Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (196.83 KB, 10 trang )
Ngày soạn:……………………………………………… ……………………………………….
Ngày dạy:
Lớp Ngày giảng
10A1
10A3
TIẾT: …………
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách
- Dùng định nghĩa
0
0.
A khi A
A
A khi A
≥
=
− <
- Chia miền xét dấu.
- Đặt điều kiện và bình phương, đặt ẩn phụ, đánh giá 2 vế….
- Dạng cơ bản:
>
≥
<
⇔
>−
<
>
≥
⇔
>
−<
⇔>•
<
>
⇔
<−
<
<
≥
⇔<<−⇔<•
<+−⇔<⇔<•
22
22
22
0
0
0
0
0
0
0
0))((
BA
B
B
BA
A
BA
A
BA
BA
BA
BA
B
BA
A
BA
A
BABBA
BABABABA
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
2
1 2 5.x x x− + − ≤ +
(*)
Giải:
(*)
2
2 5 0
(2 5) 1 2 5.
x
x x x x
+ ≥
− + ≤ − + − ≤ +
2
2
5
2
2 5 1
1 2 5.
x
x x x
x x x
≥ −
⇔ − − ≤ − + −
− + − ≤ +
.
2
2
5
2
3 4 0
3 6 0.
x
x x
x x
≥ −
⇔ − + + ≥
− − − ≤
1 4.x⇔ − ≤ ≤
Vậy nghiệm của bất phương trình là
[ ]
1;4x ∈ −
.
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:
1241).2
3332).1
2
+≥−
−<−−
xx
xxx
Giải
3332).1
2
−<−− xxx
52
23
31
50
31
06
032
05
032
3332
032
3332
032
2
2
2
2
2
2
2
2
<<⇔
>∨−<
<<−
<<
≥∨−≤
⇔
<+−−
<−−
<−
≥−−
⇔
−<++−
<−−
−<−−
≥−−
⇔ x
xx
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
Vậy: 2< x< 5
1241).2 +≥− xx
≥
≤
⇔
≥
>
≤
≤
⇔
+≥+−
<−
+≥−
≥−
⇔
1
0
1
4
1
0
4
1
1241
041
1241
041
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
Vậy
10 ≥≤ xhoacx
===================
Ngày soạn:……………………………………………… ……………………………………….
Ngày dạy:
Lớp Ngày giảng
10A1
10A3
TIẾT: …………
Ví dụ 3: Giải và biện luận theo a bất phương trình:
2 2
2 3x x a x x a− + ≤ − −
Giải: Bất phương trình tương đương với:
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) 0 (2 5 )( 2 ) 0
5
0
( )
2
2 5 0
2
2 0
5
2 5 0
2
2 0
0
2
x x a x x a x x a x x a x x x a
x
I
x x
x a
x a
x
x x
II
x a
x
x a
− + ≤ − − ⇔ − + − − − ≤ ⇔ − + ≤
≤ ≤
− ≤
≥ −
+ ≥
⇔ ⇔
≥
− ≥
+ ≤
≤
≤ −
• Trường hợp 1:
5
2 0 0 ( ) 0 ;( ) 2
2
a a I x II x a− ≤ ⇔ ≥ ⇒ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ −
.Vậy nghiệm hệ là
5
0
2
2
x
x a
≤ ≤
≤ −
• Trường hợp 2:
5 5 5
0 2 0 ( ) 2 ;( ) 0
2 4 2
a a I a x II x< − < ⇔ − < < ⇒ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤
.Vậy nghiệm hệ
là
5
2
2
0
a x
x
− ≤ ≤
≤
• Trường hợp 3:
0
5 5
2 ( ) ;( )
5
2 4
2
2
x
a a I VN II
x a
≤
− ≥ ⇔ ≤ − ⇒ ⇔
≤ ≤ −
.Vậy nghiệm hệ là
0
5
2
2
x
x a
≤
≤ ≤ −
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP CHIA KHOẢNG
ª Dùng định nghĩa:
( )
( ) ( )
( ) ( )
; 0
; 0
f x f x
f x
f x f x
≥
=
− <
ª Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên cùng một bảng.
ªChia ra một số khoảng trên trục số mà mỗi khoảng này ta đã biết dấu của các
biểu thức trong trị tuyệt đối.
ªGiải bất phương trình trong khoảng đang xét.
Thí dụ 1: Giải phương trình:
( )
2
2 1 1 1x x x
− + − >
Giải:
Bảng xét dấu:
x
−∞
0
1\ 2
1
+∞
2
x x
−
+ 0 - - 0 +
2 1x
−
- - 0 + +
i/
0x
≤
:
( )
2 2
1 1 2 1 3 0x x x x x
⇔ − + − > ⇔ − >
0
0
3
x
x
x
<
⇔ ⇔ <
>
.
ii/
1
0
2
x
< ≤
:
( )
2 2
1 1 2 1 0x x x x x
⇔ − + − > ⇔ − − >
1 0x− < <
.(L)
iii/
1
1
2
x
< ≤
:
( )
2 2
1
1
1 1 2 1 3 2 0 1
2
2
x
x x x x x x
x
<
⇔ − − + > ⇔ − + > ⇔ ⇔ ≤ <
>
.
iv/
1x >
:
( )
2 2
2
1 1 2 1 2 0 1
1
x
x x x x x x
x
< −
⇔ − − + > ⇔ + − > ⇔ ⇒ >
>
Thí dụ 2: Giải phương trình:
2
2
4 3
(1) 1
5
x x
x x
− +
⇔ ≥
+ −
Bảng xét dấu :
X
−∞
0 4 5
+∞
x
2
– 4x + - + +
x – 5 - - - +
+) Xét :
0
4 5
x
x
<
≤ <
2
2 2
4 3 3 2 2
(1) 1 0
5 5 3
x x x
x
x x x x
− + +
⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ −
− + − +
(do
2
5 0,
x R
x x
∈
− + > ∀
)
+) Xét
0 4x
≤ <
:
2
2
2
4 3 1
(1) 1 2 5 2 0 2
5 2
x x
x x x
x x
− + +
⇔ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
− +
+) Xét
5x
≥
:
2
2 2
4 3 5 8 1 21 8 1 21
(1) 1 0
5 5 2 5 2
x x x
x x
x x x x
− + − − − − +
⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ∪ ≤ ≤
+ − + −
(ktm)
Vậy nghiệm bpt là :
2
3
1
2
2
x
x
−
≤
≤ ≤
==========================
Ngày soạn:……………………………………………… ……………………………………….
Ngày dạy:
Lớp Ngày giảng
10A1
10A3
TIẾT: …………
Thí dụ 3: Giải bất phương trình :
2
3
2
5 6
x
x x
−
≥
− +
Giải :
a. Nếu x
≥
3 Ta có bất phương trình :
2
2 2
3 2 11 15
2 0
5 6 5 6
x x x
x x x x
− − + −
≥ ⇔ ≥
− + − +
⇔
2
≤
x < 3 , 3< x <
5
2
. So đk (a ) ta nhận : 3< x <
5
2
b. Nếu x < 3 Ta có bất phương trình :
2
( 3) 1 2 3
2 2 0
5 6 2 2
x x
x x x x
− − − − +
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
− + − −
⇔
3
2
2
x≤ <
.So đk (b) ta nhận :
3
2
2
x≤ <
Vậy nghiệm của bất phương trình : 3< x <
5
2
,
3
2
2
x≤ <
Thí dụ 4: Giải và biện luận bpt sau :
2 2
3 4 (1)x x m x x m− − ≤ − +
Giải
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
(1) 3 4 2 7 2 0 2 7 2 0x x m x x m x x x m x x x m⇔ − − ≤ − + ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤
Ta có :
7
(2 7)( 2 ) 0 2 0
2
x x x m x m x x− − = ⇔ = ∪ = ∪ =
+) Nếu 2m < 0 :
Có trục xác định dấu:
Kết luận :
2
7
0
2
x m
x
≤
≤ ≤
+) Nếu 2m = 0 . Kết luận:
7
2
x ≤
+) Nếu
7 7
0 2 0
2 4
m m< < ⇔ < <
. Kết luận:
0
7
2
2
x
m x
≤
≤ ≤
+)Nếu 2m =
7
2
7
4
m⇔ =
. Kết luận:
0
7
2
x
x
≤
=
+)Nếu
7 7
2
2 4
m m> ⇔ >
. Kết luận:
0
7
2
2
x
x m
≤
≤ ≤
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a)
2 2
1x x x− ≤ −
.
b)
3 4
3
2
x
x
+
≤
−
.
c)
2 3
1
3
x
x
−
≥
−
.
d)
2
4 4 2 1 5x x x+ − + ≥
.
e)
2 2
5 4 6 5x x x x− + ≤ + +
.
f)
2
5 4 12x x x+ > + −
.
g)
3
8 2x x− ≥ −
2
2
2
2 2
2
2 2
1) 6 ( 6 1 7)
2) 5 6 ( 1 2 3 6)
3) 5 4 2 ( 2 2 4)
1 1
4) 3 2 1 ( )
4 2
5) 5 9 6 (1 3)
6) 2 4 0 ( 2 1)
1
7) 1 2 )
2
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x
− − < < < +
− < − < < ∨ < <
− + > − < + ∨ ≥
− − < − − < < −
− + < − < <
− + − > > ∨ < −
− − < > −
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
2
1) 1 2 3 ( 0 2) ; 2) 3 5 3 ( )
3
x x x x x x x x x− + − > − < ∨ > − + − < >
2 2 2 2
3) 1 2 ; 4) 1 4 2 1 ; 5) 2 2 2 2 ; 6)3 3 9 2x x x x x x x x x x x− < − ≥ + + − ≤ − − − − > −
2 4
2
2 3
2
7) 1 ; 8) 1 ; 9) ( 3)( 1) 5 ( 1) 11
1
x
x x x x
x x
−
≤ − ≤ + − − ≤ + −
+
Bài 3: Giải các bất phương trình sau
2
2
2
2
2
2
1). 2 4 2 , ( 3 5) 6). 2 (0 1)
3
4 2
2). 1,( ) 7). 1 ( 5 2 1)
2 5 2
2 5 3 1
3). 1 0 (3 2) 8). 3 ( 2 1)
3 1
2 2 3
10 3 1 1 3
4). 3 (3 ) 9). 1 ( )
5 6 3 1 4 2 4 2
5).
x x
x x x x x x
x
x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
+ −
≤ − + − ≤ ∨ ≥ ≥ < ≤
+ +
−
≤ ≥ − > − < < − ∨ > −
+ + +
− − +
+ > ≠ > < < − ∨ > −
− + +
− −
≥ < ≤ ≤ − ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤
− + +
2
3
1 ( 4 1 1 4)
4
x
x x x
x
< ≤ − ∨ − ≤ ≤ ∨ ≥
−
===================================
Ngày soạn:……………………………………………… ……………………………………….
Ngày dạy:
Lớp Ngày giảng
10A1
10A3
TIẾT: …………
Bài 4 : Giải các bất phương trình sau :
a) | 1 - x
2
|
≤
(1+x)
2
; x = -1 hoặc x
≥
0 .
b) | x
2
- x +1 |
≤
| 3x - 4 - x
2
| ; x
≤
3/2.
c) | x
2
-3x+2 | > | x
2
+ 3x + 2 | ; x < 0.
d) | x
2
+ 6x -7 | < x + 6 ; S = (
2
775
;
2
537 +−+−
).
e) 2 | x+1 | > x + 4 ; x < -2 hoặc x > 2.
f) | x
2
+ x | - 5 < 0 ; S =(
2
211
;
2
211 +−−−
).
g) x
2
- | 5x + 8 | > 0 ; S=
);
2
575
()
2
575
;(
+∞
+
∪
−
−∞
.
h) x
2
+ 4
≥
| 3x + 2 | - 7x ; S =
);22[]195;(
+∞+−∪−−−∞
.
i)
1
2
|3|
>
+
++
x
xx
; S = (-5 ; -2 )
∪
(-1 ; +
∞
) .
j) | x +1 | + | x - 4 | > 7 ; x < -2 hoặc x > 5.
Bài 5 : Giải các bất phương trình.
a.
2
2
4 3
1
5
x x
x x
− +
≥
+ −
. b.
2 3
1
1
x
x
−
≤
+
c.
2 1 1x
− − ≤
d.
9
3
5 3
x
x
≥ −
− −
Bài 6 : Giải các phương trình và bất phương trình.
1)
2 2
2 2 1x x x
− = −
2)
2
5 4 1x x x
− + > −
3)
2 2
3 2 1x x x x
− − ≤ −
4)
2
3
1
4
x
x
≤
−
; 5)
2
2 3 1x x− +
= 2x
2
+ x – 1 ; 6)
2
2
5 4
1
4
x x
x
− +
≤
−
; 7)
1
3
2
1 3
x
x
+
+ =
+
8) 3x
2
–
3x −
> 9x – 2 ; 9)
2
2
7 10
0
6 9
x x
x x
− +
>
− +
==========================
Ngày soạn:……………………………………………… ……………………………………….
Ngày dạy:
Lớp Ngày giảng
10A1
10A3
TIẾT: …………
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
Thí dụ 1: Giải bất phương trình :
2 2
1 2 8 (1)x x x− ≤ − +
Giải
Đặt t =
, 0x t ≥
:
2
2 2
2 2
2 2
2 2 7 0
2 8 1
9
(1) 1 2 8
9
2
1 2 8
2
t t
t t t
t t t t
t
t t t
− + ≥
− + − ≤ −
⇔ − ≤ − + ⇔ ⇔ ⇔ ≤
≤
− ≤ − +
Thí dụ 2: Giải bất phương trình :
2
2
2
1x
x
≤ −
Giải
Đặt :
2
, 0x t t= >
Ta được :
2 2
2
2 2
2 2 0
2 2
1 2 0 1
2 2 0
t t t t
t
t t t t t
t t
t t t t
− ≤ − + − ≤
−
≤ − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤
− ≥ − + ≤
Vậy
2
1 1
0 1
0
x
x
x
− ≤ ≤
< ≤ ⇔
≠
Thí dụ 3: Giải bất phương trình :
4
( 3)( 1) 5 ( 1) 11x x x+ − − ≤ + −
Giải
2 4
2 4
(3) 2 3 5 ( 1) 11
( 1) 9 ( 1) 11
x x x
x x
⇔ + − − ≤ + −
⇔ + − ≤ + −
Đặt :
2
( 1) , 0t x t= + ≥
Ta được :
2 2
2
2 2
9 11 2 0 1 2 5
9 11
5 4 4
11 9 20 0
t t t t t t t
t t
t t t
t t t t
− ≤ − − − ≥ ≤ − ∪ ≥ ≤ −
− ≤ − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
≤ − ∪ ≥ ≥
− + ≤ − + − ≥
Vậy
4t ≥
( tm ):
2
1
( 1) 4 ( 1)( 3) 0
3
x
x x x
x
≥
⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔
≤ −
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ:
Thí dụ 1: Tìm
m
để phương trình
2 2
2 4x x x x m
− − + + <
có nghiệm.
Giải:
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10
-5
5
10
y=f(x)
y=m
O
-1
-3
Ta có
( )
2
2 2
2 3 2; 1 2
2 4
5 2; 1 2
x x x x
f x x x x x
x x
+ − ≤ − ∨ ≥
= − − + + =
+ − < <
Số nghiệm của bất phương trình phụ thuộc vào vị trí tương đối của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
và đường thẳng
y m
=
Dựa vào đồ thị ta suy ra bất phương trình có nghiệm
3m
⇔ > −
.
Thí dụ 2: Với giá trị nào của m thì bpt sau thỏa mãn với mọi x :
2
2 2 2 0x mx x m− + − + >
Giải
2 2
(4) ( ) 2 2 0x m x m m⇔ − + − + − >
Đặt :
, 0x m t t− = ≥
Ta được : t
2
+ 2t + 2 – m
2
> 0
(5)
Để tmbt
2 2
0
( ) 2 2
t
f t t t m
≥
⇔ = + > − ∀
2
inf( ) 2(6)M t m⇔ > −
Lập bbt của f(t) .Suy ra Minf(t) = 0 . Vậy
2
(6) 0 2 2 2m m⇔ > − ⇔ − < <
==========================
Ngày soạn:……………………………………………… ……………………………………….
Ngày dạy:
Lớp Ngày giảng
10A1
10A3
TIẾT: …………
Thí dụ 3: Với giá trị nào của m thì bpt sau có nghiệm:
2 2
2 1 0x x m m m+ − + + − ≤
Giải
2 2
2 2
2( ) 1 0
( )
(5)
2( ) 1 0
( )
x x m m m
I
x m
x x m m m
II
x m
+ − + + − ≤
≥
⇔
− − + + − ≤
<
(5) có nghiệm khi và chỉ khi (I) có nghiệm Hoặc (II) có nghiệm:
2 2
( )
2 ( ) 1
x m
I
x x f x m m
≥
⇔
+ = ≤ − + +
Có f(m) = m
2
+ 2m
(I) có nghiệm
2 2
2
1 2
2 1 0
1
1
2
m m m m
m m
m
⇔ − + ≥ +
⇔ + − ≤
− ≤ ≤
(II)
2 2
2 ( ) 3 1
x m
x x g x m m
<
⇔
− = ≤ − − +
(II) có nghiệm
2 2
2
2 3 1
2 1 0
1
1
2
m m m m
m m
m
⇔ − < − − +
⇔ + − <
⇔ − < <
Kết luận :
1
1
2
m− ≤ ≤
Thí dụ 3: Tìm a để với mọi x :
2
( ) ( 2) 2. 3(1)f x x x a= − + − ≥
Giải
Bài toán thỏa mãn :
2
2
2 1 2 ( ) 0 (2)
6 1 2 ( ) 0 (3)
x a
x a
x x a f x
x x a g x
≥
<
− + − = ≥ ∀
⇔
− + + = ≥ ∀
2
' 0
0
0
' 0
(2)
1. ( ) 0 4 1 0
2 3
1
1
2
a
a o
a
f a a a
a
b a
a
∆ ≤
≤
>
≤
∆ >
⇔ ⇔ ⇔
≥ − + ≥
≥ +
<
− <
(3)
2
' 0
8 2 0
8 2 0
4
' 0
1. ( ) 0 4 1 0
2 3
3
2
a
a
a
g a a a
a
b a
a
a
∆ ≤
− ≤
− >
≥
∆ >
⇔ ⇔ ⇔
≥ − + ≥
≤ −
<
< −
Vậy để thỏa mãn bài toán :
0
4
a
a
≤
≥
==========================
Ngày soạn:……………………………………………… ……………………………………….
Ngày dạy:
Lớp Ngày giảng
10A1
10A3
TIẾT: …………
Thí dụ 4: Tìm a để bpt : ax + 4 > 0 (1) đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện
4x <
Gii
Nhn thy trong h ta xoy thỡ y = ax + 4 vi
-4 < x < 4 l mt on thng . Vỡ vy y = ax + 4 > 0
( 4) 0 1
1 1
(4) 0 1
y a
a
y a
Thớ d 5: Tỡm a bpt sau nghim ỳng vi mi x :
2 2
( 4 3)( 4 6)x x x x a+ + + +
Gii
t :
2 2
4 3 ( 2) 1 1 1t x x x t= + + = +
Bi toỏn tha món :
1
( 3) ( )
t
t t f t a
+ =
.Xột f(t) vi t
1
Suy ra Min f(t) = -2
Vy bttm
2a
Bi tp tng t:
1. nh
a
bt phng trỡnh
2
0x x a
+
cú nghim.
2. nh
m
phng trỡnh
2 2
2 3 2 5 8 2x x m x x
<
cú nghim.
3. Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m sao cho bt phng trỡnh : x.
3x
< m c
tha vi mi x thuc on [ 1;4]
BI TP PHN BT PHNG TRèNH BC HAI
Bi 1. Tỡm m cỏc bt phng trỡnh sau nghim ỳng vi mi x:
a)
x m x m
2
3 2( 1) 4 0+ + + >
b)
x m x m
2
( 1) 2 7 0+ + + + >
c)
x m x m
2
2 ( 2) 4 0+ + >
d)
mx m x m
2
( 1) 1 0+ + <
e)
m x m x m
2
( 1) 2( 1) 3( 2) 0 + + >
f)
m x m x m
2
3( 6) 3( 3) 2 3 3+ + + >
Bi 2. Tỡm m cỏc bt phng trỡnh sau vụ nghim:
a)
m x m x
2
( 2) 2( 1) 4 0+ + <
b)
m x m x
2
( 3) ( 2) 4 0 + + >
c)
m m x m x
2 2
( 2 3) 2( 1) 1 0+ + + <
d)
mx m x
2
2( 1) 4 0+ +
e)
m x m x m
2
(3 ) 2(2 5) 2 5 0 + >
f)
mx m x m
2
4( 1) 5 0 + + <
Bi 3: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình
f(x) = mx
2
+2(m+1)x + 4m > 0
thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-2; +).
Bi 4: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình
f(x) = mx
2
+4(m-1)x + m 1 < 0
thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (- ; 1)
Bi 5:Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
f(x) = 3x
2
+ (2m-1)x m
2
+12 < 0
thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (0; +).
B i 6: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
f(x) = -(2m
2
+1)x
2
+ 2mx +m - 2 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (- ; 1).
