Luyện tập về cực trị trong mạch xoay chiều - Tài liệu Vật lý 12

Khóa h
ọ
c
V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Luyện tập về cực trị trong mạch RLC.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -





MẠCH RLC CÓ TẦN SỐ THAY ðỔI

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho mạch ñiện xoay chiều RLC trong ñó tần số góc ω thay ñổi ñược. Tìm ω ñể
a) cường ñộ hiệu dụng của dòng ñiện ñạt cực ñại. Tính giá trị cực ñại ñó.
b) công suất tỏa nhiệt trên mạch ñạt cực ñại. Tính giá trị cực ñại ñó.
c) ñiện áp hiệu dụng hai ñầu R, hai ñầu L, hai ñầu C ñạt cực ñại.
Hướng dẫn giải:
a) Từ
( )
max L C
2
2
L C
1
f
U U 1 1
2
π LC
I I Z Z 0 ωL ω
Z ωC
LC
R Z Z
T 2
π LC

=

= = → ⇔ − = ⇔ = → = ←→


+ −

=


Vậy khi
1
ω
LC
=
thì cường ñộ hiệu dụng trong mạch ñạt giá trị cực ñại và giá trị cực ñại là
max
U
I .
R
=

b) Công suất tỏa nhiệt trên mạch P = I
2
R, ta thấy do R không ñổi nên P
max
khi I
max.
Khi ñó mạch xảy ra cộng
hưởng ñiện. Ta ñược
2
L C
1
f
1 1
2
π LC

Z Z 0 ω ω
LC
LC
T 2
π LC

=

− = ⇔ = ←→ = →


=


Giá trị cực ñại của công suất tỏa nhiệt khi ñó là
2
2
max max
U
P I R .
R
= =

c) ðiện áp hiệu dụng giữa các phần tử R, L, C ñạt cực ñại


 U
R
ñạt cực ñại
( )

R R max
max
1
U IR U I ω
LC
= → ⇔ ←→ =

Khi ñó
(
)
R max
max
U I R U.
= =



 U
L
ñạt cực ñại
L L L
2 2
2
2
2 2 2
U U.
ωL U U
U IZ Z
Z
y

1 R 1
R ωL 1
ωC ω L ω LC
= = = = =
   
+ − + −
   
   

Với
2
2
2 2 2
R 1
y 1 ,
ω L ω LC
 
= + −
 
 
ñặt
2
2 2
2
2 2 2 2 2
1 R x 1 R 2
x y x 1 x x 1
ω L LC L C L LC
 
 

= → = + − = + − +
 
 
 
 

Do
2
2 2 2 2
2
min
2 2 2 2 2
2 2
2 R
1 b 2LC R C 1 2LC R C 2
LC L
a 0 y x ω
2
L C 2a 2
ω 2 2LC R C
L C
−
− −
= > → ⇔ = − = = ←→ = ⇔ =
−

Vậy U
L
ñạt cực ñại khi
=

−
2 2
2
ω .
2LC R C



 U
C
ñạt cực ñại
( )
C C C
2 2
2 2 2 2
2
U U U U
U IZ Z
Z
y
1
R ω C ω LC 1
ωC R ωL
ωC
= = = = =
 
+ −
+ −
 
 

LUYỆN TẬP VỀ CỰC TRỊ MẠCH ðIỆN XOAY CHIỀU

Khóa h
ọ
c
V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Luyện tập về cực trị trong mạch RLC.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -

Với
(
)
2
2 2 2 2
y R
ω C ω LC 1 ,
= + −
ñặt
( )
(
)
2
2 2 2 2 2 2 2 2
ω x y R C x LCx 1 L C x R C 2LC x 1
= → = + − = + − +

Do
2 2 2 2 2 2
2 2 2
min
2 2 2 2 2 2
b 2LC R C 2L R C 2L R C 2LC R C
a L C 0 y x
ω ω .
2a 2L C 2L C 2L C 2L C
− − − −
= > → ⇔ = − = = → = ←→ =

Vậy U

C
ñạt cực ñại khi
−
=
2 2
2 2
2LC R C
ω .
2L C

Nhận xét:

Do việc tính toán ñể tìm các giá trị (U
L
)
max
hay (U
C
)
max
là tương ñối phức tạp nên những bài toán dạng này chỉ
dừng lại ở việc tìm giá trị ω (hay f ) ñể cho ñiện áp hiệu dụng giữa các phần tử ñạt cực ñại.
Ví dụ 1:
Cho ñoạn mạch ñiện MN gồm một ñiện trở thuần R = 100 Ω, cuộn dây thuần cảm có ñộ tự cảm
=
1
L (H)
π
, tụ ñiện có ñiện dung
−

=
4
10
C (F)
2π
mắc nối tiếp. Mắc hai ñầu M, N vào nguồn ñiện xoay chiều
có ñiện áp tức thời
(
)
=
MN
u 120 2cos 2
πft V
có tần số f của nguồn ñiện có thể ñiều chỉnh thay ñổi ñược.
a) Khi f = f
1
= 50 Hz, tính cường ñộ hiệu dụng của dòng ñiện và tính công suất tỏa nhiệt P
1
trên ñoạn
mạch ñiện MN. Viết biểu thức cường ñộ dòng ñiện tức thời chạy trong ñoạn mạch ñó.
b) ðiều chỉnh tần số của nguồn ñiện ñến giá trị f
2
sao cho công suất tiêu thụ trên ñoạn mạch ñiện MN lúc
ñó là
P
2
= 2P
1
. Hãy xác ñịnh tần số f
2

của nguồn ñiện khi ñó. Tính hệ số công suất.
Hướng dẫn giải:
a) Khi f = f
1
= 50 Hz
L
2 2
C
Z 100Ω
ω 100π Z 100 100 100 2Ω.
Z 200Ω
=

→ = → → = + =

=


Cường ñộ hiệu dụng của dòng ñiện trong mạch là
U 120 1,2
I (A)
Z
100 2 2
= = =

Công suất tiêu thu trên ñoạn mạch ñiện là
2
2
1
1,2

P I R .100 72 W.
2
 
= = =
 
 

ðộ lêch pha của u và i thỏa mãn:
L C
u i i
Z Z
100
π π
tanφ 1 φ φ φ φ
R 100 4 4
−
−
= = = − → = − = − → =

Biểu thức của cường ñộ dòng ñiện trong mạch là
π
i 1,2cos 100
πt A.
4
 
= +
 
 

b) Khi thay ñổi f ñể P

2
= 2P
1
tức P
2
= 144W
Ta có
2
2 2
2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
U R 120 .100 1
P I R 144 144 144
ω L 0
ω C
1 1
R ω L 100 ω L
ω C ω C
 
= = ⇔ = ⇔ = → − =
 
   
 
+ − + −
   

   

Khi ñó mạch xảy ra cộng hưởng ñiện, thay số ta ñược
2
4
1 1
f 50 2 Hz.
2π LC
1 10
2π .
π 2π
−
= = =

Hệ số công suất khi ñó là
R
cos
φ 1.
Z
= =

Ví dụ 2:
Một ñoạn mạch ñiện xoay chiều RLC có
−
= = =
4
1 10
R 100
Ω, L (H), C (F).
π 2π

ðoạn mạch ñược mắc
vào một ñiện áp xoay chiều có tần số f có thể thay ñổi. Khi ñiện áp giữa hai ñầu tụ ñiện ñạt giá trị cực
ñại thì tần số f có giá trị là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
Khóa h
ọ
c
V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Luyện tập về cực trị trong mạch RLC.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -

Ta có
( )
C C C
2 2
2 2 2 2
2
U U U U
U IZ Z
Z
y
1
R ω C ω LC 1
ωC R ωL
ωC
= = = = =
 
+ −
+ −
 
 

Với
(
)
2
2 2 2 2
y R
ω C ω LC 1 ,
= + −

ñặt
( )
(
)
2
2 2 2 2 2 2 2 2
ω x y R C x LCx 1 L C x R C 2LC x 1
= → = + − = + − +

Do hệ số
2 2 2 2 2
2 2 2
min
2 2 2 2 2
b 2LC R C 2L R C 2L R C 2L R C
a L C 0 y x
ω ω .
2a 2L C 2L C 2L C 2L C
− − − −
= > → ⇔ = − = = → = ⇔ =

Thay số ta ñược
4
2
2 2
2
4
2 10
100 .
3 6 ω 50 6

π 2π
ω .100 π 100π. f 61Hz.
2 2 2π 4
1 10
2
π 2π
−
−
−
= = ≈ → = = ≈
 
 
 

Vậy U
C
ñạt cực ñại khi tần số dao ñộng f ≈ 61 Hz.

Chú ý:
+ Khi ω = ω
L
ñể U
L
ñạt cực ñại, ω = ω
C
ñể U
C
ñạt cực ñại, và ω = ω
R
ñể U

R
cực ñại. Khi ñó ta có hệ thức
liên hệ giữa các tần số
2 2
R L C R L C
ω ω .ω f f .f
= ←→ =

+ Khi ω = ω
1
hoặc ω = ω
2
mà công suất P (hoặc cường ñộ hiệu dụng I) không ñổi ñồng thời khi ω = ω
0
mà
công suất P cực ñại (hoặc I cực ñại, hoặc mạch có cộng hưởng ñiện) thì ta có hệ thức liên hệ giữa các ñại
lượng là
2 2
0 1 2 0 1 2
= ←→ =
ω ω .ω f f .f

+ Khi ω = ω
1
hoặc ω = ω
2
mà U
L
không ñổi ñồng thời khi ω = ω
0L

mà U
L
cực ñại thì ta có hệ thức liên hệ
giữa các ñại lượng là
2 2 2
0 1 2
1 1 1 1
2
 
= +
 
 
L
ω ω ω

+ Khi ω = ω
1
hoặc ω = ω
2
mà U
C
không ñổi ñồng thời khi ω = ω
0C
mà U
C
cực ñại thì ta có hệ thức liên hệ
giữa các ñại lượng là
( )
2 2 2
0 1 2

1
2
= +
C
ω ω ω

Ví dụ 3
(Trích ðề thi TSðH 2011): ðặt ñiện áp
(
)
=u U 2 cos 2
πft V
(với U không ñổi, tần số f thay ñổi
ñược) vào hai ñầu ñoạn mạch mắc nối tiếp gồm ñiện trở thuần R, cuộn cảm thuần có ñộ tự cảm L và tụ
ñiện có ñiện dung C. Khi tần số là f
1
thì cảm kháng và dung kháng của ñoạn mạch có giá trị lần lượt là 6
Ω
ΩΩ
Ω và 8 Ω
ΩΩ
Ω. Khi tần số là f
2
thì hệ số công suất của ñoạn mạch bằng 1. Hệ thức liên hệ giữa f
1
và f
2
là
A.
2 1

2
f f .
3
=
B.
2 1
3
f f .
2
=
C.
2 1
3
f f .
4
=
D.
2 1
4
f f .
3
=

…………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………

……….
Ví dụ 4
(Trích ðề thi TSðH 2011): ðặt ñiện áp xoay chiều u = U
0
cos(ωt) (với U
0
không ñổi và ω thay ñổi
ñược) vào hai ñầu ñoạn mạch gồm ñiện trở thuần R, cuộn càm thuần có ñộ tự cảm L và tụ ñiện có ñiện
dung C mắc nối tiếp, với CR
2
< 2L. Khi ω = ω
1
hoặc ω = ω
2
thì ñiện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ ñiện có
cùng một giá trị. Khi ω = ω
0
thì ñiện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ ñiện ñạt cực ñại. Hệ thức liên hệ giữa
ω
1
, ω
2
và ω
0
là
Khóa h
ọ
c
V
ậ

t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Luyện tập về cực trị trong mạch RLC.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


A.
0 1 2
1
ω (ω ω ).
2
= +
B.
2 2 2

0 1 2
1
ω (ω ω ).
2
= +

C.
0 1 2
ω ω ω .
=
D.
2 2 2
0 1 2
1 1 1 1
.
ω 2 ω ω
 
= +
 
 

Hướng dẫn giải:
Ta có:
1C 2C
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
1 U 1 U

U U . .
Cω Cω
1 1
R Lω R Lω
Cω Cω
= ⇔ =
   
+ − + −
   
   

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 2 1
C
ω R CLω 1 C ω R CLω 1 ω ω C R CLω 1 CLω 1
⇔ + − = + − ⇔ − = − − −

(
)

(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 2 1
ω ω C R CL ω ω 2 . CL ω ω
   
⇔ − = + − −
   

( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1
2L CR
CR 2L CL
ω ω L ω ω (1)
C
−
⇔ = − + ⇔ + =

Khi U
Cmax
thì
2 2
2 2
0 0
1 L R 2L CR
ω . 2L ω (2)

L C 2 C
−
= − ⇔ =

So sánh (1) và (2) ñược
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0 1 2 0 1 2
1
2 .
2
ω = ω + ω ⇒ ω = ω + ω

Ví dụ 5:
Cho mạch ñiện xoay chiều như hình vẽ.
Biết
( )
= = = =
1 100
r 100
Ω; L (H); C (µF); u 100 2 cos 2πft V
π 2π

a) Tìm f
0
ñể P
max
? Tính P
max
?

b) Tính giá trị của f ñể P = 50 W. Lập biểu thức i?
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
…………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
…………………………………………………………………………………………………………………
……….
…………………………………………………………………………………………………………………
……….
…………………………………………………………………………………………………………………
……….
Ví dụ 6
(Tổng hợp về cực trị): Cho ñiện áp xoay chiều
(
)
=
AB
u 100 2 cos 100
πt V
.
a) Mắc vào AB một ñoạn mạch gồm ñiện trở thuần r nối tiếp với cuộn dây. Cường ñộ hiệu dụng trong
mạch là 10A, ñiện áp hiệu dụng hai ñầu ñiện trở r là 20 V. Tính r?
b) Cuộn dây có ñiện trở hoạt ñộng R = 6 Ω. Hãy tính:
- hệ số tự cảm L của cuộn dây.
- hệ số công suất của cuộn dây và của ñoạn mạch AB.
c) Mắc nối tiếp thêm một tụ ñiện C. Tìm C ñể I

max
. Tính U
C
.
C
A B
r,L
Khóa h
ọ
c
V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Luyện tập về cực trị trong mạch RLC.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -


…………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
…………………………………………………………………………………………………………………
……….

…………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
Ví dụ 7:
Cho mạch ñiện xoay chiều gồm cuộn dây có ñiện trở r = 0, L, C biến thiên. ðiện áp hai ñầu
ñoạn mạch có biểu thức là
(
)
=u 200cos 100
πt V
.
a) Khi ñiều chỉnh

−
=
4
10
C F
2
π
, thì dòng ñiện nhanh pha hơn ñiện áp hai ñầu ñoạn mạch góc π/4 và I = 1 A.
Tính R, lập biểu thức i và tính P?
b) Tính C ñể P
max
?
c) Tính C ñể
ax
≤
m
1
P P .
2

…………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
…………………………………………………………………………………………………………………
……….

……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
Ví dụ 8:
Cho mạch RLC có C thay ñổi. Biết
= =
1,5
L (H);f 50 Hz.
π

Khi C thay ñổi thì
(
)
=
RC
max
U 2U
. Tìm giá trị của R và C.
Khóa h
ọ
c
V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Luyện tập về cực trị trong mạch RLC.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -


…………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….
……………………………………………………………………………………………………………………
……….

Giáo viên : ðặng Việt Hùng
Nguồn :
Hocmai.vn