Bài tập giải tích 1 MI1110 áp dụng từ k592

ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - ÁP DỤNG TỪ K59
Môn học : Giải tích 1. Mã số : MI 1110
Kiểm tra giữa kỳ hệ số 0.3 : Tự luận, 60 phút, chung toàn khóa, vào tuần
học thứ 9.
Thi cuối k ỳ hệ số 0. 7: Tự luận, 90 phút.
Chương 1
HÀM MỘT BIẾN SỐ
1.1-1.5. Dãy số, hàm số, giới hạn và liên tục
1. Tìm tập xác định của hàm số
a. y =
4

lg(tan x) b. y = arcsin
2x
1+x
c. y =
√
x
sin πx
d. y = arccos (sin x)
2. Tìm miền giá trị của hàm số
a. y = lg (1 − 2 cos x) b. y = arcsin

lg
x
10

3. Tìm f (x) biết
a. f

x +

1
x

= x
2
+
1
x
2
b. f

x
1+x

= x
2
4. Tìm hàm ngược của hàm số
a. y = 2x + 3 b. y =
1−x
1+x
c. y =
1
2
(e
x
+ e
−x
)
5. Xét t ính chẵn lẻ của hàm số
a. f(x) = a

x
+ a
−x
(a > 0) b. f(x) = ln

x +
√
1 + x
2

c. f(x) =
sin x + cos x
6. Chứng minh rằng bất kỳ hàm số f(x) nào xác định trong một khoảng
đối xứng (−a, a), (a > 0) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng
tổng của m ột hàm số chẵn với m ột hàm số lẻ.
7. Xét t ính tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số sau (nếu có )
a. f (x) = A cos λx + B sin λx b. f(x) = sinx
2
1
c. f (x) = sin x +
1
2
sin 2x +
1
3
sin 3x d. f (x) = cos
2
x
1.6-1.7. Giới hạn hàm số
8. Tìm giới hạn

a. lim
x→1
x
100
−2x+1
x
50
−2x+1
b. lim
x→a
(x
n
−a
n
)−na
n−1
(x−a)
(x−a)
2
, n ∈ N
9. Tìm giới hạn
a. lim
x→+∞

x+
√
x+
√
x
√

x+1
b. lim
x→+∞

3
√
x
3
+ x
2
− 1 −x

c. lim
x→0
m
√
1+αx−
n
√
1+βx
x
d. lim
x→0
m
√
1+αx
n
√
1+βx−1
x

10. Tìm giới hạn
a. lim
x→a
sin x−sin a
x−a
b. lim
x→+∞

sin
√
x + 1 −sin
√
x

c. lim
x→0
√
cos x−
3
√
cos x
sin
2
x
d. lim
x→0
1−cos x cos 2x cos 3x
1−cos x
11. Tìm giới hạn
a. lim

x→∞

x
2
−1
x
2
+1

x−1
x+1
b. lim
x→0
+
(cos
√
x)
1
x
c. lim
x→∞
[sin (ln (x + 1)) −sin (ln x)] d. lim
x→∞
n
2
(
n
√
x −
n+1

√
x) , x > 0
12. Khi x → 0
+
cặp VCB sau có tươ ng đương không ?
α(x) =

x +
√
x và β(x) = e
sin x
− cos x
1.8. Hàm số liên tục
13. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0
a. f (x) =



1−cos x
x
2
nếu x = 0
a nếu x = 0
b. g(x) =



ax
2
+ bx + 1 với x ≥ 0

a cos x + b sin x với x < 0
14. Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì của hàm số
a. y =
8
1−2
cot x
b. y =
sin
1
x
e
1
x
+1
c. y =
e
ax
−e
bx
x
, (a = b)
1.9. Đạo hàm và vi ph ân
15. Tìm đạo hàm của hàm số
2
f(x) =










1 − x khi x < 1
(1 − x)(2 −x) khi 1 ≤ x ≤ 2
x − 2 khi x > 2
16. Với điều kiện nào thì hàm số
f(x) =



x
n
sin
1
x
khi x = 0
0 khi x = 0
(n ∈ Z)
a. Liên tục tại x = 0 b. Khả vi tại x = 0 c. Có đạo hàm liên
tục tại x = 0
17. Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x − a|ϕ(x), trong đó ϕ(x) là một
hàm số li ên tục và ϕ(a) = 0, không khả vi tại điểm x = a.
18. Tìm vi phân của hàm số
a. y =
1
a
arctan
x

a
, (a = 0) b. y = arcsin
x
a
, (a = 0)
c. y =
1
2a
ln


x−a
x+a


, (a = 0) d. y = ln


x +
√
x
2
+ a


19. Tìm
a.
d
d(x
3

)

x
3
− 2x
6
− x
9

b.
d
d(x
2
)

sin x
x

c.
d(sin x)
d(cos x)
20. Tính gầ n đúng gi á trị của biểu thức
a. lg 11 b.
7

2−0.02
2+0.02
21. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số
a. y =
x

2
1−x
, tính y
(8)
b. y =
1+x
√
1−x
, tính y
(100)
c. y = x
2
e
2x
, tính y
(10)
d. y = x
2
sin x, tính y
(50)
22. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
a. y =
x
x
2
−1
b. y =
1
x
2

−3x+2
c. y =
x
3
√
1+x
d. y = e
ax
sin(bx + c)
1.10. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
23. Chứng minh rằng phương trình x
n
+ px + q = 0 với n nguyên dương
không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn, không có quá 3 nghiệm thực
3
nếu n lẻ.
24. Gi ải thích tại sao công thức Cauchy dạng
f(b)−f (a)
g(b)−g(a)
=
f
′
(c)
g
′
(c)
không áp
dụng được đối với các hàm số
f(x) = x
2

, g(x) = x
3
, −1 ≤ x ≤ 1
25.Chứng minh bất đẳng thức
a. |sin x − sin y| ≤ |x − y| b.
a−b
a
< ln
a
b
<
a−b
b
, 0 < b < a
26. Tìm giới hạn
a. lim
x→+∞


x +

x +
√
x −
√
x

b. lim
x→1


x
x−1
−
1
ln x

c. lim
x→∞
e
1
x
−cos
1
x
1−
√
1−
1
x
2
d. lim
x→0
e
x
sin x−x(1+x)
x
3
e. lim
x→1
tan

πx
2
ln(2 − x) h. lim
x→0

1 − atan
2
x

1
x sin x
f. lim
x→1
−
tan
π
2
x
ln(1−x)
i. lim
x→0
(1 − cos x)
tan x
g. lim
x→+∞
[
ex
x+1
(x+1)
x

− x] k. lim
x→
π
2
(sin x)
tan x
27. Xác định a, b sao cho biểu thức sau đây có giới hạn hữu hạn khi x → 0
f(x) =
1
sin
3
x
−
1
x
3
−
a
x
2
−
b
x
28. Cho f là một hàm số thực khả vi trên [a, b] và có đạo hàm f
′′
(x) t rên
(a, b). Chứng minh rằng với mọ i x ∈ (a, b) có thể tìm được ít nhất một
điểm c ∈ (a, b) sao cho
f(x) − f(a) −
f(b)−f (a)

b−a
(x − a) =
(x−a)(x−b)
2
f
′′
(c)
29. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
a. y = x
3
+ x b. y = arctan x − x
30. Chứng mi nh bất đẳng thức
a. 2x arctan x ≥ ln

1 + x
2

với mọi x ∈ R
b. x −
x
2
2
≤ ln(1 + x) ≤ x với mọi x ≥ 0
31. Tìm cực trị của hàm số
a. y =
3x
2
+4x+4
x
2

+x+1
b. y = x − ln(1 + x)
c. y =
3

(1 − x)(x −2)
2
d. y = x
2
3
+ (x −2)
2
3
4
1.11. Các lược đồ khảo sát hàm số
32. Khảo sát hàm số
a. y =
2−x
2
1+x
4
b. y =
3
√
x
3
− x
2
− x + 1
c. y =

x
4
+8
x
3
+1
d. y =
x−2
√
x
2
+1
e.



x = 1 −t
y = 1 −t
2
f.



x = 2t −t
2
y = 3t − t
3
g. r = a + b cos ϕ, (0 < a ≤ b) h. r =
a
√

cos 3ϕ
, (a > 0)
Chương 2
TÍCH PHÂN
2.1 Tích phân bất định
1. Tính các tích phân
a.

1 −
1
x
2


x
√
xdx b.

√
1 − sin 2xdx
c.

dx
x
√
x
2
+1
d.


xdx
(x
2
−1)
3/2
e.

xdx
(x+2)(x+5)
f.

dx
(x+a)
2
(x+b)
2
g.

sin x sin(x + y)dx h.

1+sin x
sin
2
x
dx
2. Tính các tích phân
a.

arctan xdx b.


x+2
√
x
2
−5x+6
dx
c.

xdx
√
x
2
+x+2
d.

x
√
−x
2
+ 3x −2dx
e.

dx
(x
2
+2x+5)
2
f.

sin

n−1
x sin(n + 1)xdx
g.

e
−2x
cos 3xdx h.

arcsin
2
xdx
3. Lập công thức truy hồi tính I
n
a. I
n
=

x
n
e
x
dx b. I
n
=

dx
cos
n
x
2.2. Tích phân xác định

4. Tính các đạo hàm
a.
d
dx
y

x
e
t
2
dt b.
d
dy
y

x
e
t
2
dt c.
d
dx
x
3

x
2
dt
√
1+t

4
5. Dùng định nghĩa và cách tính tích phâ n xác định, tìm các giớ i hạn
5
a. lim
n→∞

1
nα
+
1
nα+β
+
1
nα+2β
+ ··· +
1
nα+(n−1)β

, (α, β > 0)
b. lim
n→∞
1
n


1 +
1
n
+


1 +
2
n
+ ··· +

1 +
n
n

6. Tính các giới hạn
a. lim
x→0
+
sin x

0
√
tan tdt
tan x

0
√
sin tdt
b. lim
x→+∞
x

0
(arctan t)
2

dt
√
x
2
+1
7. Tính các tích phân sau
a.
e

1/e
|ln x|(x + 1) dx b.
e

1
(x ln x)
2
dx
c.
3π/2

0
dx
2+cos x
d.
3

0
sin
2
x cos x

(
1+tan
2
x
)
2
dx
e.
3

0
arcsin

x
1+x
dx f.
π/2

0
cos
n
x cos nx dx
8. Chứng minh rằng nếu f (x) liên tục trên [0, 1] thì
a.
π/2

0
f(sin x)dx =
π/2


0
f(cos x)dx b.
π

0
xf (sin x )dx =
π

0
π
2
f(sin x)dx
9. Cho f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a, b]. Khi đó f
2
(x), g
2
(x) và
f(x).g(x) cũng khả t ích trên [a, b]. Chứng minh bất đẳng thức (với a < b)

b

a
f(x)g(x)dx

2
≤

b

a

f
2
(x)dx

b

a
g
2
(x)dx

(Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz)
2.3. Tích phân suy rộng
10. Xét dự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau
a.
0

−∞
xe
x
dx b.
+∞

0
cos xdx
c.
+∞

−∞
dx

(x
2
+1)
2
d.
1

0
dx
√
x(1−x)
11. Xét sự hội t ụ của các tích phân sau
a.
1

0
dx
tan x−x
b.
1

0
√
xdx
e
sin x
−1
c.
1


0
√
xdx
√
1−x
4
d.
+∞

1
ln(1+x)dx
x
e.
+∞

1
dx
√
x+x
3
f.
+∞

0
x
2
dx
x
4
−x

2
+1
6
12. Nếu
+∞

0
f(x)d x hội tụ thì có suy ra được f(x) → 0 khi x → +∞ không?
Xét ví dụ
+∞

0
sin

x
2

dx.
13. Cho hàm f (x) liên tục trên [a, +∞) và lim
x→+∞
f(x) = A = 0. Hỏi
+∞

0
f(x)d x có hội tụ không.
2.4. Ứng dụng của tích phân xác định
14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a. Đường parabol y = x
2
+ 4 và đường thẳng x − y + 4 = 0

b. Parabol bậc ba y = x
3
và các đường y = x, y = 2x, (x ≥ 0)
c. Đường tròn x
2
+ y
2
= 2x và parabol y
2
= x, (y
2
≤ x)
d. Đường y
2
= x
2
− x
4
15. Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x
2
+ y
2
≤ a
2
và y
2
+ z
2
≤ a
2

, (a > 0).
16. Tì m thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z = 4 − y
2
, các mặt
phẳng tọa độ x = 0, z = 0 và mặt phẳng x = a (a = 0).
17. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các
đường y = 2x − x
2
và y = 0
a. Quanh trục 0x một vòng b. Quanh trục 0y một vòng
18.Tính độ dài đường cong
a. y = ln
e
x
+1
e
x
−1
khi x biến thiên từ 1 đến 2
b.



x = a

cos t − ln tan
t
2

y = a sin t

khi t biến thiên t ừ
π
3
đến
π
2
(a > 0)
19. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau
a. y = sin x, 0 ≤ x ≤
π
2
quay quanh trục 0x
b. y =
1
3
(1 − x)
3
, 0 ≤ x ≤ 1 quay quanh trục 0x
7
Chương 3
HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
3.1. Hàm nhiều biến số
1. Tìm miền xác định của các hàm số sau
a. z =
1
√
x
2
+y
2

−1
b. z =

(x
2
+ y
2
− 1) (4 − x
2
− y
2
)
c. z = arcsin
y−1
x
d. z =
√
x sin y
2. Tìm các giớ i hạn nếu có của các hàm số sau
a. f (x, y) =
x
2
−y
2
x
2
+y
2
, (x → 0, y → 0)
b. f (x, y) = sin

πx
2x+y
, (x → ∞, y → ∞)
3.2. Đạo hàm và vi ph ân
3. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau
a. z = ln

x +

x
2
+ y
2

b. z = y
2
sin
x
y
c. z = arctan

x
2
−y
2
x
2
+y
2
d. z = x

y
3
, (x > 0)
e. u = x
y
z
, (x, y, z > 0) f. u = e
1
x
2
+y
2
+z
2
4. Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của các đạo hàm riêng của
hàm số f (x, y) sau
a.f (x , y) =



x arctan

y
x

2
khi x = 0
0 khi x = 0
b. f (x, y) =




x sin y−y sin x
x
2
+y
2
khi (x, y) = (0, 0)
0 khi (x, y) = (0, 0)
5. Gỉa sử z = yf(x
2
−y
2
), ở đây f là hàm số khả vi. Chứng minh rằng đối
với hàm số z hệ t hức sau luôn thỏa mãn
1
x
z
x
′
+
1
y
z
y
′
=
z
y
2

6. Tìm dạo hàm các hàm số hợp sau đây
a. z = e
u
2
−2v
2
, u = cos x, v =

x
2
+ y
2
b. z = ln

u
2
+ v
2

, u = xy, v =
x
y
8
c. z = arcsin (x − y) , x = 3t, y = 4t
3
7. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số
a. z = sin(x
2
+ y
2

) b. z = ln tan
y
x
c. z = arctan
x+y
x−y
d. u = x
y
2
z
8. Tính gần đúng
a. A =
3

(1, 02)
2
+ (0, 05)
2
b. B = ln

3
√
1, 03 +
4
√
0, 98 −1

9. Tìm đạo hàm của các hà m số ẩn xác định bởi các phương trình sau
a. x
3

y −y
3
x = a
4
, tính y
′
b. x + y + z = e
z
, tính z
x
′
, z
y
′
c. arctan
x+y
a
=
y
a
, tính y’ d. x
3
+ y
3
+ z
3
− 3xyz = 0, tính z
x
′
, z

y
′
10. Cho u =
x+z
y+z
, tính u
x
′
, u
y
′
biết rằng z là hàm số ẩn của x, y xác định
bởi phương tr ình
ze
x
= xe
x
+ ye
y
11. Tìm đạo hàm của hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bởi hệ



x + y + z = 0
x
2
+ y
2
+ z
2

= 1
12. Phương trình z
2
+
2
x
=

y
2
− z
2
, xác định hàm ẩn z = z(x, y). Chứng
minh rằng
x
2
z
x
′
+
1
y
z
y
′
=
1
z
13. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số sa u
a. z =

1
3

(x
2
+ y
2
)
3
b. z = x
2
ln(x + y) c. z = arctan
y
x
3.3. Cực trị
14. Tính vi phân cấp hai của các hàm số sa u
a. z = xy
2
− x
2
y b. z =
1
2(x
2
+y
2
)
15. Tìm cực trị của các hàm số sau
a. z = x
2

+ xy + y
2
+ x − y + 1 b. z = x + y − xe
y
c. z = x
2
+ y
2
− e
−(x
2
+y
2
)
d. z = 2x
4
+ y
4
− x
2
− 2y
2
9
16. Tìm cự trị có điều kiện
a. z =
1
x
+
1
y

với điều kiện
1
x
2
+
1
y
2
=
1
a
2
b. z = xy với điều k iện x + y = 1
17. Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số
a. z = x
2
y(4 −x −y) trong hình t am g iác g iới hạn bởi các đường thẳng
x = 0, y = 6, x + y = 6
b. z = sin x + sin y + sin(x + y) trong hình chữ nhật giới hạn bởi các
đường thẳng x = 0, x =
π
2
, y = 0, y =
π
2
10