hồi của tấm graphene, BN, SiC, BSb được nghiên cứu bởi luận án và
so sánh với kết quả của những nghiên cứu khác.
Vật liệu
Phương pháp nghiên cứu, tác
giả
Mô đun đàn
hồi
Y
s
,
N/m

Mô đun trượt
G
s
,
N/m

Hệ số
Poisson

Graphene

AFEM, luận án
353 (zig)
347 (arm)
152
0,179 (zig)
0,175 (arm)
MD, (
Le Minh Quy và cs 2015
)
364 (zig)
352 (arm)
158
0,15-0,17

DFT mô hình vỏ,(
Kudin và cs 2001
)
345
150
0,149

Mô hình Hyperelastic & DFT,
(
Xu và cs 2012
)
350
143
0,221

DFT, (
Liu và cs 2007
)
351

0,186

DFT,(
Sahin và cs 2009
)
335

0,16

Mô hình phi tuyến liên tục &
DFT, (
Wei và cs 2009
)
348
149
0,169

Mô hình vỏ với hàm thế Tersoff-
Brenner, (
Yakobson và cs 1996
)
360

0,19

Mô hình động lực tinh thể,
(
Popov và cs 2000
)
Y
=1002 GPa
G
=414 GPa
0,21

Thí nghiệm tĩnh và cộng hưởng
âm, siêu âm, (
Blakslee và cs 1970
)
Y
=1029 GPa
G
=440 GPa
0,17

Tán xạ tia X, (
Bosak và cs 2007
)
Y
=1092 GPa
G
=485 GPa

Thực nghiệm, Lee và cộng sự
(2008) (
Lee và cs 2008
)
340 ± 50


BN AFEM, luận án
271 (zig)
266 (arm)
114
0,226 (zig)
0,222 (arm)
MD, (
Le Minh Quy và cs 2015
)
280 (zig)
271 (arm)
117
0,19-0,22

DFT,mô hình vỏ, (
Kudin và cs 2001
)
271
112
0,211

DFT, (
Sahin và cs 2009

)
267

0,21

Mô hình phi tuyến liên tục &
DFT, (
Peng và cs 2012
)
278
114
0,225

DFT & phương trình cân bằng,
(
Andrew và cs 2012
)
275,8



MD, (
Zhang và cs 2011
)
267
116
0.15

Tán xạ tia X, (
Bosak và cs 2006

)
Y
=776 GPa
G
=321 GPa
0,21
SiC AFEM, luận án
151 (zig)
148 (arm)
65
0,176 (zig)
0,172 (arm)
MD, (
Le Minh Quy và cs 2015
)
156 (zig)
150 (arm)
68
0,16-0,17

DFT, (
Sahin và cs 2009
)
166

0,29

DFT & phương trình cân bằng,
(
Andrew và cs 2012

)
163,5


BSb AFEM, luận án
92 (zig)
90 (arm)
36
0,327 (zig)
0,320 (arm)
MD, (
Le Minh Quy và cs 2015
)
95 (zig)
92 (arm)
37
0,18-0,27

DFT, (
Sahin và cs 2009
)
91

0,34
12

Bảng 4.1 cho thấy, bằng việc sử dụng phương pháp AFEM, đặc trưng đàn hồi của các tấm
graphene, BN, SiC, BSb tính ra trong luận án này rất phù hợp với các kết quả của những
công trình sử dụng những phương pháp chuẩn mực khác như MD, DFT. Điều này cho thấy
rằng mô hình phần tử hữu hạn, ma trận độ cứng mà luận án đã xây dựng được là hoàn toàn

đáng tin cậy. Kết quả này đóng góp thêm một phương pháp tính toán đặc trưng đàn hồi của
các vật liệu nano một cách nhanh chóng mà vẫn đảm bảo độ chính xác như những phương
pháp chuẩn mực khác như DFT và MD.
4.2.2
Kéo ống C, BN, SiC, BSb
Đầu tiên, để thấy được sự phụ thuộc của giá trị mô đun đàn hồi ống vào chiều dài ống,
hai ống SWCNT (10,0) và (10,10) với các chiều dài thay đổi được chọn để tính toán.
Bảng 4.2
Mô đun đàn hồi hai chiều Y
s
(N/m) của SWCNT phụ thuộc vào tỷ lệ chiều dài (L)
trên đường kính ống (D).
Kích thước (nm)
L =
5D
L = 10D L = 15D L = 20D L = 22D
(10,0), D=0,783
337,7
339,5
340,1
340,4
340,5
(10,10), D=1,356
347,6
348,2
348,4
348,5
348,5
Từ bảng 4.2 ta thấy mô đun đàn hồi của cả ống armchair (10,10) và ống zigzag (10,0) đều
tăng nhẹ khi chiều dài của ống tăng. Tuy nhiên, khi chiều dài tăng đủ lớn thì giá trị mô đun

đàn hồi của ống dần ổn định. Cụ thể từ giá trị L=15D trở đi, mô đun đàn hồi không còn thay
đổi nhiều. Do đó tỷ lệ L=15D được chọn cố định cho các ống có đường kính khác nhau để
tìm sự ảnh hưởng của đường kính tới giá trị mô đun đàn hồi của ống.











Hình 4.2:
Mô đun đàn hồi hai chiều của 4 loại ống vật liệu theo đường kính ống. (Các đường
nằm ngang là mô đun đàn hồi của các tấm zigzag (nét liền) và tấm armchair (nét đứt) của
vật liệu tương ứng).
Hình 4.2 cho thấy, ở cùng một giá trị đường kính, mô đun đàn hồi của ống armchair lớn
hơn so với ống zigzag. Tuy vậy cả hai giá trị đều tăng khi đường kính ống tăng, và tiến sát giá
trị của vật liệu dạng tấm tương ứng khi đường kính ống đủ lớn.
4.3 Kết quả và bàn luận của mô hình sử dụng hàm thế Tersoff
4.3.1
Kéo tấm graphene, BN, và SiC
Kết quả thu được trong mục này được so sánh với các kết quả thu được bằng mô phỏng
MD sử dụng cùng một bộ thông số hàm thế bởi tác giả
Lê Minh Quý [Le]
.
50
100

150
200
250
300
350
400
0 5 10 15 20 25
Mô đun đàn hồi hai chiều Y
s
, N/m
Đường kính ống, Å
CNT(n,n)
CNT(n,0)
BN(n,n)
BN(n,0)
SiC(n,n)
SiC(n,0)
BSb(n,n)
BSb(n,0)
SWCNT
Ống BN
Ống SiC
Ống BSb
13


Hình 4.3
So sánh đường cong ứng suất biến
dạng kéo tính bởi AFEM và MD khi
kéo các tấm nguyên: (a) graphene;

(b) tấm BN; (c) tấm SiC.
Quan sát kết quả đường cong ứng suất-
biến dạng của các tấm vật liệu nguyên khi chịu
kéo đơn trục trên hình 4.3 ta thấy, kết quả khi
tính bằng MD và AFEM gần như trùng khít
nhau trước khi tới điểm phá hủy. Bên cạnh
đó, mô đun đàn hồi thu được giữa hai phương
pháp MD và AFEM sai khác không quá 5%
(xem bảng 4.4). Nhưng do mô phỏng MD vẫn
sử dụng hàm ngắt nên tương tác giữa các
nguyên tử sẽ bị mất đi khi khoảng cách giữa
chúng vượt qua giá trị
S
ij
trong hàm ngắt.
Trong khi thực tế tương tác giữa chúng có thể vẫn còn. Điều này cho thấy sự hợp lý của
AFEM bằng việc không dùng hàm ngắt sẽ cho ra ứng suất và biến dạng phá hủy cao hơn so
với khi tính bằng MD. Bảng 4.4 liệt kê chi tiết các kết quả có được của luận án cùng với các
kết quả của các nghiên cứu trước đây để so sánh.
Bảng 4.4
Đặc trưng cơ học khi kéo của tấm graphene, BN và SiC nguyên tính bởi luận án và
các tác giả khác.
Vật liệu
Phương pháp nghiên cứu, tác
giả
Mô đun đàn
hồi
Y
s
,

N/m

Ứng suất
phá hủy σt,
N/m
Biến dạng
phá hủy,
%
Graphene
AFEM, luận án
358 (zig)
350 (arm)
40,3 (zig)
37,0 (arm)
20,0 % (zig)
18,1% (arm)


MD sử dụng hàm thế Tersoff,
(
Le Minh Quy và cs 2015
)
373 (zig)
350 (arm)
41,1 (zig)
28,5 (arm)
19,6% (zig)
11,4% (arm)

DFT,
(Liu và cs 2007)

351
40,4 (zig)
36,7 (arm)
26,6% (zig)
19,4% (arm)


Mô hình Hyperelastic và
DFT,(
Xu và cs 2012
)
350
40,0 (zig)
36,4 (arm)
24% (zig)
19% (arm)

Thực nghiệm, (
Lee và cs 2008
)
340 ± 50
42 ± 4
25%
BN
AFEM, luận án
258 (zig)
251 (arm)

37,7 (zig)
35,5 (arm)

25,7 % (zig)
26,4% (arm)

0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Ứng suất hai chiều σt, N/m
Biến dạng kéo
Graphene
MDFEM, zig.
MDFEM, arm.
MD, zig.
MD,arm.
MD [Le], arm
MD [Le], zig
AFEM, zig
AFEM, arm
(a)
0

5
10
15
20
25
30
35
40
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Ứng suất hai chiều σt, N/m
Biến dạng kéo
BN
MDFEM, zig.
MDFEM, arm.
MD [21], zig.
MD [21], arm.
MD [Le], arm
MD [Le], zig
AFEM, arm
AFEM, zig
(b)
0
5
10
15
20
25
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Ứng suất hai chiều σt, N/m
Biến dạng kéo

SiC
MDFEM, zig.
MDFEM, arm.
MD [21], zig.
MD [21], arm.
MD [Le], arm
MD [Le], zig
AFEM, zig
AFEM, arm
(c)
14


MD sử dụng hàm thế Tersoff,
(
Le Minh Quy 2014
)
263,4 (zig)
253,3 (arm)
36,1 (zig)
29,7 (arm)

22,7% (zig)
17,7% (arm)


DFT, (
Kudin và cs 2001
)
271

Tán xạ tia X, (
Bosak và cs 2006
)
Y
=776 GPa



DFT, (
Sahin và cs 2009
)
267




DFT, (
Topsakal và cs 2010
)
258 (dải
armchair)



MD, (
Zhang và cs 2011
)

267



DFT, (
Peng và cs 2012
)
278



DFT và phương trình trạng thái,
Andrew và cộng sự (2012).
275,8



SiC
AFEM, luận án
174 (zig)
171 (arm)
20,7 (zig)
17,9 (arm)
24,8 % (zig)
18,5% (arm)


MD sử dụng hàm thế Tersoff (
Le
Minh Quy 2014

)
179,6 (zig)
173,4 (arm)
20,5 (zig)
17,6 (arm)
22,8% (zig)
17,4% (arm)


DFT, Sahin và cộng sự (2009)
166



DFT và phương trình trạng thái,
Andrew và cộng sự (2012).
163,5


Mô đun đàn hồi, ứng suất và biến dạng phá hủy của các tấm nguyên tính được trong luận án
này rất phù hợp với kết quả khi tính bởi phương pháp mô phỏng DFT, MD và thực nghiệm.
Luận án này chỉ xét tới từng khuyết tật riêng lẻ xảy ra ở trung tâm của tấm là: tấm bị
khuyết tật SW1, tấm bị khuyết tật SW2 và tấm bị khuyết tật mất đi hai nguyên tử liền kề.

Hình 4.4
So sánh đường cong ứng suất biến dạng khi kéo tấm BN trong hai trường hợp tấm
nguyên và tấm bị khuyết tật: (a) phương zigzag ; (b) phương armchair.
Quan sát hình 4.4 ta thấy đường cong ứng suất biến dạng của tấm BN nguyên và tấm BN
bị khuyết tật rất khớp nhau trước khi tới điểm phá hủy. Kết quả của SiC cũng tương tự.
Điều này cho thấy mô đun đàn hồi của tấm nguyên và tấm bị khuyết tật gần như tương

đương nhau, trong khi tấm bị khuyết tật bị phá hủy sớm hơn so với tấm nguyên.
Vị trí xảy ra phá hủy được tổng hợp chi tiết trong bảng 4.5. Các trường hợp tấm nguyên,
vị trí xảy ra phá hủy là ở biên kéo (hình 4.5). Trong khi trường hợp tấm bị khuyết tật mất đi
hai nguyên tử liền kề thì vị trí phá hủy luôn xảy ra tại vị trí khuyết tật (hình 4.6). Điều này
có thể dễ dàng giải thích bởi việc mất đi nguyên tử làm tấm bị yếu đi cục bộ tại vị trí khuyết
tật. Trong khi đó, trường hợp khuyết tật SW1 và SW2 số lượng nguyên tử và liên kết vẫn giữ
nguyên nên khuyết tật SW1 và SW2 không làm tấm yếu đi nhiều như trường hợp khuyết tật
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Ứng suất hai chiều σt, N/m
Biến dạng kéo
Kéo tấm BN
phương zigzag
Pristine
2-atom vacancy
SW1
SW2
Tấm nguyên
Tấm mất 2 nguyên tử
Tấm bị SW1
Tấm bị SW2
(a)

0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Ứng suất hai chiều σt, N/m
Biến dạng kéo
Kéo tấm BN
phương armchair
Pristine
2-atom vacancy
SW1
SW2
Tấm nguyên
Tấm mất 2 nguyên tử
Tấm bị SW1
Tấm bị SW2
(b)
15

mất đi hai nguyên tử. Bên cạnh đó, liên kết sau khi bị khuyết tật SW1 trở nên song song với
phương zigzag còn đóng góp vào việc chống lại lực kéo và khả năng bị phá hủy xảy ra tại vị
trí khuyết tật theo phương zigzag. Ngược lại, liên kết sau khi bị khuyết tật SW2 tạo góc 30
o

so với phương armchair thì đóng góp vào việc chống lại lực kéo và khả năng bị phá hủy xảy
ra tại vị trí khuyết tật theo phương armchair. Mặt khác, ở biến dạng nhỏ hệ số Poisson tính
được trong nghiên cứu này cho tấm BN là 0,29 trong khi của SiC là 0,18, tức là khi chịu kéo
thì phương vuông góc trong tấm BN sẽ bị co lại nhiều hơn trong tấm SiC. Điều này dẫn tới,
tấm BN khuyết tật SW1 khi kéo theo phương zigzag và tấm BN khuyết tật SW2 khi kéo theo
phương armchair vẫn bị phá hủy ở biên kéo trong khi tấm SiC thì không.
Bảng 4.5
So sánh đặc trưng cơ học khi kéo tấm BN, SiC nguyên và bị khuyết tật.
Phương kéo,
vật liệu
Dạng
khuyết tật
Mô đun đàn
hồi
Y
s
,
N/m

Ứng suất
phá hủy σt,
N/m
Biến dạng
phá hủy,
%
Vị trí bị phá hủy
Zigzag
BN
Tấm nguyên
257,9

37,7
25,7
Biên kéo
Mất hai
nguyên tử
256,6
31,0
16,9
Vị trí khuyết tật
SW1
257,2
35,1
21,1
Biên kéo
SW2
257,9
31,4
17,0
Vị trí khuyết tật
Armchair
BN
Tấm nguyên
251,1
35,5
26,4
Biên kéo
Mất hai
nguyên tử
248,4
30,1

17,9
Vị trí khuyết tật
SW1
250,9
31,8
19,9
Vị trí khuyết tật
SW2
250,6
33,2
22
Biên kéo
Zigzag
SiC
Tấm nguyên
174,1
20,7
24,8
Biên kéo
Mất hai
nguyên tử
173,3
15,6
13,0
Vị trí khuyết tật
SW1
173,5
18,6
17,8
Vị trí khuyết tật

SW2
174,0
14,9
12,0
Vị trí khuyết tật
Armchair
SiC
Tấm nguyên
171,3
17,9
18,5
Biên kéo
Mất hai
nguyên tử
171,0
15,1
12,5
Vị trí khuyết tật
SW1
171,0
14,3
11,3
Vị trí khuyết tật
SW2
171,0
17,0
15,9
Vị trí khuyết tật
Hình ảnh tấm bị phá hủy được minh họa bởi hình 4.5 và 4.6, ở đó ta quy ước một liên kết
vẽ bằng đường màu đỏ nếu khoảng cách liên kết lớn hơn giá trị

S
ij
trong hàm ngắt ở phương
trình 2.14c và không được vẽ khi chiều dài lớn hơn hai lần chiều dài liên kết ban đầu.











(a) 24,8% (b) 25,0%

Hình 4.5
Hình dạng tấm SiC nguyên bị kéo theo phương zigzag: a) tấm chưa xuất hiện phá
hủy ở =24,8%; b) tấm bị phá hủy ở =25,0%.
16


a)

=13,0%; b)

=13,4%; c)

=13,7%

Hình 4.6
Hình dạng tấm SiC khuyết mất hai nguyên tử ở trung tâm bị kéo đơn trục theo
phương zigzag: a) tấm ở biến dạng =13,0% ứng với ứng suất đạt giá trị lớn nhất; b)
tấm ở biến dạng =13,4% và c) tấm ở biến dạng =13,7%.
Qua đây ta thấy, tấm BN và SiC có cơ chế phá hủy giòn, việc phá hủy xảy ra rất nhanh và
đường cong ứng suất biến dạng cũng rơi đột ngột trên đồ thị. Bảng 4.5 cho thấy, mô đun
đàn hồi của tấm bị khuyết tật giảm chưa tới 1,5% so với tấm nguyên. Trong khi đó ứng suất
và biến dạng phá hủy của tấm bị khuyết tật lại giảm đáng kể. Cụ thể, ứng suất phá hủy của
tấm BN bị mất hai nguyên tử giảm từ 15-18% và biến dạng phá hủy giảm 32-34%. Với tấm
SiC, khuyết tật mất đi hai nguyên tử làm giảm 16-25% ứng suất phá hủy và 32-48% biến
dạng phá hủy. Còn khuyết tật SW làm giảm từ 7-17% ứng suất phá hủy trong tấm BN và từ
5-28% trong tấm SiC. Việc ứng suất và biến dạng phá hủy giảm mạnh trong khi mô đun đàn
hồi giảm ít với tấm có khuyết tật nhỏ cũng từng được trình bày trong các nghiên cứu (
Zhang và
cs 2005, Khare và cs 2007
) tính bằng cơ học phân tử (MM) và các nghiên cứu (
Chowdhury và cs 2012,
Xu và cs 2013
) tính bằng động lực phân tử (MD) cho vật liệu graphene và CNT.
4.3.2
Kéo tấm Si
Bảng 4.6
Đặc trưng cơ học khi chịu kéo của tấm Si nguyên.
Phương pháp nghiên
cứu, tác giả
Mô đun đàn
hồi
Y
s
,

N/m

Hệ số
Poisson
Ứng suất
phá hủy σt,
N/m
Biến dạng phá hủy,
%
AFEM, luận án
60,0 (zig)
59,7 (arm)
0,28 (zig)
0,25 (arm)
8,2 (zig)
7,9 (arm)
23,2% (zig)
21,2% (arm)
DFT, (
Sahin và cs 2009
)
62
0,30
-
-
DFT, (
Qin và cs 2012
)
63
0,31

-
~ 20%
DFT,(
Pei và cs 2014
)
63,8
0,325
-
-
DFT,(
Topsakal và cs 2010
)
62
-
-
~23% dải armchair
DFT, (
Zhao 2012
)
63,5 (zig)
60,1 (arm)
0,37 (zig)
0,41 (arm)
7,07 (zig)
5,66 (arm)
18% (zig)
14% (arm)
DFT,(
Jing và cs 2013
)

62,4 (zig)
59,1 (arm)
-
-
-
MD sử dụng hàm thế
EDIP (
Jing và cs 2013
)
65,0 (zig)
64,6 (arm)
-
7,6 (zig)
6,5 (arm)
19,5% (zig)
15,5% (arm)
Tấm vuông 21nm x 21nm
.

MD sử dụng tham số
lực Reax (
Roman và cs
2014
)
50,4 (zig)
62,3 (arm)
-
5,85 (zig)
4,78 (arm)
~18% (zig)

8,86% (arm)
Tấm vuông 10nm x 10nm.

17


Hình 4.8
Đồ thị đường cong ứng suất-biến
dạng khi kéo của tấm Si nguyên.
Tính ở biến dạng nhỏ, mô đun đàn hồi hai
chiều của tấm Si nguyên theo hai phương
khá gần nhau là 60,0 và 59,7 N/m, hệ số
Poisson của tấm Si nguyên là 0,28 theo
phương zigzag và 0,25 theo phương
armchair. Các giá trị nêu trên rất gần với
giá trị tính được ở các công trình khác như
đã liệt kê trong bảng 4.6.

Hình 4.9
So sánh đường cong ứng suất-biến
dạng khi kéo tấm Si trường hợp nguyên và
bị khuyết tật: a) phương zigzag; b) phương
armchair.
Hình 4.9 cho thấy đường cong ứng suất
biến dạng của tấm Si khi bị khuyết tật so
với tấm Si nguyên gần như giống hệt nhau
trước khi tới điểm phá hủy. Tuy nhiên,
cũng giống như BN và SiC, giá trị ứng suất
và biến dạng phá hủy của tấm Si bị khuyết
tật giảm đi đáng kể so với tấm Si nguyên.

Bảng 4.7 cho thấy khuyết tật mất đi hai
nguyên tử vẫn làm tấm Si bị yếu đi nhiều
hơn là khuyết tật SW. Mặt khác, như đã giải
thích trên tấm BN và SiC, kiểu SW1 làm
tấm Si bị yếu đi theo phương armchair
nhiều hơn là theo phương zigzag trong khi SW2 làm tấm Si bị yếu đi theo phương zigzag
nhiều hơn là theo phương armchair. Tóm lại, tấm bị khuyết tật mất hai nguyên tử liền kề ở
trung tâm tấm làm cho ứng suất phá hủy của tấm giảm 18-20%, biến dạng phá hủy giảm 33-
35% và tấm bị khuyết tật SW làm ứng suất phá hủy của tấm giảm 5-20% và biến dạng phá
hủy giảm 11-38% so với tấm nguyên. Trong khi mô đun đàn hồi của tấm Si khi bị khuyết tật
chỉ giảm khoảng 0,5% so với tấm Si nguyên.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24
Ứng suất hai chiều σt, N/m
Biến dạng kéo
Si, tấm nguyên
Zigzag
Armchair
0.25

0.30
0.35
0.40
0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24
Hệ số Poisson
Biến dạng kéo
Tấm nguyên
Tấm mất hai nguyên tử
Tấm bị SW1
Tấm bị SW2
Si, zigzag
Si, armchair
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24
Ứng suất hai chiều σt, N/m
Biến dạng kéo
Si, zigzag
Pristine
2-atom vacancy
SW1
SW2

Tấm nguyên
Tấm mất 2 nguyên tử
Tấm bị SW1
Tấm bị SW2
(a)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24
Ứng suất hai chiều σt, N/m
Biến dạng kéo
Si, armchair
Pristine
2-atom vacancy
SW1
SW2
Tấm bị SW2
Tấm bị SW1
Tấm mất 2 nguyên tử
Tấm nguyên
(b)
Hình 4.
10

So sánh hệ số Poisson khi kéo tấm
Si trường hợp nguyên và bị khuyết tật.

18

Bảng 4.7
So sánh đặc trưng khi kéo của tấm Si trường hợp nguyên và bị khuyết tật.
Phương
kéo
Dạng khuyết
tật
Mô đun đàn
hồi
Y
s
,
N/m

Ứng suất
phá hủy σt,
N/m
Biến dạng
phá hủy,
%
Vị trí bị phá hủy
Zigzag
Tấm nguyên
60,0
8,23
23,2

Biên kéo
Mất hai
nguyên tử
59,7
6,74
15,0
Vị trí khuyết tật
SW1
59,7
6,85
15,2
Biên kéo
SW2
59,9
6,61
14,3
Biên kéo
Armchair
Tấm nguyên
59,7
7,95
21,2
Biên kéo
Mất hai
nguyên tử
59,6
6,35
14,1
Vị trí khuyết tật
SW1

59,6
6,79
15,8
Vị trí khuyết tật
SW2
59,5
7,51
18,9
Vị trí khuyết tật
Về vị trí trên tấm bị phá hủy, nhìn vào sự liệt kê trong bảng 4.7 cho ta thấy, tấm Si
nguyên khi kéo đều bị phá hủy ở biên kéo còn tấm Si bị khuyết tật mất đi hai nguyên tử liền
kề thì đều bị phá hủy ở vị trí khuyết tật ở cả hai phương kéo zigzag và armchair giống như
tấm BN và SiC. Với khuyết tật SW thì khi kéo theo phương zigzag tấm vẫn vị phá hủy tại
biên kéo trong khi kéo theo phương armchair thì tấm lại bị phá hủy tại vị trí khuyết tật.
Điều này có thể giải thích là do hệ số Poisson theo phương zigzag luôn lớn hơn theo phương
armchair (hình 4.10) nên khi kéo theo phương zigzag, phương vuông góc với phương kéo bị
co lại nhiều hơn là khi kéo theo phương armchair.
4.3.3
Kéo ống BN
Trước hết, để khảo sát sự phụ thuộc của chiều dài ống tới ứng xử khi chịu kéo của ống,
ống BN (8,8) và (14,0) với các chiều dài L=10D, 15D và 20D đã được chọn để tính toán.

Hình 4.14
Đường cong ứng suất-biến dạng
khi kéo đúng tâm của ống BN(8,8)
và BN(14,0) ở các chiều dài ống
L=10D, 15D và 20D.

Hình 4.15
Sự phụ thuộc của hệ số Poisson

theo biến dạng kéo đúng tâm của
ống BN(8,8) và BN(14,0) ở các chiều
dài ống L=10D, 15D và 20D.

Nhận xét đầu tiên nhìn trên hình 4.14 là đường cong ứng suất-biến dạng ống zigzag (14,0)
ở các chiều dài ống L=10D, 15D, 20D gần như trùng khít nhau từ đầu cho tới khi ống bị
mất ổn định (điểm tới hạn) và phá hủy, điều này cũng xảy ra tương tự với ống (8,8). Cụ thể
ống BN(14,0) với các chiều dài khác nhau đều có biến dạng tới hạn 25,0-25,1% và ứng suất
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
Ứng suất hai chiều σt, N/m
Biến dạng kéo
BN(14,0)
L=10D
L=15D
L=20D
BN(8,8)
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30

0.35
0.40
0.45
0.50
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
Hệ số Poisson
Biến dạng kéo
BN(14,0)
L=10D
L=15D
L=20D
BN(8,8)
19

tới hạn tương ứng là 31,8 N/m; các ống BN(8,8) có biến dạng tới hạn là 29,2% và ứng suất
tới hạn là 37,2 N/m. Bên cạnh đó ta thấy đường cong ứng suất biến dạng của ống armchair
(8,8) luôn nằm phía trên so với ống zigzag (14,0), đồng thời biến dạng tới hạn của ống (8,8)
cũng lớn hơn so với ống (14,0), điều này cho thấy ống (8,8) có khả năng chịu kéo tốt hơn ống
(14,0). Hình 4.15 cho thấy hệ số poisson của cả ống BN(14,0) và BN(8,8) ở biến dạng nhỏ
đều có giá trị khoảng 0,3 tương đương với giá trị 0,29 của tấm BN.
Bảng 4.8
Đặc trưng khi chịu kéo của ống BN (8,8) và (14,0) phụ thuộc vào tỷ lệ giữa chiều dài
trên đường kính ống.
Ống BN
L/D
Mô đun đàn
hồi Y
s
,N/m
Ứng suất tới

hạn σt, N/m
Biến dạng
tới hạn,%
Biến dạng
phá hủy,%
Vị trí ống bị phá
hủy
(14,0)
10
241
31,8
25,0
25,5
Vị trí bị co thắt
15
241
31,8
25,0
25,3
20
241
31,8
25,1
25,5
(8,8)
10
246
37,2
29,2
30,3

Vị trí gần biên kéo

15
246
37,2
29,2
30,0
20
246
37,2
29,2
29,5
Bảng 4.8 và hình 4.14 cũng cho thấy rằng các ống BN(8,8) và BN(14,0) có cơ chế phá hủy
giòn khi ứng suất của chúng sụt giảm rất nhanh sau khi qua điểm tới hạn. Trên hình 4.16a
là ống BN(14,0) với chiều dài L=20D ở biến dạng 25,1% chưa cho thấy dấu hiệu bị phá hủy
nào, sang tới biến dạng 25.2% là ống đã có dấu hiệu co thắt đường kính, và hiện tượng này
thấy rõ khi tới biến dạng 25,4% (hình 4.16b) và tới 25,5% thì ống đã bị phá hủy hoàn toàn
(hình 4.16c).
(a) 25,1%

(b) 25,4%

(c) 25,5%

Hình 4.16
Hình ảnh ống BN(14,0), L=20D khi chịu kéo đúng tâm ở các biến dạng: a) 25,1%;
b)25,4%; c) 25,5%.
Về vị trí phá hủy, hình 4.17 cho thấy ở tất cả các chiều dài L=10D, 15D và 20D, ống
armchair BN(8,8) đều bị phá hủy ở biên kéo, đường kính ống không có hiện tượng co thắt.
Điều này có thể được giải thích là do ống armchair có các liên kết thẳng trùng với phương

tiếp tuyến nằm dải theo chu tuyến ở các mặt cắt. Các liên kết thẳng này chống lại sự co thắt
của đường kính.
(a) L=10D

(b) L=15D


(c) L=20D

Hình 4.17
Hình ảnh vị trí bị phá hủy của ống BN(8,8): a) L=10D; b) L=15D; c) L=20D
Ống zigzag (14,0) thì ngược lại, do không có được các liên kết thẳng nằm theo chu tuyến
như ống armchair nên ống (14,0) sau điểm tới hạn, ống bị mất ổn định và dạng mất ổn định
ở đây là hiện tượng co thắt đường kính ống, hiện tượng này lại phụ thuộc vào chiều dài ống.
20

Ống càng dài, điểm co thắt càng nhiều và điểm phá hủy xảy ra ở các vị trí co thắt đó. Do đó
vị trí phá hủy của ống zigzag tùy thuộc vào chiều dài ống. Cụ thể ống (14,0) với L=10D bị
đứt ở giữa còn L=15D và L=20D thì lại bị đứt ở phía hai đầu ống.
Tiếp theo để khảo sát ảnh hưởng của đường kính ống tới ứng xử khi chịu kéo, tác giả cố
định tỷ lệ chiều dài trên đường kính ống là L=10D sau đó thực hiện kéo các cặp ống
armchair-zigzag có đường kính xấp xỉ nhau là: (8,8) và (14,0); (10,10) và (17,0); (12,12) và
(21,0); (15,15) và (25,0). Kết quả được đưa ra trên hình 4.19.

Hình 4.19
Đường cong ứng suất-biến dạng kéo của các ống BN đường kính khác nhau,
cùng tỷ lệ chiều dài trên đường kính L/D=10: a) ống amrchair và tấm zigzag; b)
ống zigzag và tấm armchair.
Quan sát hình 4.19 và bảng 4.9 ta thấy khi đường kính ống tăng lên thì biến dạng tới hạn
và biến dạng phá hủy của ống zigzag tăng nhẹ, trong khi các giá trị đó của ống armchair lại

giảm, nhưng cả hai đều có xu thế tiến về giá trị biến dạng tới hạn của tấm tương ứng khi
đường kính ống tăng.
Bảng 4.9
Đặc trưng khi chịu kéo các ống BN cùng tỷ lệ giữa chiều dài (L) trên đường kính ống
(D), L/D=10.
Chỉ số tấm và
ống (n,m)
Đường
kính, Å
Mô đun đàn hồi
Y
s
, N/m
Ứng suất tới
hạn σt, N/m
Biến dạng
tới hạn, %
Biến dạng
phá hủy, %
Tấm zigzag
∞
258
37,7
25,7
-
Ống (15,15)
20,7
248
37,2
28,9

29,2
Ống (12,12)
16,5
247
37,2
29,0
29,4
Ống (10,10)
13,8
247
37,3
29,1
29,9
Ống (8,8)
11,0
246
37,2
29,2
30,3
Tấm armchair
∞
251
35,5
26,4
-
Ống (25,0)
19,9
246
33,3
26,1

26,6
Ống (21,0)
16,7
245
33,0
25,9
26,8
Ống (17,0)
13,5
243
32,5
25,5
25,9
Ống (14,0)
11,1
241
31,8
25,0
25,5
4.3.4
Uốn ống BN
Trong mục này, quá trình uốn ống BN thành một cung tròn được khảo sát. Do đó, ống
BN trong trường hợp này chịu uốn ngang phẳng cộng kéo nén đồng thời. Hai giá trị nội lực
của ống được tính toán và đưa ra bàn luận là mô men uốn tại mặt cắt giữa ống và lực dọc
ống. Hai ống BN zigzag và armchair với đường kính tương đương nhau (D≈1,5nm) được
chọn để mô phỏng là (19,0) và (11,11).
0
5
10
15

20
25
30
35
40
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
Ứng suất hai chiều σt, N/m
Biến dạng kéo
Tấm BN, zigzag
BN(15,15), L=10D
BN(12,12), L=10D
BN(10,10), L=10D
BN(8,8), L=10D
(a)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
Ứng suất hai chiều σt, N/m
Biến dạng kéo
Tấm BN, armchair
BN(25,0), L=10D
BN(21,0), L=10D
BN(17,0), L=10D

BN(14,0), L=10D
(b)
21


Hình 4.21
Đồ thị liên hệ nội lực và góc uốn của ống BN ở các chiều dài ống L=10D, 15D
và 20D: a) Mô men uốn tại mặt cắt giữa ống; b) Lực dọc ống.
Hình 4.21 biểu diễn đường cong liên hệ giữa nội lực và biến dạng góc uốn của hai ống
BN(11,11) và BN(19,0) ở các chiều dài L=10D, 15D, 20D. Kết quả cho thấy khi chiều dài
ống tăng lên thì góc uốn tới hạn cũng tăng lên và tỷ lệ này gần như là tỷ lệ bậc nhất (xem
hình 4.26). Bên cạnh đó, ta thấy ở cùng một độ dài, góc uốn tới hạn của ống armchair
BN(11,11) có giá trị nhỉnh hơn so với ống BN(19,0) từ 2-6% tùy chiều dài ống.
Hình ảnh ống BN(19,0) nguyên, chiều
dài L=20D bị phá hủy được vẽ trên
hình 4.22. Trong đó, ở góc uốn 89,8
o

ống chưa có dấu hiệu phá hủy nào,
nhưng khi tới góc uốn 90,2
o
thì ống
gần như đã bị phá hủy hoàn toàn.
Điều này cho thấy cơ chế phá hủy
của ống BN nguyên khi chịu uốn
giống như vật liệu giòn.
Với trường hợp bị khuyết tật, trong
mục này chỉ xét tới ảnh hưởng của
khuyết tật SW1. Hình 4.24, 4.25 và
4.26 và bảng 4.10 cho ta thấy ảnh

hưởng của khuyết tật SW1 tới ứng xử
khi uốn của ống BN(11,11) và
BN(19,0).
Bảng 4.10
So sánh góc uốn tới hạn của ống BN trường hợp ống nguyên và bị khuyết tật SW1
L/D
Góc uốn tới hạn (
o
)
BN(11,11) BN(19,0)
Ống
nguyên
SW1 phía
thớ nén
SW1 phía
thớ căng
Ống
nguyên
SW1 phía
thớ nén
SW1 phía
thớ căng
10
47,3
8,5
48,0
44,6
44,2
30,4
15

68,1
12,7
68,8
66,5
67,5
48,7
20
92,0
16,8
93,0
89,8
89,3
65,4
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Mô men uốn, nN.nm
Góc uốn (
o
)
Ống BN
nguyên
(11,11), L=10D
(19,0), L=10D
(11,11), L=15D

(19,0), L=15D
(11,11), L=20D
(19,0), L=20D
(a)
-2
-1
0
1
2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Lực dọc, nN
Góc uốn (
o
)
Ống BN
nguyên
(11,11), L=10D
(19,0), L=10D
(11,11), L=15D
(19,0), L=15D
(11,11), L=20D
(19,0), L=20D
(b)
Hình 4.22

Hình dạng ống BN(19,0) nguyên, chiều
dài L=20D bị uốn ở các góc: a) 89,8
o
; b) 90,2
o

(b) 90,2
o


(a) 89,8
o


22

Kết quả cho thấy ống armchair (11,11) với SW1 nằm ở phía thớ căng, nó không làm yếu
đi khả năng chịu uốn của ống thậm chí SW1 trong trường hợp này còn có góc uốn tới hạn
tăng nhẹ (~1%) so với trường hợp tấm nguyên, trong khi SW1 nằm ở phía thớ chịu nén thì
ống lại bị mất ổn định sớm hơn nhiều. Với ống zigzag (19,0) thì hiện tượng lại xảy ra ngược
lại là khi khuyết tật SW1 nằm ở phía thớ chịu nén mới cho kết quả góc uốn tới hạn tương
đương như khi ống còn nguyên, còn SW1 nằm phía thớ căng lại gây cho ống (19,0) sớm bị
mất ổn định. Điều này có thể giải thích như sau: với ống armchair (11,11) khuyết tật SW1
làm cho một liên kết đang vuông góc trở thành song song với phương trục ống, do đó khuyết
tật SW1 làm tăng khả năng chịu uốn khi nó nằm ở thớ căng và tăng khả năng mất ổn định
của ống khi nó nằm ở thớ chịu nén dẫn tới ống bị mất ổn định sớm hơn nhiều so với ống
nguyên. Ngược lại, với ống (19,0) khuyết tật SW1 làm cho một liên kết đang song song trở
nên vuông góc với phương trục ống, do đó khi khuyết tật SW1 nằm ở thớ căng của ống
(19,0) thì nó làm giảm khả năng chịu kéo của thớ đó nên nó làm ống bị phá hủy sớm hơn so
với ống nguyên.

Hình 4.24
Đồ thị so sánh sự phụ thuộc của nội lực vào góc uốn của ống BN(11,11), L=10D
trường hợp nguyên và bị khuyết tật SW1.

Hình 4.25
Đồ thị so sánh sự phụ thuộc của nội lực vào góc uốn của ống BN(19,0), L=10D
trường hợp nguyên và bị khuyết tật SW1.
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60 70
Mô men uốn, nN.nm
Góc uốn (
o
)
Ống BN(11,11)
L=10D
Ống nguyên
Ống bị SW1 phía nén
Ống bị SW1 phía căng
-2
-1
0
1
2
0 10 20 30 40 50 60 70
Lực dọc, nN
Góc uốn (
o
)

Ống BN(11,11)
L=10D
Ống nguyên
Ống bị SW1 phía nén
Ống bị SW1 phía căng
0
5
10
15
20
25
0 10 20 30 40 50 60 70
Mô men uốn, nN.nm
Góc uốn, (
o
)
Ống BN(19,0)
L=10D
Ống nguyên
Ống bị SW1 phía nén
Ống bị SW1 phía căng
-2
-1
0
1
2
0 10 20 30 40 50 60 70
Lực dọc, nN
Góc uốn, (
o

)
Ống BN(19,0)
L=10D
Ống nguyên
Ống bị SW1 phía nén
Ống bị SW1 phía căng
23


(a) (b)
Hình 4.26
Sự phụ thuộc của góc uốn tới hạn tới tỷ lệ L/D: a) Ống BN(11,11); b) Ống BN(19,0).
Nói tóm lại, ống (11,11) bị SW1 ở phía thớ căng và ống (19,0) bị SW1 phía thớ chịu nén
khi uốn cho ra ứng xử gần như tương đương với trường hợp ống nguyên tương ứng với góc
uốn phá hủy ngay sau góc uốn tới hạn. và vị trí phá hủy cũng tương tự là nằm ở phía thớ nén
nhưng không rơi vào vị trí của liên kết bị khuyết tật SW1. Trong khi đó, ống (11,11) bị SW1
phía thớ chịu nén có góc uốn tới hạn giảm mạnh từ 77%-82% và ống (19,0) bị SW1 phía thớ
căng có góc uốn tới hạn giảm ít hơn từ 14%-33% so với ống nguyên tương ứng.
Mặt khác, ống (11,11) với SW1 ở
phía thớ nén sau khi bị mất ổn định
sớm ở góc 8,5
o
ống bị gập lại ở chính
liên kết bị SW1, đánh dấu bằng sự
giảm đột ngột của đồ thị nội lực như
trên hình 4.24. Tuy nhiên ống vẫn chưa
bị phá hủy ngay sau đó mà còn tiếp tục
bị uốn tiếp cho tới tận 56,4
o
mới bị phá

hủy hoàn toàn (hình 4.28). Ống (19,0),
L=10D với SW1 ở phía thớ căng cũng
có hiện tượng tương tự với góc uốn phá
hủy lớn hơn khá nhiều so với góc uốn
tới hạn (hình 4.25).
Nói chung trong bài toán uốn ống
BN thành cung tròn này ta thấy, cả
trường hợp ống nguyên hay ống bị
khuyết tật SW1 khi ta cho chiều dài
ống tăng lên thì góc uốn tới hạn cũng
tăng theo tỷ lệ gần như là đường bậc
nhất, và khuyết tật SW1 tùy vị trí mà
hoặc nó làm giảm mạnh hoặc nó không
ảnh hưởng gì nhiều tới góc uốn tới hạn
của ống. Kết luận này có giá trị rất lớn
cho các nhà sản xuất có ý định tạo nên
các vòng tròn nano từ ống BN.

0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
5 10 15 20 25

Góc uốn tới hạn, (
o
)
Tỷ lệ chiều dài trên đường kính ống, L/D
Ống BN(11,11)
Ống nguyên
Ống bị SW1 phía nén
Ống bị SW1 phía căng
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
5 10 15 20 25
Góc uốn tới hạn, (
o
)
Tỷ lệ chiều dài trên đường kính ống, L/D
Ống BN(19,0)
Ống nguyên
Ống bị SW1 phía nén
Ống bị SW1 phía căng
Hình 4.28: Ống BN(11,11), chiều dài L=10D với
SW1 phía thớ nén ở góc uốn: (a) 8,9

o
; (b) 56,2
o
;
(b) 56,4
o
.

(b) 56,2
o


(c) 56,4
o


(a) 8,9
o
-phóng to tại giữa ống